人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( )A.a＋d2>bc B.a＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎨⎧y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

不等式题组训练一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于 （ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．函数y ＝log21（x ＋11x --1） （x > 1）取得最大值时x 是 （ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( )A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2}4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．ba11>C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式0212<-+xx 的解集是__________________.2.如果33log log m n +≥4，那么m n +的最小值是__________________.3．已知正项等差数列{}n a 的前10项和为50，则56.a a 的最大值是__________________.4.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂B 种药 需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A 、B 两种药至少各配一剂，应满足的条件 是__________________.5. 0≤x, 0≤y 及x y +≤4所围成的平面区域的面积是__________________. 三、解答题（四个小题，每题10分，共40分） 1．解223log (3)0x x -->2．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y3．求证：ca bc ab c b a ++≥++2224.某单位决定投资3200元建一仓库（长方形状），高度很定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌转，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.试求： （1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[综合训练B 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－21,31)，则a ＋b 的值是_____。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

第三章 3.4 第1课时一、选择题1．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25 B ．12C.22D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2， ∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1.当t ＝0时，f (x )＝0； 当t >0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t.∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤12.∴f (x )的最大值为12.2．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3[答案] C[解析] ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a (0≤a ≤2)，∴ab ＝a (2－a )＝－a 2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a ≤2，∴0≤ab ≤1，故A 、B 错误； a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2.∵0≤a ≤2，∴2≤a 2＋b 2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( )A.12 B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a 2＋b 2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________． [答案] 14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时，等号成立．三、解答题 9．已知x >0，y >0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)若lg x ＋lg y ＝2，求5x ＋2y 的最小值．[解析] (1)∵x >0，y >0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥22x ·5y ＝210·xy . 又∵2x ＋5y ＝20， ∴20≥210·xy ， ∴xy ≤10，∴xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10. 这样u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u max ＝1. (2)由已知，得x ·y ＝100， 5x ＋2y ≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210， y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a 的最小值，其中a >0.[解析] 当0<a ≤1时， y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a≥2，当且仅当x ＝±1－a 时，y min ＝2. 当a >1时，令x 2＋a ＝t (t ≥a )，则有y ＝f (t )＝t ＋1t.设t 2>t 1≥a >1，则f (t 2)－f (t 1)＝(t 2－t 1)(t 1t 2－1)t 1t 2>0，∴f (t )在[a ，＋∞)上是增函数． ∴y min ＝f (a )＝a ＋1a，此时x ＝0. 综上，当0<a ≤1，x ＝±1－a 时，y min ＝2；当a >1，x ＝0时，y min ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D ．b a ＋a b≥2[答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b <0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b [答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x ∴A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0. ∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤(1＋a )＋(1＋b )2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6 [解析] 2x ＋3y≥26xy，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． [解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积s ＝12x (10－x )≤12[x ＋(10－x )2]2＝252(cm 2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x ＋100x≥21 440 000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1 440 000x ＝100x ，即x ＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。

基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。

一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

［基础训练A组］一、选择题1.若一2/+5兀一2>0,则丁4/-4・丫 + 1+2卜-2|等于（）A. 4x —5B. — 3C. 3D. 5 —4兀2.函数y=log丄（x+古+1）（x > 1）的最大值是（）A. —2B. 2C. —3D. 33人一13.不等式一的解集是（）2—x3 3 3A. {x|—WxW2}B. {x| —Wx V2}C・ {x|x>2 或x W —} D. {x|xV2}4 4 44.设a>l>b>-l,则下列不等式中恒成立的是（）A. — < —B. — > —C・ a>b* D・ £>2ba h a b5.如果实数x，y 满足x2 3+y J=l,则（1—xy）（1+xy）有（）1 3A.最小值一和最大值1B.最大值1和最小值二2 43C.最小值；而无最大值D.最大值1而无最小值46.二次方程/+ （a s+l）x+a-2=0,有一个根比1尢另一个根比一1小,则a的取值范围是（)A・一3 <a<l B. -2<a<0 C. -l<a<0 D. 0<a<2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）x > -21.不等式组、r的负整数解是______________________O兀>一3■2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为__________ oV2 +13.不等式一<0的解集是 _______________________ o2-x4.当尤= ____________ 时，函数y =，（2-小）有最_______值，其值是___________ 。

5・若f（n） = V«2+l 一亿g（n）=舁一J宀1,0（〃）=丄⑺已N）,用不等号连结起来为______2n2 不等式---------- ----------- V0的解集为R,求实数m的取值范围。

第三章 不等式一、选择题1．假设a ＝2，b ＝log π3，c ＝log πsin 52π，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则以下不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2B ．ab 2＜a 2bC ．21ab＜b a 21 D ．a b ＜ba3．假设对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1B ．｜a ｜≤1C ．｜a ｜＜1D ．a ≥14．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[0，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，0]∪[1，＋∞)5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11-x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )．A B C D7．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧yx y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．设变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧5－－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )．A ．[21，34] B ．[34，2] C ．[21，2] D ．[21，＋∞) ≥0 ≤1≥1 ≥0≥1 ≤1 (第6题)9．已知a ，b ∈R ，则使｜a ｜＋｜b ｜≥1成立的一个充分不必要条件是( )． A ．｜a ＋b ｜＜1 B ．a ≤1，且b ≤1 C ．a ＜1，且b ＜1D ．a 2＋b 2≥110．假设lg x ＋lg y ＝2，则x1＋y 1的最小值为( )． A ．201B ．51 C ．21 D ．2二、填空题11．以下四个不等式：①a ＜0＜b ，②b ＜a ＜0，③b ＜0＜a ，④0＜b ＜a ，其中使a 1＜b1成立的充分条件是 ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧-11 则不等式xf (x )＋x ≤4的解集是____________．13．假设不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对任意正整数n 恒成立， 则a 的取值范围是 ．14．关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＜0(a ＞0)的解集为__________________． 15．假设不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集，则a 的取值范围是 ．三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2194)(x －，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，求f (x )的最小值．(x ＞0)，(x ＜0)．17．甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点?18＊．已知关于x的不等式(ax－5)(x2－a)＜0的解集为M．(1)当a＝4时，求集合M；(2)当3∈M，且5∈M时，求实数a的取值范围．第三章不等式参考答案一、选择题 1．A解析：三个以上的实数比较大小，可以先估算，进行分类(与0比较或与1比较)，再应用不等式性质或作差法．因为π＞1，0＜sin52π＜1，所以c ＝log π sin 52π＜0． 又因为3＞1，所以b ＝log π3＞0，而a ＝2＞0，故c 最小，只需再比较a 与b 的大小． 由指数函数的性质知，2＞1而且0＜log π 3＜log π π＝1，所以a ＞b ，即a ＞b ＞c ． 2．C解析：比较两个实数的大小，可采用作差法，也可用特殊值排除法，以下用作差法． ∵a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，当a ＜b ，且a ，b 均为负数时，(a ＋b )( a －b )＞0，a 2 ＞b 2，排除A ． ∵ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，由于b －a ＞0，当a ，b 同号时(比方a ＝1，b ＝2)，ab (b －a )＞0，ab 2＞a 2b ，排除B ．∵21ab －b a 21＝22－b a b a ＜0，即21ab ＜b a 21． 同样可以用作差法判断a b ＜ba是错误的． 3．B解析：由于不等号两边的函数比较熟悉，可以尝试数形结合法． 令f (x )＝｜x ｜，g (x )＝ax ，画出图象如右图， 由图可以看出｜a ｜≤1． 4．D解析：用数轴标根法求解． x 3－x ≥0可化为 x (x －1)(x ＋1)≥0，如图，原不等式的解集为{x ｜－1≤x ≤0，或x ≥1}． 5．C解析：关键是利用单调性去掉“f ”，转化为不含“f ”的不等式求解．(第3题)(第4题)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (11-x )＞f (1)⇔11-x ＜1⇔12--x x ＞0⇔x ＜1或x ＞2． 6．B解析：首先根据方程ax 2－x －c ＝0的根确定a ，c ，再求出f (－x )． 由已知，方程ax 2－x －c ＝0的两个实根为－2和1，则(－2)＋1＝a 1，(－2)×1＝ac -，解得a ＝－1，c ＝－2，则f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －21)2＋49，由开口方向和对称轴位置判断为B ．7．D解：先画可行域如图．作直线l 0:5x ＋y ＝0，平行移动直线l 0至直线l ，从图形中可以发现，当直线l 经过平面区域内的点A 时，直线在y 轴的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧1＝＋1＝2＋y x y x ，解得⎩⎨⎧0＝1＝y x ，即A (1，0)， ∴z ＝5×1＋0＝5．(第7题)8．C解析：k 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率．解: 先画出题中不等式组所表示的区域(如图)，可以看出k OA 最小，k OB 最大．由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧1＝2＝0＝3－＋0＝5－－3y x y x y x 得A (2，1)， k OA ＝－20－1＝21； 由⎩⎨⎧⇔⎩⎨⎧2＝1＝0＝3－＋0＝1＋－y x y x y x 得B (1，2)， k OB ＝0－10－2＝2．∴21≤k ≤2，即k ∈[21，2]．9．D分析:如果①：某选项能推出|a |＋|b |≥1，则充分性成立；还需要②：|a |＋|b |≥1不能推出该选项，①和②满足，该选项就是充分不必要条件．解：假设a 2＋b 2≥1，则(|a |＋|b |)2＝a 2＋2|ab |＋b 2≥a 2＋b 2≥1，|a |＋|b |≥1，充分性成立．但|a |＋|b |≥1时，未必有a 2＋b 2≥1，例如21＋21＝1，然而221⎪⎭⎫ ⎝⎛＋221⎪⎭⎫⎝⎛＜1．10．B解：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100，且x ＞0，y ＞0， ∴x 1＋y 1≥2y x 11⋅＝xy2，即x 1＋y 1≥51， 当且仅当⎩⎨⎧100＝＝xy yx x ＝10，y ＝10时取等号．二、填空题 11．①②④． 解：a ＜0＜b ⇒a 1＜0＜b1，充分性成立； b ＜a ＜0⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒aba b －＜0，即a 1＜b 1，充分性成立；b ＜0＜a ⇒b 1＜0，a1＞0⇒a 1＞b 1，充分性不成立； (第8题)0＜b ＜a ⇒ab ＞0，b －a ＜0⇒a 1＜b1，充分性成立． 12．{x ｜0＜x ≤2，或x ＜0}．解析：由于f (x )是分段函数，所以要分别对每一段(分别在x ＞0，x ＜0条件下)解不等式．由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔0＜x ≤2， 由⎩⎨⎧ ⇔⎩⎨⎧ ⇔x ＜0， ∴0＜x ≤2或x ＜0． 13．［－2，23)． 解析：首先处理(－1)n ，需要对n 的奇偶性进行讨论． 假设n 为奇数，原不等式⇔－a ＜2＋n 1⇔ a ＞－(2＋n 1)，即a ＞－(2＋n1)对任意正奇数n 恒成立，因为－(2＋n 1)＝－2－n1＜－2，所以只需a ≥－2． 假设n 为偶数，原不等式⇔a ＜2－n 1，即a ＜2－n1对任意正偶数n 恒成立， 只需a ＜(2－n 1)最小值＝2－21＝23，即a ＜23． 所以假设对任意正整数n 不等式恒成立，以上应同时满足， 故－2≤a ＜23． 14．{x ｜1＜x ＜a ＋a1}． 解析：首先判断方程x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a1＝0(a ＞0)是否有实数根，实数根大小是否确定．x 2－(a ＋a 1＋1)x ＋a ＋a 1＜0可化为(x －1)[x －(a ＋a1)]＜0， ∵a ＞0，a ＋a 1≥2＞1，∴1＜x ＜a ＋a1． 15．{x ｜－1＜a ＜3}．解析：把问题等价转化为“恒成立”问题． x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是空集， ⇔ x 2－2x ＋3＞a 2－2a －1在R 上恒成立，x ＞0 xf (x )＋x ≤4 x ＞0x ·1＋x ≤4 x ＜0 xf (x )＋x ≤4 x ＜0x ·(－1)＋x ≤4⇔ x 2－2x －a 2＋2a ＋4＞0在R 上恒成立．因为抛物线y ＝x 2－2x －a 2＋2a ＋4开口向上，故只需△＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0， 即x 2－2x ＋3＜0⇔－1＜a ＜3． 三、解答题16．解析：f (x )＝(x －1)2＋2194)(x －－1≥294－1＝31． 当x －1＝2194)(x －时，即x ＝1±36时，f (x )取到最小值31． 17．分析：行走时间短者先到达指定地点，问题的实质是比较两个实数(式子)的大小，用作差法．解：设从出发地到指定地点的路程是s ，甲乙两人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，则s n t m t ＝2＋211，2＝2＋2t n s m s ，所以t 1＝n m s ＋2，t 2＝mnsn m 2＋)(． t 1－t 2＝mns n m n m s 2＋－＋2)(=)(］)([n m mn s n m mn ＋2＋－42)()(n m mn s n m ＋2－＝－2， 因为s ，m ，n 均为正数且m ≠n ，所以t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2， 所以甲比乙先到达指定地点．18＊．解：(1)当a ＝4时，(ax －5)(x 2－a )＜0⇔(x －45)(x －2)(x ＋2)＜0，由数轴标根法得x ＜－2，或45＜x ＜2． 故M ＝{x ｜x ＜－2，或45＜x ＜2}． (2)3∈M ，且5∈M⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧⇔))(())((25－1－9－35－a a a a ⎪⎩⎪⎨⎧⇔ ⇔1≤a ＜35，或9＜a ≤25．故实数a 的取值范围是{x ｜1≤a ＜35，或9＜a ≤25}． (3a －5)(9－a )＜0(5a －5)(25－a )≥0 ≤0 a ＜35，或a ＞9 1≤a ≤25＞0 (第18题)。

高中数学必修5不等式训练(含详细答案)第三章 不等式一、选择题.1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )．A. a 2 + 1＞aB.112+a ＜1C. a 2 + 9＞6aD. lg (a 2 +1)＞lg|2a |2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．A. y =xx 55+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x+x lg 1，1＜x ＜10C. y = 3x + 3-x ，x ∈RD. y = sin x+x sin 1，2π0＜＜x3. 不等式组 表示的平面区域的面积等于( )．A. 28B. 16C.439 D. 1214. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )．x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0A. ⎪⎭⎫⎝⎛11001， B. (100，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛11001，∪(100，＋∞)D. (0，1)∪(100，＋∞)5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )．A. x ≥2，或 x ≤-2B. -2≤x ≤2C. x ＜-3，或 x ＞3D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．A. 10B.C.D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 281x y+=，则 xy 有( )．A. 最大值 64B. 最小值164C. 最小值12D. 最小值648. 若 ，则目标函数 z = 2x + y 的x ≤2 y ≤2x + y ≥1取值范围是( )．A. [0，6] B . [2，4] C. [3，6] D. [0，5] 9. 若不等式 ax 2 + bx + c ＞0 的解是 0＜α＜x ＜β，则不等式 cx 2 - bx + a ＞0 的解为( )．A. α1＜x ＜β1B. -β1＜x ＜-α1C. -α1＜x ＜-β1D. β1＜x ＜α110. 若 a ＞0，b ＞0 ，且1a b +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a 的最小值是( )．A. 9B. 8C.7D. 6二、填空题. 1. 函数y 的定义域是 ．2. 若 x ，y 满足 ，则x y 的最大值为____________________，最小值x + 2y - 5≤0x ≥1y ≥0 x + 2y - 3≥0为_________________．3. 函数y=的最大值为．4. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是．5. 若集合A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y-x)(y+x)≤0}，M = A∩B，则M的面积为___________．6. 若不等式2x - 1＞m(x2 - 1)对满足-2≤m≤2 的所有m都成立，则x的取值范围是．三、解答题．1. 若奇函数f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数a的取值范围．2. 已知 a ＞b ＞0，求216()a b a b +-的最小值．3. 设实数 x ，y 满足不等式组 ．（1）作出点(x ，y )所在的平面区域； （2）设 a ＞-1，在（1）所求的区域内，求f (x ，y )= y – ax 的最大值和最小值．1≤x + y ≤4y + 2≥|2x - 3|4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．参考答案一、选择题． 1. A【解析】A ：a 2 - a + 1 = a 2- a +4341+=221⎪⎭⎫ ⎝⎛-a +43＞0. a 2 + 1＞a 恒成立．B ：当 a = 0 时，左 = 右．C ：当 a = 3 时，左 = 右．D ：当 a = ±1 时，左 = 右． 2. C【解析】A ：y 没有最小值． B ：∵ 1＜x ＜10， ∴ 0＜lg x ＜1． ∴ y ≥2．lg x =1，即x =10时，y min = 2． 此时不符合1＜x ＜10． C ：∵ 3x ＞0， ∴ y = 3x +x31≥2．x = 0时，y min = 2． D ：∵ 0＜x ＜2π， ∴ sin x ＞0． ∴ y ≥2．当 sin x =xsin 1时，此时 sin x = 1，x =2π，不符合 0＜x ＜2π． 3. B【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.解两两直线方程组成的方程组，可得 A (3，5)，B (3，-3)， C (-1，1)．∴ S 阴 =21· |AB | · |x A - x c | = 21×8×4 = 16． 4. D 【解析】∵∴ x ＞0． ∵ lg x 2＜lg 2x ， ∴ lg 2x - 2lg x ＞0． ∴ lg x ＞2 ，或 lg x ＜0， ∴ x ＞100 ，或 0＜x ＜1． 5. A【解析】∵（x 4 - 4）-（x 2 - 2）≥ 0，∴ x 4 - x 2 - 2≥0，∴（x 2 - 2）（x 2 + 1）≥0.x 2＞0，x ＞0，∴ x 2≥2．∴ x ≥2，或 x ≤-2． 6. D【解析】 3x + 3y ≥2yx33⋅= 2yx +3，∴ 3x + 3y ≥2×9×3= 183，当 x = y =25时，等号成立．7. D 【解析】 yx 82+≥2yx 82⋅= 8xy 1，当yx 82=，即 时，8xy1取最大值，即 xy取最小值 64． 8. A【解析】 据不等式组画出可行域．易知 A (-1，2)，B (2，2)．将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，z min = 0，当直线过 B 点时，z max = 6． 9. Cx = 4， y = 16【解析】由题知， 且 a ＜0.∴ b = -a (α + β )， c = a (αβ )．∴ 所求不等式可代为 a (αβ )x 2 + a (α + β )x + a ＞0．∴(αβ )x 2 +(α + β )x + 1＜0． ∴(αx + 1)(βx + 1)＜0． ∵ 0＜α＜β，∴ -α1＜-β1． ∴ -α1＜x ＜-β1． 10. A 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122b a =22221b a b a --+ 1 =22222)(b a b a b a --++ 1=ab 2+1≥222⎪⎭⎫⎝⎛+b a + 1 = 9．∴ 当 a = b=21时，原式取最小值 9．二、填空题． 1. （-8，8）．【解析】∵ 64 - x 2＞0 ∴ x 2＜64，-8＜xα + β = ab- α β = ac＜8，即(-8，8)．2. 2，0.【解析】 据不等式组画出可行域．由图可知，2max=⎪⎭⎫⎝⎛xy ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛m inxy 0．3. 21． 【解析】设 x = cos ， ∈[0，π]． ∴ y = cos sin =21sin 2 ． ∵ ∈[0，π]，∴ 2 ∈[0，2π]，∴ y max =21，此时 =4π，x = cos 4π=22． 4. 21-．【解析】如图，r =21-+b a =212-+b a ≤21222-+b a =2122-=212-. 当且仅当 a = b =22时， r max =212-．5. 1．【解析】如图，M 为阴影部分. M 的面积为()2221⨯= 1．6. 271+-＜x ＜231+． 【解析】令 f (m )= m (x 2 - 1)-(2x - 1)(x ≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．由于 -2≤m ≤2 时，f (m )＜0 恒成立，x 2 - 1＞0 x 2 - 1＜0 ∴ 或f （2）＜0 f （-2）＜0解得 1＜x ＜231+，或271+-＜x ＜1，又x = 1 时，亦符合题意．∴ 271+-＜x ＜231+． 三、解答题．1. 由f (1 - a )+ f (1 - a 2)＜0，得 f (1 - a )＜- f (1 - a 2). 又因为函数f （x ）为奇函数，所以- f (1 - a 2) = f (a 2 - 1)．∴ f (1 - a )＜ f (a 2 - 1). 又∵ 函数 f (x ) 在其定义域(-2，2)上是减函数，1 - a ＞a2 – 1 -2＜a ＜1 ∴ -2＜1 - a ＜2 解得 -1＜a ＜3-2＜a 2 - 1＜2 -3＜a ＜3∴ a ∈（-1，1）．2. 由 a ＞b ＞0 知，a - b ＞0，∴ b （a - b ）≤4222a b a b =⎪⎭⎫⎝⎛-+．∴ a 2 +)(16b a b -≥a 2 +264a ≥22264a a ⋅= 16．当且仅当 a 2 =264a，b = a - b ， 即当 a = 22，b =2时，a 2 +)(16b a b -取得最小值 16．3. （1）（-3，7） 【解析】（2） 最大值为7+3a ，最小值为4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为x200m ，水池外圈周壁长2x + 2 · x 200（m ），中间隔墙长2 · x200（m ），池底面积200（m 2）．∴ y = 400⎪⎭⎫⎝⎛+⋅x x 20022+ 248 · x 200 · 2 + 80×200 = 800⎪⎭⎫⎝⎛+x x 324+ 16 000- 1- 2a , -1＜a ≤2 1 - 3a , a ＞2≥1 600xx 324+ 16 000 = 44 800．当且仅当 x =x324，即 x = 18，x 200=9100时，y min = 44 800．答：当污水池长为 18 m ，宽为9100m 时，总造价最低，最低为 44 800元．。

人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 若x，y是正数，且1x +4y=1，则xy有（）A.最小值16B.最小值116C.最大值16 D.最大值1162. 当x∈R且x≠0时，下列不等式恒成立的是()A.x+1x ≥2 B.x+1x≤−2 C.|x|x2+1≥12D.|x+1x|≥23. 已知a>−3，b>−4，(a+3)(b+4)=25，则a+b的最小值是()A.2B.3C.5D.104. 若0<a<1，0<b<1且a≠b，则a+b，2√ab，a2+b2，2ab中最大的是()A.a+bB.2√abC.a2+b2D.2ab5. 已知正数x，y满足x2+2xy−3=0，则2x+y的最小值是()A.1B.3C.6D.126. 已知点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上，则2x+4y的最小值为()A.2√2B.4√2C.16D.47. 当0<x<π2，函数f(x)=1+cos2x+8sin2xsin2x的最小值为()A.2B.2√3C.4D.4√38. 在腰长为10cm的等腰直角三角形中作一个内接矩形，使它的一边在斜边上，另外两个顶点在两个腰上，则矩形面积的最大值为()A. 25cm2B. 5cm2C. 10cm2D. 8cm29. 已知向量a →=(3, −2)，b →=(x, y −1)且a → // b →，若x ，y 均为正数，则3x +2y 的最小值是（ ） A.53 B.83C.8D.2410. 无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是( )A.a 2+b 2≥a +bB.4ab ≥a 2+b 2C.a +b >2√abD.a 2+b 2≥2ab11. 在实数集R 中定义一种运算“∗”，对任意a ，b ∈R ，a ∗b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a ∗0=a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a ∗b =ab +(a ∗0)+(b ∗0)． 则函数f(x)=(e x )∗1e x 的最小值为( ) A.2 B.3 C.6 D.812. 已知与两坐标轴正半轴都相交的直线xa+yb =1恒过定点(2,5)，则使不等式lg a +lg b ≥m 恒成立的m 的最大值为( ) A.1 B.2 C.1+2lg 2 D.2+2lg 2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)已知x >2，则函数y =x 2−4x+8x−2的最小值为________．若函数f(x)=x +m 2x在(0, +∞)上的最小值为4，则m 的值为________.已知正实数x，a1，a2，y成等差数列，正实数x，b1，b2，y成等比数列，则√b1b2a1+a2的取值范围是________．若a，b∈R，ab>0，则a 4+4b4+1ab的最小值为________．三、解答题(本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 回答下列问题：(1)求证：4a−3+a≥7(其中a>3)；(2)已知a，b，c∈(0,+∞)，且a+b+c=1，求证：1a +1b+1c≥9.已知函数f(x)=log4(4x+1)−(k−1)x（x∈R，k为常数）为偶函数．(1)求常数k的值；(2)当x取何值时，函数f(x)的值最小？并求出f(x)的最小值.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求1x +2y的最小值．设x，y满足约束条件{2x−y+2≥0,8x−y−4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8.(1)求1a +1b的最小值；(2)求a2+16b2−4ab的最小值.四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（也是该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3−km+1(k如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．(1)设2018年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？已知函数f(x)=xx+1(x≠−1)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>b>0，且c=1(a−b)b ，求证：f(a2)+f(c)>45.参考答案与试题解析人教A数学必修5第十单元单元测试卷：基本不等式一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】由题意可得1x +4y=1≥2√4xy=4√1xy，可得1xy≤116，即xy≥16，从而得到结论．【解答】解：由于x，y是正数，且1x +4y=1，∴1x+4y=1≥2√4xy=4√1xy，∴1xy≤116，∴xy≥16，当且仅当1x =4y=12时，等号成立，∴xy有最小值为16，故选A．2.【答案】D【考点】不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号)，当x<0时，−x>0，所以x+1x =−(−x+1−x)≤−2(当且仅当x=−1时取等号)，所以排除A，B；又x2+1≥2|x|，所以|x|x2+1≤12(当且仅当|x|=1时取等号)，所以排除C；因为|x+1x|≥|2|=2，所以D正确. 故选D.3.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由a>−3，b>−4，可得a+3>0，b+4>0，则a+b=(a+3)+(b+4)−7≥2√(a+3)(b+4)−7=3，当且仅当a+3=b+4=5，即a=2，b=1时取等号.故选B.4.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由基本不等式，可知a+b≥2√ab，a2+b2≥2ab，又0<a<1，0<b<1，所以a+b>a2+b2，所以最大的一个是a+b.故选A.5.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2+2xy−3=0，得y=3−x 22x =32x−12x，所以2x+y=32x+32x≥2×32=3（当且仅当x=1时，等号成立）.故选B.6.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 直线的点斜式方程 斜率的计算公式【解析】由点P(x, y)在经过A(3, 0)，B(1, 1)两点的直线上可求得直线AB 的方程，即点P(x, y)的坐标间的关系式，再利用基本不等式可求得2x +4y 的最小值． 【解答】解：由A(3, 0)，B(1, 1)可求直线AB 的斜率k AB =−12， ∴ 由点斜式可得直线AB 的方程为：x +2y =3．∴ 2x +4y =2x +22y ≥2√2x ⋅22y =2√2x+2y =2√23=4√2， 当且仅当x =2y =32时取等号． 故选B ． 7.【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 基本不等式同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为0<x <π2，所以tan x >0. 所以f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x=2cos 2x+8sin 2x 2sin x cos x=1+4tan 2x tan x =1tan x +4tan x≥2√1tan x⋅4tan x =4，当且仅当tan x =12时取等号， 所以函数f(x)=1+cos 2x+8sin 2xsin 2x的最小值为4.故选C . 8. 【答案】 A【考点】等腰三角形的性质基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】本题考察基本不等式的运用。

第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时 一元二次不等式解法（习题课）A 级 基础巩固一、选择题1．不等式(x-1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x|x>1}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ≥1或x=-2}D ．{x|x ≤-2或x=1}2．若集合A={x|ax 2-ax ＋1<0}=∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4}C ．{a|0<a ≤4}D ．{a|0≤a ≤4}3．已知集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N={x|x≤-3}，则集合{x|x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R(M∩N) D ．∁R(M∪N)4．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f(10x )＞0的解集为( ) A ．{x|x ＜-1或x ＞lg 2} B ．{x|-1＜x ＜lg 2}C ．{x|x ＞-lg 2}D ．{x|x ＜-lg 2}5．对任意a∈[-1，1]，函数f(x)=x 2＋(a-4)x ＋4-2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x<3B ．x<1或x>3C ．1<x<2D ．x<1或x>2二、填空题6．若不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．7．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(-∞，-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a=________．8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m-1=0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题9．已知一元二次不等式(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围．10．已知f(x)=-3x 2＋a(6-a)x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0.B 级 能力提升1．若实数α，β为方程x 2-2mx ＋m ＋6=0的两根，则(α-1)2＋(β-1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．-14D ．-4942．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1=0.若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．答案解析A 级 基础巩固1．解析：(x-1)x ＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋2≥0或x=-2，⇒x ≥1或x=-2，故选C. 答案为：C ；2．解析：因为ax 2-ax ＋1<0无解，当a=0的显然正确；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a 2－4a≤0⇒0≤a ≤4.综上知，0≤a ≤4.选D. 答案为：D ；3．解析：因为M={x|-3<x<1}，N={x|x ≤-3}，所以M∪N ={x|x<1}，故∁R(M∪N)={x|x≥1}，选D.答案为：D ；4．解析：由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f(10x )＞0， 所以-1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜-lg 2. 答案为：D ；5．解析：f(x)=x 2＋(a-4)x ＋4-2a>0，a ∈[-1，1]恒成立⇒(x-2)a ＋x 2-4x ＋4>0，a ∈[-1，1]恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）×1＋x 2－4x ＋4>0，解得3<x 或x<1.选B. 答案为：B ；6．答案为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1；7．解析：由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(-∞，-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故-12应是ax-1=0的根，所以a=-2. 答案为：-2；8．解析：若方程x 2m＋x ＋m-1=0有一个正实根和一个负实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m －1＞0.所以0＜m ＜1或∅. 答案为：(0，1)；9．解：因为y=(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4为二次函数，所以m≠2.因为二次函数的值恒大于零，即(m-2)x 2＋2(m-2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，2＜m ＜6. 所以m 的取值范围为{m|2＜m ＜6}．10．解：f(1)=-3＋a(6-a)＋3=a(6-a)，因为f(1)≥0，所以a(6-a)≥0，a(a-6)≤0，方程a(a-6)=0有两个不等实根a 1=0，a 2=6，由y=a(a-6)的图象，得不等式f(1)≥0的解集为{a|0≤a≤6}．B 级 能力提升1．解析：因为Δ=(-2m)2-4(m ＋6)≥0，所以m 2-m-6≥0，所以m≥3或m≤-2.(α-1)2＋(β-1)2 =α2＋β2-2(α＋β)＋2=(α＋β)2-2αβ-2(α＋β)＋2=(2m)2-2(m ＋6)-2(2m)＋2=4m 2-6m-10=4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342-494， 因为m≥3或m≤-2，所以当m=3时，(α-1)2＋(β-1)2取最小值8.答案为：A ；2．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x-8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x.第二次又倒出4升药液， 则倒出的纯农药液为 4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －8－4（x －8）x 升． 依题意，得x-8-4（x －8）x≤28%·x. 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2-150x ＋400≤0，即(3x-10)(3x-40)≤0.解得103≤x ≤403.又x ＞8，所以8＜x≤403. 答案为：⎝⎛⎦⎥⎤8，403；3．解：设f(x)=x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图，由图分析可得，m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0.解得-56<m<-12.。

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．943．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-5．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．16．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R7．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．88．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<- 9．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21ac +>21b c + D ．a |c |>b |c |11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．14．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________. 15．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．18．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为______.19．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠． （1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值； （2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值．22．已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值．23．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值. 25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．D解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y xy ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．A解析：A 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233zy x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大，由4100yx y=⎧⎨--=⎩得到5(,0)2A，所以23z x y=-的最大值为max523052z=⨯-⨯=，故选C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．C解析：C【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x=-，利用线性规划即可求解.【详解】解：由2z x y=-得122zy x=-，作出x，y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小， 420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-， 得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.6．A解析：A 【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.7．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．8．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题9．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -， 此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．10．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.11．D解析：D【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】 由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小， 此时z 最大，由2222x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）．代入目标函数z=x-2y ， 得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得 解析：612【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值． 【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+， ∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立， ∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan CA C C A C C C A C CC-==++++-，又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan C =等号成立， ∴()tan tan tan tan tan tan 1tan =21123A CA CC CA C -≤++-=.故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.15．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△＝m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析：12-【分析】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，令()2f x x mx m ++＝，若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1，2]上恒成立，则有△＝m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩，解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，实数m 的最小值为：12-， 故答案为12-． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是将x 2+mx +m ≥0在x ∈[1，2]上恒成立转化为二次函数y ＝x 2+mx +m 在x ∈[1，2]上的最值问题．17．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y xx y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.18．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大解析：23 【分析】先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解. 【详解】画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，可得交点(0,1),(7,1)A B ， 又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，目标函数2z y x =-可化为122zy x =+， 当直线122zy x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.故答案为：23【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.19．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键 解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小． 【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ．故答案为：p q ． 【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16．【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值． 【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-，1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩．（2）由于()12f =，0a >，0b >， 则可知232a b +-+=， 得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b aa b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，所以19a b +的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．（1）[]23，-；（2）92． 【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值. 【详解】解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-.（2）由（1）可知3m =，则1a b +=， 则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92． 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型.23．（1）[]44-，；（2）(],3∞-． 【分析】（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1y x x=-在区间[]1,2上的最大值求解即可． 【详解】（1）由题意得()2102af x x x =-+≥在R 上恒成立， ∴2404a ∆=-≤，解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-． （2）由题意得[]21,2,122ax x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈， 则()g x 在区间[]1,2上单调递增， ∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3∞-． 【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >；（2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替． 24．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-.【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解. 【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>， 所以23440x x --<， 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， 解得223x -<<， 所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根， 则有243a m -+=--且443m -=-， 解得13m =，112a =-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.25．(1)3；(2)6b ≥- 【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ，即可求出a 的值；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围. 【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x-≤+在[0,2]上恒成立，因为13()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题.26．（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =- （2）∵不等式的解集为R∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞， 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。

高中数学必修5不等式精选题目（附答案）一、一元二次不等式(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．1. (1)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}(2)解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.1.[解析] (1)由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12.[答案] A(2)解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a ，∴此时不等式的解集为x a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a. 综上所述，当a ≥0时，不等式的解集为R ；a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a . 注：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．2．函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 解析：选D 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1， 即⎩⎨⎧ 1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：24．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.二、简单的线性规划问题1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．5.(1)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎨⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元5.[解析] (1)不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC ，目标函数的几何意义是区域内的点与点P (0，－1)连线的斜率，显然图中AP 的斜率最小．由⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3解得点A 的坐标为(2,1)，故目标函数z ＝y ＋1x 的最小值为1＋12＝1.(2)设对项目甲投资x 万元，对项目乙投资y 万元， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.目标函数z ＝0.4x ＋0.6y .作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A 点取最大值，代入得z max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.[答案] (1)A (2)B注：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．6．不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( ) A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：选B 不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.7．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a ＝________. 解析：依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1.答案：18．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1 800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．解析：设第一种机器购买x 台，第二种机器购买y 台，总的年利润为z 万日元，则⎩⎨⎧ 3x ＋5y ≤135，50x ＋20y ≤1 800，x ，y ∈N ，目标函数为z＝9x ＋6y . 不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．当直线z ＝9x ＋6y 经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫63019，13519，即到达l 1位置时，z 取得最大值，但题目要求x ，y 均为自然数，故进行调整，调整到与M 邻近的整数点(33,7)，此时z ＝9x ＋6y 取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．答案：33 7三、基本不等式基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．9.(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6(2)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53 C ．2 D.54[解析] (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.[答案] (1)C (2)C注：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．10．已知2x ＋2y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4 x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝y x ，即x ＝y ＝4时取等号．11．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：912．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x>25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．巩固练习：1．若1a＜1b＜0，则下列不等式不正确的是()A．a＋b＜ab B.ba＋ab＞0C．ab＜b2D．a2＞b2解析：选D由1a＜1b＜0，可得b＜a＜0，故选D.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.3．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是()A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2解析：选A∵x＞1，∴x－1＞0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2(x－1)＋3x－1＝(x－1)2＋2(x－1)＋3x－1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时等号成立． 4．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞) 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎨⎧ x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋y 的取值范围是[4，＋∞)．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：选C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C.94 D ．3 解析：选B 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4，即xy z ≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1， 当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示， ∵y x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x 最大．由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴y x 的最大值为3.答案：38．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ________log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥ t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t .答案：≤9．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－110．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)．(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，整理得⎩⎨⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎨⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和．(注：f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获利？(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；问哪种方案最合算？为什么？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f (n )＝－2n 2＋40n －72.(1)获利就是要求f (n )>0，所以－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6.②f (n )＝－2(n －10)2＋128.当n ＝10时，f (n )max ＝128.故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．12．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值． 解：设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意f (x )在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，∴⎩⎨⎧ f (0)≥0，f (1)≤0，f (2)≥0，即⎩⎨⎧ b ≥0，a＋2b ＋1≤0，a ＋b ＋2≥0，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图．由⎩⎨⎧ a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝1，即C (－3,1)．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．又B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。