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非齐次泊松过程课程设计.doc

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随机过程第三章-泊松过程

随机过程第三章-泊松过程

N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则

泊松分布课程设计

泊松分布课程设计

泊松分布课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握泊松分布的定义、性质及其在实际问题中的应用。

具体包括以下三个方面的目标：1.知识目标：（1）能正确理解泊松分布的概念；（2）了解泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；（3）掌握泊松分布的性质及其数学表达式。

2.技能目标：（1）能运用泊松分布解决实际问题，如计算事件在一定时间内的发生概率；（2）能运用泊松分布对实验结果进行分析和解释。

3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力；（2）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（3）引导学生认识数学在实际生活中的重要作用，培养学生的数学应用意识。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.泊松分布的定义及数学表达式；2.泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；3.泊松分布的性质及其在实际问题中的应用；4.泊松分布与其他概率分布的对比和鉴别。

教学大纲安排如下：第一课时：泊松分布的定义及数学表达式；第二课时：泊松分布的概率质量函数和累积分布函数；第三课时：泊松分布的性质及其在实际问题中的应用；第四课时：泊松分布与其他概率分布的对比和鉴别。

三、教学方法为了更好地实现教学目标，本节课将采用以下教学方法：1.讲授法：教师通过讲解泊松分布的概念、性质和应用，引导学生理解和掌握相关知识；2.案例分析法：教师通过列举实际问题，让学生运用泊松分布进行分析和解决，提高学生的实际应用能力；3.实验法：教师学生进行实验，让学生亲自操作，观察实验结果，进一步理解和掌握泊松分布；4.讨论法：教师学生进行小组讨论，让学生分享自己的学习心得和解决问题的方法，提高学生的合作能力和沟通能力。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本节课将准备以下教学资源：1.教材：《概率论与数理统计》；2.参考书：《泊松分布及其应用》；3.多媒体资料：课件、教学视频；4.实验设备：计算机、投影仪。

以上教学资源将有助于丰富学生的学习体验，提高学生的学习效果。

随机过程——泊松过程(2)

随机过程——泊松过程(2)

4.2.2 复合Poisson过程
二、定义
设 N t , t 0 为一齐次 Poisson 过程，n , n 1是 i.i.d 序列，且与N t , t 0相互独立，令
Yt n1 n
Nt
Y 则称随机过程 t , t 0 为复合 Poisson 过程.
• 4.1 到达时间间隔与等待时间分布 • 4.1’ Poisson过程的分解 • 4.2 非齐次和复合Poisson过程
4.1’ Poisson过程的分解
一、Poisson过程的分解
N t , t 0为 一 齐 次 sson 程， 有 时 会 Poi 过
将 事 件 分 类 ，型 和II型 ， 事 件 被 分 为 哪 I 一类依赖于发生的时，即事件发生在 间 时 刻s， 则 以 概 率 s 被 归 为 型 ， 以 P I 的归类独立，则有如结论： 下
s 0

P0 t , s 1 t s h oh
ln P0 t , s t x dx m t s m t
P0 t , s e
m t s m t
再来看k 1的情形
4.2.1 非齐次P机过程 N t 是一个计数过程，若满 足
(2)N t 是独立增量过程 .
(1) N 0 0
(4)h 0，PN t h N t 1 t h oh
则 称N t 具 有 强 度 函 数t 的 非 齐 次 为 Poisson 程 . 过
u t s P0 t , s t

k 1 e iuk t s Pk t , s t s Pk 1 t , s
iuk iu

非齐次泊松过程与复合泊松过程

非齐次泊松过程与复合泊松过程
G (h, t , z ) (t h)( z -1)G (h, t , z ) h
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -1)
t h t
( x)dx
4.8
20
三、非齐次泊松过程

由非齐次泊松过程的定义知
E[ X（t）] 由于λ= 单位时间内事A发生的平均个数， t
故称为此过程的速率或强度。
6
二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有参数λ＞0的泊松过程，若它 满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) -X(t)=1}=λh＋o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
9
三、非齐次泊松过程
非齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有强度函数λ(t)非齐次 泊松过程，若它满足下列条件： ⑴X(0)=0 ⑵X(t)是独立增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) –X(t)=1}=λ(t)h＋o(h), P{X(t+h) –X(t)≥2}=o(h). 在这里，定义与齐次泊松过程相比，出现了微小的变 化。


t s ＋
0
(t )dt
因此，在（s ，t＋s）内，均值为Λ（t＋x）-Λ（x）=

t s ＋
s
(t )dt

第3章 泊松过程

第3章 泊松过程
CHAPTER 3 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1

《随机过程》第3章-泊松过程

《随机过程》第3章-泊松过程

中南民族大学经济学院
43
.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
44
.随机过程》第3章-泊松过程
随机过程
第三章 泊松过程
1 齐次Poisson过程 2 非齐次Poisson过程 3 复合Poisson过程 4 年龄与剩余寿命 5 更新过程
中南民族大学经济学院
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.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
2 非齐次Poisson过程
中南民族大学经济学院
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
2 非齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程
证明：
1 齐次Poisson过程
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.随机过程》第3章-泊松过程

非齐次泊松过程的仿真方法

非齐次泊松过程的仿真方法

．
（ ） 中止 时刻 为 Ｔ， 知 Ｎ（ ）的 分 布 ， 生 １设 易 丁 产
（ ）产生 个 ［ ， ］上 的均匀 分 布的 随机数 ． ２ ＯＴ
（） ３ 把这 个 均匀 分布 随机 数从小 到 大排列 ， 记
为 Ｓ ， ， １ … ５ 即得．
（） ３ 将保 留的 Ｓ， 别记 为 Ｓ ， ， ， 并 输 分 ㈩ ５ … Ｓ ㈦
（ ｉ Ｎ （ ）＝ ） ０ ＝ ＝０；
ｌ， ０
其 ． 他
由引理 １ 知 ， ［ ，］上独立 均 匀分 布 随机 变 量 可 ｎ个 Ｏ ￡
的 Ｘ Ｘ ， ， 顺 序统计 量 分布 为 ， … Ｘ
（ｉ）具有 平稳 独立增 量 ； ｌ
收 稿 日期 ：０ ９０ —９ 修 改 日期 ：０ 卜Ｏ 一Ｏ ２ ０ ～８０ ； ２ １ ５ｌ
间 的变化 而变 化． 实上 ， 事 更多 的 随机现象 事件 发生
（ｉ Ｉ）Ｐ｛ （ ＋ ＾ 一 Ｎ（） ２ ｝ Ｎ ￡ ） ￡ ≥ ）一 Ｏ ； （ ）
（Ｖ）Ｐ｛ ｉ Ｎ ＋ ＾ 一 Ｎ（）一 １ 一 （ ） ０ ）． ） ｝ 矗＋
可 以证 明 ｌ ＿ ４ ］
１
Ｐ｛ （）一 是 Ｎ ｝＝
， ， … Ｓ 强 度 为 为
性质 １１２。 Ｎ（ ＋ 一Ｎ（） ＿６ Ｊ ｓ ） ｓ 服从 泊松 分布 ， 其 参数 为 ｍ（ ＋ 一 （） ｓ ） ｓ．
２ ２ 仿 真 方 法 ．
（）的非 齐 次泊松 过程 事件 发生 的时 刻． ￡ 该方 法 只要产 生单 位强 度 的齐次 泊松 过程 的点 发 时刻 ， 进行 变化 即可 ， 需要 ｒ（） 反 函数 ． 在 但 ｅ ｔ的
１ 齐 次 泊 松 过 程 的 仿 真

6.非齐次泊松过程与更新过程

6.非齐次泊松过程与更新过程

上式两边同减P0 (t )，再同除h得到 P0 (t h) P0 (t ) o( h) P0 (t ) P0 (t )，当h 0时得 h h P0(t )＝ P0 (t ) (). 当n 1时： Pn (t h) PN (t h) n
命题2.3.4 : 强度为的Poisson过程 N (t ), t 0的到达 时间间隔 X1 , X 2 , 是相互独立的随机变量列，并 1
X n，n 1称 为 到 达 时 间 间 隔 序 .列
具有相同的均值为 的指数分布.

x0 0, n 分布密度函数：f ( x) n 1 x x e ,x 0 n x0 0, n 1时为负指数分布：f ( x) x e , x 0 函数：( s ) e x x s 1dx ( s 0)
Pn (t ) z z Pn 1 (t ) z n 1
n n 0 n 0


Pn (t ) z n z Pn (t ) z n ( P1 (t ) 0)
n 0 n 0


( z 1) Pn (t ) z n

N( t )
i 1
Yi
称{ X n ,n 0 }为复合Poisson过程. 其矩母函数为 t exp{t( Y1 ( u ) 1 )}; 均值函数 : EX ( t ) t' ( 0 ) tEY1 ; 方差函数 : VarX ( t ) t" ( 0 ) ( t' ( 0 ))2 tEY12 .
条件Poisson过程 随机变量Y的分布函数为G( y ),若在Y 的条件 下,{ N ( t ),t 0 }是强度为的Poisson过程 ,称此 过程为条件Poisson过程.有 :

非齐次泊松过程与复合泊松过程

非齐次泊松过程与复合泊松过程

E ((1: 30) - (0 : 30)) 10
29
四、复合泊松过程



在人们的日常生活中，泊松过程往往不是单独存在的。 比如顾客到商店，不会只是在商店转一圈，往往会购物(当然，进 去转转不买也是有的)。 生产线的机器坏了，维修的时候会有维修费用。 参加保险公司的医疗保险人生病，保险公司会对其作出赔偿等。 这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中。如果我们能 够将这些累积的事件和泊松过程联系起来，找出一定的规律，也 许就能成为解决某些生活规律的工具。例如，算出商店一天的营 业额，生产线一年的机器维修费用，保险公司的预备赔偿金的存 储额等。 因此，可以看出，前面多考虑的泊松过程，并未涉及到“泊松过 程质点”的大小，确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程 及其概率结构是有实际意义的。
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人：张建军
2015.5.01
1
一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程 三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
2
一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
3
一、泊松过程的定义
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson,
0
11
三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处： 在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的 强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。 在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因 此： t 在（0 ，t）内，均值为 (t ) 0 ( s)ds 在 (0, t t ) 内，均值为：(t t )

4-泊松过程

4-泊松过程
n n 1 2 1
n kn1
k1 !(k2 k1 )!(kn kn 1 )!
12
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则
1. 均值函数 mN (t ) E( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
[例1] 设 N (t )为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,}，
且具有如下性质： （1） N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫； （2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到
注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
思考：试举个例子是计数过程而不是泊松过程。
9
[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
P{N (t1 ) N (0) k1, N (t2 ) N (t1 ) k2 k1,, N (tn ) N (tn1 ) kn kn1}
P{N (t1 ) N (0) k1} P{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1} P{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
2 1
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!

第三章 泊松(Poisson)过程

第三章 泊松(Poisson)过程
E[ N ( t )] t ,
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得

2012第三章泊松过程

2012第三章泊松过程

随机过程第三章：泊松过程第三章：泊松过程3.1 泊松过程定义3.2 泊松过程的数字特征3.3 时间间隔分布、等待时间分布、到达时间的条件分布3.4 非齐次泊松过程3.5 复合泊松过程3.1 泊松过程定义泊松过程是一类时间连续状态离散的随机过程。

例如：•电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；•火车站某段时间内购买车票的旅客数；•机器在一段时间内发生故障的次数；•……定义3.3：称计数过程{X(t),t≥0} 为具有参数λ>0 的泊松过程，若它满足下列条件：（1）X(0) = 0；（2）X(t) 是独立、平稳增量过程；（3）X(t) 满足下列两式：{()()1}(){()()2}()P X t h X t h o h P X t h X t o h λ+−==++−≥=在充分小的时间内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上事件同时发生。

证明定义3.2和定义3.3是等价的3.3 时间间隔分布、等待时间分布、到达时间的条件分布用泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数，则顾客到来接受服务的时间间隔、顾客排队的等待事件等分布问题都需要进行研究。

下面讨论三个时间分布问题： 时间间隔分布；等待时间分布；到达时间的条件分布。

{X(t), t≥0} 是泊松过程，令X(t)表示t时刻事件定理3.2：设{X(t),t≥0} 为具有参数λ的泊松过程，{T n ,n≥1}是对应的时间间隔序列，则随机变量T n 是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。

即: 对于任意n=1,2, …事件A 相继到达的时间间隔Tn 的分布为:1,0(){}0,0n t T n e t F t P T t t λ−⎧−≥=≤=⎨<⎩其概率密度为:⎩⎨⎧<≥=−0,00,)(t t e t f t T n λλ所以，T2也服从均值为1/λ的指数分布。

{}{}{}{}{}112211121121()11|,...,1(...)(...)01()(0)01n T n n n n n n n tF t P T t P T t P T t T s T s T s P X t s s s X s s s P X t X e λ−−−−=≤=−>=−>====−++++−+++==−−==−－因此，对于任意的n=1,2,…, 事件相继到达的时间间隔T n 也服从均值为1/λ的指数分布。

非齐次泊松过程的仿真方法

非齐次泊松过程的仿真方法

第１５ 卷第１期 高 等 数 学 研 究 ，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２ 年 １月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２Ｏ２２７Ａ１００８－１３９９２０１２０１－００８６－０４现实中许多的随机现象都可以用齐次泊松过程去描述，但是齐次泊松过程描述的现象要求事件的发生具有平稳性，即事件发生的强度为常数，不随时间的变化而变化．事实上，更多的随机现象事件发生的强度与时间有关系，如到达银行的顾客在一天或一月中的不同日子具有波动性，这就需要用非齐次泊松过程去描述．因此非齐次泊松过程是程．利用参见文［３］之附录．有些非齐次泊松过程的方法需基于齐次泊松过程的仿真，因此首先介绍齐次泊松过程的仿真方法．１齐次泊松过程的仿真１．１齐次泊松过程的定义定义１计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝称为强度为λ的齐次泊松过程，如果满足（）Ｎ（０）＝０；（）具有平稳独立增量；收稿日期：２００９－０８－０９；修改日期：２０１１－０５－１０：ｎ（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）≥２｝＝ｏ（ｈ）；（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）＝１｝＝λ（ｈ）＋ｏ（ｈ）．可以证明［４］ｋ１．２．１产生间隔时间法泊松过程过程具有如下性质．定理１［１］３１设泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度为λ，则｛Ｔｉ，ｉ＝１，２，…｝为独立同分布的参数λ指数分布随机变量序列．根据定理１，只要产生参数为λ指数随机变量的随机数，作为事件发生的时间间隔，再依次求和就可以得到强度为λ的泊松过程事件发生时刻序列．１．２．顺序统计量法Ｘ的简（ｎ），Ｘ１Ｘ２，…，）的联合概率密度为Ｘｎｎ！（）＜＜…＜，， ｔ ｔ ｎｆｔ ｔ∏ｉ１２ｎｉ１由引理的，， 为Ｘ１ Ｘ２ＸｎｆＳ１，Ｓ２，…，Ｓｎ｜Ｎ（ｔ）（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ｜ｎ）＝ｎ！，０＜ｔ１ ＜ｔ２ ＜ … ＜ｔｎ ＜ｔ，ｎｔ０， 其他．第 １５ 卷第 １期 宁如云：非齐次泊松过程的仿真方法８７定理２［１］３７在Ｎ（ｔ）＝ｎ的条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ 的联合分布为Ｓ２的分布，产生Ｎ（Ｔ）的一个随机数ｎ．（２）产生ｎ个［０，Ｔ］上的均匀分布的随机数．（３）把这ｎ个均匀分布随机数从小到大排列，记为ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ 即得．２ 非齐次泊松过程的仿真方法 ２．１非齐次泊松过程的定义定义２ 计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝｝＝ｏ）＝１｝＝性质］（ ）（）服从泊松分布，１６２－６３１Ｎｓ＋ｔ－Ｎｓ其参数（ ）（为）ｍｓ＋ｔ－ｍｓ．２．２仿真方法为Ｔ｛１２．２．２．１稀疏法定理设（），其中为一常数，而，，３λｔ≤λλｓ１ｓ２…，，…为参数的齐次泊松过程的事件发生的时ｓｎλ率，…，，…ｓ（ｎ）ｓｓｎ，… 的稀疏，因此满足中定义２中的（）～（）．以下证明它也满足定义２中的（）．设Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，则有（ ）（）（ ）ＰＡＢ＝ＰＢＰＡ｜Ｂ ＝（）， ，ｓ（１）ｓ（２）２（ｎ）．根据定理，先产生齐次泊松过程事件发生的 ３时刻，再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发生时刻，步骤如下．（）产生参数 的齐次泊松过程的 Ｔ前事件发１λ生的时刻 ，，…，３ｓｉ（１）ｓ（２）（ｋ）出即可．２．２．２尺度变换法定理［１］７６｛，，，…｝为强度函数为４ｓｎ ｎ＝１２（）的非齐次泊松过程事件发生的时刻的充要条件过＝∫λ发生的时刻．步骤如下．（）产生参数 １的齐次泊松过程的Ｔ前事件发１生的时刻，，…，ｚ１ｚ２ｚｎ．（）令－１（），则，，…，为强度为．３定理５设，则在Ｓｎ－１＝ｓｎ－１的条件下，Ｓ０＝０（，，…）的条件密度函数为Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ｎ＝１２ｆＴ（＝ｓｎ－１）ｔ｜Ｓｎ－１＝ｎ，其＞ｔ｜Ｓ－１ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝，再根据性质１，Ｐ｛Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＞ｔ｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝８８高等数学研究２０１２年１月故有（）定理５给出了非齐次泊松过程事件发生间隔时间的条件分布．根据定理５可以先产生Ｔ１分布的随机数ｔ１，令ｓ１＝ｔ１，在此基础上产生Ｔ２分布的随机数ｔ２，依次下去，直至ｔｎ，使得ｓｎ＝ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＞Ｔ，，Ｔ赋＝（［ｍ（ｓ－ｍ（ｓ）］，）ｎ－１ｎ－１，λｓｎ－１＋ｔｅｔ＞０｛０，其他．的随机变量的随机数．（）令，２．２．４理６在（）下，，，Ｎｔ＝ｎＳ１Ｓ２Ｓｎ的分布恰好为密度函数为（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ｔｍｔ得ｆＳＳ…Ｓｓ１ｓ２ｓｎｓｎｔ＝１２ｎ－［ｍ）－ｍ（０－［ｍ（ｓ）－）（ｓ）］ｍ（ｓ］（）１（）２１…λｓ１ｅλｓ２ｅｎ－［ｍ再由－ｍ（ｔ），ｎ！可得在Ｎ（ｔ）＝ｎ条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ的联合密度函数为ｆＳＳ…Ｓ（ｓ１ｓ２…ｓｎ｜Ｎ（ｔ）＝ｎ）＝１２ｎｎｎ！∏λ（ｓｉ）（０＜ｓ１＜ｓ２＜…＜ｓｎ＜ｔ）．ｉ＝１ｍ（ｔ）根据引理１，可得定理结论成立．由定理６，在条件Ｎ（ｔ）＝ｎ下，产生ｎ个随机数，再从小到大排列即可，具体（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ＴｍＴ顺序排列即可．３仿真算例设非齐次泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度函数λ（ｔ）＝２ｅ－ｔ５，截止时刻Ｔ＝５，实际系统仿真中可取较长的时间．此时在稀疏法中λ＝２，在尺度变换法中ｍ－１（ｔ）＝－５ｌｎ（１－ｔ）＋ｔ－ｎ－１］－ｅ５ＦＴｔ｜Ｓｎ－１ｎ－１＝１－ｅｎ（，，，，…），ｔ＞０ｓ０＝０ｎ＝１２在顺序统计量法中－ｔ５（）１－ｅ（）０．４７４２１．９１４１２．４０４０２．６１３７３．９９０６４．３３０２尺度变换法 ， ， ， ， ，０．２１３５０．８５７８０．９７３２２．２０９９２．６７２８，４．，，，，０．１８５６１．５６２３２．１８２３３．３４３２３．５０２７４ 结论通过讨论，可以看到四种方法都需要一定的条件，稀疏法需要强度函数具有上界，尺度变换法需要计算累计强度函数的反函数，产生间隔时间法和顺序统计量法分别需要产生具有一定密度函数的随机变量的随机数，也就需要计算分布函数的反函数，相比之下尺度变换法较为简捷高效．此外对随机过程的每次仿真，得到过程的一个事件发生时刻序列，应较第 １５卷第 １期 高 等 数 学 研 究 ，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２ 年 １月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２号Ｇ６４２．１码Ａ号（ ）１００８－１３９９２０１２０１－００８９－０３面对一个有相当难度的概率问题，我们通常并不知道自己得到的求解结果是否一定正确，这时可采用随机模拟的方法，通过判断模拟结果与理论计算是否接近来自我验证结果的正确性．另外，随机模拟又从另一个角度加深了对该问题的理解．因此，随机模拟在概率学习和复杂问题求解过程中都显得十分重要．以下就有一个很好的例子．问题１收稿日期：２０１０－０１－０６；修改日期：２０１１－１２－０７作者简介：肖华勇（１９６９－），男，陕西西安人，博士，副教授，从事概率该问题是我在教改班进行随机数学教学中由一位同学提出的．初时感觉这个问题理论求解比较困难，就采用计算机模拟获得了一个结果．后来深入下去，经过比较复杂的计算求得了理论结果，但发现理论求解与模拟计算结果相差很大．进一步探究，终于发现是模拟过程采用的公式出现了问题，对模．社，：２００１４２５－４３１．［］邓永录，梁之舜随机点过程及其应用［］北京：中国［］张波，张景肖应用随机过程［］北京：清华大学出版４．Ｍ．１．Ｍ．社，科学出版社，：：２００４３３－３４．１９９２１００－１０３．概率论：Ｍ．２ｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ０５０００３，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢａｓｅｄｏｎｔｗｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｓｐａｒｓｅｍｅｔｈｏｄ，ｓｃａｌｅａｌｔｅｒｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｔｉｍｅｉｎｔｅｒｖａｌｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｅｓａｎｄｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＡｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｆｏｕｒｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄａｎｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｓｉ。

非齐次泊松过程课程设计.doc

非齐次泊松过程课程设计.doc

课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 非齐次泊松过程在数控机床可靠性建模中的应用学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学12-1班***名：***学生学号： ********** ***师：***2015 年 1月 3 日随机过程课程设计目录任务书 (1)摘要 (1)前言 (2)１非齐次泊松过程理论 (2)1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介 (2)1.2 基于试验总时间法的趋势检验 (2)2 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 (3)2.1强度函数的建立................................................. . (3)2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计......................... (4)2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标............................... ....... (5)3实例分析 (5)4结束语 (7)5程序及结果 (8)6参考文献 (9)附录………………………………………………………………………………评阅书……………………………………………………………………………摘要基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。

本文使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计得到了该模型的可靠性指标，以6台加工中心的现场数据为例建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。

再通过matlab曲线拟合，绘制出故障时间的曲线，通过曲线的拟合程度，可以确定非齐次泊松过程能够更恰当地表现故障的趋势。

关键词：数控机床可靠性非齐次泊松过程浴盆曲线前言数控机床是由数目众多的零部件组成的复杂机电液可修系统。

在其可靠性研究中，需要考虑维修活动对其可靠度的影响【1】。

以往的数控机床可靠性建模方法，是将故障间隔时间视为独立同分布来分析其寿命分布，即假设维修活动是“修复如新”【2】而在实际生产中数控机床的维修活动是以调整或者更换一部分零部件和元器件为主的，对于复杂的系统来说这种维修活动只能使产品恢复到正常功能维修前后可靠度并没有很大改变，因此将数控机床的维修活动视为“修复如旧”更加合理。

非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

增刊 ２
许彬彬 ， 等： 非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模 中， Ｖ －检验如下 ： 齐次泊松过程 。 Ｈ０ ： 具有非单调趋势 。 Ｈ１ ：
·２ １ １·
本文提出了非齐次泊松过程的数控机床可靠 性建模方法 ， 并结合数控机床的失效特点 ， 建立故 障率为浴盆曲线 的 非 齐 次 泊 松 过 程 可 靠 性 模 型 。 同时 ， 结合具有随 机 截 尾 特 点 的 多 样 本 数 控 机 床 现场试验故障数 据 ， 对数控机床的可靠性进行了 深入分析 。
收稿日期 ： ２ ０ １ １ ０ ３ １ ８． － －
次泊松过程建立的可靠性模型更能贴近于复杂系 统的生产实际 。
） （ （ ； 基金项目 ： 国家科技重大专项 （ 吉林大学科学前沿与交 ２ ０ ０ ９ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ １ ２ ０ １ ０ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ １） ２ ０ １ ０ Ｚ Ｘ ０ ４ ０ １ ４ ０ １ ６） － － － ） ； ） 叉学科创新项目 （ 吉林大学研究生创新研究计划项目 （ ２ ０ ０ ９ ０ ３ １ ７ １ ２ ０ １ １ １ ０ ５ ７ ． ， ： 作者简介 ： 许彬彬 （ 女， 博士研究生 ． 研究方向 ： 数控装备可靠性建模技术 ． １ ９ ８ ２ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｘ ｕ ｂ ｉ ｎ ｂ ｉ ｎ ｌ ｕ ｆ ｏ ｘ ｍ ａ ｉ ｌ ． ｃ ｏ ｍ －） ＠ ｊ ， ： 通信作者 ： 杨兆军 （ 男， 教授 ， 博士生导师 ． 研究方向 ： 数控装备可靠性理论与技术 ． １ ９ ５ ６ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｚ ｌ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ －） ＠ ｙ ｊ ｊ
ｏ ｌ ． ４ １ Ｓ ｕ ． ２ Ｖ ｐ ｅ ｔ ． ２ ０ １ １ Ｓ ｐ
非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

泊松过程(1)

泊松过程(1)
λt
4.1到达时间间隔与等待时间分布 到达时间间隔与等待时间分布
五、到达时刻的条件分布 1）首次到达时刻的条件分布 ）
定理 4.3 强度为 λ 的齐次 Poisson 过程 {N t , t ≥ 0} 的第一个到达时刻 S 1在 N t = 1的条件下服从在 上的均匀分布， 区间 [0, t ]上的均匀分布，即 (S 1 N t = 1) ~ U [0, t ] .
=
P ( N s = 1)P (N s ,t = 0) P ( N t = 1)
平稳增量
=
P ( N s = 1)P ( N t − s = 0) P ( N t = 1)
λse − λs e − λ (t − s ) = − λt λte
∴ (S1 N t = 1) ~ U [0, t ]
s = t
λ
4.1到达时间间隔与等待时间分布 到达时间间隔与等待时间分布
四、Poisson过程的等价定义 过程的等价定义
{N t , t ≥ 0}是强度为 λ 的齐次 Poisson 过程
⇔ 时间间隔序列 {X n , n = 1,2, L}i.i.d 且服从 Exp(λ )
1
⇔ 到达时刻序列 {S n , n = 0,1,2, L}服从 Erlang (n, λ )
∑
n
=
n! ∏ i =1 ∆t i
n
(
)
t
n
4.1到达时间间隔与等待时间分布 到达时间间隔与等待时间分布
f S1 ,L, S n (t1 ,L , t n N t = n )
= lim P (t i − ∆t i < S i < t i ,1 ≤ i ≤ n N t = n )

非齐次泊松过程定义

非齐次泊松过程定义

F ( y) P( X y) f ( x)dx
y

出价大于y的事件Ny为按 F ( y) 速率到达的泊松过程。 接受出价的总回报： R(y) = (X|X>y) – c* 一个Ny事件到达的时间 目标：E(R(y)) 最大
时间间隔Tn
E[ R( y)] E[ X | X y] E[cTn ]
T2服从均值为1/λ的指数分布
对于任意 n>0 和 t, s1,s2,…,sn-10,有 P{ Tn > t | T1 = s1, … , Tn-1 = sn-1} =P{ N( t + s1+…+ sn-1) - N(s1+s2+…+ sn-1) = 0} =P{N(t) - N(0)=0}= e-t 所以对任一Tn(n>0),其分布是参数为的指数分布。
＝Pk(t)[1-h+o(h)]+Pk-1(t)[h+o(h)]+o(h)
pk (t h) pk (t ) o( h) pk (t ) pk 1 (t ) , h h
pk ' (t ) pk (t ) pk 1 (t ) 令h 0得， ,(k 0,1,2,) pk (0) P{N (0) k} 0
称为此过程的速率或强度
定义B: 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足下列条件： a) N(0)＝0； b) N(t)是独立、平稳增量过程； c) P{N(h)=1}＝h+o(h)； d) P{N(h)2}＝o(h)
则称{N(t),t0}为参数为的(齐次)泊松过程。
例： 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤。令N(t)表示电话交换

基于非齐次泊松过程的网上持久型一口价拍卖研究

基于非齐次泊松过程的网上持久型一口价拍卖研究

基于非齐次泊松过程的网上持久型一口价拍卖研究
陈绍刚;穆宇杰
【期刊名称】《管理工程学报》
【年(卷),期】2024(38)3
【摘要】为了刻画网上拍卖中的投标者到达过程中存在的末尾抢标机制,本文引入时间变量,建立了基于投标者到达的非齐次泊松过程的持久型一口价拍卖模型。

通过令投标人与拍卖商的收益最大化,本文分析了投标人的均衡策略,拍卖商的最优一口价以及拍卖平台的最优佣金率,得到拍卖平台为了获取更多的佣金,一口价拍卖中佣金率的设定应小于普通拍卖中的佣金率。

通过数值分析得到,投标人应在持续时间较短的一口价拍卖中积极选择一口价,在持续时间较长的一口价拍卖中更倾向于选择进行竞价,而拍卖商应尽可能地设置更长的拍卖持续时间以此获得更大的期望收益。

【总页数】11页(P202-212)
【作者】陈绍刚;穆宇杰
【作者单位】电子科技大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】F224
【相关文献】
1.基于复合非齐次泊松过程的期望折旧成本收益管控模型研究
2.基于二维非齐次泊松过程的风险度量研究——以中兴通讯日收益数据为例
3.基于非齐次泊松过程的
航空备件需求研究和应用4.再谈非齐次泊松过程转换为齐次泊松过程的问题5.基于非齐次泊松过程的网上拍卖最优拍卖时长研究
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课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 非齐次泊松过程在数控机床可靠性建模中的应用学院：理学院专业：数学与应用数学班级：数学12-1班***名：***学生学号： ********** ***师：***2015 年 1月 3 日随机过程课程设计目录任务书 (1)摘要 (1)前言 (2)１非齐次泊松过程理论 (2)1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介 (2)1.2 基于试验总时间法的趋势检验 (2)2 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 (3)2.1强度函数的建立................................................. . (3)2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计......................... (4)2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标............................... ....... (5)3实例分析 (5)4结束语 (7)5程序及结果 (8)6参考文献 (9)附录………………………………………………………………………………评阅书……………………………………………………………………………摘要基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。

本文使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计得到了该模型的可靠性指标，以6台加工中心的现场数据为例建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。

再通过matlab曲线拟合，绘制出故障时间的曲线，通过曲线的拟合程度，可以确定非齐次泊松过程能够更恰当地表现故障的趋势。

关键词：数控机床可靠性非齐次泊松过程浴盆曲线前言数控机床是由数目众多的零部件组成的复杂机电液可修系统。

在其可靠性研究中，需要考虑维修活动对其可靠度的影响【1】。

以往的数控机床可靠性建模方法，是将故障间隔时间视为独立同分布来分析其寿命分布，即假设维修活动是“修复如新”【2】而在实际生产中数控机床的维修活动是以调整或者更换一部分零部件和元器件为主的，对于复杂的系统来说这种维修活动只能使产品恢复到正常功能维修前后可靠度并没有很大改变，因此将数控机床的维修活动视为“修复如旧”更加合理。

非齐次泊松过程经常被用于建立“修复如旧”的维修策略且维修时间可忽略的可修系统可靠性模型用于模拟出现故障间隔时间的趋势【3-4】。

结合数控机床的维修特点，使用非齐次泊松过程建立的可靠性模型更能贴近于复杂系统的生产实际。

本文提出了非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模方法，并结合数控机床的失效特点，建立故障率为浴盆曲线的非齐次泊松过程可靠性模型。

同时，结合具有随机截尾特点的多样本数控机床现场试验故障数据，对数控机床的可靠性进行了深入分析。

１．非齐次泊松过程理论1.1 非齐次泊松过程的基本理论简介：非齐次泊松过程是随机点过程的一种典型类型，当可修系统的相邻故障间隔呈现某种趋势时可以使用这种方法来描述。

非齐次泊松过程的重要参数【4】：)(t ω为强度函数，是非负函数；其 累 积 故 障 强 度 函 数⎰=tdu u t W 0)()(ω，表示在[0,t]中的平均故障数,即E[N(t)]=W（t ），N[t] 代表在[0,t]出现的故障次数ｔ表示机床从观测开始后的运行时间。

当强度函数为1)()(-=βααβωtt 时，成为威布尔过程。

其中，α、β>0，α为尺度参数，β为形状参数。

0<β<1, 表示不断改良的(好)系统; β>1, 表示不断恶化的(坏)系统；β=1，表示系统服从指数分布。

1.２基于试验总时间法的趋势检验：本文采用基于试验总时间的方法，对具有多样本随机截尾现场数据的故障过程进行趋势检验【5】。

将在观测期间采集到的所有故障数据按照从大到小时间进行排序，得到t (i)的时间序列。

根据试验总时间的建模思想【6】，得到该序列的第ｉ个故障发生时的试验总时间：⎰=)(0)()()(i t i du u n t T （1）=N ∑=ki i n 1（2）式中：n(u)表示在ｕ时刻观察到的数控机床数量，N 表示在观测期间的故障数；i n 表示第ｉ台机床的故障数（共有Ｋ台机床），当时间序列)(i t 的最后一个时间是故障数据时，)(i n =i n -1；当时间序列)(i t 的最后一个时间不是故障数据而是截尾数据时)(i n =i n 。

在实际检验时同时使用Ｕ－检验、Ｊ－检验和Ｖ－检验等检验方法综合确定有无趋势【7-8】。

其中Ｖ－检验如下：Ｈ0：齐次泊松过程； Ｈ1：具有非单调趋势；()11()()|()|24~(0,1)()48Ni i T S T S T t N V N N T S =--⨯=∑ (3)22()122()()|()|212()180Ni i T S T S T t N V NT S =--⨯=∑ ~(0,1)N (4)()1322log(()|2()()|)(2)Ni i T S T t T S V N χ=-=∑~(0,1)N (5)式中：Ｔ（Ｓ）表示总的观测时间。

当｜Ｖ１｜＜ｚα／２，｜Ｖ２｜＜ｚα／２，Ｖ３＜χ２（２ｎ）时，接受Ｈ０。

一般情况下，Ｕ检验和Ｊ检验是检验具有单调趋势或齐次泊松过程和更新过程的故障数据的，而当故障数据具有非单调趋势时，则可以考虑Ｖ检验中的统计量，如表１所示。

表1 故障率和故障强度函数变化特性２ 数控机床的非齐次泊松过程可靠性建模 2.1强度函数的建立对于浴盆曲线趋势的故障过程，假设其故障强度函数由早期故障期和偶然故障期两部分组成，并且每一个阶段都是一个威布尔过程［９］，参数为尺度参数αｍ和形状参数βｍ（ｍ＝１，２）。

结合以上假设和多重威布尔分布模型的性质，则该数控机床故障强度函数为：11111)()(-=βααβωtt （6）式中：α１，α２，β１，β２＞0在（0，ｔ］内的平均故障个数为累积故障强度函数，即由于该模型是由两重威布尔过程构成，其强度函数是具有非单调的浴盆曲线趋势，因此组成该模型的两个形状参数有（β１－１）（β２－１）＜0，则本文中假设β１＜１，β２＞１。

2.2 Ｋ台数控机床强度函数的参数估计本文使用极大似然估计法对k 台样本的强度函数进行参数估计，k 台数控机床的故障数据是随机截尾的，第ｉ台的故障观测时间为［0，T ｉ］,其中T i 为现场试验的截尾时间。

t 0≡0，因此,得到相应的似然函数为1212111211112212{[()()]exp[()()]}j n Kij ij i i K i j t t T T L ββββββαααααα--===+⨯--∏∏ (8)似然函数的对数函数以及此对数函数对模型参数的偏导数为1212111211112212{ln[()()][()()]}j n Kij ij i i K i j t t T T l ββββββαααααα--===+-+∑∑ (9)12211111121122()()1()()()()()jmmmij m n K m i Kij ij i j m m jt T l t t βββββααβββααααααα--==--∂=+∂+∑∑(10) 由（10）可以得到1211111121122[1ln()]()()ln()()()()()m jm ijijm m mn Kmi i Kij ij i j m m mt t T T l t t βββββαααββααααααα---==+∂=-∂+∑∑ (11)12111111121122()()()()m jmn KKm ijKij iji i j t Tt t βββββββαααα---====+∑∑∑(12)由累积故障函数可得1211112()[()(())]K K Ki ii i i i i T T W T n ββαα====+=∑∑∑ (13)以上式可导出：12111[()]Kii ii T T n βαα==-∑(14)将式（9）转换为三参数的函数，即121112111122{ln[()()()()]j n Kij ij Ki i j t tl n ββββαααα--=='=+-∑∑ (15) 最终，似然函数的参数估计转化成以下的求最大化问题：max K l ' 约束条件：一般情况，最大化问题都需要初始值。

根据经验，在没有合适的初始值选择下，可以假设2.3 非齐次泊松过程下的可靠性指标（１）首次故障间隔时间的可靠度函数【10-11】从t ＝0开始直到第一个故障发生的时间T １,T 1的可靠度函数为0()()1()Pr()tu duW t i R t T t ee ω--⎰=>== (16) 对于非齐次泊松过程模型的使用，如果能够估算出首次故障间隔时间的故障率函数，就能同时估计出产品整个寿命的强度函数。

（２）其他故障间隔时间的可靠度函数在t 0时刻后的可靠度函数00()000(|)Pr()t tt u duR t t t t t eω+-⎰=+>= (17)（３）平均故障间隔时间瞬时平均故障间隔时间———故障强度函数ω（t ）表示单位时间发生故障的次数，则ω(t)的倒数表示一次故障所经过的时间，定义瞬时故障平均间隔时间为1()IMTBF T t ω=(18) 累积平均故障时间间隔———表示一段时间内的平均故障间隔时间，即累积故障强度函数的倒数，21212112(,)()CMTBF t t t t t tT W t t u duω--==⎰(19)３实例分析以国内北京第一机床厂同一时期出厂的６台加工中心现场试验的故障数据为例，其发生故障的时间如表2所示。

首先，需要对这些数据进行趋势检验。

根据2.2节中多样本的趋势检验方法，在显著性水平α=0.05，得到这批加工中心的统计量值如表3所示。

编号故障时间/h1 2 3 4 5 650.99 423.72 753.06 760.65 795.63 1005.80 1209.40 2509.2 3350.16 3801.90 3915.62 4011.10 5109.03 5197.12 5353.92 5845.90 5942.81 6106.49 6323.63 6474.60 6526.03 6827.10 7059.69 7460.86 8240.27 8745.00 9142.65185.13 458.00 960.54 1005.87 3409.55 422.89 6061.44 6217.53 7479.45 7542.81 7775.96 7882.88 7994.25 8588.25 28.05 350.48 47.52 1560.23 1896.30 2541.10 3352.80 3915.12 4981.45 5112.97 5729.13 5812.46 5903.40 6109.13 6117.21 6275.28 6308.78 6348.21 6457.61 6620.46 6853.44 7005.85 7116.59 7249.74 7467.90 8088.96 8298.18 9509.28 131.09 785.61 287.51 870.56 2987.45 3500.75 4881.86 5136.51 5230.01 5376.53 5540.54 5746.57 6183.21 6505.13 6592.08 7125.03 7379.46 7703.03 7868.85 8275.74 8654.42 9032.10148.17 578.80 1014.14 1952.18 2893.01 3287.36 3747.55 4279.01 4714.12 4839.79 5558.09 5600.66 6694.61 6855.49 7120.48 7368.47 7496.84 7659.20 8451.26 8638.80551.98 359.4 956.72 1357.45 1549.56 2706.15 3417.46 4659.60 5150.64 5206.74 5483.61 5570.40 5651.25表２ 加工中心故障数据在V 检验中运行结果拒绝H 0可知故障数据具有非单调趋势，且由表１可知，故障发生过程呈浴盆曲线的趋势。