最优控制ppt课件

称 J (X ) 在 XX*处有极值(极大值或极小值)。
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定理(变分预备定理)：设 ( t )
是时间区间
[t0, t1]上连续的n维向量( t函) 数，
的连续n维向量函数(t，0)且(t1)0
有
t1
T
(t)(t)dt
，若
0
t0
是任意
则必有
(t)0,t[t0,t1]
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4.1.2 欧拉方程
LX,XrX,X
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
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当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函
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在动态系统最优控制问题中，性能指标是 一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛 函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但 读者可对照微分学中的结果来理解。
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4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
(1) (L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt 精品课件
举例：
可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
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6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
定理 设有如下泛函极值问题：
minJ tf g(x(t),x(t),t)dt
x(t)
t0
s.t. f (x(t),x(t),t) 0
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图4-1来表示。
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图4-1 自变量函数的变分
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5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
假定t0与tf 给定，且初态与末态两端固定。 (1) 无约束泛函极值的必要条件 定理 设有如下泛函极值问题：
m inJ tf Fx(t),x(t),tdt
x(t)
t0
已知x(t0)=x0 x(tf)=xf 如下欧拉方程
,则极值曲线
x * (t )
（1） 应满足
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Fx ddt(Fx)0
及横截条件
J tf dt
J
tf
t0
uT(t)u(t)dt
t0
3. 最少燃料控制；
J
tf t0
m
uj (t)dt
j1
II. 末值型性能指标 J [x(tf ),tf ] III. 复合型性能指标
精品课件J[x(tf),tf]tt0f Fx(t),x(t),td t
4.1 用变分法解最优控制 ➢ 4.1.1 泛函与变分 ➢ 4.1.2 欧拉方程 ➢ 4.1.3 横截条件 ➢ 4.1.4 变分法解最优控制问题
最优控制问题
最优控制问题的一般提法：在满足系统方 程的约束条件下，在容许控制域中确定一 个最优控制律，使得系统状态从已知初态 转移到要求的目标集，并使性能指标达到 极值。
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最优控制的应用类型
I. 积分型性能指标Jtt0f Fx(t),x(t),tdt
1. 最小时间控制； 2. 最少能量控制；
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函，记为
JJX(t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。(函数的函数)
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2、泛函的连续性：
若对于收敛于点x0点列xn，其中x0，xn R n
，均有
lni m J(xn)J(x0)
则称泛函J在x0处连续。对于线性泛函J[x],若
xnx 0(n ) xn,x R n
则
lni mJ(xn)J(x)
则线性泛函J ( x ) 是连续的，称J[x]为线性连续泛函。
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3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JXJX
J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
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4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
t
tt0 f F xx F xxo (x)2,(x)2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2是] 高阶项。
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根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
udvuvtt0f
tf vdu t0
第4章 最优控制原理与应用
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最优控制的基本概念
最优控制研究的主要问题：根据已建立的被控 对象的数学模型，选择一个容许的控制率，使 得被控对象按照预定的要求运行，并使给定的 某一性能指标达到极小值(或极大值)。
从数学观点来看，最优控制研究的问题是：求 解一类带有约束条件的泛函极值问题。
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F
( x)t tf
x(tf) ( F x)t t0
x(t0)0
（2） （3）
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证明：x (t ) 与 x (t ) 之间有如下关系
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
，
若在xJ =[x x0 0,处x J][ x] 可 微J[x ，0则 J[x x]]的 0 变,0 分 为 1
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证明:
于 因为
是
的线性连续泛函
是
的高阶无穷小
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J[x0
x]
0
limJ[x0 0
x]J[x0]
=li m01{L[x0,x]r[x0,x]}
泛函变分的规则 =J[x0,x]
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
精品课件（4）Fra bibliotekJ取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是任 意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为零， 必有
Fx ddt(Fx)0
（5）
（4）式中第二项即为结论中的式(3).
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举例： 利用上面的结论求得
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(2) 有等式约束泛函极值的必要条件