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且使性能指标
J 1 1u 2 (t)dt 20
为最小。求最优控制 u*(t) 和最优轨迹 x* (t)
三、末端时刻自由时的最优解
当末端时刻 t f 自由时，末端状态 x(t f ) 又可分为受约束、自由或固定。
J a
[x(t f ),t f ] T (t)[x(t f )]
x(t f
)
T x(t f
)
(t
f
)
[x(t f )] 0
最优解的必要条件是:
(3) 极值条件
H 0 u
(4) 哈密顿函数在最优轨线末端满足
H
(t
f
)
(t f
)
T
(t
f
)
(t f
)
2 末端自由情况
定理2.3.5 对于如下最优控制问题
min J
定义如下哈密顿函数
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
J a
[x(t f ),t f ] T (t)[x(t f )]
tf [H (x,u, ,t) T (t)x]dt
t0
最后一个积分项的分部积分为
t f T (t)x(t)dt T (t)x(t) t f t f T (t)x(t)dt
(t) H
x
状态方程 协态方程或共轭方程
正则方程是2n个一阶微分方程组。初始条件和 横截条件正好为正则方程提供了2n个边界条件。
哈密顿函数的性质
dH H dt t
若哈密顿函数不显含t，则有
H (t) const, t [t0 , t f ]
哈密顿函数的性质是：沿最优轨线，H对时间的全导 数与对时间的偏导数相等；当H不显含t时，H沿最优 轨线保持为常数。
§2.3 用变分法解最优控制问题
在控制变量的取值不受约束，即容许控 制向量的集合可以充满整个函数空间， 同时控制向量是时间的连续函数情况下， 可以利用变分法求解最优控制问题。本 节将讨论末端时刻固定和末端时刻自由 时，最优解的必要条件。
一、可用变分法来解的最优控 制问题
设控制系统的状态方程为下列时变非线 性向量微分方程
最优解的必要条件是:
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
x(t) H f (x,u,t)
(t) H
x
其中
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
最优解的必要条件是:
(2) 边界条件
x(t0 ) x0
取极值的必要条件
欧拉方程： 横截条件：
(t) H
x H 0 u
(t
f
)
x(t f
)
T x(t f
)
(t
f
)
推导过程
J a [x(t f ), t f ] T (t)[x(t f )]
t f {F (x,u,t) T (t)[ f (x,u,t) x]}dt t0
最优解的必要条件是:
(2) 边界条件
x(t0 ) x0
x(t f ) x f
最优解的必要条件是:
(3) 极值条件
H 0 u
举例1
设一阶系统方程为
x(t) u(t), x(t0 ) x0
性能指标取为
J
1 2
cx 2
(t
f
)
1 2
t f u 2 (t)dt
dH (H )T x(t) (H )T u(t) (H )T (t) H
dt x
u
t
1 末端受约束情况
定理2.3.1 对于如下最优控制问题
min J
u(t)
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
s.t. f (x,u,t) x 0, x(t0 ) x0 [x(t f )] 0
H
(t
f
)
(t f
)
3 末端固定情况
定理2.3.6 对于如下最优控制问题
min J
u(t)
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
s.t. f (x, u, t) x 0, x(t0 ) x0 , x(t f ) x f
其中 t f 自由
t0
t0
t0
J a [x(t f ), t f ] T (t)[x(t f )] T (t f )x(t f ) T (t0 )x(t0 )
t f [H (x,u, ,t) T (t)x]dt t0
J a
xT
(t f
)[
x(t f
)
x(t
tf [H (x,u, ,t) T (t)x]dt
t0
J a
[ t f
T
(t
f
)
t f
H (t f )]t f
xTf
[
x(t f
)
T x(t f
)
(t
f
)
(t
f
)]
t f [(H )T x (H )T u]dt
t0 x
(t) H
x
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
最优解的必要条件是:
(2) 边界条件
x(t0 ) x0
(t
f
)
x(t f
)
最优解的必要条件是:
(3) 极值条件
H 0 u
(4) 哈密顿函数在最优轨线末端满足
s.t. f (x,u,t) x 0, x(t0 ) x0
其中 t f 固定，x(t f )自由。
最优解的必要条件是:
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
其中
x(t) H f (x,u,t)
(t) H
x
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
二、末端时刻固定时的最优解
最优控制问题可以归纳为如下一般形式
min J
u(t)
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
s.t. f (x,u,t) x 0, x(t0 ) x0
[x(t f )] 0
末端状态或受约束、或自由、或固定。此时，最 优控制问题的实质是有两个等式约束的泛函条件 极值问题。
T f
)
(t
f
) (t f
)]
t f [(H )T x (H )T u]dt
t0 x
u
取极值的必要条件
欧拉方程： 横截条件：
(t) H
x H 0 u
(t
f
)
x(t f
)
T x(t f
)
(t
f
)
正则方程
x(t) H f (x,u,t)
u(t)
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
s.t. f (x,u,t) x 0, x(t0 ) x0
其中 t f 自由 ， x(t f ) 自由。
最优解的必要条件是:
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
其中
x(t) H f (x,u,t)
最优解的必要条件是:
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
x(t) H f (x,u,t)
(t) H
x
其中
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
最优解的必要条件是:
(2) 边界条件
x(t0 ) x0
s.t. f (x, u, t) x 0, x(t0 ) x0 , x(t f ) x f
最优解的必要条件是:
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
其中
x(t) H f (x,u,t)
(t) H
x
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
(1) x(t)和(t) 满足下列正则方程
其中
x(t) H f (x,u,t)
(t) H
x
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T (t) f (x,u,t)
最优解的必要条件是:
(2) 边界条件
x(t0 ) x0
(t
f
)
使系统从已知初态转移到要求的目标集，
并使给定的性能泛函达到极值。
举例
设一阶系统方程为
x(t) x(t) u(t) x(0) 3
要求确定最优控制函数 u*(t) 及最优轨线 x*(t) 在 t=2时将系统转移到 x(2)=0，并使下列性
能泛函极小
J 2 (1 u 2 )dt 0
u
1 末端受约束情况
定理2.3.4 对于如下最优控制问题
min J
u(t)
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
