高等数学(同济版)第五章复习资料

1 第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(xfxfy、

x轴以及两条直线ax、bx所围成, 求其面积A.

①．大化小(分割)：在区间],[ba内任意插入1n个分点

bxxxxxann1210，

用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用iA表示第i个曲边梯形的面积;

②．常代变(近似代替)：在第i个窄曲边梯形的底上任取],[1iiixx，有iiixfA)(.

③．近似和(求和)：niiAA1niiixf1)(.

④．取极限：令}{max1inix，则niiAA10limniiixf10)(lim.

2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(tvv在时间间隔],[21TT上连续，且0)(tv，求在运动时间内物体所经过的路程s.

①．大化小(分割)：在区间],[21TT内任意插入1n个分点btttttann1210，

将它分成n个小段),,2,1(],[1nittii，用is表示物体第i个小段上经过的路程;

②．常代变(近似代替)：在第i个小段上经过的路程任取],[1iiitt，有iiitvs)(.

③．近似和(求和)： iniitvs1)(.

④．取极限：令}{max1init，则iniitvs10)(lim.

这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念.

二、定积分的相关概念 2 1．定积分 :设函数)(xf在区间],[ba上有界，若在区间],[ba内任意插入1n个分点bxxxxan210，任取],[1iiixx，记1iiixxx，只要0}{max1inix，和式极限iniixf10)(lim总存在，则称此极限为)(xf在],[ba上的定积分,记作baxdxf)(，即

baxdxf)(iniixf10)(lim，

此时也称)(xf在区间],[ba上黎曼可积.

注：

1°.引例中，曲边梯形的面积Abaxdxf)(；路程21)(TTtdtvs.

2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即

baxdxf)(batdtf)(bauduf)(.

3°.在定积分定义中，要求积分上限b大于积分下限a，为了方便起见，规定：

当ba时，baxdxf)(abxdxf)(；当ba时，baxdxf)(0.

4°.定积分定义中0意味着区间的分割越来越细.0时必有小区间的个数n，但n并不能保证0(不等分的时候，当等分的时候n0.)

5°.若已知)(xf在],[ba上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n等分)和特殊的取点i(例如取iix或1iix)来计算定积分.

2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”.

3. 函数可积的条件

(1). 必要条件：

定理1.若)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上有界.

反之未必，例如：狄利克雷函数QxQxxf,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积分和的极限不总存在.

(2). 充分条件：

定理2. 若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积.

反之未必，例如21,110,0)(xxxf在]2,0[上可积，但)(xf在]2,0[上有一个间断点1x.

定理3. 若)(xf在],[ba上有界，并且只有有限个间断点，则)(xf在],[ba上可积. 3 定理4. 若)(xf在],[ba上单调且有界，则)(xf在],[ba上可积.

例1. 利用定义计算定积分xdx102.

解：将区间]1,0[进行n等分, 分点为nixi ),,1,0(ni，取nii，nxi1，),,2,1(ni.则iiiixxf2)(32ni，于是

iinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnnnn121161，

所以 iniixxdx120102limnnn121161lim31.

例2. 用定积分表示下列极限:

1.ninnin111limnninin11lim1xdx101.

2. 121limppppnnnnninipn1lim1xdxp10.

三、定积分的性质(设所列定积分都存在)

1.线性

性质1. xdxfkxdxfkbaba)()( ( k为常数).

性质2. bababaxdxgxdxfxdxgxf)()()]()([.

2.积分区间的可加性

性质3. 设bca，则有bccabaxdxfxdxfxdxf)()()(.

3.保序性

性质4. 若在],[ba，0)(xf，则0)(xdxfba.

性质5. 若在],[ba，)()(xgxf，则xdxgxdxfbaba)()(.

4.绝对不等式性

性质6. xdxfba)(xdxfba)(.

5.介值性

性质7.设M和m是)(xf在],[ba上的最大值和最小值，则)()()(abMxdxfabmba. 4 性质8. abxdba1.

6.中值性

性质9.(积分中值定理) 若)(xf在],[ba上连续，则至少存在一点],[ba，使得

))(()(abfxdxfba.

证明：设)(xf在],[ba上的最大值和最小值为M和m，则由介值性得

Mxdxfabmba)(1，

再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[ba，使xdxfabfba)(1)(.

注：

1°.积分中值定理对b•a或ba的情形都成立.

2°.称xdxfabfba)(1)(为)(xf在],[ba上的平均值. 因为

abxdxfba)(nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn，

故它是有限个数的平均值概念的推广.

3°.积分中值定理的几何意义: 以)(xfy为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(f为的矩形的面积.

第二节 微积分基本公式

一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系

在变速直线运动中, 已知位臵函数)(ts与速度函数)(tv之间满足：)()(tvts，即)(ts是)(tv的原函数.

又物体在时间间隔],[21TT内经过的路程为)()()(1221TsTstdtvsTT，即速度函数)(tv在区间],[21TT上的定积分tdtvTT21)(等于)(tv的原函数在],[21TT上的增量.

这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.

二、积分上限函数及其导数

1.积分上限函数：若函数)(xf区间],[ba上可积，则称函数]),[()()(baxtdtfxxa为积分上限函数，或变上限积分. 5 注：积分上限函数tdtfxxa)()(在],[ba上连续.

推导：],[0bax，有tdtftdtfxxxxa00)()()(，当0xx时，0)(0tdtfxx，于是)()()(lim000xtdtfxxaxx，即tdtfxxa)()(在],[ba上连续.

2.积分上限函数的导数：

定理1.若函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上限函数tdtfxxa)()(在],[ba上可导，并且 )()()('xftdtfxddxddxxa )(bxa.

证明: ),(,baxxx，则有

xxxx)()(xaxxatdtftdtfx)()(1xxxtdtfx)(1

)(f)(xxx(积分中值定理)，

又)(xf在],[ba上连续，故有xxxxxx)()(lim)('0)(lim0fx)(xf.

若ax，取0x，可证)('a)(af；若bx，取0x，可证)('b)(bf.

注：其它变限积分求导:

1°. bxtdtfxdd)( xbtdtfxdd)( )(xf；

2°.)()(xatdtfxdd )()]([xxf；

3°.)()()(xxtdtfxdd )()()()(xaaxtdtftdtfxdd )()]([)()]([xxfxxf.

3.原函数存在定理：

定理2.若函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上限函数tdtfxxa)()()],[(bax就是)(xf在],[ba上的一个原函数.

注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.

例1. xxe•xtde•xtde•xxxtxxtx2)(coslim)'(limlim222cos02'1cos00021cos0x•ex•xx2sinlim2cos0 6 e•e•xx••xxx21limsinlim212cos00.

例2.设)(xf在),0[内连续且0)(xf，证明tdtftdtftxFxx00)()()(在),0[内单调增加.

证明：由于

)(xF2000)()()()()(tdtftdtftxftdtfxfxxxx2000)()()()()(tdtftdtftxftdtxfxfxxx

200)()()()(tdtftdtftxxfxx20)()())((tdtfxfxxfx )0(x(积分中值定理)

0，

所以)(xF在),0[内单调增加.

4.函数存在原函数与函数可积的关系：

(1).函数存在原函数，但不一定可积.

例如：对函数0,00,1sin)(22xxxxxf，由于0,0001sinlim0,1cos21sin2)('22022xxxxx•xxxxxfx，令)(')(xfxg，即函数)(xg在区间],[aa上具有原函数，但由于)(xg在],[aa无界，所以)(xg在],[aa不可积，

事实上，取021nx )(n，有

)2cos(22)2sin(2221nnnnngn220 )(n，