3.4 基本不等式练习题及答案解析 必修5

课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。

3.4 基本不等式1、函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线20mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则21m n+的最小值为( )A. B. 4C.52 D. 922、若41x -<<,则当22222x x x -+-取最大值时 x 的值为( )A.-3B.-2C.-1D.03、若,,,,,a b c d x y 都是正实数,且P Q ==则( ) A. P Q = B. P Q ≥ C. P Q ≤ D. P Q >4、某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为()0a a >,第三年的增长率为()0b b >,这两年的平均增长率为 x ,则( )A. 2a bx += B. 2a bx +≤C. 2a bx +>D. 2a ba +≥5、已知,?a b 均为正实数,则下列不等式不一定成立的是( )A. a b++≥B. ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C.22a b≥+D.≥6、已知等差数列{}n a 的各项均为正数, 95a =,则315a a 的最大值为( ) A.100 B.75 C.50 D.257、已知01?x <<,则( )A. 14 B. 12C.2D. 18、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10B.C. D. 189、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,a b ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. C. 2ab D. a b +10、在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2cos ,4cos a c Cb b B==－,则ABC ∆的面积的最大值为( )A.B.C.D.11、长为4，宽为3的矩形，当长增加x ,且宽减少2x时，面积最大，此时x = ，面积S = .12、已知在△ABC 中, 90,3,4ACB BC AC ∠=︒==,P 是AB 上异于点,?A B 的点,则点P 到,AC BC 的距离的乘积的最大值是__________.13、为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位:1mg L -⋅)随时间t (单位: h )的变化关系为2204tC t =+,则经过__________h 后池水中该药品浓度达到最大.14、若()11,lg lg ,lg22a ba b P Q a b R +>>=+=,则,,P Q R 的大小关系是__________(用“>”连接).15、已知0x >,0y > ,且280x y xy +-=.求: 1. xy 的最小值; 2. x y +的最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：∵当2x =-时, log 111a y =-=-,∴函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --.∵点A 在直线20mx ny ++=上,∴220m n --+=,即22m n +=. ∵0,0m n >>,∴()21121122925222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (当且仅当22n m m n =时,等号成立).故选D.2答案及解析： 答案：D解析：变形,可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----,∵41x -<<, ∴510x -<-<,∴原式()()11111221221x x x x ⎡⎤--=+=--+≤-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦, 当且仅当()11221x x --=--, 即0?x =时取等号,故选D.3答案及解析： 答案：C解析：Q P == (当且仅当adx bcyy x=时等号成立).4答案及解析： 答案：B解析：∵这两年的平均增长率为 x , ∴()()()2111A x A a b +=++, ∴()()()2111x a b +=++,∴111122a b a bx +++++=+, ∴2a bx +≤,当且仅当11a b +=+,即a b =时取等号.5答案及解析： 答案：D解析：A 项, a b+≥≥当且仅当a b ==时等号同时成立,B 项, ()1124a ba b a b b a ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号;C 项,()2222a b a b a b+≥≥=++,当且仅当a b =时取等号.故选D.6答案及解析： 答案：D解析：由等差数列的性质,可得3159210a a a +==.又3150,0a a >>,所以315a a +≥(当且仅当315a a =时,等号成立),即2315315252a a a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.7答案及解析： 答案：B解析：因为221x +=,且01?x <<,由均值不等式可得222x +≥,所以12 (当且仅当x =即2x =时,等号成立).故选B.8答案及解析： 答案：D解析：∵30,30x y >>,∴23322318x y +≥==⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.9答案及解析： 答案：D解析：方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,,a b ab a b a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,15,36ab a b =+=,显然56最大,故选D.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：1；252解析：依题意得：221125(4)(3)12(1)2222x S x x x x =+-=-++=--+ 所以当1x =时，252S =最大值.12答案及解析： 答案：3解析：以 C 为坐标原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,过点P 作PD y ⊥轴点D ,PE x ⊥轴于点E ,如图所示.设()(),0,0P x y x y >>,则AB 所在直线的方程为134x y +=,∵0,0x y >>,∴134x y =+≥当且仅当34x y =,即3,22x y ==时等号成立),∴3xy ≤.13答案及解析： 答案：2 解析：2202044t C t t t==++.因为0t >,所以44t t +≥= (当且仅当4t t=,即 2t =时等号成立),所以2020544C t t=≤=+, 即当 2t =时, C 取得最大值.14答案及解析： 答案：R Q P >> 解析：因为1a b >>,所以lg 0,lg 0,a b >>()()11lg lg ,lg lg 222a b Q a b P R ab Q +=+==>==,所以R Q P >>.15答案及解析：答案：1. 28xy x y =+≥,当且仅当28x y =,即16x =，4y =时等号成立.8≥,∴64xy ≥. 故xy 的最小值为64. 2.由28x y xy +=,得281y x+=，∴.()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭, 当且仅当28x y y x=,即12x =,6y =时等号成立. 故x y +的最小值为18. 解析：。

基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二 利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三 利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少． 解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值． 解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0， 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。

3.4 基本不等式：√ab≤a+b2（数学人教实验A版必修5）A.C.2.A.B.C.D.5∞)6.为1x+1y)，)成正(x).10. （20分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅栏应设计为多长？（数学人教实验A版必修5）3.4 基本不等式：√ab≤a+b2答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.4 基本不等式：√ab≤a+b2（数学人教实验A版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵x＜0，∴ -x＞0，∴x+ 1x -2=-[(-x)+ 1(−x)]-2≤-2·√(−x)·1(−x)-2=-4，等号成立的条件是-x= 1−x，即x=-1满足定义域.2.C 解析：f（x）=π),π2π).xx⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩当x∈［0，π］时，令t=cos x∈［-1，1］，构造函数g（t）=2154tt-+，通过整理此解析式得g（t）=-［14×(54+t)+964×154t+］+58≤-38+58=14，所以f（x）=g（t）∈12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.同理，当x∈（π，2π］时，f（x）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，f（x）0≤x≤2π）的值域是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.3. A 解析：∵ ab-（a+b）=1，ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b，∴22+⎛⎫⎪⎝⎭a b-（a+b）≥1，它是关于a+b的一元二次不等式，将a+b作为一个整体，解得a+b≥2+1）或a+b≤2（）（舍去）.∴ a+b有最小值2+1）.又∵ ab-（a+b）=1，a+b≥∴1作为一个整体，+1.∴ ab ≥，即ab 有最小值，故选A.4.C 解析：A 选项，y =x + 4x≥4或x + 4x≤-4，∴ A 不正确；B 选项等号不能取到；D 选项，y =log 3x +4log 3x与A 选项相同，所以只有C 选项正确.二、填空题5. 32解析：因为x ＞a ，所以2x +2x−a =2(x -a )+2x−a+2a ≥2 √2(x −a )·2x−a+2a =2a +4，即2a +4≥7，所以a ≥ 32，即a 的最小值为 32.6.18 解析：平均销售量y = f (t )t=t2+10t+16t=t + 16t+10≥18，当且仅当t = 16t，即t =4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18. 三、解答题7. 解：证明：∵ a ，b ∈（0，+∞），∴ 2a b +b ≥，同理2b c+c ≥，2c a +a ≥，当且仅当a=b=c 时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2a b +b+2b c+c+2c a +a ≥2a+2b+2c ，即2a b +2b c +2c a≥a+b+c. 8．解：因为x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=1+2+2y x +x y ≥.当且仅当2y x =x y且x+2y=1，即-1，y=1-2时，等号成立.所以1x +1y的最小值为. 9.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分 36x批，每批价值为20x 元，由题意得f (x )= 36x·4+k ·20x .由x =4时，f (x )=52，得k = 1680= 15.∴ f (x )=144x+4x (0＜x ≤36，x ∈N ∗).(2)由(1)知f (x )= 144x+4x (0＜x ≤36，x ∈N ∗)，∴ f (x )≥2 √144x·4x =48(元).当且仅当144x=4x ，即x =6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.10. 解：设铁栅栏长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则有S=xy. 由题意得40x+2×45y+20xy=3 200.由基本不等式得3 200≥，∴160））≤0.∵＞0，∴≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此求得x=15.即正面铁栅栏的长应是15米.。

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)课时目标1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p . 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．一、选择题1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42(x ＝32，y ＝34时取等号)．3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．4．函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为( )A ．2 B.52C ．1D ．不存在答案 B 解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4∵x 2＋4≥2，而1x 2＋4≤12，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y ＝x ＋1x在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．∴当x 2＋4＝2即x ＝0时，y min ＝52.5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112答案 B解析 ∵8－(x ＋2y )＝2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2)2.∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号．6．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋yx ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．二、填空题7．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9.8．已知正数a ，b 满足a ＋b －ab ＋3＝0，则ab 的最小值是________． 答案 9解析 ∵a ＋b －ab ＋3＝0， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3. 令ab ＝t ，则t 2≥2t ＋3.解得t ≥3(t ≤－1舍)．即ab ≥3.∴ab ≥9.当且仅当a ＝b ＝3时，取等号．9．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4xm ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．10．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．答案 8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8. 三、解答题11．已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . ∵x >0，y >0，∴y x ＋9x y ≥2 y x ·9xy ＝6.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12. ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9，∵x >0，y >0，∴y >9.x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y >9，∴y －9>0，∴y －9＋9y －9＋10≥2 (y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号．又1x ＋9y＝1，则x ＝4， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．能力提升13．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) A ．2∈M,0∈M B ．2∉M,0∉M C ．2∈M,0∉M D ．2∉M,0∈M 答案 A解析 ∵(1＋k 2)x ≤k 4＋4，∴x ≤k 4＋41＋k 2. ∵k 4＋41＋k 2＝(1＋k 2)2－2(1＋k 2)＋51＋k 2＝(1＋k 2)＋51＋k 2－2≥25－2. ∴x ≤25－2，M ＝{x |x ≤25－2}，∴2∈M,0∈M .14．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 答案 2解析 ∵x ＋y 2≤ x ＋y2成立，∴x ＋y ≤2·x ＋y ，∴a ≥ 2.1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

3.4 基本不等式姓名:___________班级:______________________1.若实数,a b 满足1,a b +=则33a b +的最小值是( )A.18B.6C.2.已知0,0x y >>,且22x y +=,则xy 的最大值是( ) A.14 B.12C.4D.83.若正实数,a b 满足12a b +=,则ab 的最小值为( )2 C.44.已知0x <,函数4y x x=+的最大值是( )A. - D.−45.若对任意20,1x x a x x >≤++恒成立,则实数a 的最小值是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 6.下列函数中,最小值为2的是( ) A.1y x x =+ B.33x x y -=+ C.()1lg 01lg y x x x=+<< D.1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 7.已知不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.6m >-B.6m <-C.8m >-D.8m <-8.设,x y 均为正实数,且33122x y+=++,则xy 的最小值为 ( )A.4B.9.已知,a b 均为正数,且2是2a 与b 的等差中项,则ab 的最大值为 .10.若1a >,则11a a +-的最小值是______.11.已知0a >,0b >,1c >,且1a b +=,则2121a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为 .12.求解下列问题:(1)若0>x ,求4()f x x x =+的最小值; (2)已知310<<x ,求函数)31(x x y -=的最大值. 13.设1x >-,求=y 1(5)(2)x x x +++的最大值. 14.为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系:()35k C x x =+(010x ≤≤,k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及()f x 的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小？并求最小值.参考答案1.C【解析】当1a b +=时,33a b +≥=当且仅当12a b ==时取等号.故选C. 考点:基本不等式.2.B 【解析】221121212222222x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1,12x y ==时,等号成立,故选B.考点:基本不等式的应用.3.C【解析】对于正实数,a b ,由基本不等式可知abb a 2221≥+,当且仅当将b a 21=时取等号,则2222≥⇒≥ab abab ,故选C. 考点:基本不等式的运用.4.D 【解析】()44y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 因为0x <,所以40,0,x x ->->所以()44x x ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭, 所以()44y x x ⎡⎤⎛⎫=--+-≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 当且仅当2x =-时,等号成立,所以函数的最大值为4-.考点:基本不等式的应用.5.A【解析】因为0>x ,所以2111112131x x x x x=≤=+++++(当且仅当x x 1=,即1=x 时,等号成立),则实数a 的最小值为13.故选A. 考点:基本不等式,不等式恒成立.6.B【解析】A 项中,因为自变量x 可以为负数,所以函数值可以小于零,故错误;B 项中, ,03,03>>-x x 由基本不等式可知233233=⋅≥+--x x x x ,当且仅当0=x 时取等号,故正确;C 项中,0lg 10<⇒<<x x ,即函数值恒为负数,故错误;D 项中,由基本不等式可知当且仅当1sin =x 时取到最小值2,但是当π02x <<时,1sin 0<<x ,故错误.故选B. 考点:基本不等式与函数的最值.7.A 【解析】原不等式可化为221m x x -<+-,令2()21f x x x =+-,则2()2(1)21f x x x =-++-26≥=,当且仅当22(1)1x x -=-,即2x =时,()f x 取最小值6,因此要使不等式恒成立,应满足6m -<,解得6m >-.考点:基本不等式的应用,不等式恒成立问题.8.D【解析】因为,x y 均为正实数,33122x y +=++,所以3301,0122x y <<<<++,即1,1x y >>,所以81y x y +=-, 所以()()()22110198891101111y y y y y xy y y y y y y -+-+++=⋅===-++----1016≥=,当且仅当911y y -=-,即4y = 时,取等号,故选D. 考点:基本不等式的应用.9.2【解析】由题意,得42a b =+≥当且仅当2a b =,即1,2a b ==时等号成立,所以02ab <≤,所以ab 的最大值为2.考点:等差数列的性质,基本不等式.10.3【解析】1a >,则10a ->,则()111111a a a a +=-++≥--13+=,当且仅当1121a a a -=⇒=-时,等号成立,所以11a a +-的最小值是3. 考点:由基本不等式求最值.11.4+【解析】由题意得,222221()2222a a a b a ab b a b ab ab ab b a +++++===++≥22+=,当且仅当21,,21a b a b a b a b ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩时,等号成立,∴)21212111a c c ab c c c ⎛⎫+-⋅+≥+=-++≥⋅ ⎪---⎝⎭4=+,当且仅当1)112c c c -=⇒=+-时,等号成立.综上,所求最小值为4+考点:基本不等式求最值. 12.(1)4 (2)112【解析】(1)∵0x >,40x >, ∴()44f x x x =+≥=, 当且仅当4x x=,即2=x 时取等号.故()min 4f x =. (2)310<<x ,031>-∴x , 121231331)31(331)31(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-=∴x x x x x x y , 当且仅当x x 313-=,即61=x 时取等号.121max =∴y . 考点:利用基本不等式求函数最值. 13.19【解析】1x >-,10x ∴+>,设10x t +=>,则1x t =-,于是有211.4(4)(1)5495t t y t t t t t t ===≤=++++++ 当且仅当4t t =,即2t =时取等号,此时1x =.∴当1x =时,函数取得最大值19. 考点:基本不等式. 14.(1)40k =,()()800601035f x x x x +≤≤+= (2)隔热层修建5 cm 厚时,总费用()f x 达到最小,最小值为70万元【解析】(1)当0=x 时,8C =,40=∴k ,5340)(+=∴x x C ,)100(5380065340206)(≤≤++=+⨯+=∴x x x x x x f . (2)1053800)53(2)(-+++=x x x f , 设]35,5[,53∈=+t t x ,701080022108002=-⋅≥-+=∴t t t t y . 当且仅当8002t t=,即20t =时,等号成立.这时5=x ,因此)(x f 的最小值为70. 即隔热层修建5 cm 厚时,总费用()f x 达到最小,最小值为70万元.考点:函数模型的选择与应用,函数最值的应用,利用基本不等式求最值.。

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(一)1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．2．若a ，b 都为正数，那么当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x≤－2. (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2. (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、选择题1．已知a >0，b >0，则a ＋b 2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b中最小的是( )A.a ＋b 2B.abC. a 2＋b 22D.2ab a ＋b答案 D解析 方法一 特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab a ＋b最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可知2ab a ＋b 最小． 2．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．m ≤n答案 A解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 答案 B解析 ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab <1，又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab <1<a 2＋b 22. 4．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．5．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 答案 B解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12. ∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴ a 2＋b 22>12， ∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2，∴b 最大．6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3 答案 B解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 二、填空题7．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________． 答案 大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1. 8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________． 答案 2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x 2≥2(x ＝2时取等号)． 9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12， ∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号． 10．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a >0. ∴x 2＋3x ＋1x ≥1a， ∴1a ≤x ＋1x＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c 也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥na －c ，∴n ≤a －ca －b ＋a －cb －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －ca －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c ≥2 (b －ca －b )·(a －bb －c )＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)．∴n ≤4.∴n 的最大值是4.能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝y x即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9， 即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 证明 ∵1a ＋1b ≥2 1ab ＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc＝2a ， 1c ＋1a ≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

3.4基本不等式:√ab≤a+b2第1课时基本不等式课时过关·能力提升基础巩固1若x>0,则x+4x的最小值为().A.2B.3C.2√2D.4答案:D2若x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是().A.400B.100C.40D.20解析:xy≤(x+y2)2=400,当且仅当x=y=20时,等号成立.答案:A3若0<x<13,则x(1−3x)取最大值时x的值是().A.13B.16C.34D.23解析:∵0<x<13,∴0<1−3x<1.∴y=x(1-3x)=13×3x(1−3x)≤13×(3x+1-3x 2)2=112. 当且仅当3x=1-3x ,即x =16时取等号.答案:B 4设a ,b ∈R ,若a ≠b ,a+b=2,则必有( ).A.1≤ab ≤a 2+b 22B.ab <1<a 2+b22C.ab <a 2+b22<1D.a 2+b 22<ab <1解析:令a=-1,b=3,则ab=-3,a 2+b 22=5,则有ab<1<a 2+b22,所以排除选项A,C,D,故选B .答案:B5若M =a 2+4a (a ∈R ,a ≠0),则M 的取值范围为( ).A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]C.[4,+∞)D.[-4,4]解析:当a>0时,M =a 2+4a =a +4a ≥2√a ·4a =4,当且仅当a =4a,即a=2时取“=”; 当a<0时,M =a 2+4a=a +4a =−[(-a )+(-4a )]≤-2√(-a )·(-4a )=−4,当且仅当-a=−4a,即a=-2时取“=”.综上,M的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞).答案:A6若a>b>1,P=√lgalgb,Q=lga+lgb2,R=lg a+b2,则下列结论正确的是().A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q 解析:∵a>b>1,∴lg a>0,lg b>0.∴R=lg a+b2>lg√ab=12lg(ab)=lga+lgb2=Q>√lgalgb=P.∴P<Q<R.答案:B7若a>0,b>0,则2ba +ab的最小值是.解析:2ba +ab≥2√2ba·ab=2√2,当且仅当2ba=ab,即a=√2b时取“=”.答案:2√28当函数y=x2(2-x2)取最大值时,x=. 解析:当−√2<x<√2时,y=x2(2-x2)≤(x 2+2-x22)2=1,当且仅当x2=2-x2,即x=±1时,等号成立,当x2≥2时,y=x2(2-x2)≤0,不可能取最大值.所以当x=±1时,y=x2(2-x2)有最大值为1.答案:±19已知2x +3y=2(x>0,y>0),求xy的最小值.解∵x>0,y>0,2x +3y=2,∴2=2x +3y≥2√6xy(当x=2,y=3时,等号成立),即1≥√6xy.∴√xy≥√6,从而xy≥6,即xy的最小值为6.10已知x>-1,试求函数y=x 2+7x+10x+1的最小值.解∵x>-1,∴x+1>0,∴y=x 2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=x+1+4x+1+5≥2√(x+1)·4x+1+5=9.当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立.所以函数y=x 2+7x+10x+1的最小值为9.能力提升1若2a+b=1,a>0,b>0,则1a +1b的最小值是().A.2√2B.3−2√2C.3+2√2D.3+√2解析:1a +1b=2a+ba+2a+bb=2+1+ba +2ab=3+ba+2ab.∵a>0,b>0,∴1a +1b =3+b a +2a b ≥3+2√b a ·2a b =3+2√2,当且仅当b a =2a b ,即b =√2a =√2−1时“=”成立.∴1a +1b 的最小值为3+2√2.答案:C 2若x+3y-2=0,则函数z=3x +27y +3的最小值是( ).A.323B.3+2√2C.6D.9解析:z=3x +27y +3≥2√3x ·27y +3=2√3x+3y +3. ∵x+3y-2=0,∴x+3y=2.∴z ≥2√3x+3y +3=2√32+3=9,当且仅当3x =27y ,即x=3y=1时取“=”.答案:D3若a>0,b>0,a+b=2,则y =1a +4b 的最小值是( ).A .72B.4C.92D.5解析:依题意得1a +4b =12(1a +4b )(a +b)=12[5+(b a +4a b )]≥12(5+2√b a ·4a b )=92,当且仅当{a +b =2,b a =4a b ,a >0,b >0,即a =23,b =43时取等号,即1a +4b 的最小值是92. 答案:C4当x >12时,函数y =x +82x -1的最小值为( ).A .92B.4C.5D.9 解析:∵x >12,∴2x −1>0. ∴y=x +82x -1=x +4x -12=x −12+4x -12+12 ≥2√(x -12)·4x -12+12=4+12=92, 当且仅当x −12=4x -12,即x =52时取等号. 答案:A 5设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 .解析:因为a ,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是√a +1+√b +3=√x +√y,而(√x +√y)2=x +y +2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2.此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2. 答案:3√2★6函数y=log a (x-1)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m ,n>0,则1m +2n 的最小值为 .解析:由题意,得点A (2,1),则1=2m+n.又m ,n>0,所以1m +2n =2m+n m +2(2m+n )n =4+n m +4m n ≥4+2√4=8.当且仅当n m =4m n ,即m =14,n =12时取等号,则1m+2n的最小值为8.答案:8★7若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是.解析:因为x>0,所以x+1x≥2,当且仅当x=1时取等号,所以有xx2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15,即xx2+3x+1的最大值为15,故a≥15.答案:[15,+∞)★8已知f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x1≠x2时,比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小.解∵f(x)=a x,∴f(x1+x22)=ax1+x22,∴12[f(x1)+f(x2)]=12(a x1+a x2).∵a>0,且a≠1,x1≠x2,∴a x1>0,a x2>0,且a x1≠a x2,∴12(a x1+a x2)>√a x1·a x2=ax1+x22,即f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.9若正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy与2x+y的最小值.解∵2x+y+6=xy,x>0,y>0,∴xy=2x+y+6≥2√2·√xy +6, 即xy-2√2√xy −6≥0,当且仅当{2x =y ,2x +y +6=xy时,等号成立. ∴(√xy −3√2)(√xy +√2)≥0. ∵√xy +√2>0,∴√xy ≥3√2,xy ≥18.又2x+y+6=12×2xy ≤12·(2x+y 2)2, ∴(2x+y )2-8(2x+y )-48≥0,∴(2x+y-12)(2x+y+4)≥0.∵2x+y+4>0,∴2x+y ≥12.∴xy 的最小值为18,2x+y 的最小值为12.。