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高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范畴内成立，下面是小编整理2021年高考数学一轮复习方法指导：数学归纳法，期望对您高考复习有所关心.(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n= k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
=
：用数学归纳法证明
时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形
用数学归纳法证明
2n+
)(
)3
+
(
2n
2 C.
S
=n
(21)(2n +-6
=
+,
n
+>
1
2n-
课后作业
给出四个等式: 1=1
+
2n
AC, 点A在BC边上的射影为D,有AB
3.在直角三角形ABC 中有2
2
2
AC BC AB +=,类比在三棱锥O ABC -中,若,,OA OB OC 两两垂直,则有 。
4.在等差数列{}n a 中，若a 10＝0，则有等式a 1+a 2+…＋a n =a 1+a 2+…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9＝1，则有等式 成立。
5.若{}n a 为等差数列，则12...n a a a n ++⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
仍为等差数列。
类比上述性质，相应地：若{}()0n n b b >为等比数列，
则 。
6.观察以下各等式:
2020003sin 30cos 60sin 30cos604++=
， 2020003
sin 20cos 50sin 20cos504++=
2020003
sin 15cos 45sin15cos 454++=，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
7.设3
3
2a b +=，求证：2a b +≤。
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
《数学归纳法》专题复习1．某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）.A 当6=n 时，该命题不成立 .B 当6=n 时，该命题成立 .C 当4=n 时，该命题不成立 .D 当4=n 时，该命题成立2．用数学归纳法证明“)(2221*+∈++≥N n n n n ”时，第一步验证为.3．用数学归纳法证明：当*∈N n 时，15322...2221-+++++n 是31的倍数时，当1=n 时原式为______，从k 到1+k 时需增添的项是________． 4．观察不等式：211>，131211>++，2371...31211>++++，2151...31211>++++，25311...31211>++++，…，由此猜测第n 个不等式为________)(•∈N n ． 5．凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形有对角线条数)1(+n f 与)(n f 的关系式为 .6．求证：33332(1)123[]2n n n +++++=)(•∈N n .7．证明不等式n n2131211<++++ (n ∈N)．（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式并证明.9.（选修2-2P94例2）已知数列,...)13)(23(1,......,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ， 计算4321,,,S S S S ,根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明。
10．在数列{}n a ，{}n b 中，21=a ，41=b ，且n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比列)*∈N n .（1）求432,,a a a 与432,,b b b 的值.（2）由（1）猜测{}n a ，{{}n b 的通项公式，并证明你的结论．11．已知函数x x x f sin )(-=，数列}{n a 满足：101<<a ，)(1n n a f a =+，*∈N n . 证明: 101<<<+n n a a .12．已知数列{}n a 满足12+=+n a S n n .(1) 写出321,,a a a ，并推测n a 的表达式； (2) 用数学归纳法证明所得的结论.13.是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．15．已知数列{}n a 的通项)1211lg(-+=n a n ，记n S 为{}n a 的前n 项和，试比较n S 与 12lg +n 的大小，并证明你的结论．《数学归纳法》专题复习答案1．答案：.C 解析：因为若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，由它的逆否命题可知，若当1+=k n 时该命题不成立，那么当)(*N k k n ∈=时该命题也不成立.应选.C 2．当1=n 时，左边4211==+，右边42112=++=，所以左边=右边，命题正确.3．43222221++++，451552...22+++++k k k . 4．答案：.2121...31211n n >-++++解析：1232-= ，1273-=，12154-=，12315-=，可猜测第n 个不等式为：.2121...31211nn >-++++5．答案：.1)()1(-+=+n n f n f 解析：由n 边形到1+n 边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原2-n 个顶点连成的2-n 条对角线，与原先的一条边成了对角线，故12)()1(+-+=+n n f n f ，即.1)()1(-+=+n n f n f6．证明 （1）当1n =时，左边=31=1，右边=212()2⨯=1，等式成立. (2)假设当n k =时，等式成立，就是33332(1)123[]2k k k +++++=，那么 3333323(1)123(1)[](1)2k k k k k +++++++=++22(1)[][4(1)]2k k k +=++2(1)(2)[]2k k ++=.即当1n k =+时，等式也成立.综上所述，等式对任何自然数n 都成立.7．证明：①当1=n 时，左边1=，右边2=．左边<右边，不等式成立． ②假设k n =时，不等式成立，即k k2131211<++++．那么当1+=k n 时，11131211++++++k k112++<k k ，故即要证明12112+<++k k k ，只需证)1(2112+<++k k k ，即证1212+<+k k k ，只要证144)1(42++<+k k k k ，即证10<，而10<成立，所以当1+=k n 时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 8.解：（1）当1=n 时，)1(21111a a a +=，121=∴a ，又数列{}n a 的各项均为正数，.11=∴a 当2=n 时，)1(2122212a a a a S +=+=，012222=-+∴a a ，212±-=∴a ， 又数列{}n a 的各项均为正数，.122-=∴a 当3=n 时，)1(21333213a a a a a S +=++=，0122323=-+∴a a ，323±-=∴a ，又数列{}n a 的各项均为正数，.233-=∴a （2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式为.1--=n n a n下面用数学归纳法证明：①由（1）已得当1=n 时，命题成立；当1+=k n 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++111121k k k a a S ，即)1(21111++++=+k k k k a a a S ，)1(21111++++=+∴k k k a a a k ，即012121=-+++k k a k a ，11+±-=∴+k k a k ，又数列{}n a 的各项均为正数，.11k k a k -+=∴+即当1+=k n 时,命题成立.10．解：（1）由条件得12++=n n n a a b ，.121++⋅=n n n b b a又21=a ，41=b ，⎩⎨⎧==+∴21221212b b a b a a ，即⎩⎨⎧=⨯=+22224422b a a ，⎩⎨⎧==∴9622b a ；同理⎩⎨⎧==161233b a ，⎩⎨⎧==252044b a .（2）2121⨯==a ，3262⨯==a ，43123⨯==a ，54204⨯==a ，…又2124==b ，2239==b ，23416==b ，24525==b ，…∴猜测)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n .下面用数学归纳法证明)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n ：①当1=n 时，21=a ，41=b ，结论成立．②假设当)(*∈=N k k n 时结论成立， 即)1(+=k k a k ，2)1(+=k b k ，那么当1+=k n 时，)2)(1(])1(2)[1()1()1(2221++=-++=+-+=-=+k k k k k k k k a b a k k k ]1)1)[(1(+++=k k ..]1)1[()2()1()2()1(22222211++=+=+++==++k k k k k b a b k k k ∴当1+=k n 时，结论也成立．由①②知，)1(+=n n a n ，2)1(+=n b n 对一切正整数都成立．11．证明：先用数学归纳法证明:10<<n a ，*∈N n . ①当1=n 时，101<<a ，∴当1=n 时，10<<n a ； ②假设当k n =(1≥k )时，结论成立，即10<<k a . 则当1+=k n 时，).1,0(,sin )(1∈-==+k k k k k a a a a f a∵当10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ，∴)(x f 在)1,0(单调递增. ∵)(x f 在]1,0[上连续，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a . ∴当1+=k n 时，结论成立.∴由①、②可得，10<<n a 对一切正整数都成立. 又∵10<<n a ，0sin >n a ,∴n n n n a a a a <-=+sin 1，∴101<<<+n n a a .13．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n 假设kn =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k ，那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k)101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立．15．解：)1211lg(...)311lg()11lg(-++++++=n S n )1211).....(311)(11lg(-+++=n . 因此要比较n S 与12lg +n 的大小，可先比较)1211).....(311)(11(-+++n 与12+n 的大小.当1=n 时，311211=+⨯>+，当2=n 时，945512296438342)311)(11(==+⨯>==⨯=++， 当3=n 时，.2517571322525651656342)511)(311)(11(==+⨯>==⨯⨯=+++ 由此推测)1211).....(311)(11(-+++n .12+>n 下面用数学归纳法证明上面猜想：当1=n 时，不等式成立.假设当k n =时，不等式成立，即)1211).....(311)(11(-+++k .12+>k 那么当1+=k n 时，)1211(12)1211)(1211).....(311)(11(+++>++-+++k k k k ， 所以只要证明1)1(2)1211(12++>+++k k k ，即要证32122212+>++⋅+k k k k ， 只需证)32)(12(22++>+k k k ，即证38448422++>++k k k k ，故只要证明34>.而34>成立，所以当1+=k n 时不等式成立.综上所述，当*∈N n 时不等式成立．。
中考数学复习技巧如何通过数学归纳法解决题目数学作为一门重要的学科，在中考中占据着很大的比重。
为了顺利应对数学考试，掌握好数学复习技巧至关重要。
其中，数学归纳法是一种非常有效的解题方法。
本文将介绍数学归纳法的基本概念和使用技巧，以帮助同学们在中考中更好地应用。
一、什么是数学归纳法数学归纳法是一种用来证明某个关于整数的命题在所有正整数上成立的方法。
它的基本思想是：首先证明命题在某个整数上成立，然后假设命题在某个整数上成立，通过数学推理证明它在下一个整数上也成立，从而推论命题在所有正整数上成立。
二、数学归纳法的基本步骤使用数学归纳法解题时，一般需要经过以下三个基本步骤：1. 第一步：基础证明首先证明命题在某个整数上成立，一般情况下是证明命题在最小的整数上成立，通常为1或0。
这一步是数学归纳法的基础，也被称为数学归纳法的“起点”。
2. 第二步：归纳假设假设命题在某个整数上成立，通常为n。
这一步是数学归纳法的“假设”。
3. 第三步：归纳证明通过数学推理证明命题在下一个整数上（即n+1）也成立。
这一步是数学归纳法的“证明”。
三、数学归纳法的实例为了更好地理解数学归纳法的应用，下面以一个具体的数学问题作为例子来进行说明。
问题：证明对于任意正整数n，1+3+5+...+(2n-1)=n²。
解答：1. 基础证明：当n=1时，左边为1，右边为1²=1。
所以命题在n=1时成立。
2. 归纳假设：假设对于某个正整数k，命题在n=k时成立，即1+3+5+...+(2k-1)=k²。
3. 归纳证明：考虑n=k+1时，左边为1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)，右边为(k+1)²。
根据归纳假设，左边可以化简为k²+2(k+1)-1，右边可以化简为(k+1)²，两边相等。
因此，命题在n=k+1时也成立。
根据数学归纳法的三个基本步骤，我们可以顺利地证明了该命题在所有正整数上成立。
数列的通项以及用归纳法证明不等式例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯= 2,,,,,,1321nb b b b 成等差数列，,3211=+=+∴n b b.232)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22nn A =，数列}{n B 的通项.23n B n =（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n nn ==∴== 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与249n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4922n n > 经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4922n n >下面用数学归纳法证明：（ⅰ）7=n 时已证2492n n > （ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即2492k k >，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k ,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故21)1(,492+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，2492n n >成立，即.,22n n n n B A B A >∴> 说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n（ⅱ）.2111111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21=a 得,311212=+-=a a a由,32=a 得,4122223=+--a a a由43=a ，得.5133234=+-=a a a 由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：①当213,11+=≥=a n ，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n（ⅱ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对2≥k ，有。
数列的通项以及用归纳法证明不等式例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2 n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2 n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A ．求：（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7 n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121 k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n.22,2)21(n n n n A2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列， ,3211 n b b.232)(1n n b b B n n所以数列}{n A 的通项22nn A ，数列}{n B 的通项.23n B n（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n n n要比较n A 与n B 的大小，只需比较22nn B A 与的大小，也就是比较当7 n 时，n 2与249n 的大小． 当7 n 时，41110494949,12822 n n ，知.4922n n经验证，9,8 n n 时，均有2492n n 成立，猜想，当7 n 时有,4922n n下面用数学归纳法证明：（ⅰ）7 n 时已证2492n n（ⅱ）假设)7( k k n 时不等式成立，即2492k k，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221 k k k k k k k k k,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722 k k k k k k k k k 故21)1(,492 k k ．即1 k n 时不等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）当7 n 时，2492n n成立，即.,22n n n n B A B A说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 n na a a n n n（1）当21 a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式； （2）当31 a 时，证明对所有的1 n ，有（ⅰ）;2 n a n （ⅱ）.2111111121 n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21 a 得,311212 a a a由,32 a 得,4122223 a a a 由43 a ，得.5133234 a a a由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1 n n a n （2）（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当213,11 a n ，不等式成立． ②假设当kn 时不等式成立，即2k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1 k k k k k a a a k k k 也就是说，当1 k n 时，.2)1(1 k a k根据①和②，对于所有1 n ，有.2 n a n （ⅱ）由1)(1 n a a a n n n 及（ⅰ），对2k ，有,121)121(1)1(1111 k k k k k a k k a k a a k …….1)1(2122211211 a a a k k k k于是,2,21111111 k a a k knk ka a a 111111111nk k a 2111121n k k a 111.213121221说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k 成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．数列与归纳法的综合题例 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n（Ⅰ）证明对任意;2)1(]2)1(3[51,101a a n n n n n nn（Ⅱ）假设对任意1 n 有1 n n a a ，求0a 的取值范围．分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．证明：（Ⅰ）证法一：（1）当1 n 时，由已知0121a a ，等式成立． （ⅱ）假设当)1( k k n 等式成立，即].)1(2)1(3[5101a a a k k k k kk那么.2)1(]2)1(3[52323111a a a k k k k kkk kk].)1(2)1(3[510111a k k k k 也就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知证法二：如果设).3(2311 n n n n a a 用1123 n n n a a 代入，可解出.51a所以}53{n n a 是公比的－2，首项为531 a 的等比数列．).()2)(5321(5310 N n a a n n n即.2)1(52)1(302a a n n nn n n（Ⅱ）解法一：由n a 通项公式.23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n)(1 N n a a n n ①（ⅰ）当 ,2,1,12 k k n 时，①式即为.)23()15()1(32022 k k a即为.51)23(51320k a ② ②式对 ,2,1 k 都成立，有.3151)23(5110 a（ⅱ）当 ,2,1,2 K k n 时，.)23()15()1(22012 k k a即为.51)23(51220 k a ③ ③式对 ,2,1 k 都成立，有.051)23(512120 a综上，①式对任意 N n 成立，有.3100 a故0a 的取值范围为)31,0(解法二：如果)(1 N n a a n n 成立，特别取2,1 n 有.031001 a a a.06012 a a a因此 .3100a 下面证明当3100 a 时，对任意 N n ，有.01 n n a a 由n a 通项公式,2,1,12)(51 k k a a n n ，时.02523222352332)(511101111 n n n n n n n n a a a（2）当 ,2,1,2 k k n 时，.023********)(5111111 n n n n n n n n a a a故0a 的取值范围为).31,0(判断证明过程的正误例 试判断下面的证明过程是否正确： 用数学归纳法证明：)13(21)23(741n n n 证明：（1）当1 n 时，左边＝1，右边＝1 ∴当1 n 时命题成立．（2）假设当k n 时命题成立，即)13(21)23(741k k k 则当1 k n 时，需证))(23)(1(21]2)1(3[)23(741 k k k k由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为1 k 的等差数列的前n 项和，其和为)23)(1(21)131)(1(21 k k k k ∴)( 式成立，即1 k n 时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切N n ，命题成立．分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．解： 以上用数学归纳法证明的过程是错误的．在证明当1 k n 时等式成立时，没有用到当k n 时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．第二步正确的证明方法是： 假设当k n 时命题成立，即),13(21)23(741 k k k 则当1 k n 时，)253(21)13()13(21]2)1(3[)23(7412 k k k k k k k]1)1(3)[1(21)23)(1(21 k k k k 即当1 k n 时，命题成立．说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．用数学归纳法证明等式例 用数学归纳法证明nn n n n n 121112)12(1431211 分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当1 k n 时，等式两边的式子与k n 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．证明：（1）当1 n 时，左边21211，右边21，赞美式成立． （2）假设当k n 时，等式成立，即.2121112)12(1431211k k k k k 则当1 k n 时， )22)(12(12)12(1431211 k k k k )22)(12(1212111k k k k k 11221121213121k k k k k k 221121213121k k k k k )1)(1(1)1(12)1(11)1(1k k k k k k即当1 k n 时，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切N n ，等式成立．说明：解题过程中容易将1 k n 时，等式右边错写为)1()1(12111 k k k k ，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随n 的变化而变化．利用数学归纳法证明正切等式例 用数学归纳法证明)N ,2(tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tann n n n n n分析：在由假设k n 时等式成立，推导当1 k n 时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：1)tan(tan tan tan tan，问题就会迎刃而解．证明：（1）当2 n 时，左边222tan 1tan 2tan 1tan 2tan右边222tan 1tan 22tan )tan 1(tan 22tan 2tan ，等式成立． （2）假设当k n 时，)N ,2(k k 等式成立，即k k k ktan tan tan )1tan(3tan 2tan tan 则当1 k n 时，)()1tan(tan tan tan )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tank k k k k k k k 由k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(])1tan[(tan得1tan tan )1tan()1tan(tank k k k代入)( 式，得 右边),1(tan )1tan(1tan tan )1tan(tan tank k k k k k即 )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan k k k k).1(tan )1tan(k k这就是说，当1 k n 时等式成立．根据（1）、（2）可知，对任意N ,2n n ，等式成立．说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式cos sin tan来变形，本题就会出现困难．解决有关 tan tan ,tan tan 的式子时，经常要用到)tan( 展开式及其变形公式．利用归纳法证明整除问题例 用数学归纳法证明：17)13( nn 能被9整除．)N (n ．分析：证明一个与n 有关的式子)(n f 能被一个数a （或一个代数式)(n g ）整除，主要是找到)1( k f 与)(k f 的关系，设法找到式子)(),(21k f k f ，使得)()()()1(21k f a k f k f k f ，就可证昨命题成立．证明：（1）当1 n 时，2717)13( k ，能被9整除，命题成立． （2）假设当k n 时，17)13( kn 能被9整除，当1 k n 时，17)]2718()13[(17]7)1(21[17]1)1(3[1 k k k k k k k k k k k 7)32(9]17)13[(]17)13[( k k 和k k 7)32(9 都能被9整除． k k k k 7)32(9]17)13[( 都能被9整除．即17]1)1(3[1k k 能被9整除．即当1 k n 时，命题成立．由（1）、（2）可知，对任何N n 命题都成立． 说明：如果将1 k n 时，17]1)1[(1k k 变为673]17)13[(71 k k k 能被9整除，困难就大一些．本题也可用二项式定理把n7写成n)16( 展开后，再证明．用归纳法证明直线分割平面问题例 平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这n 条直线把平面分成)2(212n n 个部分． 分析：用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当1 k n 时比当k n 时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条．本问题中第1 k 条直线与前k 条直线有k 个分点，平面区域增加了1 k 块．证明：（1）当1 n 时，平面被分成2部分．又2)211(212，命题成立．（2）假设当)N (k k n 时命题成立．即符合条件的k 条直线把平面分成)2(212k k 个部分．现在来考虑平面内有1 k 条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l （如下图）图l 与其它k 条直线有k 个交点，平面区域增加了1 k 块，从而这1 k 条直线把平面分成了)1()2(212k k k )222(212 k k k ]2)1()1[(212 k k 根据（1）、（2）可知，命题对任何正整数都成立．说明：不能错误地认为第1 k 条直线被其它k 条直线分成k 段，区域增加了k 部分或2k 部分．证明有关几何问题，哪n 边形内角和公式，n 边形对角线条数公式，还要确定初始值0n 应为多少．由k n 到1 k n 时又是如何变化的．猜想并证明数列的通项例 对于数列}{n a ，若.1),10(1111n n a a a a a a a a且 （1）求422,,a a a ，并猜想}{n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．分析：由已知条件，可直接求出422,,a a a 式，通过观察归纳，猜想出n a 的表达式，再用数学归纳法加以证明．解：（1）,1,1111nn a a a a a a)1(111112242112 a a a a a a aa a a a a a a )1(11)1(11242462422213 a a a a a a a a a a a a a a a 同理可得)1(124624684 a a a a a a a a a 猜想)1(1111)1(122221222242222222 n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a （2）（ⅰ）当1 n 时，右边12241)1(1a aa a a a ，等式成立． （ⅱ）假设当k n 时)N (k ，等式成立，即)1(1222 k k k a a a a ，则当1 k n 时，1)1(1122221 k k k k a a a a a a a a )1()1()1)(1(2222222 k k k a a a a a a,)1(1)1(2)2(2 k k a a a 这就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切N n ，)1(1222 n n n a a a a 成立．说明：这类题型是常见题型，尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时，依归纳假设证明当1 k n 时命题也成立时，除了用上假设之外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用．这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方．。
