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第五章 回归分析

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数值计算05-回归分析

数值计算05-回归分析

ˆ 的置信区间为 [0.6047,0.834]; 1
r =0.9282,
2
F=180.9531,
p=0.0000
p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而 第二个数据可视为异常点. 4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
数值计算 第五章 回归分析
Galton公式:
y 33.73 0.516x
其中x 表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。
y(cm) 160.07 168.23 173.39 178.55 x(cm) 150 160 170 180
183.71
188.87 194.03
190
200 210
回归分析的内容
回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （i）建立因变量y与自变量x 1, x2 ,… , xm 之间的回归 模型（经验公式）； （ii）对回归模型的可信度进行检验； （iii）判断每个自变量x i(i=1,2,…,m) 对y 的影响是否 显著； （iv）诊断回归模型是否适合这组数据； （v）利用回归模型对y 进行预报或控制。
一元回归的Matlab实现
1、确定回归系数的点估计值：b=regress( Y, X ) 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 3、画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）

第五章-假设检验与回归分析

第五章-假设检验与回归分析
2
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到U 变量的观测值 u x 0 n 0
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H1 ，
否则不能拒绝零假设 H 0 。
第五章 假设检验与回归分析 例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg
服从正态分布 N(25,0.02) ，长期实践表明方差 2 比较稳定，从
第五章 假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ： 0 与备择假设 H1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的
值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U X 0 n ～ N(0,1) 0
第五章 假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
u
2
0.05， u 1.96 ，
2
第五章 假设检验与回归分析
x 0 n
12.5 12 1 100
5 u
2
1.96
故拒绝 H0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
0.10，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
PT 1.943 0.10
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到
拒绝域
t 1.943
第五章 假设检验与回归分析

回归分析法

回归分析法
第五章 回归分析方法
1
§5－1 一元线性回归



一、什么叫回归分析
（一）两种不同类型的变量关系、函数与相关
简单的说，回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的 数学方法。 例：自由落体运动中，物体下落的距离S与所需时间t之间，有 如下关系

S
1 2 gt 2
(0 t T )
2


变量S的值随t而定，这就是说，如果t给了固定值， 那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系
（二）相关系数检验法
由U ( yi y ) U [(a bxi ) (a b x )]2
2 i=1 N i=1 N ^ _ N _
b ( xi x) 2
2 i=1
_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y )]2整理后可得
i=1
23
相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度

空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析

空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析

来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
y
y
000.5yy 0.5y 0 y
1 2 3 4 5
000...555yyy334
2 y
1
0.5y 5
0.5y 5
0.5y 4
(3 1)
式（3 1）表示变量y *用其他区域的y进行解释的线性关系，可写成：
y Cy
（3 2）
其中，是需要估计的回归参数，反映了样本数据内在的空间
模式的有效描述，因此需要引入能够描述空间自相关和空 间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 • 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。
空间邻接矩阵为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
W 0 0 0 1 1
(8)
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
行标准化为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。

第五章相关分析与回归分析

第五章相关分析与回归分析

第五章相关分析与回归分析相关分析（Correlation Analysis）和回归分析（Regression Analysis）都是统计学中常用的数据分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。

相关分析主要用于衡量变量之间的线性关系强度和方向，回归分析则是基于相关分析的基础上建立数学模型来预测或解释因变量的方法。

相关分析是一种用于研究两个变量之间关系强度和方向的统计方法。

相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的指标，其取值范围为[-1,1]。

当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减少；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系弱或不存在。

常用的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlati on coefficient）和肯德尔相关系数（Kendall’s rank correlation coefficient）等。

皮尔逊相关系数适用于两个变量均为连续型的情况，斯皮尔曼和肯德尔相关系数则适用于至少一个变量为顺序型或等距型的情况。

回归分析是一种建立数学模型来预测或解释因变量的方法。

在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量建立数学关系，然后通过该关系来预测或解释因变量。

回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析两种。

简单回归分析是指只有一个自变量和一个因变量之间的分析。

该方法主要用于研究一个自变量对因变量的影响，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的线性关系。

简单回归分析的核心是最小二乘法，即通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线。

多元回归分析是指有多个自变量和一个因变量之间的分析。

该方法主要用于研究多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元线性回归模型来描述它们之间的关系。

第5章回归分析

第5章回归分析
表 商品价格与消费量的关系
价格X 5.0 5.2 5.8 6.4 7.0 7.0 8.0 8.3 8.7 9.0 10.0 11 消费量Y 4.0 5.0 3.6 3.8 3.0 3.5 2.9 3.1 2.9 2.2 2.5 2.6
5.2 一元线性回归
15
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续） 在坐标轴上做出价格与消费量的相关关系。
• 子女的身高与父亲及母亲的身高之间的关系。
• 农田粮食的产量与施肥量之间的关系。 • 商品的销售量与广告费之间的关系。
5.1 回归分析的基本概念
8
回归分析的步骤 • 确定变量。寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响 因素。 • 建立预测模型。依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立 回归分析预测模型。 • 进行相关分析。作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度 如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的 问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和 因变量的相关程度。 • 计算预测误差。回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检 验和对预测误差的计算。 • 确定预测值。利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最 后的预测值。
最小二乘法的原理就是，找到一组 aˆ ，bˆ 。使所有点的实际测量值 yi 与预测值 yˆi 的偏差的平方和最小。
残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）：
n
n
Q(aˆ,bˆ) (yi -yˆi )2 ( yi - aˆ - bˆxi )2
i=1
i=1
即，找到一组 aˆ ，bˆ 使RSS的值最小。

第五章假设检验与回归分析

第五章假设检验与回归分析本章主要介绍了假设检验和回归分析两种统计方法。

一、假设检验假设检验是通过收集样本数据来对总体参数的假设进行推断的一种统计方法。

假设检验的步骤如下：1.建立原假设和备择假设：原假设是需要进行检验的参数的假设值，备择假设是对原假设的一种否定或补充。

通常将备择假设设置为我们要验证的假设。

2.收集样本数据：根据样本数据进行统计分析，并计算出检验统计量。

3.确定显著性水平：显著性水平是拒绝原假设的最大错误概率，通常取0.05或0.014.计算拒绝域的临界值：根据显著性水平和自由度，在统计表中查找检验统计量的临界值。

5.比较检验统计量和临界值：如果检验统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。

二、回归分析回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。

它可以用来建立一个变量对另一个变量的预测模型。

回归分析的步骤如下：1.收集数据：根据需要收集自变量和因变量的数据。

2.建立模型：选择适当的回归模型，将自变量和因变量进行数学表达。

3.估计参数：使用最小二乘法等方法，对模型参数进行估计。

4.检验模型：通过检验模型的显著性水平，确定模型是否合理。

5.利用模型：使用估计的模型来进行预测和分析。

回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种。

简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。

回归分析的应用非常广泛，可以用于市场营销、财务管理、经济预测等领域。

通过回归分析，可以找到影响因变量的主要因素，并对未来的变化进行预测。

总之，假设检验和回归分析是统计学中两种重要的方法。

假设检验用于对总体参数的假设进行验证，回归分析用于研究变量之间的关系。

这两种方法在实际应用中具有广泛的价值。

空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析


5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
ui
.....................
ui
ui
uj
.............................
uj
.
. . ..
........................
uj
a)
b)
c)
无自相关假定表明随机扰动项ui是纯随机的。
• 自相关的性质：
自相关：在时间（如在时间序列数据中）或者空间 （如在横截面数据中）按顺序所列观察值序列
假定3.3 给定Xi，随机扰动项的期望为零。即
Eu | X i 0
假定3.4 同方差假定，即
Varui 2
假定3.5 无自相关假定，即
cov
u i
,u
j
0
i j
假定3.6 回归模型是正确设定的。即实证分析的
模型不存在设定误差或设定错误。
扰动项的条件分布
同方差和异方差的对比
自相关
例如：中国的国内生产总值与印度的人口之间具 有较强的相关性（相关系数较高），因为二者都以较 快的速度增长，但显然二者之间不具有因果关系。
回归分析的应用
（1）通过已知变量的值来估计应变量的均值 （2）根据经济理论建立适当的假设并对其进行检 验 （3）根据自变量的值对应变量的均值进行预测 （4）上述多个目标的综合

第五章 直线回归


三、一元线性回归方程求法
b

( x x )( y y )
(x x)
2


xy x
2
bx
四、一元线性回归方程求法举例
• 例1. 10个学生初一（x）和初二（y）的数 学分数如下： x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
试求初一和初二数学分数之间的回归方程。
由以上数据可以算得：
x 71
y 72 . 3

2
x 710

2
y 723 y
2

xy 51467 x
2
x
2
50520 1 10
52541
1 n 1
( x ) 50520
( 710 ) 110 1 10 ( 710 )( 723 ) 134
xy
b
n 134 110
( x )( y ) 51467 1 . 22
a y b x 14 . 32
ˆ 所 以 所 求 回 归 直 线 为 ： y 14 . 32 1 . 22 x
第五章 直线回归
一、直线回归分析的概念
直线回归是在直线相关分析的基础上找出
变量之间相互关系的合适的数学表达式，以 便可以从已知的变量的值推算出与之相对应 的未知变量的值的一种统计方法。
二、一元线性回归方程的建立
ˆ 描述变量x与y之间线性关系的数学模型：y a bx 称为一元线性回归方程，其中b称为回归系数，指 在回归方程中，自变量x对因变量y变化的数量关 系。即x变化一个单位，y变量将变化b个单位，记 作 b yx ，如果自变量为y，因变量为x，回归系数 则写作 b xy 。

社会科学研究方法回归分析


2014年4月29日12时48分
第6页
社会科学研究方法
二、一元线性回归模型的参数估计
• 回归模型中的参数a与b 在一般情况下都是未知数，必 须根据样本数据( x，y )来估计。 • 确定参数 与 值的原则是要使得样本的回归直线同观察 值的拟合状态最好，即要使得偏差最小。为此，可以 采普通最小二乘法（Ordinary Least Square，OLS） 来解决这个问题。 • 估计值和观察值之间的偏差
y 30391 .69 66.13x
2014年4月29日12时48分
第12页
社会科学研究方法
三、总离差的分解
残差可表示如下：
ˆi ei yi y
试验得到的数据 上式可改写成： 回归直线对应的数据
ˆi ( yi y) ( y ˆi y) ei yi y
移项得：
S XX xi x S XY SYY
Y
y n
i


2
1 x n
2 i
x
i
2


1 xi x yi y xi yi n 2 2 1 2 yi y yi yi n


x y
i i



2014年4月29日12时48分 第20页
社会科学研究方法
-1≤ r ≤1 r > 0，正相关；r = 1 为完全正相关 r < 0，负相关；r = -1 为完全负相关 |r| 越大，两变量相关越密切 正相关：0< r ≤1
2014年4月29日12时48分
第21页
社会科学研究方法
负相关：-1 ≤ r < 0
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第五章 回归分析
第一节 回归分析和相关分析
一、相关分析
（一）变量间的基本关系
现象之间的数量关系，存在着两种不同的类型： 函数关系和相关关系。
函数关系：是一种确定性关系 如：销售额=销售价格×销售量
相关关系：是一种非确定性关系 如：企业生产规模越大，单位生产成本越低
（1）函数关系
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起 变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数 值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自 变量，y 称为因变量各观测点落在一条线上。
（二）相关关系的判断
（1）定性分析
是依据研究者的知识和经验，对 客观现象之间是否存在相关关系， 以及何种关系作出判断。
（2）定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数 与判定系数 等方法，来判断现象之 间相关的方向、形态及密切程度。
简单相关表
相关图
又称散点图，用直角坐标系的x轴
y a bx
▪ 相关分析中x、y均为随机变量，回 归分析中只有y 为随机变量。
y a bx
（三）回归分析的步骤
1）确定自变量和因变量； 2）确定样本回归方程； 3）统计检验； 4）预测或控制。
回归分析的种类
一元回归
一
按自变量的
（简单回归）
元
个数
多元回归
线
（复回归）
性
回
按回归的
线性回归
式）与给定的自变量x，揭示因变量y
在数量上的平均变化，并求得因变量 的预测值的统计分析方法。
Y=a+bx
理解即可
（二）回归分析与相关分析 注意三点：
第一：相关系数（r）和回归系数 （b）方向一致，可以互相推算。
b＝r y x
第二：相关分析中x与y对等， 回归分析中x与y要确定自变量 和因变量；
归
形态
非线性回归
第二节 一元线性回归模型 一、一元线性回归模型
对于经判断具有线性关系的两个变量y与 x，构造一元线性回归模型为：
Y X
式中：α与β为模型参数，ε为随机误差项
非重点
（一）假定E()=0，总体一元线性回归方程：
Y C E Y X
如：各因素对商场销售额的影响： 1.服务态度（好）： + 2.商场拥挤度（大）： 3.产品质量（优）： + 4.地理位置（偏）： -
一元线性回归方程的几何意义
E(Y )
YC X
截距 斜率
X
一元线性回归方程的可能形态
为正
为负
为0
总体一元线性 回归方程
YC
EY
X
以样本统计量估计总体参数
样本一元线性回归方程 yc a bx
截距
回归系数
a、b的含义
-----以月支出（ yc ）和月收入（x）
yc 600 0.4x 为例:
a y b x
了解：b与r之间的关系
b＝
nxy nx 2
xy (x)2
＝
（nxy xy） ny2 (y)2
nx2 (x)2 ny2 (y)2 nx2 (x)2
＝r ny2 (y)2 nx2 (x)2
＝r y x
学 生
身高 体重
估计值
x2
y2
xy
x
y 10名学生的身高与体重散点图 yc
式中，a，b是待定参数，Q是a，b的函数，要使Q达到最小， 依据函数求极限的原理，则先求Q对a和b的偏导数，即：
Q a
2
(Y
a
bx)
0
Q
b
2
(Y
a
bx)·( x)
0
整理得到由两个关于a、b的二元一次 方程组成的方程组：
y na bx
xy
ax
bx 2
★解方程得：
b
nxy xy nx2 (x)2
代表自变量，y轴代表因变量，将 两个变量间相对应的变量值用坐 标点的形式描绘出来，用以表明 相关点分布状况的图形。
▪ 真实相关：当两种现象之间的相关确实具有 内在的联系时，称之为“真实相关”。
▪ 虚假相关：当两种现象之间的相关只是表面 存在，实质上并没有内在的联系时，称之为 “虚假相关”。
曲线相关
截距a 表示无自变量x的影响时，其它各种因素对因变量y
的平均影响；
---------当月收入为零时，为满足日常基本生活需求，每月 需支出600元
回归系数b 表明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变
动b个单位。
--------当月收入每增加一个单位（如1元），则月支出将 发生变动，平均增加b个单位（如0.4元）
残差 y-yc
A B
751156b80
70
1407 5100
95225100069070527780402060
47.291
1.04798.4848
C 162 48 26244 2304 7776 51.606
D 6516a4 55751.2067889681360725 1920320.159563.764
（二）最小二乘估计 （OLS估计）
最小二乘法(Least-square Method）
估计值：ｙｃ＝ａ+ｂ x
观察值 ｙ
∑（ｙ－ｙｃ）２→Min
参数的确定与计算
最小二乘法的理论基础是样本的n个实际值Y与其相应的理 论值Yc的离差平方和达到最小，即：
Q (Y Yc)2 (Y a bx)2 min
y
x
（2）相关关系
当一个或几个相互联系的变量取一定数值 时，与之相对应的另一变量的值是不确定 的，但它仍按某种规律在一定的范围内变 化。
产量 97 100 103 106 109 110 114 115 单位 7.2 7.0 6.9 7.2 6.7 6.5 6.8 6.5 成本
-0.291 0.552 -3.606 1.236
体重（Y）
E F
y 60166
55168c
662012227835252.64159338664040 11100.20098207885558..x097291
6.079 1.921
G x50117068 52 28900 2704 8840 60.236 -8.236
不相关
相关关系的种类与图示
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
强正相关
弱正相关
强负相关
弱负相关
二、回归分析
概念不须记忆
（一）回归分析的涵义与类型
线性相关分析法表明两变量之间的因 果关系 。
回归分析指在相关分析的基础上，根 据相关关系的数量表达式（回归方程