第六章 微分方程 第六节 微分方程的冥级数解法

线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。

微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。

考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。

如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。

因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。

下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。

)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。

此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。

考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。

)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。

因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。

此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。

在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。

微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。

本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。

欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。

以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。

2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。

改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。

其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。

二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。

以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。

幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。

因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。

一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。

幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。

二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。

2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。

微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。

3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。

4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。

级数法求解微分方程
级数法是一种求解微分方程的方法，它的基本思想是把未知函数表示成一系列幂函数的和，然后带入微分方程并求解系数。

具体步骤如下：
1. 假设未知函数为幂级数形式：
y(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0) + ...
2. 将幂级数带入微分方程，得到幂级数的递推关系式
y'(x) = a1 + 2a2(x - x0) + 3a3(x - x0) + ...
y''(x) = 2a2 + 6a3(x - x0) + 12a4(x - x0) + ...
将递推关系式带入微分方程，可得到每个系数的表达式。

3. 确定级数的收敛域
级数法的关键在于收敛性，因为级数的收敛域决定了幂级数是否能够表示出原函数。

一般情况下，收敛域可以通过比值判别法或根值判别法求得。

4. 求解系数
将微分方程带入递推关系式，得到每个系数的表达式，然后根据初始条件求解系数。

5. 检验解的正确性
最后，将求解得到的幂级数带入原微分方程中，检验解的正确性。

级数法适用于一类特殊的微分方程，如欧拉方程、超几何微分方
程等。

虽然该方法计算过程较为繁琐，但其具有求解一些非常规微分方程的优势，因此在某些应用领域中得到广泛应用。