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二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅++-+++将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，320k a +=其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：3634701[1][]2323562356(31)33434673(31)nx x x x x y a a x n nn n =+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅++-+将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,,,1n n a a a a a n -====-因而567891111,0,,0,,2!63!4!a a a a a ======最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到52132!!k x x y x x k +=+++++2422(1),2!!k x x x x x xe k =+++++=这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++= 及初值条件00()y x y =及''00()y x y =的情况。
不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。
定理10 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如nn n y a x∞==∑的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dyp x q x y dx dx ++=）在此1()p x x=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如0nn n y a x ∞==∑的特解。
但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。
定理11 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如0nn n y xa x α∞==∑ 即n n n y a x α∞+==∑的特解，α是一个特定的常数，级数0n n n y a x α∞+==∑也以||x R <为收敛区间。
若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，但0ma ≠，则引入记号m βα=+，k m k b a +=，则n m k k n m k k n mk k y x a x x a x x b x ααβ∞∞∞++======∑∑∑，这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。
例7 求解n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=。
解 将方程改写成2222210d y dy x n y dx x dx x-++=， 易见，它满足定理11的条件（()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <），且()()2221,xp x x q x x n ==-，按展成的幂级数收敛区间为x -∞<<∞，由定理11，方程有形如a k k k y a x ∞+==∑的解，这里00a ≠，而k a 和α是待定常数，将a kk k y a x ∞+==∑代入：22222()0d y dy x x x n y dx dx ++-=中，得 221()(1)a k kk xa k a k a x∞+-=++-∑11()a k k k x a k a x ∞+-=++∑220()0a k k k x n a x ∞+=+-=∑，把x 同幂次项归在一起，上式变为220[()(1)()]0a ka k k k k k k k k n a xa x ααα∞∞+++==++-++-+=∑∑令各项的系数等于0，得一系列的代数方程220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩因为00a ≠，故从22[]0a n α-=解得α的两个值 n α=和n α=-先考虑n α=时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数k a 。
把n α=代入以上方程组，得到10a =2(2)k k a a k n k -=-+，2,3k =或按下标为奇数或偶数，我们分别有()()()212122*********k k k k a a k n k a a k n k -+--⎧=⎪+++⎪⎨-⎪=⎪+⎩1,2,k=从而求得210k a -= 1,2,k=()022211a a n =-⋅+()()()244122!12a a n n =-⋅++()()()()366123!123a a n n n =-⋅+++一般地()()()()2212!12kk ka a k n n n k =-⋅+++1,2,k =将k a 各代入a kk k y a x ∞+==∑得到方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=的一个解()()()()02102112!12knk n kk a y a x x k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑既然是求22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的特解，我们不妨令 ()0121na n =Γ+其中函数()s Γ定义如下： 当s >0时，()10s x s x e dx +∞--Γ=⎰；当s <0且非整数时，由递推公式()1()1s s sΓ=Γ+定义。
()s Γ具有性质()()1s s s Γ+=Γ; ()1!n n Γ+=n 为正整数而()()()()02102112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑变为()()()()2101!112kk nk x y k n k n n +∞=-⎛⎫= ⎪++Γ+⎝⎭∑注意到Γ函数的性质，即有()()()2101!1`2kk nn k x y J x k n k +∞=-⎛⎫=≡ ⎪Γ++⎝⎭∑()n J x 是由贝塞尔方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=定义的特殊函数，称为n 阶贝赛尔函数。
因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()n J x 。
为了求得另一个与()nJ x 线性无关的特解，我们自然想到，求an=-时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的形如 20n kk k y a x∞-+==∑的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n α=时的求解过程一样，我们总可以求得210k a -= 1,2,k=()()()()221,2!12kkk a a k n n n k =-⋅-+-+-+1,2,k =使之满足220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩中的一系列方程，因而()()()()02202112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑是22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解。
此时，若令 ()0121na n -=Γ-+则()()()()02202112!12knk nk k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑变为()()()2201!12k nkn k x y J x k n k -∞-=-⎛⎫=≡ ⎪Γ-++⎝⎭∑称()nJ x -为阶贝赛尔函数。
