数学归纳法教学设计_公开课

2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。

二、预习内容：提出问题：问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．解决问题：由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取第一个值()时命题成立；(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。

2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。

三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。

3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。

2024年数学归纳法教案完整版课件一、教学内容本节课选自人教版数学选修22第三章“数列的极限”中的数学归纳法。

具体内容包括数学归纳法的概念、原理和步骤，并通过实例演示数学归纳法的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理，掌握数学归纳法的步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤和逻辑推理。

教学重点：数学归纳法的概念、原理和应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、笔记本、草稿纸。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景引入数学归纳法：一个棋盘上有64个格子，将一粒小麦放在第一个格子，以后每个格子的小麦是前一个格子的两倍。

问棋盘上共有多少粒小麦？学生通过计算得出结果，引导学生思考如何用数学方法证明结果正确。

2. 新课讲解：（1）介绍数学归纳法的概念和原理。

（2）讲解数学归纳法的步骤：基础步骤、归纳步骤。

（3）通过例题讲解数学归纳法的应用。

3. 随堂练习：学生完成教材P64页习题2、3，巩固数学归纳法的应用。

4. 课堂小结：六、板书设计1. 数学归纳法的概念、原理和步骤。

2. 例题的解题步骤。

3. 随堂练习的答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）教材P64页习题4、5。

（2）已知数列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求证：对于任意正整数n，都有an=2^n1。

2. 答案：（1）见教材。

（2）证明：采用数学归纳法。

① 当n=1时，a1=2^11=1，命题成立。

② 假设当n=k时，命题成立，即ak=2^k1。

当n=k+1时，ak+1=2ak+1=2(2^k1)+1=2^(k+1)2+1=2^(k+1)1。

所以，当n=k+1时，命题也成立。

对于任意正整数n，都有an=2^n1。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入数学归纳法，激发学生的兴趣。

2024年数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。

详细内容如下：1. 数学归纳法的定义：介绍数学归纳法的概念，以及其基本步骤。

2. 数学归纳法的原理：讲解数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。

3. 数学归纳法的运用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和原理。

2. 能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的归纳步骤，以及如何运用数学归纳法解决实际问题。

教学重点：数学归纳法的定义、原理和运用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”。

2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义、原理及运用。

（1）定义：数学归纳法是一种证明方法，通过证明基础情况成立，以及归纳步骤成立，从而证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。

（2）原理：包括基础步骤和归纳步骤。

（3）运用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题中的应用。

3. 例题讲解：讲解一道运用数学归纳法的例题，如“证明1+2+3++n=n(n+1)/2”。

4. 随堂练习：让学生独立完成一道类似的题目，巩固所学知识。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念及基本步骤。

3. 原理：基础步骤、归纳步骤。

4. 例题：证明1+2+3++n=n(n+1)/2。

5. 练习：随堂练习题目。

七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(n(n+1)/2)^2。

（2）运用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3。

数学归纳法第一课时【教学目标】知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；过程与方法：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。

【教学重点】理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。

【教学难点】运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学过程】思考：在等差数列{}n a中，已知首项为1a，公差为d，下列推理正确吗？点评：这个结论是由不完全归纳法得到的，结果不一定可靠！对于与正整数n有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数n都正确呢？今天我们学习证明这种命题的一种方法——数学归纳法。

一、归纳法的原理引入：你玩过多米诺骨牌游戏吗？多米诺骨牌是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。

玩时将骨牌按照一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。

由一张牌倒下触发下一张牌倒下，这种连续触发下一张牌倒下的现象应用到生活中，我们就称之为多米诺效应。

（如下面两张图片所展示）能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：条件（1）（2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决课前的思考题吗？分析：注：（1）这两个步骤缺一不可；（2）用数学归纳法证明命题时第二步必须用到归纳假设；（3）数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。

二、例题讲解例1、用数学归纳法证明：在等差数列{}n a 中，已知首项为1a ，公差为d ，则通项公式为d n a a n )1(1-+= 。

证明：（1）当n=1时,111=,0a a d a =+•=左边右边，等式成立；（2）假设当n=k 时等式成立，即d k a a k )1-(1+= ，则当n=k+1时， 等式也成立；根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，等式都成立。

数学数学归纳法公开课教案竞赛数学归纳法公开课教案竞赛一、引言数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，通过数学归纳法可以有效地证明一些特殊性质的命题。

本次数学归纳法公开课教案竞赛旨在提高学生对数学归纳法的理解和应用能力，以及培养他们的数学思维和解决问题的能力。

本教案旨在帮助学生掌握数学归纳法的基本原理和应用方法。

在教学过程中，我们将通过案例分析和练习题的方式引导学生深入理解和灵活应用数学归纳法。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的基本原理；2. 掌握数学归纳法的应用方法；3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

三、教学重点和难点1. 理解数学归纳法的基本原理；2. 掌握数学归纳法的应用方法；3. 运用数学归纳法解决实际问题。

四、教学过程1. 导入通过一个实际问题引出数学归纳法的基本思路和应用场景，激发学生的学习兴趣。

2. 数学归纳法的基本原理介绍数学归纳法的基本原理，即基础步骤和归纳步骤。

通过具体的案例分析和讲解，帮助学生理解数学归纳法的逻辑推理过程和证明方法。

3. 数学归纳法的应用方法讲解数学归纳法的应用方法，包括规定论断的范围、确定基础步骤、假设归纳步骤的正确性和进行证明。

通过多个实例讲解和展示，引导学生掌握数学归纳法的应用技巧。

4. 练习与拓展给出一些练习题，让学生独立运用数学归纳法解决问题。

同时，引导学生思考数学归纳法的拓展应用，如递归关系、不等式证明等。

五、教学评价方法1. 教师观察学生对数学归纳法理解和应用的情况；2. 学生完成的练习题和解题思路；3. 学生的小组合作学习情况。

六、教学资源准备1. 多媒体教学设备；2. 练习题和案例分析材料；3. 学生作业本和笔记。

七、教学延伸1. 鼓励学生参加数学奥赛和竞赛，提高数学思维和解决问题的能力；2. 引导学生深入研究数学归纳法在更复杂问题中的应用。

八、教学反思本次公开课教案竞赛通过设计合理的教学过程和实际案例，有效地引导学生理解和应用数学归纳法。

课题：数学归纳法人民教育第一版社整日制一般高级中学教科书数学选修2-2 第二章第三节【教材解析】1、教课内容：数学归纳法是人教社整日制一般高级中学教科书数学选修 2-2 第二章第 3 节的内容，依据课标要求，本书该节共 2 课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完整归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于对于正整数命题的直接证法。

教材经过解析生活实例中包含的思想过程揭露数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭露数学归纳法依照的两个条件及它们之间的关系。

【教课目的】1、知识与技术：（1）认识归纳法，理解数学归纳法的原理与本质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数相关的命题。

2、过程与方法：努力创建讲堂欢乐的情境，使学生处于踊跃思虑，勇敢怀疑的氛围，提升学生学习兴趣和讲堂效率，让学生经历知识的建立过程，体会类比的数学思想。

3、感情、态度与价值观：经过本节课的教课，使学生意会数学思想和辩证唯心主义看法，激发学生学习热忱，提升学生数学学习的兴趣，培育学生勇敢猜想，当心求证的辩证思想素质，以及发现问题、提出问题的建议和数学沟通能力。

【教课要点】借助详细实例认识数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无穷多个值）相关的数学命题。

【教课难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想本质，详细表此刻不认识第二个步骤的作用，不易依据归纳假定作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现详细问题的递推关系。

【教课方法】运用类比启迪研究的数学方法进行教课；【教课手段】借助多媒体体现多米诺骨牌等生活素材协助讲堂教课；【教课程序】第一阶段：创建问题情境，启动学生思想情境 1、法国数学家费马察看到：22115,22117,22 31257,22 4165537归纳猜想：任何形如 2 2 n1（n∈N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

《数学归纳法》教学设计第1课时1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题.2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤.3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养.教学重点：用数学归纳法证明数学命题教学难点：数学归纳法的原理.PPT课件．【新课导入】问题1：阅读课本第44~47页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法．数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现．并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2： 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{a n }的通项公式a n =a 1+(n -1) d 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n 有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n 都成立呢？师生活动：教师呈现问题情境，引发学生思考.问题3：已知数列{}n a 满足11=a ，)N (211*+∈-=n a a n n ，计算432a a a ，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.师生活动：学生思考发现：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项.教师完善．预设的答案：令n =1，就有1221a a -=，把11=a 代入，可得12=a .同理，令n =2，就有2321a a -=，把12=a 代入，可得13=a .把13=a 代入，可得4a 也等于1.看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是1=n a )(*∈N n .问题4：该如何证明这个猜想呢？师生活动：有学生认为：从n =5开始一个个往下验证呗！教师完善．预设的答案：一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证.但当n 较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n 取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时命题都成立.问题5：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？师生活动：先让学生看一个小游戏：多米诺骨牌．2011年12月31日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面．预设的答案：通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌倒下，（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.设计意图：利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣．同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱国情怀．反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方法的理解．追问1：条件（1）的作用是什么？师生活动：教师与学生一起探讨．预设的答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少.追问2：条件（2）的作用是什么？师生活动：教师与学生一起探讨．预设的答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k 块骨牌倒下，能推出第k +1块骨牌倒下.假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理.追问3：证明猜想“数列{}n a 的通项公式是1=n a ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？师生活动：教师引导学生回顾猜想该数列通项公式是1=n a 的过程：学生发现这个过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以1=k a 成立为条件，推出11=+k a 也成立.它相当于命题：当n =k 时猜想成立，则n =k +1时猜想也成立.学生在教师引导下发现只要能证明这个命题，就可以在11=a 的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n ，1=n a 成立.教师引导学生证明该命题：如果n =k 时猜想成立，即1=k a ，那么k k a a -=+211，把1=k a 代入，k k a a -=+2111121=-=.也就是说，当n =k +1时，猜想也成立.这样我们就证明了这个命题.我们猜想的通项公式也就得到了验证.教师引导学生把这个猜想的证明过程与骨牌原理进行类比.教师总结：通过以上类比、迁移的过程，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时命题都成立”的方法.这个方法，就叫做数学归纳法.设计意图：通过分析、探讨，自然引入新课：什么是数学归纳法.【探究新知】知识点1数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当0n n =（*∈N 0n ）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n =k （*∈N k ，k ≥0n ）时命题成立”为条件，推出“当n =k +1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当10=n 时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.设计意图：类比多米诺骨牌，经历观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理．发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养．追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？师生活动：学生在教师的引导下理解两个步骤的必要性．预设的答案：第一步是命题递推的基础，确定了0n n =时命题成立，0n n =成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒.我们把第一步称为是归纳奠基.而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k 块骨牌倒下，那么要保证第k +1块骨牌也能倒下，再加之k 的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性.类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数0n 开始，向后一个数接一个数地无限传递到0n 以后的每一个正整数，从而完成证明.所以，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可.只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.追问2：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？师生活动：教师向学生解释这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.预设的答案：如果我们记P （n ）是一个关于正整数n 的命题.第一步验证了当0n n =时结论成立，即)(0n P 为真.第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若)(k P)N (0n k k ≥∈*，为真，则)1(+k P 也为真.完成这两步，就有)(0n P 真，)1(0+n P 真……)(k P 真，)1(+k P 真…….结论就是)(n P 为真，从而完成证明.需要注意的是，第二步实际上就是从)(k P 推出)1(+k P ：)1()(+→k P k P .追问3：如何理解)1()(+→k P k P 的意义？师生活动：教师引导学生注意．预设的答案：这个关系所关注的不是)(k P 和)1(+k P 是否分别成立，而是命题“若)(k P 为真，则)1(+k P 也为真”是否成立，它强调的是这二者之间是否有递推关系.【巩固练习】例1 用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个公差为d 的等差数列，那么d n a a n )1(1-+=①对任何*∈N n 多成立.师生活动：引导学生用数学归纳法证明，教师给出规范证明过程．.预设的答案：（1）当n =1时，左边1a =，右边=110a d a =⨯+，所以①式成立.（2）假设当n =k （*∈N k ）时①式成立，即d k a a k )1(1-+=，根据等差数列的定义，有d a a k k =-+1，于是d a a k k +=+1，就是1+k a []d d k a +-+=)1(1，所以1+k a []d k a 1)1(1+-+=， 即1+k a []1(1)1a k d =++-，所以n =k +1时①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何*∈N n 都成立.设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．注意点：用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k 到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.练习：教科书P 47 练习1 、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：2．总结概括：通过本节课的学习：问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P51 习题4.4 1 、2【目标检测设计】1.某个命题与正整数n有关，如果当n=k (k∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题成立B．当n=6时该命题不成立C．当n=4该命题成立D．当n=4时该命题不成立设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的定义．2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1211naa+-=-(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是()A.1B.1+aC.1+a+ a2D.1+a+a2+a3设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的归纳奠基．3.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的第（2）步．4.用数学归纳法证明：2n n n n15913(43)2(N)+++++-=-∈．+设计意图：通过该题，让学生进一步巩固数学归纳法的规范化解题．参考答案：1. D 由题意知：n=4时成立，可推出n=5时该命题成立，因为原命题与逆否命题等价，可考虑逆否命题，即：当n=5时不成立，则n=4时也不成立．2. C 当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.3. C 当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.4.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．（2）假设(1,N)=≥∈时，命题成立，即n k k k+2k k k k15913(43)2(N)+++++-=-∈．+则当n=k+1时，2+++++-++=-++15913(43)(41)2(41)k k k k k22=++=+-+．k k k k2312(1)(1)所以当n=k+1时，命题成立．综合（1）（2）可知，原命题成立．。

《数学归纳法及其应用》教学设计参赛教学设计基本信息作者姓名赵美蓉工作单位务川民族中学设计主题数学归纳法及其应用举例（第一课时）1.整体设计思路、指导依据说明由趣味问题的引入及有关于数学归纳法的数学历史故事，激发学生对新知识的好奇心，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的数学思维方式和严格规范的数学论证意识;2.教学背景分析教学内容分析：数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。

《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。

通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。

学生情况分析：我所教班级不是重点班，学生基础相对较差，但只要花多些时间在基本知识点上，学生也能跟上教师的步奏，所谓“磨刀不误砍柴工“，知识点的掌握对于后续中的应用有极大的帮助。

所以本节课重点是让学生了解数学归纳法的定义及其基本应用。

3.教学目标分析知识与技能：1.理解数学归纳法中“特殊到一般“的原理及证明问题的步骤；2.了解归纳法的分类：不完全归纳法与完全归纳法；3.数学归纳法中递推思想的理解，会简单的与正整数有关的命题.过程与方法:1.通过趣味问题的引入，激发学生对新知识的好奇心，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的数学思维方式和严格规范的论证意识;情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的数学归纳意识，让学生接受到数学推理论证思想的训练；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，激发学生勇于探索的科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生严谨的科学态度和勇于创新的精神；4.教学重点、难点分析教学重点：了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法教学难点：数学归纳法中递推思想的理解及应用,初步明确用数学归纳法证明命题的两个基本步骤5.教学方法及手段教学方法：师生互动讨论、共同探究的方法、类比学习方法教学手段：多媒体辅助课堂教学（多米诺骨牌游戏），实物准备（一袋白球）6.教学过程设计步骤1：创设情境，启动思维情境一：财主儿子学写字的笑话、“小明家弟兄三个，老大叫大毛,老二叫二毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：这两个问题的思考过程中都用了同一种思想，是什么呢？ 这就是我们今天的课题——由特殊归纳出一般性结论的方法---归纳法。

数学归纳法优质教案完整版优质课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。

着重讲解如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本原理和应用。

2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。

3. 培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。

教学重点：数学归纳法的概念、原理以及如何运用数学归纳法证明数学命题。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个楼梯，引导学生思考如何用最少的步骤走完所有楼梯。

2. 例题讲解（1）讲解数学归纳法的概念和原理。

（2）通过实例，讲解如何运用数学归纳法证明数学命题。

3. 随堂练习给出两个与自然数有关的数学命题，让学生尝试运用数学归纳法进行证明。

4. 课堂互动学生展示自己的证明过程，教师点评并给予指导。

六、板书设计1. 数学归纳法的概念和原理。

2. 数学归纳法证明数学命题的步骤。

3. 课堂练习题及解答。

七、作业设计（1）1+3+5++(2n1)=n^2（2）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：学生对数学归纳法的掌握程度，以及证明过程中存在的问题。

2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在生活中的应用，如数列求和、递推关系等。

同时，鼓励学生尝试解决更复杂的数学问题，提高自己的逻辑思维能力。

本教案共包含八个部分，涵盖了数学归纳法的概念、原理、应用以及证明过程，旨在培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的方法。

在教学过程中，注意引导学生积极参与，充分发挥学生的主体作用。

通过课后反思和拓展延伸，进一步提高学生的数学素养。

重点和难点解析1. 教学难点：数学归纳法的应用，尤其是递推关系的建立。

数学归纳法公开课课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。

重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过典型例题引导学生掌握数学归纳法的证明方法。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和应用方法。

2. 能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明过程，特别是归纳假设的运用。

教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤和证明方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生用书、练习本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实际问题，如“如何计算1+2+3++100的结果”，引导学生思考，激发学生兴趣。

2. 知识讲解（1）讲解数学归纳法的定义和基本步骤。

（2）通过例题讲解，展示数学归纳法的证明过程。

3. 例题讲解选取一道典型例题，如“证明：对于任意正整数n，都有1+2+3++n=n(n+1)/2”。

（1）验证基础情况。

（2）归纳假设。

（3）归纳步骤。

4. 随堂练习让学生独立完成一道类似例题的题目，巩固所学知识。

5. 课堂小结六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 板书内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤（3）例题及证明过程七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2。

（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)。

2. 答案：（1）1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2（2）1×3+2×3^2+3×3^3++n×3^n=(3^(n+1)1)/(2×31)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握了数学归纳法的基本知识和应用。

数学归纳法精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》第四章“数学归纳法”第一节，内容主要包括数学归纳法的定义、原理以及应用。

详细内容包括：1. 数学归纳法的概念及其基本步骤；2. 数学归纳法证明的基本形式；3. 数学归纳法在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤；2. 学会使用数学归纳法证明等式和不等式；3. 能够运用数学归纳法解决简单的实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中的逻辑推理能力。

教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：爬楼梯问题）引出数学归纳法，激发学生兴趣；2. 讲解：介绍数学归纳法的定义、步骤，结合例题进行讲解；a. 确定基础步骤；b. 归纳假设；c. 归纳步骤；3. 互动：让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的等式，如：1+2+3++n=n(n+1)/2；4. 练习：布置随堂练习，让学生独立完成，教师进行指导；六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念；3. 步骤：基础步骤、归纳假设、归纳步骤；4. 例题：1+2+3++n=n(n+1)/2；5. 练习：数学归纳法证明等式。

七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^2；b. 证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。

2. 答案：a. 证明：当n=1时，等式左边为1，右边为1，等式成立；假设当n=k时等式成立，即1^3+2^3+3^3++k^3=(1+2++k)^2；当n=k+1时，等式左边为1^3+2^3+3^3++k^3+(k+1)^3，根据归纳假设，等式左边=(1+2++k)^2+(k+1)^3；右边为(1+2++k+(k+1))^2，展开后得到(1+2++k)^2+2(1+2++k)(k+1)+(k+1)^2；将等式左边与右边对应项进行比较，发现它们相等，因此当n=k+1时，等式也成立。

数学数学归纳法公开课教案高中数学归纳法公开课教案教学目标：1. 理解数学归纳法的基本概念和原理；2. 能够灵活运用数学归纳法证明数学命题；3. 锻炼学生的逻辑思维和数学推理能力。

教学内容：1. 导入（5分钟）通过一个简单的例子，引出数学归纳法的概念和应用场景。

例子：小明有一个塔，第一层有一个积木，第二层有两个积木，第三层有三个积木，依此类推。

现在要求计算塔的总积木数量，但是不知道有多少层。

怎么办？引导学生思考，并找到问题的规律和解决方法。

2. 数学归纳法介绍（15分钟）讲解数学归纳法的定义和基本原理。

数学归纳法是一种用于证明命题的数学方法，它包括两个步骤： - 基础步骤：证明当n等于某个固定的值时，命题成立；- 归纳步骤：假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。

通过这个步骤的迭代，我们可以证明对于所有正整数n，命题都成立。

3. 数学归纳法的应用（20分钟）介绍数学归纳法在数学问题中的应用，包括数列、不等式、图形等。

例子1：证明等差数列的通项公式例子2：证明2的n次方大于n的阶乘通过这些例子，学生可以更加深入地理解数学归纳法的思想和应用。

4. 练习（25分钟）学生分组进行练习，选择合适的题目进行推理和证明。

练习题1：证明 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2练习题2：证明 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2提供指导和辅助，鼓励学生主动思考和交流。

5. 总结（10分钟）对数学归纳法的基本概念和应用进行总结。

强调数学归纳法在数学解题过程中的重要性和灵活运用。

提醒学生运用数学归纳法的注意事项，如确定基础步骤、归纳假设的合理性等。

鼓励学生在以后的学习中继续加强对数学归纳法的应用和理解。

6. 课后作业（5分钟）布置数学归纳法相关的练习题作为课后作业，巩固学生的学习成果。

数学数学归纳法公开课教案初中数学归纳法公开课教案初中教学目标:1. 了解数学归纳法的概念及其基本原理。

2. 掌握使用数学归纳法解决数学问题的方法。

3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。

教学准备:1. 教师准备好课件及相关教学素材。

2. 确保教师对数学归纳法的原理和应用有较深入的理解。

教学过程:一、导入 (5分钟)1. 教师利用一个简单的数学问题来引入数学归纳法的概念，如：证明 1+2+3+...+n = n(n+1)/2。

2. 引导学生思考如何解决这个问题，提出使用数学归纳法的思路。

二、概念讲解 (10分钟)1. 教师简要介绍数学归纳法的基本概念和原理。

2. 强调归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。

3. 通过具体的例子解释这两个步骤的含义和作用。

三、示例分析 (15分钟)1. 教师给出一个具体的数学问题，如：证明对于任意正整数 n，2n^2 + 3n + 1 是偶数。

2. 分步解析，使用数学归纳法证明这个命题。

- 基础步骤：当 n = 1 时，可以验证命题成立。

- 归纳步骤：假设命题对于某个正整数 k 成立，即 2k^2 + 3k + 1 是偶数，那么证明对于 k+1 也成立。

a) 证明 2(k+1)^2 + 3(k+1) + 1 是偶数。

b) 将表达式展开并化简，证明左边可以被 2 整除。

c) 利用归纳假设，得出右边也是偶数，完成证明。

四、练习提高 (20分钟)1. 学生分组，每组完成一组相关的数学归纳法练习题。

2. 学生互相讨论解题思路和步骤，并在黑板上汇总每组的解题过程和答案。

3. 教师对每个题目的解答进行点评和讲解，解答出现错误的地方进行纠正。

五、归纳法的应用 (10分钟)1. 教师介绍归纳法在数学中的广泛应用，如等差数列的求和公式，斐波那契数列等。

2. 引导学生思考如何利用归纳法解决其他数学问题，如递推关系式等。

六、拓展延伸 (10分钟)1. 教师为学生提供一些拓展的数学问题，鼓励学生运用归纳法解决。

高二数学数学归纳法公开课教案一教学目标1、知识和技能目标(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）(2)理解数学归纳法原理和其本质的科学性(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明简单的恒等式。

2、过程与方法目标通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。

在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辨证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。

初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

二教学重点和难点教学重点（1）使学生理解数学归纳法的实质。

（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。

教学难点：（1）使学生理解数学归纳法证题的有效性；（2）递推步骤中归纳假设的利用和代数恒等变换。

三教学方法：引导发现法.讲练结合法.四教学手段：利用计算机多媒体课件、投影仪讲解教学。

五教学过程：（一）创设情景、探究原理、激起兴趣问题情境一：问题（1）大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？（课件演示）问题（2）：若a n=(n2- 5n+5)2,则a n=(n2-5n+5)2=1问题（3）：若－1＋3= 2－1＋3－5= －3－1＋3－5＋7= 4－1+3－5＋7－9=－5可猜想：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n吗问题情境二：投影：数学家费马运用不完全归纳得出费马猜想的事例。

小结归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法①完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）②不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）问题情境三：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌操作实验问题（4）如何保证任何条件下骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？①处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）②验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）。