高阶方程的降阶法幂级数解法

第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。

4.掌握高阶方程的应用。

[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。

难点是待定系数法求特解。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。

定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。

通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。

（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。

（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。

第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。

4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法(Power series solution to second order linear ODE )[教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程.[教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.[教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标]1. 知道共振现象.2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.1. 高阶方程降阶法例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。

取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角ϕ的正方向，质点运动加速度为22dt d ml ϕ，所受的力为ϕsin mg -. 于是单摆方程为ϕϕsin 22l gdt d -=. 下面考察如下柯西问题：ϕϕsin 22lgdt d -=，0)0(',)0(0==ϕϕϕ.（2）令dt d v ϕ=，下面导出ϕd dv，由ϕϕd dt dt dv d dv ⋅=知，dt d d dv dt dv dt d ϕϕϕ⋅==22. 于是原方程化为ϕϕsin lgv d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。

解得C l gv +=ϕcos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==ϕϕϕ得到 )cos (cos 20ϕϕ-±=lgv ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到)cos (cos 20ϕϕϕ-±=lgdt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。

先考察摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动情形：)cos (cos 20ϕϕϕ--=lgdt d l g t dt l g d t 22cos cos 000-=-=-⎰⎰ϕϕϕϕϕ，特别地令⎰---=0000cos cos 2ϕϕϕϕϕd g l T ，则0T 表示摆从最大正角0ϕ到0ϕ-之间运动所需时间. 在考察摆从0ϕ-运动到最大正角0ϕ之间运动情形：)cos (cos 20ϕϕϕ-=lgdt d l g T t dt l g d t T 2)(2cos cos 00-==-⎰⎰-ϕϕϕϕϕ，容易得到， ⎰--==-00000cos cos 2ϕϕϕϕϕd g l T T t ，因此单摆完成一个周期所需时间为02T .注解：(1)⎰--ϕϕϕϕϕcos cos d 称为椭圆积分函数，其反函数)(t ϕ称为椭圆函数.(2) 当初始偏角0ϕ很小时，（近似公式推导如下）⎰⎰-=-=000220002sin 22sin 224cos cos 242ϕϕϕϕϕϕϕϕd g l d g l T ⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=02002sin 2sin 12sin2ϕϕϕϕϕd g l ，令)2/sin()2/sin(0ϕϕ=s ，则) )2/(arcsin(sin 20s ϕϕ=，于是当0ϕ很小时，ds s ds d 2)2/(sin 12202≈-=ϕϕ，得到g lsds g l T π21421020=-≈⎰. 作业58. 求解方程(1) 0)dt dx ()dt dx (dt x d x 3222=+-; (2) 0)dtdx (x 12dt x d 222=-+.2. 二阶线性方程的幂级数解法（1）幂级数收敛：+∞<<∞-=∑+∞=x ,e n!x x0n n ；+∞<<∞-=∑+∞=x x,cos (2n)!x (-1)0n 2n n .Geometric series:1x 1 ,x11x 0n n <<--=∑+∞=; Binomial series:a 320n n n a x)(1x 3!2)1)(a a(a x 2!1)a(a ax 1x C +=+--+-++=∑+∞= . （2）幂级数一些性质：(a) 幂级数相等(Identity Principle)：I x ,x b x an n n 0n nn∈=∑∑+∞=+∞=当且仅当 0,1,2,n ,b a n n ==.(b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence)：给定幂级数∑+∞=0n nn xc ，如果),0(lim1+∞∈=+∞→ρnn n c c ，则幂级数收敛区间为)1,1(ρρ-，端点处敛散性单独考虑.(c) 幂级数求导法则：如果∑+∞==n nn xc f(x)在开区间I 上收敛，则f(x )在I 上可导且导数为I x ,x nc (x)' f 1n 1n n ∈=∑+∞=-.(d) 幂级数指标调换（Shift of Index of summation ）：例如∑∑+∞=++∞=-+=0n n 1n 1n 1n nx 1)c (n xnc .例69. 用幂级数方法求解方程02y dxdy3)(x =+-. 解：令,x c 1)(n 'y ,xc y 0n n 1n 0n nn ∑∑∞=+∞=+==代入方程比较系数得到0x c 2x 1)c (n 3x1)c(n 0n n n 0n n1n 0n 1n 1n =++-+∑∑∑∞=∞=+∞=++，调整指标得到0x c 2x 1)c (n 3xnc 0n n n 0n n1n 1n nn=++-∑∑∑∞=∞=+∞=，于是，0)x 2c 1)c 3(n -(nc 2c 3c 1n n n 1n n 01=++++-∑∞=+，解得,c 1)3(n 2n c ,c 32c n 1n 01++==+ 得到， 1,2,n ,c 31n c 0n n =+=由31c c lim n 1n n =+∞→知， 原方程的幂级数解()∑∞=+=0n nnx 31n c x y ，收敛区间为3) 3,(I -=. 作业59. 运用幂级数方法求解方程0x dtxd 22=+.。

常微分方程教学大纲（The teaching outline of ordinary differential equations）（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）课程编号：21210590总学时数：51学分数：3 开课单位：数学科学学院课程的性质与任务常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。

大纲内容与基本要求第一章绪论第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1、常微分方程的基本概念，2、雅可比矩阵与函数相关性，3、常微分方程的发展历史。

教学要求：1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。

2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。

3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。

第二章一阶微分方程的初等解法第一节变量分离方程和变量变换1、变量分离方程，2、可化为变量分离方程的类型，3、应用举例。

第二节线性微分方程与常数变易法第三节恰当微分方程与积分因子1、恰当微分方程，2、积分因子。

第四节一阶隐式微分方程与参数表示1、可以解出y（或x）的方程，2、不显含y（或x）的方程。

教学要求：1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。

2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。

第三章一阶微分方程的基本理论第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、初值问题的解的存在唯一性定理，2、近似计算与误差估计。

第二节解的延拓第三节解对初值的连续性和可微性定理第四节奇解1、包络和奇解，2、克莱罗微分方程。

常微分方程课程教学大纲一、课程说明1、课程性质本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。

常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。

微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。

通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。

通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。

并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。

2、教学目的要求目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。

本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。

了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。

3、先行或后继课程先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。

后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。

微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。

4、教学时数分配表5、使用教材王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。

第三节高阶方程的降阶和幂级数解法一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，即利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。

因为一般地，低阶方程的求解会比求解高阶方程方便些。

特别地，对于二阶（变系数）齐线性方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解；对于非齐线性方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。

因此，问题的关键就在于寻找齐线性方程的一个非零特解。

这一节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法。

4.3.1 可降阶的一些方程类型阶微分方程一般地可写为。

下面讨论三类特殊方程的降阶问题。

1）方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程呈形状：(4.3.1.1)若令，则方程即降为关于的阶方程(4.3.1.2)如果能够求得方程(4.3.1.2)的通解即。

再经过次积分得到其中为任意常数。

可以验证，这就是方程(4.3.1.1)的通解。

特别地，若二阶方程不显含（相当于的情形），则用变换，即可化为一阶方程。

例1求方程的解。

解令，则方程化为，这是一阶方程，积分后得。

于是其中为任意常数，这就是原方程的通解。

2）不显含自变量的方程 (4.3.1.3)我们指出，若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程就可降低一阶。

事实上，在所作的假定下，，，采用数学归纳法不难证明，可用表出。

将这些表达式代入(4.3.1.3)就得到，这是关于的阶方程，比原方程(4.3.1.3)低一阶。

例2求解方程。

解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。

例3 求方程的通解，已知特解。

解作变换，则代入原方程得。

令，则。

容易解得，其中为任意常数。

故，从而原方程的通解为，这里为任意常数。

3）齐线性方程 (4.3.1.4)我们知道,方程(4.3.1.4)的求解问题归结为寻求方程的个线性无关的特解。