高等数学(同济版)复习资料

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、集合

(一).集合的相关概念

1.集合：集合是数学中一个不加定义的原始概念，一般是这样描述的：

描述性定义：具有某种特定性质的事物的总体称为集合,用大写字母A，B，C，┄ 表示；组

成集合的事物称为元素，用小写字母a，b，c，┄ 表示.

2.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作  .

3.几何与元素的关系：元素a属于集合A , 记作Aa；

元素a不属于集合A , 记作Aa或Aa.

4.集合的分类：

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：不是有限集的集合.

5.集合的表示法：

(1).列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.

例:有限集合niinaaaaA121}{},,,{.

(2).描述法：xxM{所具有的特征}.

例：}01{2xxM表示方程012x的解集.

6.几种常用的数集：

自然数集：}{},,,2,1,0{nnN；

正整数集：},,,2,1{nN；

整数集：}/{ N xNxxZ；

有理数集：,Nq,pqpQZ p 与 q 互质； 实数集合：xR{x 为有理数或无理数}.

(二).集合之间的关系及运算

1.集合之间的关系

包含关系： 设有集合A和B，若Ax必有Bx，则称 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,

记作BA 或A•B.

相等关系：若BA且AB，则称 A 与 B 相等，记作BA.

例如, ZN，QZ，RQ.

下列关系成立 :

(1). AA；AA；A.

(2). BA且CBCA.

2.集合之间的运算：对集合A 与 B，有下列几种基本运算

并集：AxBA{或Bx}；

交集：AxBA{且Bx}；

差集：AxBA{\且Bx}；

余集(补集)：IxAIAc{\且Ax}，其中I称为全集，IA；

直积：ByAxyxBA,),( (笛卡尔直积).

特例：2RRR为平面上的全体点集.

(三).区间和邻域

1.有限区间

 bxa xba),(;  bxa xba],(；

 bxa xba),[;  bxa xba],[.

2.无限区间：

 axxa),[；  bxxb],(； Rxx),(. 3. 邻域

点a的 邻域: axx axa xaU),(；

点a的去心 邻域: axxaU0),(；

点a的左 邻域: ),(aa；

点a的右 邻域: ),(aa.

其中, a 称为邻域中心,  称为邻域半径.

4. 区间的直积：],[],,[),(],[],[dcybaxyxdcba.

二、实数集及其完备性

1. 实数集的性质：

(1). 封闭性：任意两个实数进行加、减、乘、除 (分母不为零) 运算后，其结果仍然是实数.

(2). 有序性：任意两个实数a和b，必满足且仅满足下列三种关系之一：a < b，a > b，a = b.

且若a < b，b < c，则a < c.

(3). 稠密性：任意两个不相等的实数之间仍有实数.

(4). 完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都对应数轴上唯一

的一个点；反之, 数轴上任意一点也对应唯一的一个实数.

2. 实数集的确界存在定理

(1). 定义1. 设RA，且A，若RL，使得Ax，都有Lx(或Lx)，则称数

集A有上界（或下界），并称L是A的一个上界（或下界）.

若数集A既有上界又有下界，则称A有界，否则称A无界.

(2). 定义2. 设RA，且A，若R（或R）满足下列条件：

①. Ax，有x (或)x;

②. 0，Ax0, 使 0x(或0x)，

则称为数集A的上确界(或为数集A的下确界)，记为Asup(或Ainf) 注：1°.上确界是集合的上界中最小的，下确界是集合的下界中最大的.

2°.数集的确界和它的最值是区别的，最值属于集合，而确界不一定属于集合.

(3). 确界存在定理: 有上界(或下界)的非空实数集必有上确界(或下确界).

三、映射

1. 映射：设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应法则f , 使得Xx，有唯一确定的Yy与之对应，则称f 为从 X 到 Y 的映射， .:YXf

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作).(xfy

元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像.

集合 X 称为映射 f 的定义域，记作fD，即XDf;

集合 X 中的元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作fR或)(Xf，即

YXxxfXfRf}|)({)(.

注：1°.映射的三要素：定义域, 对应法则, 值域.

2°.元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.

2. 映射的分类：

满射：若YXf)(，则称 f 为满射.

单射：若2121,,xxXxx，有)()(21xfxf，则称 f 为单射.

双射：若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射或一一映射.

注：映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的惯用名称， 例如:

映射f ：X (≠  ) Y (数集)称为X 上的泛函;

映射f ：X (≠  ) X (数集)称为X 上的变换;

映射f ：X (数集或其子集) R称为X 上的函数.

3. 逆映射：对单射f ：X Y ，称映射g ：Rf  X为f的逆映射，记作f，其定义域ffRD，

值域为XRf. 4 / 37 4.复合映射：称映射g ：X  Y1，f ：Y2  Z (21YY)确定的从X到Z的映射为映射g 和

f构成的复合映射，记作ZXgf:，即)]([)(xgfxgf.

注：g的值域gR必须包含在f的定义域fD，即fgDR.

四、函数

1. 函数的概念: 设数集RD，称映射RDf:为定义在D 上的函数，记为

.),(Dxxfy

因 映 自 定 值域：DxxfyyDfRf),()(

变 变 义 函数图形: DxxfyyxC),(),(.

量 射 量 域

对应规律的表示方法: 解析法（公式法）、图象法、列表法.

注：记号f和法则f (x)的含义不同，f表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而f (x)表示与自变量x对应的函数值，在不至于混淆的情况下，习惯上仍用f (x)表示函数.

2. 函数的几种数学表达式:

(1). 显函数：)(xfy. 如： ]1,1[,12xxy.

(2). 隐函数：0),(yxf. 如： 0,122yyx.

(3). 参数方程表示的函数：Ittytx),(),(.如],0[,sin,costtytx.

(4). 分段函数：在定义域的不同子集上用不同的表达式.

例1. 符号函数0,10,00,1sgnxxxxy，定义域:),(D，

值域:}1,0,1{fR，对任何x，有||sgnxxx.

例2. 绝对值函数0,0,||xxxxxy. 5 / 37 例3. 取整函数nxy][，当1nxn，Zn.

例如：075，1]2[，3][，4]5.3[.

例4. 狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(.

3.函数的几种特性: 设函数Dxxfy,)(，且有区间DI.

(1).有界性：Ix，若0L，使得 Lxf)((或Lxf)()，则称)(xf在I上有上界(或

下界)，并称L为)(xf在I上的一个上界(或下界).

Ix，若0M，使得Mxf|)(|成立，则称)(xf在I上有界.

(2).单调性：Ixx21,，当21xx，总有)()(21xfxf))()((21xfxf，则称)(xf在I上

是单调增加 (单调减少) 的.

单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.

(3).奇偶性：设函数)(xf的定义域D关于原点对称， Dx，若)()(xfxf恒成立，

则称)(xf为偶函数，若)()(xfxf恒成立，则称)(xf为奇函数.

注：奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y轴对称.

(4).周期性：Dx，若0l，使得Dlx，都有)()(xflxf，则称)(xf为周期函

数，称 l 为周期(一般指最小正周期).

注: 周期函数不一定存在最小正周期.

例如：常量函数Cxf)(； 狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(.

4.反函数与复合函数：相对于逆映射和复合映射的概念，有反函数和复合函数的概念.

(1).反函数的概念及性质

定义：若函数)(:DfDf为单射, 则存在一新映射DDff)(:1使)(Dfy，有

xyf)(1，其中yxf)(，称此映射1f为f 的反函数.习惯上, 函数Dxxfy,)(的反 6 / 37 函数记成)(,)(1Dfxxfy.

性质:

①. y＝f (x) 单调递增(或递减)，其反函数)(1xfy存在,且也单调递增(或递减).

②.函数y＝f (x)与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称.

(2). 复合函数 ：设有函数链,),(fDuufy与,),(Dxxgu且fgDR，则称函数

)()]([Dxxgfy为由)(xgu与)(ufy确定的复合函数，记作))((][xgf)x(gf,

其中u称为中间变量，有时也称)(xgu为内函数，)(ufy为外函数.

注：构成复合函数的条件fgDR不可少.

5. 初等函数

(1). 基本初等函数: 反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.

(2). 初等函数: 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成, 并可用一

个式子表示的函数, 称为初等函数. 否则称为非初等函数.

注：符号函数、取整函数以及狄利克雷函数都是非初等函数.

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

1. 数列：称自变量取正整数的函数为数列,记作)(nfxn或}{nx，nx称为通项(一般项).

2. 数列极限

(1).引例(刘徽割圆术)： 对给定的圆，用其内接内接正126n边形

的面积nA逼近其面积.

容易得到内接内接正126n边形的面积序列：,,,,21nAAA，当n无限增大时, nA无限接近S . S称为数列}{nA的极限.

对于数列，我们关心的主要问题是：当n无限增大时，nx的变化趋势如何？例如：