第五章 有限元分析方法2011

§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。

虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。

这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。

２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。

下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、　[][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y x T y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5) (5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数； i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。

梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。

有限元分析方法有限元分析方法是一种在数字计算机上定量分析变形、弹性以及现代结构的受力情况的方法。

有限元分析方法的发展日趋完善，是加强建筑物结构抗震能力的有力工具。

一、有限元分析方法的概念有限元分析方法是一种基于有限元分析原理的数学方法，它是一种用于计算低维受力系统的通用数值方法，尤其是用于非线性力学系统的数值分析方法。

在有限元数值分析中，计算对象由许多有限个结构物构成，这些结构物称为有限元。

每个有限元都有一定的体积和形状，如线元、面元和体元。

有限元分析的基本思想就是将复杂的物理结构模型分解为若干较小的有限元模型，再将这些小的有限元模型组合成一个完整的物理模型，并对其进行连续性研究，从而精确地确定受力构件的变形、位移、应力、变形能量等物理参数。

二、有限元分析方法在工程中的应用有限元分析方法可以用于结构分析、计算机辅助设计和工程校核。

有限元分析方法可以用于预测结构的受力情况、拓扑设计和优化，这对于重要的结构失效的防护和抗震性能的提高有重要意义。

在计算机辅助设计领域，有限元分析方法可以用于几何形状优化，减轻材料重量并提高刚度，这是一种非常有效的技术。

在建筑工程中，有限元分析方法可以用于计算建筑物的受力情况，确定其最大荷载量，为建筑物的改造和重建提供参考。

三、有限元分析方法的发展趋势随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断推进。

近年来，以网格化数值计算为基础的有限元分析方法已经取得了巨大的进展，如实施大型网格化分析、更加准确和可靠的模型细分、更准确的网格分解技术、更有效的数值求解技术等。

这些技术将使有限元分析技术更容易、更有效地应用于计算机辅助设计、工程校核和抗震分析等领域。

总之，有限元分析方法是一种重要的力学分析方法，它在结构分析、计算机辅助设计以及建筑物抗震性能的研究中都起着重要作用。

随着计算机技术的发展，有限元分析方法的发展也在不断发展，为实现地震安全建筑的建设做出贡献。

第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。

其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。

杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。

杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。

显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。

杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。

因此，本章将采用这种方法进行单元分析。

至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。

5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。

3． 外载荷均为作用于节点的集中力。

由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。

5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。

两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。

图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。

由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。

有限元分析法麻省理工学院材料科学与工程系2001 年 2 月 28 日引言有限元分析法（FEA ）近年来已应用得非常广泛，现已成为年创收达数十亿美元的相关产业的基础。

即使是很复杂的应力问题的数值解，现在用有限元分析的常规方法就能得到。

此方法是如此的重要，以至于即便像这些只对材料力学作入门性论述的模块，也应该略述其主要特点。

不管有限元法是如何的卓有成效，当你应用此法及类似的方法时，计算机解的缺点必须牢记在心头：这些解不一定能揭示诸如材料性能、几何特征等重要的变量是如何影响应力的。

一旦输入数据有误，结果就会大相径庭，而分析者却难以觉察。

所以理论建模最重要的作用可能是使设计者的直觉变得敏锐。

有限元程序的用户应该为此目标部署设计策略，以尽可能多的封闭解和实验分析作为计算机仿真的补充。

与现代微机上许多字处理和电子制表软件包相比，有限元的程序不那么复杂。

然而，这些程序的复杂程度依然使大部分用户无法有效地编写自己所需的程序。

可以买到一些预先编好的商用程序1，其价格范围宽，从微机到超级计算机都可兼容。

但有特定需求的用户也不必对程序的开发望而生畏，你会发现，从诸如齐凯维奇（Zienkiewicz 2）等的教材中提供的程序资源可作为有用的起点。

大部分有限元软件是用Fortran 语言编写的，但诸如felt 等某些更新的程序用的是C 语言或其它更时新的程序语言。

在实践中，有限元分析法通常由三个主要步骤组成：1、预处理：用户需建立物体待分析部分的模型，在此模型中，该部分的几何形状被分割成若干个离散的子区域——或称为“单元”。

各单元在一些称为“结点”的离散点上相互连接。

这些结点中有的有固定的位移，而其余的有给定的载荷。

准备这样的模型可能极其耗费时间，所以商用程序之间的相互竞争就在于：如何用最友好的图形化界面的“预处理模块”，来帮助用户完成这项繁琐乏味的工作。

有些预处理模块作为计算机化的画图和设计过程的组成部分，可在先前存在的CAD 文件中覆盖网格，因而可以方便地完成有限元分析。

第五章有限元素方法§5.1有限元素方法的基本思想有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。

它比传统解法具有理论完整可靠，物理意义直观明确，适应性强，形式单纯、规范，解题效能强等优点。

从数学上来说, 有限元素方法是基于变分原理。

它不象差分法那样直接去解偏微分方程, 而是求解一个泛函取极小值的变分问题。

有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的。

采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证。

有限元素法优点：- 降低实验所需成本- 減少試验对象的变异困难- 方便参数控制- 可获得实验无法获得的信息有限元素法基本概念：元素(element)，节点(node)，连結元素有限元素法的基本思想:•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解.•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.•元素与与元素间以“节点”相连.•由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.•采用內插法求得元素內任意点的物理量.§5.2二维场的有限元素方法1． 场域划分的约定三角形元素。

三角形元素越小，场域的分割就越细，计算的精度就会越高。

因而在实际应用中是按精度的要求来决定场域内各处三角形元素的大小。

一般规定每个三角形元素的三个边的边长尽量地接近，尽量避免三角形元素具有大的钝角，一般最长的一条边不得大于最短边的三倍。

在分割场域时要求各三角形元素之间只能以顶点相交，即两相邻的三角形元素有两个公共的顶点及一条等长的公共边。

不能把一个三角形的顶点取在另一个三角形的边上。

划分时还应当注意要尽量地使由相邻边界节点之间的线段所近似构成的曲线足够光滑。

如果在场域D内有不同的介质，则需要将介质的交面线选为分割线。

它的第一个方程为：()()()()()2121111Φ−=ΦK P K . (5.2.38) 根据边界条件，我们可以强制性地命令上式中()()02Φ=Φ，得到了强加边界条件处理后的有限元方程：()()()()()()()⎭⎬⎫Φ=ΦΦ−=Φ022121111K P K ， (5.2.39) 显式地写出公式(5.2.39)的第一个方程为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛000000021212222111211.......................................................n n n n n n n K K K K K K K K K ϕϕϕM M =⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−−−−−++−++−++)(002)2(01)1()()(0202)2(201)1(2)2()(0102)2(101)1(1)1(00.......................................n n n n n n n n n n n n n n n n n n n K K K P K K K P K K K P ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ, (5.2.40)公式(5.2.40)还可以简单地记为()()()111P K ′=Φ . (5.2.41)5.有限元素法的一般步骤总结有限元素法计算步骤:推导出与给定边界条件的偏微分方程等价的泛函表示； 把求解的区域用三角形元素划分为小的单元。

有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法，它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素，然后利用数学方法对这些元素进行计算，最终得出整个结构的应力、变形等物理量。

有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。

有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元，每个单元都是一个简单的几何形状，比如三角形、四边形等。

然后在每个单元内部建立一个数学模型，利用数学方法对这些单元进行计算，最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。

有限元分析方法的核心是建立数学模型。

在建立数学模型的过程中，需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。

通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数，可以得到准确的分析结果。

有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。

由于有限元分析方法将结构分割成小的单元，因此可以处理各种复杂的结构，比如曲面、异形、空腔等。

这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。

另外，有限元分析方法还可以进行结构优化。

通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数，可以对结构进行优化，使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，尽可能地减小材料消耗，降低成本。

当然，有限元分析方法也有一些局限性。

比如，在处理非线性、大变形、大变位等问题时，需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应，这会增加分析的复杂度。

另外，有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响，需要谨慎选择这些参数。

总的来说，有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法，它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。

通过合理地建立数学模型、选择合适的参数，可以得到准确的分析结果，为工程设计和科学研究提供有力的支持。