高等数学第六版(同济版)第九章复习资料

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高等数学第六版(同济版)第九章复习资料

1 第九章多元函数微分法及其应用

引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.

由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n元函数上去.

第一节多元函数的基本概念

一、平面点集的相关概念

1. 平面点集：),|}(),{(yxyxE具有性质}P

},|}),{(2RyRxyxRRRE

例如：}|||{}|}),{(222rOPPryxyxC，其中点P表示点),(yx.

2. 邻域：2000),(RyxP.

(1). 邻域：})()()(),{(}||{),(20202000zzyyxxyxPPPPU

(2). 去心邻域：)(}||0{),(000PUPPPPUoo

3. 坐标面上的点P与平面点集E的关系：22,RERP

(1). 内点：若0，使EPU),(，则称P为E的内点.

(2). 外点：若0，使EPU),(，则称P为E的外点.

(3). 边界点：若0，EPU),(，且EPU),(，则称P为E的边界点.

边界：E的边界点的全体称为它的边界，记作E.

(4). 聚点：若0，EPUo),(，则称P为E的聚点.

导集：E的聚点的全体称为它的导集.

注：1°. 若P为E的聚点，则P可以属于E，也可以不属于E.

2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.

例如：}21),{(221yxyxE；)}0,0{(}21),{(222yxyxE.

4. 一些常用的平面点集：

(1). 开集：若点集E的点都是其内点，则称E为开集.

(2). 闭集：若点集E的边界EE，则称E为闭集. (开集加边界)

2 (3). 连通集：若E中任何两点都可用属于E的折线连接，则称E为连通集.

(4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.

(5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.

例如：}21),{(221yxyxE为区域. }21),{(222yxyxE为闭区域.

(6). 有界集：若0r，使),(rOUE，则称E为有界集.

(7). 无界集：若0r，使),(rOUE，则称E为无界集.

二、n维空间：对取定的自然数n，称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，记为nR.

注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间.

三、多元函数的概念

1. 定义：.yxfz),(，或)(Pfz，其中DyxP),(.

因映自

变变

量射量

定义域：D.

值域：RDyxyxfzzDf}),(),,({)(.

注：可推广：n元函数：),,,(21nxxxfu，nnRDxxx),,,(21.

例: 1. )arcsin(22yxz，}1),{(22yxyxD.

2. )ln(yxz，}0),{(yxyxD.

2. 几何表示：函数),(yxfz对应空间直角坐标系中的一张曲面:0),(),,(yxfzzyxF.

四、二元函数的极限

1.定义：设函数),(yxf的定义域为D，点),(000yxP为D的聚点，若RA，0，0，),(),(0PUDyxPo，满足|),(|Ayxf，则称A为),(yxf当),(),(000yxPyxP时的极限，记作Ayxfyxyx),(lim),(),(00，称之为),(yxf的二重极限.

例1. 设22221sin)(),(yxyxyxf，求证0),(lim)0,0(),(yxfyx.

证明：0，要使不等式

第二节偏导数

引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.

一、偏导数的相关概念

1. 偏导数：设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内有定义，把y暂时固定在0y，而x在0x处有增量x时，z相应地有增量),(),(0000y x fy xx f.若极限xy x fy xx fx),(),(lim00000存在，则称此极限值为函数),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏导数，记为00yyxxxz；00yyxxxf；00yyxxxz或),(00yxfx.

注: 1°. 0),(),(),(lim),(00000000xxxxyxfxddxyxfyxxfyxf.

2°. 0),(),(),(lim),(00000000yyyyyxfyddyyxfyyxfyxf.

2. 偏导函数：若函数),(yxfz在区域D内每一点),(yx处对x或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数，记为xzxfxz,,或),(yxfx；yzyfyz,,或),(yxfy.

2 注：可推广：三元函数),,(zyxfu在点),,(zyx处对x的偏导数定义为

x zyxfzyxxfzyxfxx),,(),,(lim),,(0.

例1. 求223yxyxz在)2,1(处的偏导数.

解：先求偏导函数：yxxz32，yxyz23.

再求偏导数：821yxxz，721yxyz.

例2. 求yxz2sin2的偏导数.

解：yxxz2sin2，yxyz2cos22.

例3. 求222zyxr的偏导数.

解：rxzyxxxr22222.由轮换对称性可知ryyr，rzzr.

3. 偏导数的几何意义

(1). 偏导数),(00yxfx是曲线0),(yyyxfz在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线关于x轴的斜率.

(2). 偏导数),(00yxfy是曲线0),(xxyxfz在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线关于y轴的斜率.

4. 函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.

(1). 函数),(yxfz在点),(000yxP处偏导数存在，但它在点),(000yxP却未必连续.

例如：函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxfz在点)0,0(的两个偏导数都存在，即

00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00xxxxfxff，

00lim)0,0()0,0(lim)0,0(00yyyyfyff.

但二重极限),(lim)0,0(),(yxfyx不存在，故),(yxfz在点)0,0(不连续.

(2). 函数),(yxfz在点),(000yxP连续，但它在点),(000yxP处却未必存在偏导数.

3 例如：函数22),(yxyxfz在点)0,0(连续，但它在点)0,0(对x及y的偏导数都不存在，这是因为：0,10,1||lim)0,0()0,0(lim00xxxxxfxfxx，

0,10,1||lim)0,0()0,0(lim00yyyyyfyfxy，

即),(yxfz在点)0,0(对x及y的偏导数都不存在.

二、高阶导数

1.二阶偏导数：若函数),(yxfz对x及y的偏导数),(yxfx及),(yxfy对x及y的偏导数也存在，则称它们是函数),(yxfz的二阶偏导数.

记作：),(22yxfxzxzxxx； ),(22yxfyzyzyyy ；(二阶纯偏导数)

),(2yxfyxzxzyxy；),(2yxfxyzyzxyx. (二阶混合偏导数)

(二阶纯偏导数)

注：1°. 一般地，二元函数),(yxfz的1n阶偏导数的偏导数称为它的n阶偏导数.

2°. 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.

3°. 二元函数),(yxfz的n阶偏导数至多有n2个.

例4. 设13323xyxyyxz，求它的二阶偏导数.

解：yyyxxz32233；xxyyxyz2392；

2226xyxz；xyxyz182322；

196222yyxyxz；196222yyxxyz.

总结：从这一例题，我们看到：xyzyxz22，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：

4 0,00,),(22222222yxyxyxyxxyyxfz，在点)0,0(，

有)0,0()0,0(yxxyff，事实上，yfyffxxyxy)0,0()0,0(lim)0,0(0；

xfxffyyxyx)0,0()0,0(lim)0,0(0.

而0)0,0()0,0(lim)0,0(0xfxffxx，0)0,0()0,0(lim)0,0(0yfyffyy，

yxyxyxyxxyfyxfyfxxx222200)()(lim),0(),0(lim),0(，

xyyxyxxyyxfyxfxfyyy222200)()(lim)0,()0,(lim)0,(.

于是，1lim)0,0()0,0(lim)0,0(00yyyfyffyxxyxy，

1lim)0,0()0,0(lim)0,0(00xxxfxffxyyxyx，

即)0,0()0,0(yxxyff.

那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：

2. 二阶混合偏导数的性质

定理：若函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数),(yxfxy与),(yxfyx在区域D内连续，则它们在D内必相等，即),(),(yxfyxfyxxy.

高等数学2(同济版)第三章复习资料

第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理

一、罗尔定理 1.费马引理: 设函数在点的某个邻域内有定义，并且在，有 (或)，则. 证明：不妨设，有. 若，从而；，从而若又在处可导，有，从而. 注： 1°.费马引理的几何意义:若曲线上某一点的纵坐标不比它左右邻近点的纵坐标小 (或大)，而曲线在这点又有非铅直的切线，则这条切线必定是水平的.

2°.称使函数导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点). 2.罗尔定理:若函数满足下列条件 (1).在闭区间上连续;(2).在开区间内可导;(3). ，则至少存在一点，使证明：根据费马引理，只需证明在内取得最大值和最小值即可由闭区间上连续函数的最值性知：函数在上一定取得最大值和最小值，这样只有两种情况： (1).若，则为常数，于是，有. 故，有. (2).若，则和中至少有一个不等于，不妨令，从而，因此只能在内取得最大值，即，使，即，从而由费马引理知注：

1°.罗尔定理的几何意义:若闭区间上的连续曲线上每一点都存在非垂直的切线，且在的两个端点处的函数值相等，则该曲线上至少有一点处的切线是水平的，即平行于轴 2°.罗尔定理的三个条件只要有一个不满足，都不能保证结论成立，例如： ①．函数在闭区间上不连续； ②．函数在闭区间内不可导； ③．函数有；它们在各自给定的开区间上不存在水平的切线 3°.罗尔定理的推广形式: 若函数在开区间内可导，且，

则至少存在一点，使证明提示：设，则在上满足罗尔定理的条件例1. 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. 证明： (1).存在性：设，则在连续，且，，由介值定理知存在，使，即方程有小于1的正根， (2).唯一性：假设另有且,使，所以在以和为端点的区间上满足罗尔定理的条件，于是在和之间至少存在一点，使得. 时，，矛盾,所以假设不真例2.设是可导函数，证明在的任意两个零点之间必有的零点.

总习题六高等数学同济大学第六版本

总习题六

1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为11)(xx

(kg/m) 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半?

解 x应满足300112111dttdttx

因为212]12[1100xtdttxx 1]12[2111213030tdtt

所以 1212x

45x(m)

2 求由曲线asin a(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积

解

432222)sin(cos21)2(21daaS

24322241)2sin1(28adaa

3 设抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 且当x[0 1]时 y0

试确定a、b、c的值 使得抛物线cbxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为94 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小

解因为抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 所以c0 从而

bxaxy2

抛物线bxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为

23)(102badxbxaxS

令9423ba

得968ab

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

)235()(221022abbadxbxaxV

)]968(2)968(315[22aaaa

令0)]128(18181863125[aaaddV

得35a 于是b2

4 求由曲线23xy与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

高等数学复习题(同济六版)下册

1 / 4

一、选择题(本大题共20分,每小题2分)

1.设a与b为非零向量，则0ab是( )

(A) ab的充要条件 (B) ab的充要条件

2.准线为xoy平面上以原点为圆心，半径为2的圆周，母线平行于z轴的圆柱面方程是( )

(A) 220yx (B) 224yx

3.向量=(,,)xyzAAA，=(,,)xyzBBB垂直的充分必要条件是( )

(A) 0 (B) 0 (C) yxzxyzAAABBB (D) 0

4.设ecosxzy，则2zxy（）

(A) esinxy (B) eesinxxy (C) ecosxy (D) esinxy

5.函数zxy在点(0,0) ( )

(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值

6.(,)fxy在点(,)xy处的偏导数(,)xfxy和(,)yfxy连续是(,)fxy可微分的（）

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件

7.设积分区域D是由11,22xy所围成，则Dxydxdy（）

高等数学第六版第同济版六章教案

授课教案

课程名称：高等数学

教案

授课学时 2学时课型新授课

教学内容（章节）第六章定积分的应用第1节定积分的元素法

教学目标掌握元素法的过程

教学重、难点掌握元素法的过程

教学方法及手段讲练结合法/板书教学

教学准备教材，辅助教材

教学过程：

、问题的提出

回顾：曲边梯形求面积的问题

曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。

badxxfA)(

面积表示为定积分的步骤如下

（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.

（2）计算iA的近似值iiixfA)(，iix

（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA

（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(

A],[xxxAAdxxfA)(dxxfA)(备注：

a b x y

o )(xfyxdxxa b x y

o )(xfy

提示：若用A 表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(

dxxfA)(lim .)(badxxf

当所求量U符合下列条件：

（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；

（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；

就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤：

1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；

2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；

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