必修五不等式练习题含答案

基本不等式（简答题：较难）1、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．2、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .3、在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点.4、如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？5、设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.（1）求的解析式，并证明：当时，；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．6、已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最大值；（3）当M不为空集，且M [1，4]时，求实数m的取值范围．7、已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.8、. 问：是否存在正数m，使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.9、若，，且|k＋b|＝|－kb|(k＞0)．（Ⅰ）用k表示数量积；（Ⅱ）求的最小值.10、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .11、已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意，恒成立，求整数的最大值.12、已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.13、（2011年苏州B19）某企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元．为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业结构，调整部分员工从事第三产业．经测算，若x（20≤x≤50，x∈）名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%，而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元．（1）如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数；（2）如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数．14、（2014年苏州B18）如图，在中，，，（1）求的长和的值；（2）延长到，延长到，连结，若四边形的面积为，求的最大值．15、在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围；(2)当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状.16、已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.17、已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.18、宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.19、（本小题满分10分）已知正数满足：，若对任意满足条件的:恒成立，求实数的取值范围．20、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．21、已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.22、（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;（2）设函数,对于（1）中求得的,是否存在实数,使得成立,说明理由.23、选修4—5：不等式选讲设，求证：．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围．25、给定数列(1)判断是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.26、已知a，b是正常数，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值时x的值.27、已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．28、已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．29、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．30、已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围.31、某工厂建一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深度为3m。

不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)2. 已知不等式22230ax ax a -++>的解集为R,则a 的取值范围是（ ）A.a ≥0B.a ＞0C.a ≥－3D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于x 的不等式2224< 24ax ax x x +-+对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是____．5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12. 定义在R 上的运算：()*1x y x y =-，若不等式()()*1x y x y -+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是______．13. 设0πα≤≤，不等式()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 .14. 已知函数)()lgf x x x =+，若不等式()()33920x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R恒成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_______________.3. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数()221f x x ax =-+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1 +∞，）B ．[1 2∞-+，）C ．1] -∞（，D ．12]∞--（，6. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7. 已知()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，．若任意() < 0x R f x ∈，或()< 0g x ，则m 的取值范围是________．三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（） （1）若对一切实数() < 0x f x ，恒成立，求m 的取值范围． （2）若对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，求x 的取值范围．四、存在问题1. 存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立，则b 的取值范围是________．2. 若不存在整数x 使不等式()()2440kx k x <---成立，则实数k 的取值范围是____．3. 关于x 的不等式()21< 0x a x a -++的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．4. 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f(x)＝2kxx2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．参考答案 不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2. 【答案】A 【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意； 当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式2224< 24ax ax x x +-+，可化为()()22224< 0a x a x -+--， 当20a -=，即2a =时，恒成立，合题意．当20a -≠时，要使不等式恒成立， 需020a ∆<⎧⎨-<⎩，解得2< < 2a -．所以a 的取值范围为]2 2-（，．故答案为：]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.7. 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．8. [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知()()()()*11x y x y x y x y -+=---<对一切实数x 恒成立， 所以2210x x y y --++>对一切实数x 恒成立，所以()21410y y ∆=--++<，所以1322y -<<． 13. 分析 根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件()0∆≤列式直接运算求解.解析 由题意，要使()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，需264sin32cos20∆αα=-≤，化简得1cos 22α≥.又0πα≤≤，所以π5π0222π33αα或≤≤≤≤，解得π5π0π66αα或≤≤≤≤. 答案：0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦. 14. 略二、转化为函数最值问题1. 解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.4. 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得2440a ∆=-≤，或0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩或1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩，解得11a ≤≤-，或01 1 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或，即有11a ≤≤-，或1a <-或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：1] -∞（，． 解法二：()221f x x ax -=+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，即有12a x x≤+在0 1]x ∈（，恒成立，由于12x x+≥，当且仅当1x =取最小值2，则22a ≤，即有1a ≤．故选C ． 6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为()22x g x =-，当1x ≥时，()0g x ≥，又因为任意x R ∈，()< 0f x 或()< 0g x ， 所以此时()()()230f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立．若()0 0m f x ==，恒成立，不符合，0m ≠故， 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面 则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，所以40m -<<．故答案为： 4 0-（，）．三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g＜0，g －＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． 3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g－＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4. 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）]( 4 0-，；（2）()1 2-，． 【解析】（1）当0m =时，()211f x mx mx =--=-，对一切实数x ，()< 0f x 恒成立； 当0m ≠时，若对一切实数x ，()< 0f x 恒成立，则有2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，所以4< < 0m -，综上，m 的取值范围是]( 4 0-，． （2）因为()< 5f x m -+，所以21< 5mx mx m ---+，所以()216< 0x x m -+-， 因为对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，且21>0x x -+，所以只需()2216< 0x x -+-，解得1< < 2x -．所以x 的取值范围是()1 2-，．四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立的等价说法是：存在实数x ，使得函数243y x bx b =-+的图象在x 轴下方，即函数与x 轴有两个交点，故对应的()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或．故答案为：< 0b 或3>4b ．2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为A ，当0k =时，则>4x ，不合题意，当>0k 且2k ≠时，原不等式化为[]44< 0x k x k -+-（）（），因为4>4k k+，所以44 ()A k k =+，，要使不存在整数x 使不等式()()244< 0kx k x ---成立，需45k k+≤，解得：14k ≤≤；当2k =时，A =∅，合题意；当< 0k 时，原不等式化为44>[]0x k x k-+-（）（），所以44 A k k=-∞++∞（，）（，），不合题意，故答案为：14k ≤≤．3. 【答案】 3 2 ]4 [5--，）（，【解析】由()21< 0x a x a -++，得()()1< 0x x a --，若1a =，则不等式无解． 若>1a ，则不等式的解为1< < x a ，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为 2 3 4x =，，，则45a <≤．若1a <，则不等式的解为1a x <<，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为0 1 2x =--，，，则3< 2a -≤-．综上，满足条件的a 的取值范围是 3 2 ]4 [5--，）（，．故答案为： 3 2 ]4 [5--，）（，．4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f－＜0，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6， 当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．。

《必修五》第三章不等式测试卷姓名：一、选择题（每题4分,共32分。

）（ ）1.若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是A ．c b c a +≥+B ．bc ac >C ．ba 11< D ．0)(2≥-cb a （ ）2.若41,21<<-<<b a ，则b a -的取值范围为A ．60<-<b aB ．02<-<-b aC ．20-<-<b aD ．33<-<-b a （ ）3.不等式0)3)(1(>--x x 的解集为A. }1|{<x xB. }3|{>x xC. }31|{><x x x 或D. }31|{<<x x （ ）4.不等式0322>-+x x 的解集是A ．}31|{<<-x xB ．}31|{>-<x x x 或C ．}13|{<<-x x D. }13|{>-<x x x 或 （ ）5.二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是A.⎩⎨⎧>∆>00aB.⎩⎨⎧<∆>00aC.⎩⎨⎧>∆<00aD.⎩⎨⎧<∆<00a （ ）6．下列结论正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,42+<<时无最小值 （ ）7．已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10（ ）8．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是（21-，31），则a b +的值是 A ．10 B ．10- C ．14 D ．14-二、填空题（每小题4分，共16分）9. 已知10<<x ，则函数)21(x x y -=的最大值是_____ __.10.已知2>x ，则y ＝21-+x x 的最小值是_____ __. 11.已知0<x ，则x x y 4+=得最大值是_____ __. 12.14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是_____ __.三、解答题（6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

基本不等式的应用1.已知,p q R ∈,100pq =,则22p q +的最小值是（ ）A.200B.100C.50D.20【解析】222200p q pq +≥=,当且仅当10p q ==或10p q ==-时,等号成立.【答案】A2.设a ,b 是实数,且a+b=3,则2a +2b 的最小值是（ ）A.6B.C.D.8【解析】22a b +≥===,当且仅当22a b =,即32a b ==时,等号成立.∴2a +2b 的最小值是故选B.【答案】B3.已知0,0a b ≥≥,且2a b +=,则（ ） A.12ab ≤ B.12ab ≥ C.222a b +≥ D.223a b +≤ 【解析】取1,1a b ==,则1ab =,排除A 项;取0,2a b ==,则0ab =,224a b +=,排除B,D 两项,故选C . 【答案】C4.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元,那么水池的最低总造价为（ ）A.1 000元B.2 000元C.2 720元D.4 720元【解析】设水池底面一边长为x m ,则另一边为4m x, 总造价1644180480320720y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12807202000≥+=, 当且仅当0x >且4x x=,即x=2时,等号成立.∴水池的最低总造价为2000元. 【答案】B5.在三棱锥O ABC -中,OA ,OB ,OC 两两垂直,OC=1,OA=x ,OB=y ,x+y=4,则三棱锥O ABC -体积的最大值是（ ）A.23B.13C.1D.3 【解析】1111111332326OBC V OA S OA OB OC x y xy ∆⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭.因为4,0,0x y x y +=>>,所以4x y =+≥,所以4xy ≤. 所以1263V xy =≤,当且仅当2x y ==时,等号成立.∴积的最大值为23. 【答案】A6.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是（ ）A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】设直角三角形框架的两直角边分别为,a m b m ,则ab=4.所用铁丝长度4 6.828l a b =+++≈,当且仅当a=b=2时取等号.【答案】C7.有一块半径为2 m 的半圆形钢板,裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为 m 2.【解析】设垂直于直径的边长为x m,则另一边长为则2S =()22222244442x x S x x ⎛⎫+-=-≤⨯ ⎪⎝⎭24216=⨯=, 当且仅当224x x =-,即x ,等号成立,故当x =,S=4,即S 的最大值为4.【答案】48.某公司租地建仓库,每月租金1y 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用1y 与2y 分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.【解析】设仓库建在离车站d 千米处,设1122,k y y k d d ==, 由11210k y ==,得120k =,∴ 120y d=. 由22810y k ==,得245k =,∴ 245y d =.∴1220485d y y d +=+≥, 当且仅当2045d d =,即d=5时,两项费用之和最小. 【答案】5 9.一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于220v ⎛⎫ ⎪⎝⎭千米,那么这批货物全部运到B 市,最快需要 小时(不计货车的身长).【解析】设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ,则24001640016208400v v t v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+≥=(小时),当且仅当40016400v v =,即v=100时等号成立,此时t=8小时. 【答案】8 ★10.某种汽车的购车费用为10万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.【解析】设汽车使用x 年时,它的年平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列,因此,汽车使用x 年时总的维修费用为()0.20.22x x +万元.设汽车的年平均费用为y 万元,则()20.20.2100.9100.12x x x x x y x x +++++==10110x x =++13≥+=, 当且仅当1010x x =,即x=10时,y 取得最小值. 故这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.11.(1)已知,,0a b c >,求证:222a b c a b c b c a++≥++; (2)已知0,0a b >>,1a b +=,求证:1118a b ab++≥. 【证明】(1)∵222,,,,,a b c a b c b c a均大于0,∴22a b a b +≥=,当且仅当2a b b=,即a=b 时等号成立; 22b c b c +≥=,当且仅当2b c c=,即b=c 时等号成立; 22c a c a +≥,当且仅当2c a a=,即a=c 时等号成立. 以上三式相加得222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++, 当且仅当a=b=c 时等号成立. ∴222a b c a b c b c a++≥++. (2)11111112a b a b ab a b ab a b +⎛⎫++=++=+ ⎪⎝⎭. ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴112224a b a b a b a b a b b a+++=+=++≥+=, ∴1118a b ab ++≥(当且仅当12a b ==时等号成立).12.如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x 米墙,(1)求x 的取值范围;(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)【解析】(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x 米, 则另一边长为144x 米,则矩形草地所需铁丝网长度为1442y x x =+⨯. 令()1442440y x x x=+⨯≤>,解得836x ≤≤,故x 的取值范围是[8,36].(2)由基本不等式,得288y x x =+≥当且仅当288x x=,即17.0x ≈时,等号成立,则min 34.0y =≈,故最少需要约34.0米铁丝网.。

不等式测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）1.设a <b <0，则下列不等式中不能成立的是( )A ．1a >1bB ．１a-b ＞1aC ．a bD ．a 2>b 22.设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是( )A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>3.假如正数a b c d ，，，满意4a b cd +==，那么（ ）A ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一B ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一4.已知直角三角形的周长为2，则它的最大面积为（ ）A ．3－2 2B ．3＋2 2C ．3－ 2D ．3＋ 25.已知0,0a b >>，则11a b ++ ）A ．2B ．C ．4D ．56.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a bb +C ．1221a b a b +D ．127.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ） A.2 B.23 C.4 D.438.下列不等式中，与不等式“x <3”同解的是（ ）A ．x (x +4)2＜3(x +4)2B ．x (x -4)2＜3(x -4)2C ．x +x-4 ＜3+ x-4D ．x +21-21x x +＜3+2121x x -+ 9.关于x 的不等式(x-2)(ax-2)＞0的解集为｛x ︱x ≠2,x ∈R ｝，则a=( )A ．2B ．-2C ．-1D ．110.不等式∣x 2-x-6∣>∣3-x ∣的解集是（ ）A ．（3，+∞）B ．(－∞，-3)∪（3，+∞）C ．(－∞，－3)∪（－1，+∞）D ．(－∞，－3)∪（－1，3）∪（3，+∞）11.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（ ） A ．174 B ．2 C ．265D ．以上均不对12.若方程x 2－2x ＋lg(2a 2－a)=0有两异号实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12 ，+∞) ∪(－∞，0)B ．(0，12) C ．(－12 ，0) ∪(12，1) D ．(－1，0) ∪(12 ，+∞)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。