第3讲 圆锥曲线的综合问题
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．
2．试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．
热点一 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
例1 (2017届天津市红桥区二模)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1 (a >b >0)的离心率为6
3，且过点
⎝
⎛
⎭⎪⎫1，63.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设与圆O ：x 2＋y 2
＝34相切的直线l 交椭圆C 于A, B 两点，求△OAB 面积的最大值及取得最
大值时直线l 的方程．
解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
1a2＋2
3b2
＝1，c a ＝6
3，a2＝b2＋c2，
解得a 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x23
＋y 2
＝1.
(2)①当k 不存在时， x ＝±32，∴y ＝±32
， ∴S △OAB ＝12×3×32＝3
4
.
②当k 存在时，设直线方程为y ＝kx ＋m ，
A ()x1，y1，
B ()x2，y2，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x23
＋y2＝1，y ＝kx ＋m ，
得()1＋3k2x 2
＋6kmx ＋3m 2
－3＝0，
∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k2，x 1x 2＝3m2－31＋3k2
.
d ＝r ⇒4m 2＝3()1＋k2.
||AB ＝
1＋k2 ·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6km 1＋3k22－4×3m2－31＋3k2
＝1＋k2·错误! ＝3·1＋10k2＋9k41＋6k2＋9k4
＝3·
1＋4k2
1＋6k2＋9k4 ＝3·
1＋
4
1
k2
＋9k2＋6≤2，
当且仅当1k2＝9k 2
，即k ＝±33时等号成立，此时m ＝±1.
∴S △OAB ＝12||AB ×r ≤12×2×32＝3
2，
∴△OAB 面积的最大值为3
2
， 此时直线方程为y ＝±
3
3
x ±1. 思维升华 解决范围问题的常用方法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解． (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
跟踪演练1 (2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
x2
a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小
值．
解 (1)由椭圆的离心率为
22
，得a 2＝2(a 2－b 2
)， 又当y ＝1时，x 2＝a 2－a2b2，得a 2
－a2b2＝2，
所以a 2
＝4，b 2
＝2.
因此椭圆C 的方程为x24＋y2
2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程，得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x24＋y2
2
＝1，
得(2k 2
＋1)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－4＝0. 由Δ>0，得m 2
<4k 2
＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km
2k2＋1，
因此y 1＋y 2＝2m
2k2＋1，
所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k2＋1，m 2k2＋1. 又N (0，－m )，
所以|ND |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 2k2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫m 2k2＋1＋m 2
， 整理得|ND |2
＝错误!. 因为|NF |＝|m |，
所以|ND|2|NF|2＝错误!＝1＋错误!.
令t ＝8k 2
＋3，t ≥3， 故2k 2
＋1＝t ＋14
.
所以|ND|2|NF|2＝1＋错误!＝1＋错误!.
令y ＝t ＋1t ，所以y ′＝1－1
t2.
当t ≥3时，y ′>0，
从而y ＝t ＋1
t
在[3，＋∞)上单调递增，
因此t ＋1t ≥10
3
，
当且仅当t ＝3时等号成立，此时k ＝0， 所以|ND|2|NF|2≤1＋3＝4.
由(*)得－2|NF||ND|≥1
2
. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF||ND|≥1
2
， 所以θ的最小值为π
6
，
从而∠EDF 的最小值为π
3，
此时直线l 的斜率是0.
综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取得最小值π
3.
热点二 定点、定值问题
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，
y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．
2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
例2 (2017·长沙市长郡中学模拟)已知抛物线E ：y 2
＝4x 的准线为l ，焦点为F ，O 为坐标原点．
(1)求过点O ，F ，且与l 相切的圆的方程；
(2)过F 的直线交抛物线E 于A ，B 两点，A 关于x 轴的对称点为A ′，求证：直线A ′B 过定点．
(1)解 抛物线E ：y 2
＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1， 焦点坐标为F (1,0)，设所求圆的圆心C 为(a ，b )，半径为r, ∵圆C 过O ，F ，∴a ＝12，
∵圆C 与直线l ：x ＝－1相切， ∴r ＝12－()－1＝32.
由r ＝||CO ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋b2＝32，得b ＝± 2.
