下载文档原格式
随机过程计算与应用教学设计一、引言随机过程计算是概率论与随机过程中非常重要的一个分支。
随机过程计算与应用相关的知识在工程、物理学、生物学等领域都有广泛的应用。
但是，由于其抽象性和复杂性，很多学生在学习中会遇到困难。
因此，本文旨在探究如何设计一门有效的随机过程计算与应用课程。
二、课程设计1. 课程目标本课程旨在帮助学生：•理解随机过程的概念；•掌握随机过程的基本性质和理论知识；•学会随机过程的计算方法；•熟悉随机过程在实际应用中的具体应用。
2. 教学内容本课程主要包括以下内容：•随机变量及其分布；•随机过程的概念、性质和分类；•马尔可夫过程和泊松过程；•随机过程计算方法，如离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的状态转移概率矩阵的计算、齐次马尔可夫链的系数的计算、泊松过程的参数的计算等；•应用随机过程计算的实际案例，如服务队列模型、存活分析等。
3. 教学方法本课程采用“讲授+实例操作”相结合的教学方法。
讲授主要讲解理论知识，实例操作主要让学生亲自操作计算，并引导学生思考如何将所学的理论知识应用到实际问题中去。
4. 教学评价本课程的教学评价主要分为三个层面：•知识层面：测试学生对随机过程的理论知识的理解程度；•技能层面：测试学生对随机过程计算方法的掌握程度；•应用层面：测试学生能否将所学的随机过程计算方法应用到实际问题中去。
三、教学实施1. 教学流程本课程的教学流程如下：•第一周，学习随机变量及其分布的概念；•第二周，学习随机过程的概念和性质；•第三周，学习马尔可夫过程的基本概念和应用；•第四周，学习泊松过程的基本概念和应用；•第五周至第十周，学习各种随机过程的计算方法；•第十一周至第十六周，学习随机过程在实际应用中的具体应用；•第十七周，复习和总结。
2. 实例操作为了让学生更好地掌握所学的理论知识，本课程将会提供大量的实际案例进行操作：•给定一个状态转移概率矩阵和一开始的状态概率分布向量，求出第n 步的概率分布向量；•根据其它参数计算泊松过程的参数，如性质参数和原始参数；•根据服务队列模型的实际情况进行模拟，并计算每个时间段的平均等待时间。
随机过程课程设计最终版一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握随机过程的基本概念、性质和数学描述，能够运用随机过程解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：学生需要掌握随机过程的基本定义、分类和数学描述，包括离散随机过程和连续随机过程，以及随机过程的均值、方差、相关函数等基本性质。
2.技能目标：学生能够运用随机过程解决实际问题，如信号处理、通信系统、金融市场等领域的应用问题。
3.情感态度价值观目标：培养学生对随机过程学科的兴趣和好奇心，提高学生的问题解决能力和创新意识。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括随机过程的基本概念、性质和数学描述，以及随机过程在实际问题中的应用。
具体包括以下几个部分：1.随机过程的基本概念：包括随机过程的定义、分类和数学描述。
2.随机过程的性质：包括随机过程的均值、方差、相关函数等基本性质。
3.随机过程的应用：包括随机过程在信号处理、通信系统、金融市场等领域的应用问题。
三、教学方法为了实现本课程的教学目标，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
具体包括以下几种方法：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握随机过程的基本概念和性质。
2.讨论法：通过小组讨论，激发学生的思考和问题解决能力。
3.案例分析法：通过分析实际案例，使学生了解随机过程在实际问题中的应用。
4.实验法：通过实验操作，使学生更好地理解和掌握随机过程的性质和应用。
四、教学资源为了支持本课程的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备以下教学资源：1.教材：选用《随机过程》一书作为主要教材，为学生提供系统的学习材料。
2.参考书：提供相关的参考书籍，供学生深入学习和研究。
3.多媒体资料：制作课件和教学视频，以图文并茂的形式展示随机过程的性质和应用。
4.实验设备：准备相关的实验设备，如计算机、信号发生器等，供学生进行实验操作。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分，以全面客观地评价学生的学习成果。
《随机过程》教学设计1. 教学目标- 了解随机过程的定义和基本概念；- 掌握随机过程的分类和性质；- 学会使用概率分布函数、概率密度函数和特征函数描述随机过程；- 熟悉常见的随机过程模型及其应用。
2. 教学内容1. 随机过程的定义和基本概念- 随机过程的定义和基本性质- 随机过程的分类2. 随机过程的描述方法- 概率分布函数(PDF)和概率密度函数(PMF)- 特征函数3. 常见的随机过程模型及其应用- 马尔可夫过程- 泊松过程- 随机游走- 布朗运动3. 教学方法与活动安排- 理论讲解：通过课堂讲解介绍随机过程的定义、性质和基本概念，并结合示意图进行图解说明。
- 实例分析：选取具体的随机过程模型，如马尔可夫链、泊松过程，通过实例分析展示其特点和应用领域。
- 计算练：提供一些随机过程的计算题目，学生通过计算概率分布函数、概率密度函数和特征函数来加深理解。
- 小组讨论：将学生分成小组，让他们通过讨论来解决一些随机过程相关的问题，加强合作和交流能力。
- 应用实践：组织学生进行一些实际案例的分析，如金融领域的股票变动、交通流量的模拟等，让学生将所学的随机过程理论应用到实际问题中。
4. 教学评价与反馈机制- 平时打分：根据学生的课堂表现、参与讨论和作业完成情况给予评分。
- 期中考试：设置随机过程相关的选择题和计算题，测试学生对知识的掌握情况。
- 期末考试：综合考察学生对随机过程理论的理解和应用能力。
- 学生评价：鼓励学生对教学内容和方法进行评价，以了解课程的有效性和改进之处。
5. 教学资源- 教材：《随机过程教程》- 幻灯片：提供课堂讲解所需的幻灯片，方便学生跟随理解。
- 计算工具：提供统计软件或编程软件，如MATLAB等，辅助学生进行计算和模拟实验。
6. 教学评估本教学设计旨在帮助学生全面了解随机过程的定义、性质和模型，并培养他们的问题分析和解决能力。
通过理论讲解、实例分析、计算练等多种教学方法的组合，旨在激发学生的研究兴趣和发展潜能。
随机过程及应用教学设计1. 引言随机过程（Random Process）是时间的函数，其取值是随机变量。
随机过程被广泛运用于信号与系统、通信、自动控制、金融等领域。
因此，本文将讨论如何在教学中设计随机过程相关课程，以便更好地帮助学生理解随机过程的相关概念与应用。
2. 课程设计2.1 课程目标本门课程的目标在于：1.理解随机过程的基本概念与性质。
2.掌握随机过程相关的数学工具，如概率论、统计学和线性代数。
3.进一步了解随机过程的应用场景。
2.2 课程内容2.2.1 随机变量的概率与分布首先，学生需要理解随机变量的概念，并掌握离散型随机变量、连续型随机变量以及联合分布。
通过实际的示例，可以说明这些概念是怎样在现实生活中应用的。
2.2.2 离散时间随机过程在这一章节，学生将学习如何给出随机过程的定义与相关概念，如平稳性和相关函数。
在此基础之上，我们可以向学生展示一些知名的离散时间随机过程，如泊松过程或Markov链。
2.2.3 连续时间随机过程学生将进一步学习如何对连续型随机过程建模，并学习如何计算其相关性质。
同样地，我们可以向学生展示关于维纳过程和布朗运动的一些经典应用案例。
2.2.4 随机过程的应用在最后一章节，我们将向学生介绍如何将随机过程应用到金融领域、自动化控制等热门领域中。
我们将讨论一些实际案例，以便学生可以更好理解随机过程的实际应用。
2.3 教学方法为了使学生更好地掌握课程内容，我们建议采用下列教学方法：1.给学生提供大量的实例，并要求其独立思考答案。
2.让学生通过课堂小组讨论的方式来学习随机过程的应用。
3.强调计算方法，让学生更好地了解如何计算随机过程的相关概念与性质。
4.利用MATLAB等计算机软件来展示随机过程相关的数学工具的使用。
3. 教学评估在教学结束之后，我们将对学生进行评估。
评估内容包括：1.期末考试。
2.日常作业与小组讨论表现。
3.最终的毕业项目，学生将在此项目中展示随机过程相关应用的能力。
概率随机变量与随机过程第四版课程设计一、课程设计目的本课程设计的目的是为了让学生掌握概率随机变量与随机过程相关的理论、方法以及应用，提高学生分析和解决随机问题的能力，为学生今后从事与随机相关的研究工作打下坚实的理论基础和实践经验。
二、教学内容本课程设计的教学内容包括如下几个方面：1、概率论基础概率论基础包括样本空间、事件、概率的定义及性质、随机变量的概念、概率分布函数、数学期望、方差、协方差等内容。
2、概率随机变量概率随机变量包括离散型概率随机变量和连续型概率随机变量，包括二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等。
3、随机过程随机过程包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等内容。
其中马尔可夫过程是重点，包括状态空间、状态转移矩阵、平稳分布、极限分布等。
4、随机过程的应用随机过程的应用包括排队论、失效率分析、通信系统等。
三、教学方法本课程设计以讲授理论为主，以解决实际问题为导向，采用理论讲解、案例分析、实践操作等多种教学方法。
在理论讲解环节，老师会详细阐述相关概念、公式和定理，帮助学生掌握基本的概率论和随机过程的知识；在案例分析环节，老师会选取实际问题进行分析，引导学生运用所学理论，解决实际问题；在实践操作环节，老师会组织学生进行相关的数学建模和仿真实验，让学生亲身体验概率论和随机过程的应用。
四、考核方式本课程设计的考核方式包括平时成绩和期末成绩。
平时成绩主要包括平时作业、课堂表现等方面；期末成绩主要包括笔试、实践操作等方面。
期末笔试主要考察学生对概率论基础、概率随机变量、随机过程等内容的掌握情况；实践操作主要考察学生对所学知识的应用能力和实践能力。
五、参考教材本课程设计参考教材为《概率随机变量与随机过程（第四版）》（郝志强，武汉大学出版社）。
此书是经典的概率论和随机过程教材，内容全面、深入，既有理论研究的深度，又有实践应用的广度，适合作为本课程的主要参考教材。
六、总结本课程设计以概率随机变量和随机过程为重点，旨在提高学生的概率论和随机过程理论基础及实践应用能力，为学生今后从事与随机相关的研究工作做好充分的准备。
随机过程导论教学设计背景介绍随机过程是概率论和数学统计学中最重要的一类对象，广泛应用于信号、通信、控制、金融、医学等领域。
随机过程导论是本科生必修课程之一，对学生的数学思维能力和应用能力有着较高要求。
本文旨在探讨如何进行随机过程导论的教学设计。
教学目标通过本课程的学习和实践，使学生达到以下目标：1.理解随机过程的基本概念和性质；2.掌握随机过程的分类和常用模型，并能进行模型的选择和建立；3.熟练掌握随机过程在实际问题中的应用，能够分析并解决实际问题。
教学内容课程设置本课程分为基础理论和应用实践两个部分。
基础理论基础理论包括以下内容：1.随机变量和随机向量；2.随机过程的基本概念和性质；3.常见随机过程的分类和性质；4.随机过程的独立性和马尔可夫性；5.随机过程的平稳性和谱分析。
应用实践包括以下内容：1.随机过程的模型选择和建立；2.典型随机过程模型的参数估计和检验；3.随机过程在信号、通信、控制、金融、医学等领域的应用。
教学方法本课程采用“理论+实践”相结合的教学方法，具体做法如下：基础理论基础理论教学采用“讲授+练习”相结合的方法。
具体做法如下：1.讲授：讲授教师应当对各学习对象进行逐个分析讲解，并注重理论与实践的结合。
同时在讲解过程中增加一些例题，以帮助学生更好地理解和掌握知识点。
2.练习：每讲完一个知识点之后，教师应当设计相关的练习题，让学生进行训练，并且定期进行知识点汇总和综合应用。
应用实践应用实践教学采用“案例+实验”相结合的方法。
具体做法如下：1.案例：每个应用实践板块包含1-2种典型案例，通过讲解相关案例来突出实践性；2.实验：每个实践板块需要进行1-2次的实验，通过实际的数据分析和模型建立等来加深学生对知识点的理解和掌握。
教学评估本课程评估包括平时成绩、期中考试、期末考试和实践报告四个方面。
平时成绩包括小作业、课堂表现和点名情况等。
学生应当按时完成作业，勤于参与讨论，经常提问和回答问题。
信息与通信工程中的随机过程第三版教学设计一、课程背景随机过程作为信息与通信工程领域的重要理论，是通信、计算机等行业的基础。
本课程主要介绍随机过程的概念、随机变量、分布、独立性等基本概念，以及马尔可夫过程、泊松过程、排队论等重要应用，使学生掌握随机过程的相关知识和方法，为后续研究及工作奠定基础。
二、教学目标1.掌握随机变量、分布、独立性等基本概念。
2.了解马尔可夫过程、泊松过程、排队论等重要应用。
3.熟练掌握随机过程的相关方法和技巧。
4.培养学生的实际应用能力和创新思维能力。
三、教学内容第一章随机过程的基本概念1.随机过程的定义及分类2.随机过程的样本函数、均值、自相关函数和功率谱密度第二章马尔可夫过程1.马尔可夫性质的定义及性质2.离散时间和连续时间的马尔可夫链3.平稳状态和转移概率矩阵的计算4.应用实例：马尔可夫链模型第三章泊松过程1.泊松过程的定义及性质2.泊松过程的常见应用3.应用实例：泊松过程模型第四章排队论1.排队系统的基本概念及分类2.排队模型的特性3.应用实例：排队论模型四、教学方法本课程采用理论教学与应用实例相结合的教学方法。
1.理论教学讲解基础概念和方法，解析相关定理和公式，引导学生理解掌握理论知识。
2.应用实例通过实际问题和案例分析，引导学生运用理论知识解决实际问题，加深对知识的理解和应用。
五、教学评价本课程采用闭卷考试和实践作业相结合的方式进行评价。
1.考试占总成绩的70%。
2.实践作业占总成绩的30%。
3.考试内容主要考察学生对理论知识的掌握和应用能力。
4.实践作业主要考察学生对实际问题的解决能力。
六、教学参考书目1.《随机过程》（第三版），李政道、刘荣华、谢庆生著，高等教育出版社。
2.《随机过程实例与应用》（第二版），李国杰、徐洁著，电子工业出版社。
3.《随机过程及其应用》（第三版），潘承志主编，清华大学出版社。
应用随机过程第三版课程设计一、选题背景随机过程是数学中一门重要的领域。
研究随机过程能够解决许多实际问题，例如控制系统、金融模型、通信工程、生态学、天气预报等等。
随机过程第三版课程由此而生，它涵盖了大量的随机过程知识和应用场景。
本文将重点介绍这门课程的课程设计。
二、课程设计目标课程设计是该课程的重要组成部分，旨在加深学生对于随机过程的理解和应用能力。
具体目标如下：1.理解随机过程的基本概念、方法和性质。
2.学会运用统计方法，分析给定的随机过程。
3.通过实际案例，认识随机过程在工程中的应用。
4.提高学生的编程技能，能够使用编程软件完成随机过程的模拟和分析。
三、课程设计内容3.1 阶段一：理论基础在第一阶段，学生将通过讲座、阅读教材和相关论文的方式，了解随机过程的不同定义、种类、表示方法、性质等等。
课程设计的主要内容包括：1.随机过程的定义2.马尔可夫过程与连续时间马尔可夫过程3.普遍性质：平稳性、Markov性质、独立增量性质等4.随机过程的表示：分布函数、密度函数、随机变量等5.随机过程的分类：纯扩散过程、随机游动等3.2 阶段二：实际应用第二阶段是课程设计的重点，学生将通过进一步的讲座和案例研究，来认识随机过程在实际应用中的作用。
具体内容包括：1.随机游走模型2.随机过程在金融中的应用：金融市场感染、随机波动、维纳过程等等。
3.随机过程在电信中的应用：码随机过程、泊松过程等。
4.随机过程在控制中的应用：马尔可夫决策过程等3.3 阶段三：编程实践随机过程的模拟和分析是该课程的重点之一，因此，第三阶段将侧重于编程实践，学生将通过Python实现随机过程的模拟和分析。
具体内容如下：1.Python基础与科学计算库2.用Python进行随机过程的模拟3.Python进行随机漫步模拟四、课程设计评估课程设计是该课程的重要组成部分，学生的成绩将根据以下几个方面进行评估：1.课程设计报告2.实际案例分析3.Python编程实践其中，课程设计报告的占比最大，占据学生总成绩的60%。
随机过程及其应用第三版教学设计一、教学目标本课程旨在让学生掌握以下知识：1.掌握随机过程的概念、分类和基本性质。
2.理解各种随机过程模型（如泊松过程、马尔可夫过程等）的定义、特性和应用。
3.掌握概率论和统计学的基本理论，能够熟练地运用随机过程理论解决实际问题。
4.能够在实际应用中将随机过程理论和现代数学方法结合运用，研究复杂系统的随机性和规律性行为。
二、教学大纲第一章随机变量及其分布基本概念•随机试验的概念•随机事件的概念•随机变量的概念随机变量的分布及其特性•离散型随机变量•连续型随机变量第二章随机过程的基本概念随机过程的定义随机过程的分类•马尔可夫过程•广义马尔可夫过程•马尔科夫链•马尔科夫过程的性质随机过程的基本性质•随机过程的平均值和方差•独立和相关性•白噪声第三章随机过程的应用常见随机过程模型•随机游走模型•广义巴舍尔模型•泊松过程模型•马尔可夫模型随机过程在实际中的应用•信号处理•金融数学•通信•机器学习三、教学方法1.前置课程：概率论与数理统计2.主要教学方法：–讲授：课堂讲授理论知识–实例分析：引入实际例子解析理论及其应用–实践运用：基于难点及案例演练，掌握随机过程理论在实际解决问题的方法–作业练习：布置随机过程及其应用的相关习题3.考核方法：–期中考试：50%能够运用随机过程理论解决一般随机事件问题–课程设计（论文）：50%基于随机过程及应用的理论和方法，开展实际问题的相关研究四、教学周期本课程为学期课程，共 10 周。
五、教学参考书1.《随机过程及其应用》第三版，俞启峰，高等教育出版社2.《随机过程与信号分析》第三版，李乃池，清华大学出版社3.《随机过程及其在工程中的应用》第二版，符钦文等，电子工业出版社六、教学评估教学评估主要分为以下三个方面：1.教师评估：听取同学的意见和建议，并不断完善自己的教学方法。
2.学生评估：通过同学们的问卷调查得知对教师和课程的评价和意见。
3.教学效果评估：通过期中、期末考试、课程论文及习题评测等多种评估手段，评价学生的学习效果及教学质量。
随机过程教案一、引言随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，也是现代科学和工程领域中的重要基础。
随机过程的概念和性质对于理解随机现象的规律、预测未来事件的发展趋势具有重要的意义。
因此，学习随机过程理论对于培养学生的创新思维和科学研究能力具有重要的意义。
二、基本概念1. 随机过程的定义随机过程是指由一个概率空间和一组定义在该概率空间上的随机变量组成的数学结构。
简单来说，随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量的取值随机且可能随时间变化。
2. 随机过程的分类随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两大类。
离散随机过程是在离散时间下的随机变量序列，而连续随机过程是在连续时间下的随机变量序列。
三、常见随机过程模型1. 马尔可夫链马尔可夫链是一种描述随机事件状态转移规律的数学模型，具有“无后效性”和“马尔可夫性”两大重要性质。
在实际应用中，马尔可夫链常用于描述具有一定状态转移概率的系统。
2. 泊松过程泊松过程是一种描述随机事件在时间轴上发生的模型，常用于描述独立性事件发生的规律。
泊松过程具有平稳性和无记忆性两大特点，在信号处理和通信工程领域有广泛的应用。
3. 布朗运动布朗运动是描述微粒在液体或气体中无规则运动的数学模型，具有连续性、无界性、弱马尔可夫性等特点。
布朗运动在金融市场模型、生物学种群演化等领域有着重要的应用。
四、随机过程教学方法1. 理论讲解在教学过程中，首先应当对随机过程的基本概念和性质进行详细的理论讲解，帮助学生建立起对随机过程的整体认识和理解。
2. 例题分析通过一些典型的例题分析，引导学生掌握随机过程的求解方法和技巧，培养学生的解决问题的能力和思维逻辑。
3. 实例演练在教学中增加一些实际应用场景的实例演练，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提升学生的应用能力和创新意识。
五、总结与展望随机过程是一个重要而复杂的数学概念，对学生的数学思维和逻辑推理能力有着很高的要求。
通过本教案的学习，相信学生们可以更好地理解和掌握随机过程的相关知识，为将来的学习和研究打下坚实的基础。
《随机过程》课程设计（论文）题目: 连续马尔科夫过程的转移概率及应用学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学09-2班学生姓名：姜德月学生学号： 2009026249指导教师：蔡吉花2011 年 12 月 20 日目录课程设计任务书 -------------------------------------------------------------------------------------------------- I 摘要 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I I 第1章绪论----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 - 第2章连续时间马尔可夫链基本理论 ------------------------------------------------------------------ - 2 -2.1定义............................................................ - 2 -2.2转移概率........................................................ - 2 -第3章柯尔莫哥洛夫微分方程 --------------------------------------------------------------------------- - 3 -3.1跳跃强度........................................................ - 3 -3.2 Q矩阵......................................................... - 3 -3.3柯尔莫哥洛夫向后方程............................................ - 4 -3.4柯尔莫哥洛夫向前方程............................................ - 4 -第4章马尔可夫过程研究的问题的分析--------------------------------------------------------------- - 5 -4.1连续参数随机游动问题............................................ - 5 -第5章计算结果及程序------------------------------------------------------------------------------------- - 6 - 第6章结论和展望 ----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 参考文献 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 11 - 评阅书 ------------------------------------------------------------------------------------------------- - 12 -随机过程课程设计任务书摘 要马尔可夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。
设()X t 是一随机过程，当过程在时刻0t 所处的状态为已知时，时刻0()t t t 所处的状态与过程在0t 时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。
本文主要阐述连续马尔科夫过程的转移概率定义、性质及其应用，以及科尔莫哥洛夫向前、向后方程，Q 矩阵。
主要研究机器维修，排队，以及随机游动等实际问题，根据实际问题来求解微分方程。
并用MATLAB ，对其结果进行了合理性的分析，使得我们能更好的理解和应用连续马尔可夫过程，并能用柯尔莫哥洛夫向前向后方程，Q 矩阵，MATLAB 求解实际问题。
关键字 马尔科夫过程 转移概率 柯尔莫哥洛夫 微分方程数值求解 随机游动连续马尔科夫过程的转移概率及其应用第1章 绪论1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后， W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用012,,......x x x 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{},0n x n ≥ 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与 位势的关系。
目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。
第2章 连续时间马尔可夫链基本理论2.1定义设随机过程(){},0X t t ≥，状态空间{}I=0,1,2,若对1t n +任意及非负整数1210t t t n -≤<<⋯<及非负整数12i ,i ,,i有()()()(){}111122|,,,n n n n p X t i X t i X t i X t i ++=====()(){}11|n n n n p X t i X t i ++==，则称(){},0X t t ≥为连续时间马尔可夫链。
2.2转移概率在s 时刻处于状态i ，经过时间t 后转移到状态j 的概率()()(){},|ij p s t p X s t j X s i =+==定义.2齐次转移概率()(),ij ij p s t p t = (与起始时刻s 无关，只与时间间隔t 有关)转移概率矩阵()(),,,0ij P t p t i j I t =∈≥命题：若τi 为过程在状态转移之前停留在状态i 的时间，则对s, t ≥0有(1) {}{}| i i i p s t s p t τττ>+>=> (2) τi 服从指数分布定理1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有：(1) ()ij p 0t ≥;(2)()()ij p 1;t j I =∈∑(3) ()()()ijp t s (k I)ikkjt s p p +=∈∑正则性条件()lim 1,t i j == ()()lim 0,,0t i j t =≠→定义3(1)初始概率: ()(){} 0 P X 0 j , j I j j p p ===∈ (2)绝对概率: ()(){} t P X t j , j I , t 0 j p ==∈≥ (3)初始分布: {},j p p j I =∈(4)绝对分布: ()(){}0j p t p t j I t =∈≥定理2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有 限维概率分布具有下列性质： (1) () t 0j p ≥ (2)()1j p t =∑ (3) ()() t ji ijp p p t =∑(4) ()(t )()j i ij p p t p ττ+=∑ (5)()(){}()()()112111211P t p t p n i n n n i ii i i i i n n X t i X t i p p t t t i I--===--∈∑第3章 柯尔莫哥洛夫微分方程3.1跳跃强度状态转移概率()()21X t j p X t i ⎧⎫=⎪⎪⎨⎬=⎪⎪⎩⎭它满足()()210X t j p X t i ⎧⎫=⎪⎪≥⎨⎬=⎪⎪⎩⎭ ，()()211j I X t j p X t i ∈⎧⎫=⎪⎪=⎨⎬=⎪⎪⎩⎭∑ 齐次马尔可夫过程的状态转移概率()ij p τ 满足：()()0,1ij ij j Ip p ττ∈≥=∑跳跃强度()()()000ij ij ij ij ij p t p q t t q t t σ∆=+⋅∆+∆=+⋅∆+∆()()0limij ij ij t p t p q t∆→∆-=∆其中()()(){100i j ij ij i j p σ=≠==称为参数连续状态离散齐次马尔可夫过程的跳跃强度 当i j ≠时，()0limij ij t p t q t∆→∆=∆当i=j 时, ()01limij ij t p t q t∆→∆-=∆3.2 Q 矩阵把矩阵000101011101q =n n n n nn q q q q q Q q q q ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦叫 马氏过程的速率矩阵，简称Q 矩阵。
但考虑到密度矩阵()ij Q q =，是由()()ij P t p =的导数组成 即(0)Q P '='(())ij ij t q p t ==跳跃强度的性质0ijj Iq∈=∑3.3柯尔莫哥洛夫向后方程假设ik ii k iq q ≠=∑，则对一切i, j 及t ≥0，有()()()'ij ik kj ii ij i j k ip t q p t q p t Q P ≠=-=∑3.4柯尔莫哥洛夫向前方程在适当的正则条件下有()()()'ij ik kj ij jj k jp t p t q p t q ≠=-∑★ 向后方程的矩阵形式：()()'P t QP t = ①★ 向前方程的矩阵形式：()()'P t P t Q = ② 其中Q 矩阵为000102101112202122q q q q q q Q q q q -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦矩阵()'p t 的元素为矩阵()p t 的元素的导数，而()()()()()()()()()()000102101112202122=p t p t p t p t p t p t P t p t p t p t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这样，连续时间马尔科夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解问题，其转移概率有其转移速率矩阵Q 决定。
