2018年高考数学总复习51平面向量的概念及线性运算演练提升同步测评文新人教B版!

高考数学一轮复习定时检测 4.1平面向量的概念及线性运算（带详细解析）文 新人教A 版一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·苏州模拟)如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是________．①AB →=DC →②AD →＋AB →＝AC →③AB →－AD →＝BD →④AD →＋CB →＝0解析 ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；AB →－AD →＝DB →故③不正确；④中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0答案 ①②④2.（2010·徐州模拟）设四边形ABCD 中，有，AB DC 21=且|,|||BC AD =则这个四边形是 .解析 由AB 21DC =知四边形ABCD 是梯形，又|,|||BC AD =所以四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 等腰梯形3.（2008·全国Ⅰ理）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则A D →＝ ____________(用b ，c 表示)．解析 如图所示，在△ABC 中，A D →=AB →＋BD →. 又.32,2=∴=,c b -=-=∴+=∴23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c . 答案 23b ＋13c4.（2010·泰州模拟）如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若,21OP b a +=且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ______0，b ______0(用“>”，“<”或“＝”填空)．解析 由于点P 落在第Ⅲ部分，且,21OP b a +=则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a >0，b <0.第四编 平面向量§4.1 平面向量的概念及线性运算答案 > <5.（2009·江苏南京二模）设OB →＝xOA →＋yOC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过端点O )，则x ＋y ＝________.解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在一个实数λ，AB →=λAC →，即OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)．OB →＝(1－λ)OA →＋λOC →.又∵OB →＝xOA →＝xOA →＋yOC →，∴x ＋y ＝(1－λ)＋λ＝1.答案 16.（2009·广东茂名一模）在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若,2=,31λ=则λ＝________. 解析 由图知+=+= 且A D →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23. 答案 237．(2009·浙江改编)设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．解析 由|a |=3，|b |=4及a ·b =0知a ⊥b ，故a ，b ，a -b 构成直角三角形，且|a -b |=5.又其内切圆半径为.12543=-+如图所示．将内切圆向 上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点．答案 48．(2009·北京改编)设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心．若集合S ＝{P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i ＝1,2,3}，则集合S 表示的平面区域是________．解析 如图所示，AB 、CD 、EF 分别为P 0P 1、P 0P 2、P 0P 3的垂直平分线，且AB 、CD 、EF 分别交P 1P 2、P 2P 3、P 3P 1于点A 、C 、D 、E 、F 、B .若|PP 0|=|PP 1|，则点P 在线段AB 上，若|PP 0|≤|PP 1|，则点P 在梯形ABP 3P 2中．同理，若|PP 0|≤|PP 2|，则点P 在梯形CDP 3P 1中．若|PP 0|≤|PP 3|，则点P 在梯形EFP 1P 2中．综上可知，若|PP 0|≤|PP i |，i =1,2,3，则点P 在六边形ABFEDC 中．答案 六边形区域9.（2009·山东改编）设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________.解析 因为BC →＋BA →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，即PC →＋P A →＝0.答案 0二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2010·南京调研）在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA → ① ②在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ， 用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)， 即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB → ＝2a －b －23b ＝2a －53b . 11.（16分）（2010·江苏苏州调研）已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的 中点，求证：).(21DC AB EF += 证明 方法一 如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0， 又∵BF →＋BF →＋FE →＋EA →＝0，∴EF →=A B →＋BF →＋EA → ①同理EF →=ED →+DC →＋CF → ②由①＋②得，2EF →=AB →+DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)=AB →+DC →.).(21DC AB EF +=∴ 方法二 连结,, 则,DC ED EC +=)(21)(21+++=+=∴).(21+= 12.（16分）（2009·上海宝山模拟）已知点G 为△ABC 的重心，过点G 作直线与AB 、AC两边分别交于M 、N 两点，且,,y x ==求1x ＋1y的值． 解 根据题意G 为三角形的重心，AG →＝13(AB →＋AC →)， MG →=AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →,31)31()(31,31)31(y AC AB AC y y x --=+-=-=-=+-= 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得 ,λ=即⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →,31)31(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--y λ即⎩⎨⎧ 13－x ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫y －13，因此13－x－13＝13y －13即x ＋y －3xy ＝0两边同除以xy 整理得1x ＋1y ＝3.。

§5.1平面向量的概念及线性运算考纲展示 ? 1. 了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点 1平面向量的有关概念向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 ________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．(2)零向量：长度为 ________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 ________的向量．(4)平行向量：方向相同或 ________的非零向量，又叫共线向量．规定：0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向 ________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向 ________的向量．答案： (1) 方向模(2)0(3)1 个单位(4)相反 (5) 相同 (6) 相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．→→(1)若四边形 ABCD满足 AD＝ BC，则四边形 ABCD的形状是__________．答案：平行四边形→→解析： AD＝BC表示 AD∥ BC且 AD＝ BC，所以四边形ABCD是平行四边形．→→(2)若四边形 ABCD满足 AD＝ kBC( k>0， k≠1)，则四边形 ABCD的形状是__________．答案：梯形- 1 -→→解析： AD＝ kBC( k>0， k≠1)表示 AD∥ BC，但 AD与 BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.[ 典题 1] (1) 给出下列命题：①若 |a| ＝ |b| ，则 a＝ b；→→②若 A， B，C， D 是不共线的四点，则“ AB＝ DC”是“四边形 ABCD为平行四边形”的充要条件；③若 a＝ b，b＝c，则 a＝c；④若 a∥b， b∥c，则 a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．②④C．③④D．②③④[答案]A[ 解析 ]①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．→→②正确．∵ AB＝ DC，→→→→∴|AB| ＝ | DC| 且AB∥DC.又 A， B， C，D是不共线的四点，∴四边形 ABCD为平行四边形；→→→→→→→反之，若四边形ABCD为平行四边形，则| AB| ＝ | DC| ，AB∥DC且AB，DC方向相同．因此AB →＝DC.③正确．∵ a＝ b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝ c，∴b，c 的长度相等且方向相同，∴a， c 的长度相等且方向相同，故a＝ c.④不正确．当b＝ 0 时， a， c 可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λ a＝0(λ为实数)，则λ必为零；- 2 -④已知 λ，μ 为实数，若λ a ＝ μ b ，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1B ．2 C ．3D ．4 [答案] C[ 解析 ]①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大 小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a ＝ 0 时，不论 λ 为何值， λ ＝ 0；④错误．当 λ ＝μ ＝ 0 时， λ ＝ μ ，此时， a 与 b 可以aab是任意向量．[ 点石成金 ] 1. 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移 动混为一谈．4．非零向量 a 与a a的关系：是 a 方向上的单位向量．|a||a|考点 2向量的线性运算向量的线性运算 向量法则(或几定义运算律运算何意义 )交换律： a ＋b ＝求两个向量和的运________ ；加法结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝a算＋ (________)- 3 -求 a 与 b 的相反向减法a － b ＝a ＋(________)量－ b 的和的运算| λa | ＝ | λ || a | ，当λ＞ 0 时，λ ( μ a ) ＝λ a 与 a 的方向 ________；求实数 λ 与向量 a当 λ ＜ 0 时， λ a 与 a 的方向数乘______；的积的运算当 λ ＝ 0 时，λ a ＝0答案： b ＋ a b ＋ c － b 相同 相反 λμ(______) a ；( λ＋μ ) a ＝________ ；λ ( a ＋b ) ＝________λa ＋μ a λa ＋ λ b→ →→ →→(1)[ 教材习题改编] 向量和式 ( AB ＋MB ) ＋ ( BO ＋BC ) ＋OM 化简后等于 __________ ．→答案： AC→ → → → → →解析： 原式＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＋ BC ＝ AC .→ →→→(2)[教材习题改编] 已知三角形ABC ，用 AB 与 AC 表示 BC 边上的中线向量 AD ，则 AD ＝ ________.→→11答案：2AB ＋2AC[ 典题 2] (1)[20172 广东惠州高三二模] 如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，- 4 -→点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF ＝()→ 1 →→→ 11 1A. 2AB － 3ADB. 4AB ＋2AD→ →→ →C.13AB ＋ 21DAD. 21AB －32AD[ 答案] D→ → →[ 解析] 在△ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ →因为点E 为的中点，所以＝1.DC EC2DC因为点 F 为 BC 的一个三等分点，→→2所以 CF ＝3CB .→→→→→→→121212所以 EF ＝2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝2AB －3AD ，故选D.→ → →→(2)[20172 辽宁沈阳模拟] 已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝ 0. 若存在实数m 使得 AB ＋ →→AC ＝ mAM 成立，则 m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5[答案]B→ → →[ 解析 ]由MA ＋ MB ＋ MC ＝0 知，点 M 为△ ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，- 5 -→→→→→ →→ →→22 11则AM ＝3AD ＝332( AB ＋ AC )＝3( AB ＋AC )，所以 AB ＋ AC ＝3AM ，故 m ＝3.[ 点石成金 ]向量线性运算的解题策略(1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考点 3共线向量定理的应用共线向量定理向量 a ( a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使得 b ＝ λ ________. 答案： a处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论．(1) 若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则a 与 c 的关系是 __________ ．答案： 共线向量或不共线向量解析： 若 b ＝0，则 a 与 c 未必是共线向量；若b 是非零向量，则 a 与c 是共线向量．注意：在处理向量问题时不要忽略零向量．(2) 已知两向量 ， ，若 | a | ＝1，| | ＝2，则 | a ＋ | 的范围是 ________． a b b b答案： [1,3]解析： 当 a ， b 方向相同时，有| a ＋b |＝3；当 a ， b 方向相反时，有| a ＋ b |＝1；当 a ， b 不共线时， 1<| a ＋b |<3. 所以 | a ＋b | 的范围是 [1,3].注意：在一般情况下，| a ＋b | ＝ | a | ＋ | b | 不成立 .有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示．- 6 -→(1) A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t 使得 OC＝→→tOA＋________OB.答案： 1－t→→解析：根据共线向量定理知，A， B， C 三点共线的充要条件是存在实数t 使得 BC＝ tBA，→→→→→→→即 OC－OB＝ t ( OA－ OB)，即 OC＝ tOA＋(1－t ) OB.→→ →(2)△ ABC中， D是 BC的中点，则 AD＝λ( AC＋ AB)，则λ＝________.1答案：2→→→→→→解析：由 AD＝ AB＋ BD， AD＝ AC＋ CD，得→→→→→2AD＝ ( AB＋AC) ＋ ( BD＋CD)．→→→→→1∵BD＋ CD＝0，∴ AD＝2( AB＋ AC)．[ 典题 3]设两个非零向量a 和 b 不共线．→→→(1)若 AB＝ a＋b， BC＝2a＋ 8b， CD＝3( a－ b)．求证： A， B， D三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka＋ b 与 a＋kb 共线．→→→(1)[ 证明 ] 因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3( a－b) ，→→→所以 BD＝ BC＋CD＝ 2a＋ 8b＋3( a－ b)→＝5( a＋b) ＝ 5AB，→→所以 AB， BD共线．→→又AB与 BD有公共点 B，所以 A， B，D三点共线．(2) [ 解 ]因为ka＋b与a＋kb共线，- 7 -所以存在实数λ ，使ka＋b＝λ (a＋kb)，k＝λ，即解得 k＝±1.1＝λk，即当 k＝±1时， ka＋b 与 a＋ kb 共线．→→[ 题点发散 1] 若将本例 (1) 中“BC＝ 2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B， D三点共线？→ →→解： BD＝ BC＋CD＝( a＋ mb)＋3( a－ b)＝4a＋( m－3) b，→→若 A， B， D三点共线，则存在实数λ，使 BD＝λ AB，即4a＋( m－3) b＝λ( a＋ b)，4＝λ，解得 m＝7.所以m－3＝λ，故当 m＝7时， A， B，D三点共线．[ 题点发散 2] 若将本例 (2) 中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解：因为 ka＋ b 与 a＋ kb 反向共线，所以存在实数λ，使 ka＋ b＝λ( a＋kb)( λ<0) ，k＝λ，解得 k＝±1.即kλ＝1，又λ <0，k＝λ ，所以k＝－ 1.故当 k＝－1时，两向量反向共线．[ 点石成金 ] 1. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ，λ，使λ a＋λ b＝0成立；若λ a＋1 2 1 2 1λ b＝0，当且仅当λ＝λ＝ 0 时成立，则向量a， b 不共线．2 1 21.已知向量 a， b 不共线，且 c＝λ a＋b，d＝ a＋(2λ －1) b，若 c 与 d 同向，则实数λ＝________.答案： 1解析：由于 c 与 d 同向，所以c＝ kd( k＞0)，于是λ a＋ b＝k[ a＋(2λ－1) b]，整理得λ a＋b＝ ka＋(2λ k－ k) b.- 8 -λ＝ k，由于 a， b 不共线，所以有2λk－k＝ 1，21整理得 2λ －λ－ 1＝ 0，所以λ＝ 1 或λ＝－.又 k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.1 2．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a 与 b 起点相同．若a， t b，3( a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，则t ＝________.1答案：21解析：∵ a，t b，3( a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，且a 与 b 起点相同．1∴a－ t b 与 a－3( a＋ b)共线，21即 a－ t b 与3a－3b 共线，21∴存在实数λ，使 a－ t b＝λ3a－3b ，2 3∴1＝3λ，解得λ ＝2，1 1t ＝3λ，t ＝2，即当t ＝1时，a，，1(a＋) 三向量的终点在同一条直线上 .2 t b3 b[ 方法技巧 ] 1. 向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．→→→→→2．对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，满足OP＝xOA＋yOB( x，y∈ R) ，则P，A，B 共线 ? x＋y＝ 1.[ 易错防范 ] 1. 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.真题演练集训- 9 -→→1．[20152 新课标全国卷Ⅰ] 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则() →→→14A. AD ＝－3AB ＋3AC → →→14B. AD ＝3AB －3AC → →→41C.AD ＝3AB ＋3AC → →→D.AD ＝ 34AB － 31AC 答案： A→→→→→→→→→→→→11 4 1 1 4解析： AD ＝AC ＋ CD ＝ AC ＋3BC ＝ AC ＋3( AC － AB ) ＝ 3AC －3AB ＝－3AB ＋3AC . 故选 A.→2．[20142 新课标全国卷Ⅰ ] 设 D ，E ，F 分别为△ ABC 的三边 BC ， CA ，AB 的中点，则 EB ＋→FC ＝ ()→→1A. ADB. 2AD →→1 C.BCD. 2BC→ → → →→ → → → →111答案： A 解析： EB ＋FC ＝ 2( AB ＋CB ) ＋ 2( AC ＋ BC ) ＝ 2( AB ＋ AC ) ＝ AD ，故选 A.→→ → → →3．[20142 新课标全国卷Ⅰ] 已知 ， ， 为圆 上的三点，若 ＝1(＋ ) ，则 与ACA B C OAO 2 AB ACAB 的夹角为 ________．答案： 90°→→ →1解析：∵ AO ＝2( AB ＋ AC )， ∴点 O 是△ ABC 边 BC 的中点，→ →∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB ， AC 〉＝90°.课外拓展阅读-10-专题一平面向量与三角形问题的综合→→ →[典例 1]已知 P 是△内一点，且＝ 1 ＋ 7 ，△ 的面积是 2 015 ，则△PABABCAP3AB 18ACPBC的面积是 ________．[ 思路分析 ]△ ，△分别与△ 共底边于 ， ，由平面几何知识，将每组共PBCPAB ABC BC AB底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB 的面积．[ 解析 ]设 S △ABC ＝ S ，S △PBC ＝ S 1＝2 015 ， S △PAB ＝ S 2. 解法一： ( 恰当切入，从“三点共线”突破) 如图所示，→ 延长 AP 交 BC 于 D ，由平面几何知识，得S 1 | PD |S ＝→.| |AD由 A ， P ， D 三点共线，可得→→→ →AD ＝ μ AP ＝1＋ 7μ∈ R) ．①3μ AB18μAC (由 B ， D ， C 三点共线，可得→→→ AD ＝ λ AB ＋ (1 －λ ) AC ( λ∈ R) ．②16λ ＝ 3μ ，，联立①和②，有解得 λ ＝137181－λ ＝ 18μ ，μ ＝13.→→→ →→ →→185则AD ＝μ AP ＝13AP ， PD ＝AD － AP ＝13AP ，-11-|PD|5那么→ ＝18，| AD|18于是 S＝5 S1.→|PE|7同理，延长CP交 AB于 E，计算可得→ ＝18，| CE|7218S.所以 S＝于是2＝7 7 181＝7 7＝183 1＝32 015＝2 821.S 18S5 S5S5解法二：( 巧妙构造，引出向量“投影”取胜) 如图所示，→→→→构造一个单位向量e(其中 e⊥BC)，那么 BP， BA在单位向量 e 方向上的投影长度| e2 BP| →与 | e2 BA| 分别是△PBC，△ABC的公共底边上的高，→→1则 S＝2| BC|2| e2 BA|→→→＝1| BC|| e|| BA||cos 〈e，BA〉 | 2→→1＝2| BC|2| BA|sin ∠ABC；→→→→→→17因为 BP＝ BA＋AP＝ BA＋3AB＋18AC→→→→17＝BA＋3AB＋18( AB＋ BC)-12-57＝ 18BA ＋18BC ，→11e 2 →所以 S ＝ 2| BC | BP1 → → → 5 7＝ 2| BC | e 2BA ＋ BC18 181→→5＝ | | e 2 BA2 BC 181→→→5＝ |||cos 〈 ， 〉 |18BA2 BC e BA→ →51＝18 2| BC || BA |sin ∠ABC5＝ 18S .→设 i 为与向量 AB 垂直的单位向量，同理，可以推出 27S ＝ 18S .于是 2＝ 7 7 18 7 7＝ 3 1＝ 1＝ 32 015 ＝2 821.S18S 18 5 S 5S5解法三： ( 划归转化，牵手三角形“重心”巧解 )→→→17由AP ＝3AB ＋18AC ，→→→可得 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝ 0.→→→→→→令PA ′＝5PA ， PB ′＝6PB ， PC ′＝7PC ， 连接 A ′ B ′， B ′ C ′， C ′ A ′，如图所示，-13-→→→于是 PA ′＋PB ′＋ PC ′＝0. 即 P 是△ A ′B ′ C ′的重心，S △PA ′B ′＝S △PB ′C ′，根据已知条件，得→ →1S 1＝2| PB || PC |sin ∠ BPC1 → → ＝ 1 1 sin ∠BPC2 PB ′ PC ′ 6 71 →→＝ 142 | PB ′ || PC ′ |sin ∠ BPC21 ＝ 42S △PB ′C ′，所以 S △PB ′C ′＝42S 1， 同理可得 S △PA ′B ′＝30S 2.42于是 S 2＝30S 1＝2 821.故填2 821. [ 答案] 2821 温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：①可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解 法一；②可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e ，i ，如解法二；→→→→→→17③可以转化条件形式，将 AP ＝3AB ＋18AC 转化成5PA ＋6PB ＋7PC ＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．专题二 用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题， 利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误．[典例 2]已知 ， b 是两个非零向量，且 |a| ＝ |b| ＝ |a － b| ，则 a 与 ＋ b 的夹角是aa________．→ →[ 解析]令 ＝ ， ＝ ，以， 为邻边作平行四边形 ，OA a OB b OA OBOACB则 OC ＝ a ＋ b ，BA ＝ a －b ，又 |a| ＝|b| ＝ |a － b| ，-14-所以△ OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，π可知 OC 是∠ AOB 的平分线，所以 a 与 a ＋b 的夹角是6.π[ 答案]6[典例 3]已知两个非零向量a ， 满足 |a ＋ b| ＝ |a － b| ，则下面结论正确的是 ________．b① a ∥b ；②a ⊥b ；③|a| ＝|b| ；④a ＋ b ＝a － b .[ 解析 ]根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋ b| 与|a － b| 分别为以向量 a ， b 为邻 边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋ b| ＝ |a － b|. 所以该平行四边形为矩形，所以 a ⊥b.[答案]②-15-。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD→＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD→＝43AB →＋13AC → D.AD→＝43AB →－13AC → A [AD→＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC→.故选A.]3．(2017·银川质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋P A →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋P A →＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC→＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)． b －a －a －b [如图，DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC→＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .] 5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.－13 [由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]平面向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB→＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB→＝DC→，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a为非零向量，则a|a|是与a同向的单位向量，－a|a|是与a反向的单位向量．[变式训练1]设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()【导学号：01772141】A．0 B.1C.2D.3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB的中点，则EB→＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD→ D.12BC →(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD→＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则m n＝( )A ．－3 B.－13 C.13D.3(1)C (2)A [(1)如图，EB→＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →) ＝12·2AD →＝AD →.(2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD→＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →， 所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.故选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM→ D.4OM→ (2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC→＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由P A →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP→＝λPD →， 所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD→＝－2PD →，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，2分∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB→，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.5分 (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .9分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.12分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB→＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB→＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.(1)B (2)12 [(1)∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD→，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP→＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1. [易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．。

1．化简2(a －3b )－3(a ＋b )的结果为( )A ．a ＋4bB ．－a －9bC ．2a ＋bD ．a －3b2．(多选)下列命题中，正确的是( )A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D ．如果非零向量a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a ，b 之一的方向一定相同3．设a ，b 是平面内两个向量，“|a |＝|a ＋b |”是“|b |＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线5．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，且FC →＝λFD →＋μFE →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.12 8．已知向量OA →＝OB →·logsin θ＋OC →·log 2cos θ，若A ，B ，C 三点共线，则sin θ＋cos θ等于( )A ．－355B.355 C ．－55 D.559．设向量a ，b 不平行，向量t a ＋b 与a ＋3b 平行，则实数t 的值为________．10．已知A ，B ，C 三点共线，且AC →＝3BC →，若AB →＝λCB →，则λ＝________.11．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||CA →|等于( ) A.13 B.34 C.12 D.4312．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是( )A ．|MA →|＝|MB →|＝|MC →|B.MA →＋MB →＋MC →＝0C.BM →＝23BA →＋13BD → D ．S △MBC ＝13S △ABC 13．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则△ABO 与△ABC 的面积之比为( )A.16B.13C.12D.2314．(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y的最小值为________．15．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A ．若BM →＝13BC →，则AM →＝13AC →＋23AB → B ．若AM →＝2AC →－3AB →，则点M ，B ，C 三点共线C ．若点M 是△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0D ．若AM →＝xAB →＋yAC →且x ＋y ＝13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的2316．如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CN CE ＝r ，当r ＝________时，B ，M ，N 三点共线．。

真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案：A解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．[2014·福建卷]设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →答案：D解析：因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知，OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →.3．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，t ＝12.4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案：90°解析：∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.。

第一节平面向量的概念及线性运算突破点(一) 平面向量的有关概念[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |，故a ＝本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)C(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OC 相等的向量有________．答案：AB ，ED ，FO4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH 相等的向量有________；(2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA 共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB '，HC (2)EC '，LE ，LB '，GB ，HC (3)EF ，FB ，HA '，HK ，KB '突破点(二) 平面向量的线性运算1．向量的线性运算2.平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值是________． [解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝23(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D.(2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.[答案] (1)D (2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线． 又AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1. 即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ＝32a ＋32b ；②PT ＝32a －b ；③PS ＝32a －12b ；④PR ＝32a ＋b . A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④解析：选C 根据向量的加法法则，得PQ ＝32a ＋32b ，故①正确；根据向量的减法法则，得PT ＝32a －32b ，故②错误；PS ＝PQ ＋QS ＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；PR ＝PQ ＋QR ＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故选C.2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC ，设AB ＝m AC (m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ， ∴λμ＝1，故选D.3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH ＝( )A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF ＝12EC ＝14BC ，∴GF ＝14AD ，则△AHD ∽△FHG ，从而HF ＝14AH ，∴AH ＝45AF ，AF ＝AD ＋DF ＝b ＋12a ，∴AH ＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B. 4.[考点二]已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －tb 与a－13(a ＋b )共线，即a －tb 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.答案：12[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13(AC －AB )＝43AC －13AB ＝－13AB ＋43AC ，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：12[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋12a ，故选A.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC 等于( ) A.23 OA －13OB B ．－13OA ＋23OBC ．2OA －OBD ．－OA ＋2OB解析：选C 因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC －OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .3．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知得，AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ，故AD ∥BC .又因为AB 与CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.5．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：由MA ＋MB ＋MC ＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ＝23AD ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( ) A.13 B.12C ．1D ．2解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )，∴MA ＋MC ＝2MD .∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴BM ＝3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||3MD |＝13，故选A.2．在△ABC 中，BD ＝3DC ，若AD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则λ1λ2的值为( ) A.116 B.316 C.12 D.109解析：选B 由题意得，AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝AB ＋34(AC －AB )＝14AB ＋34AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316.3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ， CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0，得OA ＋OB ＝OC ，由O为△ABC 外接圆的圆心，可得|OA |＝|OB |＝|OC |.设OC 与AB 交于点D ，如图，由OA ＋OB ＝OC 可知D 为AB 的中点，所以OC ＝2OD ，D 为OC 的中点．又由|OA |＝|OB |可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则xyx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG ＝λAM ＋(1－λ)AN ＝λx AB ＋(1－λ)y AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，∴⎩⎨⎧ λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧ λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM＝AB ＋3AC ，得5AM ＝2AD ＋3AC ①，即AM ＝25AD ＋35AC ，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ＝AD ＋DM ②，①②联立，得5DM ＝3DC ，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35. 二、填空题7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由BC ＝a ，CA ＝b 可得AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，BE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，AD ＋BE ＋CF ＝－12a －b ＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 答案：38．若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC |＝________.解析：∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB ＋AC |为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|AB ＋AC |＝2×2sin π3＝2 3.答案：2 39．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．解析：因为OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，所以|AB ＋AC |＝|AB －AC |，即AB ·AC ＝0，故AB ⊥AC ，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC .∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 三、解答题11.如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝13BC ， CN ＝13CD ，用a ，b 表示OM ， ON ，MN .解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ， ∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋56b .又∵OD ＝a ＋b ， ∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16OD ＝23OD ＝23a ＋23b ， ∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图， 所以AG ＝AB ＋AC ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 又因为BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。