数学归纳法教学设计(第一节教案)

数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第二章第六节“数学归纳法”。

详细内容包括数学归纳法的定义、数学归纳法证明的步骤、数学归纳法在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，提高逻辑推理能力。

3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养运用数学知识解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点重点：数学归纳法的定义和证明步骤。

难点：运用数学归纳法证明数学问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的数学问题（如：1+2+3++n的计算公式）引入数学归纳法。

2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的定义和证明步骤；（2）以等差数列求和公式为例，详细讲解数学归纳法证明过程。

3. 随堂练习让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的数学问题，如：1^2+2^2+3^2++n^2=(n(n+1)(2n+1))/6。

4. 课堂讲解（1）讲解数学归纳法在实际问题中的应用；（2）分析学生在随堂练习中遇到的问题，给出解答。

六、板书设计1. 板书数学归纳法的定义、证明步骤和应用。

2. 板书随堂练习的题目和解答过程。

七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2；（2）C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)++C(n,n)=2^n。

2. 答案：见教材课后习题解答。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的定义和证明步骤掌握程度，以及对实际问题的应用能力。

2. 拓展延伸：引导学生探索数学归纳法在解决更复杂数学问题中的应用，如：数列的通项公式、组合恒等式等。

重点和难点解析：1. 教学难点与重点的明确；2. 例题讲解的详细程度；3. 随堂练习的设计与指导；4. 作业设计中的题目难度与答案解析；5. 课后反思及拓展延伸的深度。

2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：（一）知识与技能：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（二）过程与方法：通过数学归纳法的探究过程，培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法．（三）情感态度与价值观：进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理．二、教学重点掌握数学归纳法证明问题的步骤，掌握数学归纳法的简单应用．三、教学难点应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析．四、教学过程（一）情境引入1、（1）学生先观看多米诺骨牌游戏过程（2）学生小组讨论并回答：骨牌全部倒下，需要哪些条件？结论：骨牌全部倒下需要两个条件：（1）第1块骨牌要倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

（3）学生思考：条件（2）的作用是什么？（4）再次观看多米诺骨牌游戏并提问学生：数学中有没有类似的情况？2、（1）学生思考讨论：{}()11,11,2,...1nn nnaa a a na+===+对于数列已知，猜想其通项公式并说说这个问题与多诺米骨牌游戏有什么类似之处。

（2）多诺米骨牌游戏的原理与1nan=这个猜想的证明方法的类比。

（3）数列的通项公式1nan=的证明过程。

（二）新课学习：【1】、学生根据上述例子小组讨论总结数学归纳法的定义。

结论：一般地证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：【2】例题讲解（一）结论：变式训练1、【3】例题讲解（二）变式训练2、用数学归纳法证明：【4】练习巩固五、知识小结1.（归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；2.（归纳递推）假设当n=k (k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立. 这种证明方法就叫做数学归纳法。

第一节 数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效. 基础题：1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （B ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++ 有，则=-+)()1(n f n f （ D ）A ．121+n B ．221+nC ．221121+++n n D ．221121+-+n n3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ B ）A ．222)1(k k ++B ．22)1(k k ++C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k4．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅- ”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ B ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 5．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ C ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1. 当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立， 根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题： （Ⅰ）求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除. [证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++6)1(3+++k k ，∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n与n 2的大小()n N ∈剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n =1时，21＞12，当n =2时，22=22，当n =3时，23＜32， 当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52， 猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =5时，25＞52成立.（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k ＞k 2+C 0k +C 1k +C 1-k k =k 2+2k +1=（k +1） 2.∴当n =k +1时，2n ＞n 2. 由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 例4、是否存在常数使 a 、b 、 c 等式2222222421(1)2(2)....(1)n n n n an bn c∙-+-+-=++对一切正整数n 成立？证明你的结论。

数学归纳法（第一课时）教学设计天门市高中复读中心王克进一、教学设计１、教学内容解析：数学归纳法是直接证明的又一重要方法，应用十分广泛，一般说来，与正整数有关的命题，都可以考虑用数学归纳法推证.如在《数学5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式，以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式等，都是通过不完全归纳推理得到的，这些结论都具有猜测的特征，其正确性还有待证明，因此就需要研究一种新的方法——数学归纳法.根据以上分析本节课教学重点确定为：数学归纳的步骤，运用数学归纳法证明一些与自然数有关的数学命题.2、学情诊断：在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理，再加上学生积累的实际经验，事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力.学生初学数学归纳法时往往把注意力集中在第二步（归纳递推）上，而对第一步（归纳奠基）感到可有可无.另外，归纳递推这一步中，“假设”可以当条件用且必须用到它是学生感到困惑的，教学中应注意用实例加以引导，帮助学生理解这两个步骤.根据以上分析本节课教学难点确定为：对数学归纳法的本质理解，以及运用数学方法解决实际问题。

3、教学对策分析：数学归纳法的原理是学生难以理解的，教学中可创设学生比较熟悉的问题情境来理解，从中提炼出数学归纳法原理.通过例1的教学，学生能熟悉用数学归纳法证明数学命题的过程及表述规范，形成模式化的方法.通过例2的教学，学生经历一次数学研究与发现的完整过程，既复习了归纳猜想又巩固了数学归纳法，达到学以致用的目的.问题情境，引出课题师生合作，探究新知归纳小结，概念提升布置作业二、教学过程设计（一）创设情境，引出课题问题情境同学们请看屏幕已知数列{}n a 满足，11=a ，nn n a a a +=+11（n = 1，2，…）猜想其通项公式 111=a 212=a 313=a 414=a 由前四项猜想na n 1=如何证明这个猜想呢？若从n=5开始验证，515=a 616=a 717=a 818=a ……而正整数有无数个，这样验证下去永无止境啊！有没有一种只通过有限个步骤的推理，而证明n 取所有正整数命题都成立的方法呢？这就是我们今天要探究的“数学归纳法”。

2024年数学归纳法一课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课选自《2024年数学新课标人教A版选修2》的第四章第一节“数学归纳法”。

具体内容包括数学归纳法的定义、原理和步骤，以及数学归纳法在实际问题中的应用。

重点讲解数学归纳法的基本思想和操作方法，并通过典型例题使学生掌握该方法。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑关系。

教学重点：数学归纳法的定义、原理和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示一个数学问题：如何证明1+2+3++n = n(n+1)/2？引导学生思考如何解决这个问题。

2. 数学归纳法讲解（1）讲解数学归纳法的定义和原理。

（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。

（3）通过例题讲解，让学生理解数学归纳法的具体操作。

3. 例题讲解（1）证明1+2+3++n = n(n+1)/2。

（2）证明对于任意正整数n，2^n > n。

4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题：证明对于任意正整数n，n(n+1)(n+2)是3的倍数。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义、原理和步骤3. 例题解答步骤4. 随堂练习题及答案七、作业设计1. 作业题目（1）证明对于任意正整数n，n^2 n 是偶数。

（2）证明对于任意正整数n，n^3 + (n+1)^3 是6的倍数。

2. 答案八、课后反思及拓展延伸2. 对学生进行课后辅导，解答他们在学习过程中遇到的问题。

3. 拓展延伸：鼓励学生运用数学归纳法解决其他数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

重点和难点解析1. 数学归纳法的基本步骤和逻辑关系。

2. 例题的选取和解题步骤。

“数学归纳法”（第一课时）教学设计（修改稿）浙江省衢州高级中学何豪明一、内容和内容解析“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①；②若，则．那么是全体正整数的集合，即）也叫做归纳公理．设是一个与正整数有关的命题，我们把使成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明对于所有正整数都成立，只要证明即可．为此，根据归纳公理，首先证明（数学归纳法中的第一步“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若，则（数学归纳法中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）．这样即可得到，从而证明了命题对于一切正整数都成立．不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当时命题成立，利用这个假设，如果能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数，………，命题都成立.也就是说，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．即命题真命题真命题真命题真．因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的思维模式是：“观察——归纳——猜想——证明”．数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．二、目标和目标解析本节课的目标是：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”．其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性．把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立．因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论．否则，还不能算是已经证明完毕．所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”．应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：“提出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号．另外，设计命题：已知时，命题成立，求证：时命题成立．从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．五、教学过程设计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明．分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1: 摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走，因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性．问题1:为什么会有这些结果的发生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立.分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.【设计意图】抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？(2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形.分析：缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成.“两个步骤和一个结论”缺一不可.其思维过程是，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．4.数学归纳法的应用例1：已知数列的第项，且，求证：.【设计意图】因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，所以设计这一例题，有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．例2：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明.【设计意图】在应用的过程中理解数学归纳法.5.课堂练习练习1：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．解：猜想：．证明：（1）当时，左边=，右边=1，所以猜想成立．（２）假设当时猜想成立,即，那么，，所以，当时猜想也成立．根据（１）和（２），可知猜想对任何都成立．问题4：请看练习1的三个变式，请问它们的分析过程合理吗？请问它的三个变式正确吗？变式1：等式对任意的正整数都成立吗？分析：假设当时命题成立,即，那么，，所以，当时命题也成立．所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的．变式2：等式对任意的正整数都成立吗？分析：当时，左边=，右边=，所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，没有归纳递推也是不行的．变式3：等式对任意的正整数都成立吗？分析：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立．（2）假设当时等式成立,即那么，，所以当时，等式也成立，所以等式对任何都成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，不能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键．练习2：用数学归纳法证明．练习3：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理解．6.课堂小结（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可．（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上,解题目标要明确（也就是人们常说的“双凑”：凑假设和凑结论）.（4）数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．等等．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本节课知识的整体认识．六、目标检测设计（1）用数学归纳法证明：①；②首项是，公差是的等差数列的通项公式是，前项和的公式的．【设计意图】通过数学归纳法的简单应用，体会其思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．（2）用数学归纳法证明命题:的步骤如下,其证明方法是否正确?并说明理由.证明:假设时命题成立,就是，那么,当时,,这就是说,当时命题也成立.根据数学归纳法,成立.【设计意图】数学归纳法证明命题时不能没有第一步，因为它是归纳奠基．（3）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，两个步骤和一个结论，缺一不可．同时，归纳假设一定要用上．（4）已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】体现数学归纳法的思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．这就是数学归纳法的核心思想．（5）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，第一步中的第一个值不一定是1．。

课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

2.会证明简单的与正整数有关的命题。

3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。

2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。

22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。

）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。

数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”第一节，内容主要包括数学归纳法的定义、原理以及应用。

详细内容包括：1. 数学归纳法的概念及其基本步骤；2. 数学归纳法证明的基本形式；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤；2. 学会使用数学归纳法证明等式和不等式；3. 能够运用数学归纳法解决简单的实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理能力。

教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：爬楼梯问题）引出数学归纳法，激发学生兴趣；2. 讲解：介绍数学归纳法的定义、步骤，结合例题进行讲解；a. 确定基础步骤；b. 归纳假设；c. 归纳步骤；3. 互动：让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的等式，如：1+2+3++n=n(n+1)/2；4. 练习：布置随堂练习，让学生独立完成，教师进行指导；六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念；3. 步骤：基础步骤、归纳假设、归纳步骤；4. 例题：1+2+3++n=n(n+1)/2；5. 练习：数学归纳法证明等式。

七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；b. 证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。

2. 答案：a. 证明：当n=1时，等式左边为1，右边为1，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^3+2^3+3^3++k^3=(1+2++k)^2；当n=k+1时，等式左边为1^3+2^3+3^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等式左边=(1+2++k)^2+(k+1)^3；右边为(1+2++k+(k+1))^2，展开后得到(1+2++k)^2+2(1+2++k)(k+1)+(k+1)^2；将等式左边与右边对应项进行比较，发现它们相等，因此当n=k+1时，等式也成立。

数学归纳法教学设计(第一课时)金海燕(浙江省临海回浦中学,317000)教学思路:根据以往的经验,不管教师如何解释,学生对数学归纳法的原理往往迷惑不解,半信半疑,兴趣不大.为突破这一难点,这节课采用了幼儿玩具)))小木块为学生创设情境,深化学生对数学归纳法的领悟.本节课的教学方法是,让学生的思维从问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.思维的浪花随着问题的深入起伏跳跃.教师仅作为/顾问、参谋、设计者0组织教学,并结合问题情境及/画骆驼0的故事,让学生感受到学习数学归纳法的必要性,认识到数学既源于生活,又应用于生活的应用价值.教学步骤:一、创设情境,提出问题(1)观察:6=3+3,8=5+3,10=3+ 7,12=5+7,14=3+11,,,78=67+11, ,.你能得出什么结论?(由此引出哥德巴赫猜想:任何不小于6的偶数都是两个奇质数的和,适时介绍陈景润的成就,激发学生的爱国热情.)(2)观察等差数列a n的前几项,a1= a1+0#d,a2=a1+1#d,a3=a1+2d,a4= a1+3d,,.你能得出什么结论?像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法,叫归纳法,它可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律,但是由它得出的结论并不一定可靠,必须想办法对所得的结论椭圆的两个焦点,N F1PF2=60b.试求&F1PF2的面积.发现部分学生有如下两种解法:方法1设P点坐标为(x0,y0),依题意,有x20 25+y209=1,¹(x0+4)2+y20+(x0-4)2+y20-2(x0+4)2+y20#(x0-4)2+y20# c os60b=64.º联立¹、º,解方程组求得y0=33._S&PF1F2=12|F1F2|#|y0|=12@8@33=33.方法2由椭圆方程知,a=5,c=4.由已知条件,得|PF1|+|PF2|=10,¹|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|#|PF2|#cos60b=4c2=64.º由¹2-º得:|PF1|#|PF2|=12._S&PF1F2=1|PF1|#|PF2|sin60b=12@12@32=33.引导学生对比两种解法:方法1虽然思路与解法自然,但未掌握好椭圆的定义,计算较复杂.方法2充分利用椭圆定义解题,能起到化繁为简的作用.通过探究使学生深刻体会到,正确理解和熟练运用数学概念,能优化解题方法,通过探究,更能使学生明辨是非,提高解题能力.在教学中,教师应努力创设具有启发性的教学情境,调动学生积极参与和主动探索解决问题的过程,使学生在情境中观察、分析、类比、思考,以/问题0来激发求知欲望,运用对比法,帮助学生区分容易混淆的概念,培养学生的发散思维能力和解决问题能力.#3#第10期高中数学教与学进行证明.但有些结论不能通过一一验证的办法加以证明,所以需要寻找新的方法,不用一一验证又能说明结论对每一个正整数都成立.二、实验演示,探索问题问题1现在桌上立着许多小木块,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,但现在只允许推倒一块,你有办法做到使它们全部倒下吗?如果有办法,小木块应怎样摆?应先去推倒哪一块?(让学生上来做这个游戏,推倒再摆,摆了再推,,,.然后适时引导,让学生/悟0出递推原理,并归纳出让竖立着的小木块全部倒下应满足两个条件:(1)第一块倒下;(2)若前一块倒下,则后一块也必倒下.适时介绍多米诺骨牌游戏并播放视频动画)在上述游戏中,去掉条件(2)(可从中抽掉两只木块),只有条件(1),能否保证这列木块全部倒下?若去掉条件(1),只有条件(2)呢?通过实验,使学生领悟到条件(1)是传递的基础,(2)是传递的依据,把木块倒下这样的事件看成是命题P成立,则有P(1)y P(2)y P(3)y,y P(n)y,,这是传递的过程,而传递的结果就是木块全部倒下.从小木块倒下及多米诺骨牌游戏中我们能受到什么启发呢?三、提升理念,形成新的知识体验在上述实验的基础上,引导学生思考:这样的思维方式是否可以应用到数学证明上来呢?你能设计出类似的方法来证明一个命题对所有的正整数都成立吗?问题2如何证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立?我们可以把命题比作木块,命题对所有正整数成立比作所有木块倒下,则要证明一个命题对所有的正整数都成立,只须满足下列条件:(1)证明当n=1时命题成立;(2)假设n=k(k\1,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.由(1)和(2)知传递的过程是:P(1)正确(验证)k=1P(2)正确k=2P(3)k=3,y P(n)y,这一种证明方法就叫做数学归纳法,也是我们这节课学习的内容.(点明课题)上述无穷/链条0一环扣一环,形象地说明了数学归纳法证明P(n)正确的过程.因此,数学归纳法中的两个步骤缺一不可,第一步是传递的基础,第二步是传递的依据,缺了第一步传递就失去了基础,缺了第二步传递就失去了依据,也就无法传递下去.四、实践运用,解决问题例1观察图1,你能得出什么结论?并用数学归纳法证明你的结论(即1+3+5+,+ (2n-1)=n2(n I N*).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,等式是成立的;(2)假设当n=k时等式成立,就是1+3+5+,+(2k-1)=k2,那么1+3+5+,+[2(k+1)-1]=1+3+5+,+(2k-1)+2k+1=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)知,等式对任何n I N*都成立.例2用数学归纳法证明等差数列a n的通项公式a n=a1+(n-1)d对一切n I N*都成立.(与学生一起分析,过程略并板书)五、探索深化一个与正整数有关的命题不一定都是从1开始时,比如凸n边形的内角和公式f(n)= (n-2)#180b中,n可取的最小值是3,那么对于这种命题怎样用数学归纳法来证明呢?问题3如何用数学归纳法证明一个命题对于从n0开始的所有正整数n都成立呢?(1)证明n=n0时命题成立;(2)假设n=k(k\n0,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.这是数学归纳法证题的两个步骤,在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.数学归纳#4#高中数学教与学2004年探索性问题的编制王宝泉(江苏省滨海中学,224500)探索性问题在高考数学试题中占有一定的比例,而且有上升的趋势,使得这类问题备受关注.探索性问题是相对于封闭性问题而言的,一般可分成这样几种:(1)从给定的题设探求相应的结论;(2)由给定的题断反溯应具备的条件;(3)改变题设或题断的某个部分,考察整个问题将会产生什么变化.由于探索性问题没有明确的结论,需要对题目中提供的各种信息进行观察、分析、概括、猜想,得出相应的结论并给予正确的证明,解决这类法的核心,就是在验证P(n0)成立的基础上,证明P(n)成立具有传递性(n\n0).证明中,恰当地运用归纳假设是关键.六、总结反思,深化认识11知识点用数学归纳法证明对于从n0开始的所有正整数都成立的两个步骤:(1)证明n=n0时命题成立;(2)假设n=k(k\n0,k I N*)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立;根据(1)、(2)知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.21思想方法运用了由特殊到一般,由有限到无限的化归思想,及观察)))猜想)))证明的数学方法.七、课外拓展,布置作业(1)阅读/画骆驼0故事.(用有限来表达无限,把数学归纳法原理恰到好处地融入在绘画技巧中,让学生领略到数学的奇妙美.)(2)完成巩固型作业.(略)(3)研究性作业.简析/画骆驼0故事中第3个徒弟胜出的原因.有关资料(根据具体情况取舍).(1)烽火传军情:古代边疆的士兵,每隔一定的距离建筑一高台,发现军情,一台就燃起烽火,邻台见后,也立即起火,这样军情就能很快传告全线士兵.(2)/画骆驼0的故事:有1个画家收了3个徒弟,一天,他想测试一下3个徒弟中到底哪个对绘画技巧掌握得最透彻.于是,他把3个徒弟叫做跟前,每人给了一张纸,说:你们要用最经济的笔墨,画出最多的骆驼.第一个徒弟马上就开始画了,他在卷子上密密麻麻地画了一群骆驼;第二个徒弟他为了节省笔墨,只画出许多骆驼头;第三个徒弟,他画了什么呢?他只是在纸上用笔勾出两座山峰,再从山谷中走出一只骆驼.后面还跟着一只只露出半截身子的骆驼,你们说谁对绘画技巧掌握得最好呢?教学反思在生活中体现数学归纳法这一思想的例子很多:体育课中的报数,自行车的放置等,但要从这些随处可见的生活例子中提炼出数学思想并用到数学证明上来并不是一件容易的事,历史上就经过了几千年.如何在这一短短的课堂中让学生领悟数学归纳法的实质是整堂课的难点.笔者通过开始的实验演示形象生动地说明数学归纳法的基本思想,然后讲解数学归纳法的两个步骤,最后揭示两个步骤的内在联系,逐步深入,使学生对数学归纳法的认识由表及里,深化理解.再在结束时通过小故事让学生领会到数学的美感,认识到很多理念都是从生活中提升出来的,平时应密切关注身边的事,多观察,多思考.#5#第10期高中数学教与学。