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初中数学归纳教案一、教学目标：1. 让学生理解归纳法的概念和意义，能够运用归纳法进行简单的数学推理和证明。
2. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养，提高学生解决数学问题的能力。
3. 通过对归纳法的教学，培养学生的创新意识和团队合作精神。
二、教学内容：1. 归纳法的概念和意义2. 归纳法的分类：数学归纳法和完全归纳法3. 归纳法的步骤：观察、归纳、证明4. 归纳法的应用：解决数学问题、数学证明等三、教学重点和难点：1. 教学重点：归纳法的概念和意义，归纳法的步骤，归纳法的应用。
2. 教学难点：归纳法的证明过程，数学归纳法的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解归纳法的概念、意义、分类、步骤和应用。
2. 案例分析法：分析具体案例，让学生理解归纳法的运用。
3. 实践操作法：让学生通过实际操作，掌握归纳法的证明过程。
4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
五、教学步骤：1. 导入：通过一个简单的数学问题，引导学生思考如何解决类似问题。
2. 讲解归纳法的概念和意义，让学生理解归纳法的作用。
3. 讲解归纳法的分类：数学归纳法和完全归纳法。
4. 讲解归纳法的步骤：观察、归纳、证明。
5. 通过具体案例，让学生理解归纳法的应用。
6. 讲解归纳法的证明过程，引导学生掌握归纳法的证明方法。
7. 练习时间：让学生通过实际操作，巩固所学内容。
8. 总结和拓展：总结本节课所学内容，提出更高层次的问题，激发学生的创新意识。
六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理归纳法的步骤和证明方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 探索归纳法在解决其他数学问题中的应用，提高自己的数学素养。
七、教学反思：通过本节课的教学，检查学生对归纳法的理解和掌握程度，对教学方法和教学内容进行调整，以提高教学效果。
同时，关注学生在学习过程中的表现，鼓励优秀学生发挥榜样作用，帮助后进生提高。
数学归纳法教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学》（必修三）第二章“数列”的第三节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理及应用，着重探讨如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决实际问题，提高逻辑推理能力。
3. 培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的概念、原理和证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实践情景引入数学归纳法：观察楼梯（如图所示），每一级楼梯的高度比上一级低一些，当站在第一级楼梯上时，可以轻松跳到第二级，如果能够从第二级跳到第三级，那么就能一直跳到最高级。
这个现象与数学归纳法有什么联系呢？2. 例题讲解例题1：证明对于任意自然数n，下列等式成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6通过讲解，让学生掌握数学归纳法证明步骤：基础步骤、归纳步骤。
3. 随堂练习练习1：证明对于任意自然数n，下列等式成立：1 +2 +3 + + n = n(n + 1)/2练习2：证明对于任意自然数n，下列等式成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = [n(n + 1)/2]^24. 课堂小结回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的概念、原理、证明步骤及注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法的概念、原理2. 数学归纳法证明步骤：基础步骤、归纳步骤3. 例题1及解答过程七、作业设计1. 作业题目：（1）证明对于任意自然数n，下列等式成立：1^4 + 2^4 + 3^4 + + n^4 = [n(n + 1)/2]^2（2）已知f(n)表示n!中质因数3的个数，证明对于任意自然数n，下列等式成立：f(n) = [n/3] + [n/3^2] + [n/3^3] +2. 答案：（1）证明过程略。
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第七章第四节《数学归纳法》。
详细内容包括：1. 数学归纳法的概念与基本步骤；2. 数学归纳法在数列、不等式中的应用；3. 数学归纳法在函数、方程中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明数列、不等式、函数、方程等相关问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、基本步骤及运用。
难点：如何引导学生运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：课本、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个与数学归纳法有关的实际问题，如“如何计算1+2+3++n的和”，激发学生兴趣，引导学生思考。
2. 例题讲解：选取一道数列求和的例题，讲解数学归纳法的概念和基本步骤，分析解题思路。
3. 随堂练习：让学生尝试用数学归纳法解决几个类似的数列求和问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展：引导学生思考数学归纳法在证明不等式、函数、方程等问题中的应用。
5. 课堂小结：六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与基本步骤；（2）数学归纳法在数列、不等式中的应用；（3）数学归纳法在函数、方程中的应用。
七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2；（2）用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n；2. 答案：（1）略；（2）略；（3）略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了数学归纳法的概念、基本步骤及其应用。
但在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生疑问。
2. 拓展延伸：（1）探索数学归纳法在其他数学领域（如组合数学、数论等）中的应用；（2）研究数学归纳法的推广形式，如“第二数学归纳法”、“反向归纳法”等。
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学必修三，主要涉及第十二章第一节“数学归纳法”。
详细内容包括数学归纳法的定义、应用步骤、以及数学归纳法在数列和不等式证明中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的应用步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明数列的通项公式和不等式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中逻辑关系的理解，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、应用步骤，以及其在数列和不等式证明中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义，阐述其基本思想。
3. 例题讲解：以数列通项公式的证明为例，详细讲解数学归纳法的应用步骤，强调递推关系的建立。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一个简单的不等式。
5. 知识拓展：介绍数学归纳法在数学竞赛中的应用。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 定义：数学归纳法的概念及递推关系。
3. 步骤：数学归纳法的应用步骤。
4. 例题：数列通项公式证明。
5. 练习：简单不等式证明。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）运用数学归纳法证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握情况，教学中存在的问题，以及改进措施。
2. 拓展延伸：引导学生研究数学归纳法在其它数学分支中的应用，如组合数学、数论等。
鼓励学生参加数学竞赛，提高运用数学归纳法解决问题的能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的识别。
2. 例题讲解中数学归纳法应用步骤的详细阐述。
3. 作业设计中作业题目的难度和答案的准确性。
4. 课后反思及拓展延伸的深度和实用性。
数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。
2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。
2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。
2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。
（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。
（2）分析归纳假设在解题中的作用。
4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。
（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。
则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。
（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
23 数学归纳法课件一、教学内容本节课将深入探讨数学归纳法，该部分内容位于高中数学教材第三章第二节。
详细内容包括数学归纳法的定义、原理以及应用；重点讲解如何使用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及应用范围。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 能够分析并解决实际问题，运用数学归纳法进行逻辑推理。
三、教学难点与重点难点：理解数学归纳法的原理，并能灵活运用。
重点：掌握数学归纳法的证明步骤，能够熟练运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
四、教具与学具准备1. 教师准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学生准备：笔记本、教材、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一个与自然数有关的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。
2. 例题讲解（15分钟）讲解数学归纳法的定义、原理以及应用。
通过讲解例题，让学生了解数学归纳法的证明步骤。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道与自然数有关的数学命题证明，巩固所学知识。
5. 答疑环节（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答，巩固知识点。
6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，强调数学归纳法的重要性。
七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。
（2）证明：对于任意自然数n，下列等式成立：1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2。
2. 答案：（1）见教材P68。
（2）见教材P69。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，学生是否掌握了数学归纳法的证明步骤，能否独立完成课后作业？2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在解决实际问题中的应用，如：在计算机科学、数论等领域。
重点和难点解析1. 教学内容的数学归纳法证明步骤。
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过实例分析，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课讲解：（1）讲解数学归纳法的定义，解释其原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师点评，指出学生存在的问题，并进行讲解。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤（3）例题及证明过程（4）课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）让学生了解数学归纳法在其他数学领域的应用，如数列、组合数学等。
（2）探讨数学归纳法与递归思想的关系，提高学生的逻辑思维能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学过程中的关键环节。
完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。
b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。
c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。
4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
c. 应用数学归纳法解决实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。
2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。
b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。
c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。
b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学选修22第16章《数学归纳法》。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用，重点探讨如何利用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其证明步骤和注意事项。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的方法。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法证明过程中，如何正确地应用原理和推导。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤和注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景，如“楼梯问题”，引导学生思考如何求解与自然数有关的数学问题。
2. 新课导入：介绍数学归纳法的概念，解释其基本原理。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法证明的步骤，通过具体例题演示如何应用数学归纳法。
4. 随堂练习：让学生尝试利用数学归纳法证明简单的数学命题，如“1+3+5++(2n1)=n^2”。
6. 知识巩固：布置一道综合性较强的例题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、作业设计1. 作业题目：（1）利用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2。
（2）利用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
2. 答案：（1）证明：当n=1时，等式成立。
假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。
当n=k+1时，等式左边为1+2+3++k+(k+1)，根据归纳假设，等式左边=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
所以，等式成立。
（2）证明：当n=1时，2^n > n成立。
假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
当n=k+1时，2^(k+1) = 2×2^k > 2k。
由于k为正整数，2k >k+1。
所以，2^(k+1) > k+1，即当n=k+1时不等式成立。
课件6231 数学归纳法一、教学内容本节课选自教材第6章第231节，主要详细内容为数学归纳法的原理及其应用。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，通过递推关系证明与自然数有关的数学命题。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤。
2. 学会运用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明思路，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、步骤及运用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、PPT课件。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以日常生活中常见的楼梯为例，引导学生思考如何证明所有楼梯台阶数之和为奇数。
2. 新课导入：讲解数学归纳法的定义、基本步骤，强调递推关系的重要性。
3. 例题讲解：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，2^n > n（1）1^3 + 2^3 + 3^3 + + n^3 = (1+2++n)^2（2）对于任意正整数n，n^2 n 为偶数六、板书设计1. 数学归纳法定义2. 数学归纳法基本步骤3. 例题及解答4. 随堂练习题目及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+3+5++(2n1) = n^2（2）证明：对于任意正整数n，3^n > n^32. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：探讨数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
鼓励学生参加数学竞赛，提高数学素养。
重点和难点解析：1. 数学归纳法的定义和步骤2. 例题讲解中递推关系的建立3. 随堂练习的设计与解答4. 作业设计中的题目难度及答案解析5. 课后反思与拓展延伸详细补充和说明：一、数学归纳法的定义和步骤数学归纳法是一种证明方法，其基本思想是：先证明基础情形成立，然后假设某个情形成立，证明下一个情形也成立。
数学归纳法
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数学归纳法及其应用举例单元练习（二）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为
21n (n －3)条时，第一步验证n 等于
A. 1
B.2
C.3
D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2
4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立；B.仅当n =1，2，3时成立
C.n =4时成立，n =5时不成立；
D.仅当n =4时不成立
3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24
1321>n （n ≥2,n ∈N *)的过程中，由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边
A. 增加了1项
)1(21+k ； B.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1
1+k ” C.增加了2项
)1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ，减少了11+k 4.用数学归纳法证明（n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…（2n －1)(n ∈N *)时，假设n =k 时成立，若证n =k +1时也成立，两边同乘
A.2k +1
B.112++k k
C.1)22)(12(+++k k k
D.1
32+-k k
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5.证明1+413121+++…+2
121n n >- (n ∈N *)，假设n =k 时成立，当n =k +1时，左端增加的项数是
A. 1项
B.k －1项
C.k 项
D.2k 项
6.上一个n 级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是
A.f (n )=n
B.f (n )=f (n －1)+f (n －2)
C.f (n )=f (n －1)·f (n －2)
D.f (n )=⎩⎨⎧≥-+-=3
)2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和
f (k +1)=f (k )+___________.
8.观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+474
13121222<++,…则可归纳出：___________.
9.设f (n )=（1+)11()111)(1n
n n n ++⋅⋅⋅++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是
f (k +1)=f (k )·___________.
10.有以下四个命题：（1）2n ＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+…
+2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2
)2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n =k (k
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∈N ,k ≥n 0).时命题成立，则当n =k +1时命题也成立.”但不满足“当
n =n 0（n 0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是
___________.
11.用数学归纳法证明n n n b a b a )2
(2+≥+（a ,b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n =k 命题成立之后，证明n =k +1命题也成立的关键是___________.
三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12.已知a n =n n n )
1(3212
322++⋅⋅⋅+++n ∈N *求证：a n ＜1.
13.平面内有n 个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n 个圆把平面分成了n 2－n +2个区域.
14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整数x的个数.
（1）求f(k)的解析式；
（2）记S n=f(1)+f(2)+…+f(n),P n=n2+n－1（n∈N*）试比较S n与P n 的大小.
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参考答案：
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180° 8.1+112)
1(13121222++<++⋅⋅⋅++n n n 9.(1+
1)2211)(121+⋅+++k k k k 10.(2)（3） 11.两边同乘以2
b a + 三、12.证明：(1)当n =1时，a 1=21＜1，不等式成立. （2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k
k
k k )1(32132++⋅⋅⋅+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k
当n =k +1时
a k +1=1
1
1132)2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)
2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立.
由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.
13.证明：（1）当n =1时，一个圆把平面分成两个区域，而12－1+2=2，命题成立.
（2）假设n =k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k +2个区域.
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当n =k +1时，第k +1个圆与原有的k 个圆有2k 个交点，这些交点把第k +1个圆分成了2k 段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k 个区域，共有k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2个区域.
∴n =k +1时，命题也成立.
由（1）、（2）知，对任意的n ∈N *,命题都成立.
14.解：（1）∵log 2x +log 2(3·2k －1－x )≥2k －1
∴⎪⎩
⎪⎨⎧≥-⋅>-⋅>---12112)23(0230k k k x x x x ,解得2k －1≤x ≤2k , ∴f (k )=2k －2k －1+1=2k －1+1 (2)∵S n =f (1)+f (2)+…+f (n )=1+2+22+…+2n －1+n =2n +n －1
∴S n －P n =2n －n 2
n =1时,S 1－P 1=2－1=1＞0;n =2时，S 2－P 2=4－4=0
n =3时，S 3－P 3=8－9=－1＜0;n =4时，S 4－P 4=16－16=0
n =5时，S 5－P 5=32－25=7＞0;n =6时，S 6－P 6=64－36=28＞0
猜想，当n ≥5时，S n －P n ＞0
①当n =5时，由上可知S n －P n ＞0
②假设n =k (k ≥5)时，S k －P k ＞0
当n =k +1时,S k +1－P k +1=2k +1－(k +1）2=2·2k －k 2－2k －12(2k －k 2)+k 2－2k －1
=2(S k－P k)+k2－2k－1＞k2－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0 ∴当n=k+1时，S k+1－P k+1＞0成立
由①、②可知，对n≥5，n∈N*，S n－P n＞0成立即S n＞P n成立
由上分析可知，当n=1或n≥5时，S n＞P n
当n=2或n=4时，S n=P n
当n=3时，S n＜P n
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