最优控制的特点、实例.ppt

回路传函恢复控制
• 线性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian—LQG)方法是 以最优线性二次型调节器(LQR)和Kalman滤波器为中心的 反馈控制系统优化设计方法。由于其理论比较成熟，所以 在工程上被广泛应用。但是由于LQG设计的被控对象没有 考虑模型不确定性，带有Kalman滤波器的LQG方法设计 的控制系统鲁棒性差，模型若存在微小偏差或扰动，闭环 系统就可能出现不稳定的现象。因此，为弥补LQG设计方 法的缺陷，1979年Doyle和Stein提出了回路传函恢复方法。 • LQG/LTR回路传函恢复方法是把虚拟的过程噪声作为设 计参数加到设计模型输入端的鲁棒性恢复方法，能使LQG 设计具有最优线性二次调节器LQR所具有的稳定储备。其 设计思想就是设计滤波器增益，使得全状态LQR调节器自 然拥有的鲁棒特性在系统的输入端通过动态调节器得到基 本恢复。根据LQG/LTR理论，回路传递恢复后的系统具 有接近最优反馈控制系统的鲁棒性。
1. 极点配置法：
yp
y1
y2
y3
A1 P1 Q1 i A Ps B P0
A2 P2 Q2
k1 m m1
k2
k3 m2
m3
Fd
1. 极点配置法：
液压源 加速度 信号输入 加速度 三状态 输入回路 速度 位移 伺服控 制电路 控制 信号 负载 伺服阀 与液压缸 加速度计 速度调理 位移计 振动台 位置 输出
鲁棒控制方法概述
鲁棒控制方法弥补现代控制理论对数学模型的过分依赖，在设计过程 中考虑了对象模型的不确定性，使得在一定误差范围内的所有被控对象均 能满足理想的性能要求。 在设计鲁棒控制器时，仍存在以下的问题需要解决 ： 结构数学模型的不确定性估计较为困难，因此准确的分析和刻画不确定 性的大小是进行鲁棒控制器设计的基础。 在鲁棒控制器设计过程中，通常需要依靠权函数的选择来实现控制器对 不确定性的鲁棒性，一般情况下，这种权函数的选择是没有通用的公 式，因此要经过反复多次的试凑才能确定。 设计鲁棒控制器时，往往需要同时满足包括时域、频域在内的多个性能 指标要求。

智能优化方法
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数

切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解

驱动控制器2
驱动控制器3
驱动控制器4
机器人本体
机器人控制系统的构成
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8
第七章 机器人控制
分析各层（级）的关系与区别
知识粒度 数据处理 功能类别
作业控制级
粗
模糊
决策
运动控制级
中
精确 任务分解
驱动控制级
细
精确
控制
通过分层递阶的组织形式才能完成复杂任务
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9
第七章 机器人控制
Θ为表示旋转关节或平移关节位移的n×1向量;
为表示旋转关节力矩或平移关节力的n×1向量
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27
前馈控制和超前控制 前馈控制：从给定信号中提取速度、加速度信号。把它加在伺服系统 的适当部位，以消除系统的速度和加速度跟踪误差。 超前控制：估计下一时刻的位置误差，并把这个估计量加到下一时刻 的控制量中。
2019/9/514 Nhomakorabea第七章 机器人控制
各种智能控制策略
记忆－修正控制 (迭代学习控制 ) 记忆前一次的运动误差，改进后一次的控制量；适用于 重复操作的场合。 听觉控制 有的机器人可以根据人的口头命令做出回答或执行任务， 这是利用了声音识别系统。 视觉控制 常将视觉系统用于判别物体形状和物体之间的关系，也 可以用来测量距离、选择运动途径。 递阶控制（组织级、协调级、执行级） 最低层是各关节的伺服系统，最高层是管理（主）计算 机；大系统控制理论可以用在机器人系统中。
解耦控制(decoupling control) 鲁棒控制(robustness control) 容错控制(fault tolerant control)
第七章 机器人控制
多变量控制系统的一般结构 传递函数矩阵：开环传递函数矩阵，闭环传递函数矩 阵 多变量系统分析和计算的特殊性：变量是向量，传函 是矩阵（矩阵的计算不满足交换律） 多变量系统控制的发展： 1.状态空间法：

线性时不变系统
2) 有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，
即 确定： X (t 0 ) ， X (t f
) 。
一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态
X (t 0 )
转移到
X (t f ) 的过程
目标函数(性能指标，性能泛函，目标泛函) ： 是衡量“控制作用”效果的性能指标。 为了实现动态过程中状态从 X (t 0 )
目标函数：多元的普通函数。
最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。
静态最优化方法：
a. 解 析法（间接法） 无约束条件 有约束条件
黄金分割法（0.618法） b. 数值计算法（直接法) 区间消去法
（一维搜索）
插值法
爬山法
（多维搜索法）
步长加速法
方向加速法 c. 以梯度法为基础的方法 d. 网络最优化方法
垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时，要求火箭
速度为0，并且燃料消耗为最小。
t=t 0
mg
火箭
F(制动力)
月球表面 分析：在火箭速度降为0之前，
dm 制动力 F K dt
火箭从 t
与燃料消耗成正比
其中：K：常数，m ：火箭（包括燃料的质量）
t 0开始减速，到 t t f时速度为0，
总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是： 在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最 优控制，使目标函数为极大或极小。
用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下： 1） 适用于多变量，非线性，时变系统的设计
2） 初始条件可任意
3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况 4） 便于计算机求解
转移到终端状态 x(tf ) ，并使性能指标J[u] 为极大（小) 值 ，

u cos ， v sin
xu
，Leabharlann y v把它们写成向量形式：
x(t ) f [ x(t ), (t )]
cos (t ) sin (t ) f [ x(t ), (t )] u (t ) v(t )

e
0
2
(t ) dt




达到最小来设计系统。式中e(t)表示误差。不难看出，这要比单 独用上升时间、最大过调量等，来评价系统的品质更全面些。这 就是最优控制思想的萌芽。 进一步，如果不仅对说差有限制，而且对误差变化率以及在 控制过程中消耗的能量也有限制，这就需要进一步发展积分评价 法的思想，把这些要求统一在一个评价函数中，以求得在总体上 达到最优。 把式上式改写 [e 2 (t ) qe 2 (t ) ru 2 (t )]dt
（0—14）
性能指标为
J x1 (t f ) u(t f )
（0—15） 对于上述问题而言，控制变量 (t ) 不受限制， 可以任意选 取。于是，最优推力方问角选择问题的提法是：在系统方程(0— 12)的约束下，寻找控制函数 (t ) ，使质点在t＝0时从零状态出 tf 发，在规定终端时刻 、到达规定高度，并且使水平速度达 u (t f ) 到最大。
式中
x1 (t ) u x (t ) v x(t ) 2 x3 (t ) x x 4 (t ) y
这个问题的初始条件是
，
x1 (0) u (0) 0 x ( 0) v ( 0) 0 2 x 3 ( 0) x ( 0 ) 0 x 4 ( 0) y ( 0) 0

程序运行结果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。
图1-2 闭环系统阶跃响应曲线 由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。
三、离散系统线性二次型最优控制
下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。
其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。
1000 Q= 取 0
,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下： %求解最优控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=[1000,0;0,1]; R=1; A=[a,0;-c*a,1]; B=[b;-c*b]; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=[(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1)]; bxc=[0;1];cxc=[1,0];dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)
•
1.LQG最优控制原理 最优控制原理
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + Gw(t ) 假设对象模型的状态方程表示为：
y (t ) = Cx(t ) + v(t )
T
式中，ω(t)和ν(t)为白噪声信号，ω(t)为系统干扰噪声，ν(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：

里选择：
250 0 0 0
Q
0
0 0 0
0 0 10 0

0
0 0 0
R 0.1
通过matlab求得：
K = [-82.4246 -10.7034 -10.0000 -11.8512]。
16
系统仿真框图
17
MATLAB仿真结果
倒立摆摆角（θ）
小车位移（x）
18
结论
在倒立摆系统稳定的情况下,对系统施 加干扰(可用手轻触摆杆使摆杆偏离竖 直位置一个小角度) ，小车能迅速调整， 使整个系统在很短的时间内恢复平衡。
7
建模
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可 将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀 质杆组成的系统 ：
8
其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角
时间；S为终态约束矩阵；Q(t)为运动约束矩阵； R(t)为约束控制矩阵。其中Q(t)、R(t)决定了系统误 差与控制能量消耗之间的相对重要性。
14
为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：
则 u*(t) R1BT P(t)x(t) 式中，矩阵P(t)为微分Riccatti方程
P(t) A AT P(t) P(t)BR1BT P(t) Q 0

Mml 2
x1
I (M

m)

Mml 2
u
12
将上式写成向量和矩阵的形式，就成为 线性系统的状态方程：
x Ax Bu

y


x

u t R p 为 控 制 向 量 ， 且 u t 在 t 0 , t f 上 分 段 连 续 ；
f R n 为 连 续 向 量 函 数 ， x t 连 续 可 微
2.初态和终态： xt0，xtf S目标集
3.容许控制 ： ut — 控 制 域
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 泛函变分的求法
控
制 理 论
定理： J x 的变 J J 分 x x | 0， (0 1 )
性质：1 .F 1 F 2 F 1 F 2
2 .F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 F 1
理 论
L x t,x r x t,x
其L 中 xt,x— J的线性函数
rxt,x— J的高阶无穷小
则L 称 xt,x为泛 Jxt函 的一阶变 J 分
泛函变分是泛函增量的线性主部
Modern Control Theory
Page: 9
2 1 2a1ta2
ua1ta2
这里 a1、a2 为常数
由 x2 udt 得： x2t1 2a1t2a2ta3
Modern Control Theory
Page: 21
§ 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题
现
代 控
由 x1 x2dt 得：x 1 t 1 6 a 1 t3 1 2 a 2 t2 a 3 t a 4
现
代 控
当 t0 和 tf给 定 时 ， x t0 和 x tf 是 否 定 还 是 自 由 ， 可 分 四 种
制 情 况 ：
理 论 (1) 固定始端和终端
x(t)
即 x t 0 和 x t f 给 定 x t 0 0 ,x t f 0

第一章 绪论
最优控制理论与系统
September 15, 2014
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最优控制应用举例
最速降线问题
最速降线问题
1 mgh = mv 2 ⇒ v = 2gy 2 ds ds ⇒ dt = v= dt v T = = dt = dx2 + dy 2 √ = 2gy 1+y2 √ 2gy 1 + (dx/dy )2 U (t)为m维控制向量，f [X (t), U (t), t]为n 维向量函数，它可以是非线性时变向量函数，也可以是线性定常的向量 函数。状态方程必须精确的知道。 一个动态过程对应于n维状态空间中从一个状态到另一个状态的转移， 也就是状态空间中的一条轨线。在最优控制中初态通常是知道的，即 X (t0 ) = X0 而到达终端的时刻tf 和状态X (tf )则因问题而异。
第一章 绪论
最优控制理论与系统
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本课程主要内容
本课程主要内容
课程将介绍求解最优控制问题的方法：
1 2 3 4 5 6
经典变分法 极大（小）值原理 动态规划法 线性二次型最优控制（系统为线性，指标为状态和控制的二次型） 线性二次型高斯控制（系统为线性且有高斯噪声，指标为二次型） 最优鲁棒控制
最优控制理论与系统
第一章 绪论
September 15, 2014
最优控制简介
最优控制简介
在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其它有目的的活动中，常 需要对被控系统或被控过程施加某种控制作用以使某个性能指标达到最 优，这种控制作用称为最优控制。
第一章 绪论
最优控制理论与系统
September 15, 2014