高中数学数学归纳法教案新人教A版选修

数学归纳法（第一课时）说课稿一、教材分析1、本节教材的地位和作用：数学归纳法是人教版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是高中数学一个重要方法，又是高考测试重要内容。

⑴它是掌握数列后，进一步对由归纳、猜想得出一些与正整数有关命题加以证明，可以使学生对有关知识掌握深化一步；⑵既可以开阔学生视野，又可以使他们受到“观察、猜想、归纳、证明”的推理训练，提高他们逻辑思维能力，培养科学创新精神；⑶掌握这种方法为今后进一步数学学习打下基础。

2、教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法的含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。

⑵能力目标：培养由特殊到一般的思维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括的逻辑思维能力。

⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究、猜测，培养学生感悟数学内在美和良好的文化素养。

3、重、难点的确定重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。

）难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。

二、教法分析：根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、计算机辅助教学。

“问题是数学的心脏”创设具有启发的问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从具体到抽象、从特殊到一般，经历观察、`实验、猜测、推理、交流、反思等过程，使学生带着问题去主动探究、动手操作、交流合作，进而对知识内化、接受，完成整个知识的建构。

三、学法分析：“数学是思维的体操”，学生在学习过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构思维的过程，初步掌握归纳与推理的能力、，培养学生大胆猜想、小心求证的思维品质，进一步掌握动手实践、自主学习、主动探索、合作交流的学习方式。

课题：4.1数学归纳法一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标：1、知识与技能：（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。

2、过程与方法：（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。

三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。

3、教具选择：多媒体六、教学方法：运用类比启发探究的数学方法进行教学；七、教学过程1、自主导学：复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。

“数学归纳法”（第一课时）教学设计（修改稿）浙江省衢州高级中学何豪明一、内容和内容解析“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的内容，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①；②若，则．那么是全体正整数的集合，即）也叫做归纳公理．设是一个与正整数有关的命题，我们把使成立的所有正整数组成的集合记为，如果要证明对于所有正整数都成立，只要证明即可．为此，根据归纳公理，首先证明（数学归纳法中的第一步“归纳奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若，则（数学归纳法中的第二步“归纳递推”正是进行这样的证明）．这样即可得到，从而证明了命题对于一切正整数都成立．不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当时命题成立，利用这个假设，如果能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有的正整数，………，命题都成立.也就是说，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．即命题真命题真命题真命题真．因此可知命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法的思维模式是：“观察——归纳——猜想——证明”．数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．二、目标和目标解析本节课的目标是：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的命题，在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”．其中第一步是归纳奠基，只需验证取第一个值（这里是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数）时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性．把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立．因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论．否则，还不能算是已经证明完毕．所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”．应用类比的方法，类比多米诺骨牌游戏和数学归纳法，将一块“骨牌”对应一个“命题”，某块骨牌“倒下”对应某个命题“成立”，从而培养学生的类比推理能力．三、教学问题诊断分析教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：“提出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号．另外，设计命题：已知时，命题成立，求证：时命题成立．从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．四、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学时应该充分注意这一教学条件，通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．五、教学过程设计1.从思考题中引入课题思考题：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明．分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．【设计意图】应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想游戏：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？【设计意图】通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.思考游戏1: 摆放好多米诺骨牌，推倒第1块骨牌，观察发生的结果？思考游戏2: 摆放好多米诺骨牌，推倒第2块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件.思考游戏3: 摆放好多米诺骨牌，先抽走第块骨牌，然后推倒第块骨牌，观察发生的结果？【设计意图】在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌不能拿走，因为第块骨牌的存在，是所有骨牌都倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性．问题1:为什么会有这些结果的发生？如果我们想要确保所有的多米诺骨牌都倒下，那么必须满足哪些条件？问题2:从多米诺骨牌游戏中，抽象出解决与正整数有关的命题的方法？【设计意图】在类比的过程中学习数学归纳法.分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立.分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.【设计意图】抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.3.数学归纳法概念的形成数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题也成立；根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立.问题3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立？(2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可？【设计意图】进一步理解“通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的情形.分析：缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成.“两个步骤和一个结论”缺一不可.其思维过程是，当时命题成立，可以推出时命题成立，当时命题成立，可以推出时命题成立，……．4.数学归纳法的应用例1：已知数列的第项，且，求证：.【设计意图】因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，所以设计这一例题，有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．例2：已知数列的第1项，且，计算由此推测计算的公式，并给出证明.【设计意图】在应用的过程中理解数学归纳法.5.课堂练习练习1：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．解：猜想：．证明：（1）当时，左边=，右边=1，所以猜想成立．（２）假设当时猜想成立,即，那么，，所以，当时猜想也成立．根据（１）和（２），可知猜想对任何都成立．问题4：请看练习1的三个变式，请问它们的分析过程合理吗？请问它的三个变式正确吗？变式1：等式对任意的正整数都成立吗？分析：假设当时命题成立,即，那么，，所以，当时命题也成立．所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳递推，没有归纳奠基是不行的．变式2：等式对任意的正整数都成立吗？分析：当时，左边=，右边=，所以等式（）成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，只有归纳奠基，没有归纳递推也是不行的．变式3：等式对任意的正整数都成立吗？分析：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立．（2）假设当时等式成立,即那么，，所以当时，等式也成立，所以等式对任何都成立．【设计意图】用数学归纳法证明命题时，不能没有归纳递推的过程（即证明命题时归纳假设一定要用上），因为它是运用“有限”手段，解决“无限”问题的关键．练习2：用数学归纳法证明．练习3：已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】进一步熟练数学归纳法证明命题的步骤，加深对数学归纳法本质的理解．6.课堂小结（1）数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．（2）数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可．（3）数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用上,解题目标要明确（也就是人们常说的“双凑”：凑假设和凑结论）.（4）数学归纳法体现的核心思想是什么？数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题．它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．其蕴含的数学思想方法有归纳的思想，递推的思想，特殊到一般的思想，有限到无限的思想方法．等等．【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，提高学生对本节课知识的整体认识．六、目标检测设计（1）用数学归纳法证明：①；②首项是，公差是的等差数列的通项公式是，前项和的公式的．【设计意图】通过数学归纳法的简单应用，体会其思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．（2）用数学归纳法证明命题:的步骤如下,其证明方法是否正确?并说明理由.证明:假设时命题成立,就是，那么,当时,,这就是说,当时命题也成立.根据数学归纳法,成立.【设计意图】数学归纳法证明命题时不能没有第一步，因为它是归纳奠基．（3）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，两个步骤和一个结论，缺一不可．同时，归纳假设一定要用上．（4）已知数列计算，由此推测计算的公式，并给出证明．【设计意图】体现数学归纳法的思维模式：“观察——归纳——猜想——证明”．这就是数学归纳法的核心思想．（5）用数学归纳法证明.【设计意图】数学归纳法证明命题时，第一步中的第一个值不一定是1．。

§2.3 数学归纳法(1)学习目标1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解.104~ P 106，找出疑惑之处）复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.典型例题 例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈K变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈K小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=L练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -++++=-L三、总结提升学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-L ，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++Λ时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. 12+kB. )12(2+kC. 112++k kD. 132++k k3. 设*111()()122f n n N n n n=+++∈++L ，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B. 221+n C. 221121+++n n D. 221121+-+n n4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a 5. 数列}{n x 满足1221,3x x ==，且11112n n nx x x -++=（2≥n ），则=n x .1. 用数学归纳法证明:1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L2. 用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n •+•-+•-+•=++L。

数学归纳法（第一课时）说课稿（人教A版高中数学选修2-2）一、教材分析1、教材地位数学归纳法是人教A版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是一种特殊的证明方法，对证明一些与正整数有关的命题是非常有用的研究工具，弥补了不完全归纳法的不足。

用它解答一些高考题往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生应掌握的一种证明方法。

2、教学重点、难点教学重点：理解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的基本步骤教学难点：（1）理解数学归纳法的原理（2）如何利用归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。

二、教学目标（1）知识目标：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证题的基本步骤，会用“数学归纳法”证明简单的恒等式。

（2）能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的逻辑、抽象、创新思维能力，让学生经历知识的建构过程, 体会类比的数学思想。

（3）情感目标：通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度，感受数学内在美，激发学习热情。

三、学情分析：在此之前学生经历了数列的求通项、求和等知识的学习，还学习了归纳推理、类比推理、演绎推理等知识，已具备了一定的观察、分析、归纳能力。

四、教学方法教学方法：本节课主要采用感性体验法、类比、引导发现法进行教学。

教学手段：借助多媒体展示创设教学情境学法指导：本课以问题情境为中心，以解决问题为主线展开，引导学生通过以下模式：“观察情境→提出问题→分析问题→解决问题→提升理论→巩固应用”进行探究式学习。

五、教学过程：（一）知识链接归纳推理特点:由特殊到一般 类比推理特点:由特殊到特殊常用⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法归纳法（设计意图：复习归纳推理和类比推理，为学习数学归纳法作铺垫）（二）创设情境情境1 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子由“一字是一横，二字是二横，三字是三横”，得出“四就是四横、五就是五横……，百是百横，……，万是万横，……”的结论，用的就是“不完全归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．情境2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N *时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了 1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．（设计意图：通过以上两个例子让学生了解不完全归纳法得出的结论不一定正确，即使是数学家也不例外。

§2.3 数学归纳法(2)学习目标1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.复习1：数学归纳法的基本步骤？复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学学习探究探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题. 试试：已知数列1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+L ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.典型例题例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.动手试试练1. 已知111()123f n n=++++L ,求证: *(2)()2n n f n N >∈练2. 证明不等式*|sin ||sin |()n n n N θθ≤∈三、总结提升学习小结1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题;2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.知识拓展不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明,例如用数学归纳法证明*1(1)()n n N n+∈的单调性就难以实现.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是A. )(n p 对所有自然数n 都成立B. )(n p 对所有正偶数n 成立C. )(n p 对所有正奇数n 都成立D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>L 成立，起始值至少应取为 A.7 B. 8 C. 9 D. 104. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .5. 用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++L 时,当1n =时左边表达式是 ;从1k k →+需增添的项的是 .课后作业1. 给出四个等式: 1=11-4=-(1+2)1-4+9=1+2+31-4+9-16=-(1+2+3+4)……猜测第n 个等式，并用数学归纳法证明.2. 用数学归纳法证明:*11(11)(1)(1))321n N n ++••+>∈-L。

数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。

例2：数列{a n }中，1n na a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=（1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +,(1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式；（2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有 ①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。

数学归纳法教学设计周村区实验中学 申臻臻【教学目标】（1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。

（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。

【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。

【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。

归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。

）① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k 块骨牌能推倒第1k +块骨牌 三、师生合作，形成概念。

2013年高中数学 2.3 3数学归纳法教案新人教A版选修2-2 教学目标：1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；2．理解数学归纳法原理的科学性；3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤；4．体会归纳演绎推理的思想；5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法。

教学重点和难点：1.数学归纳法原理的理解和基本步骤；2.数学归纳法原理的理解。

教学背景分析：数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。

它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用。

但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重。

为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可。

你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受。

学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题等等。

为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。

这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。

教学过程：一、引入：（介绍归纳法，引出课题）【教学过程】教师提出问题：1.观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

2.教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。

以上两个案例中的猜想问题有什么不同？学生讨论后回答：这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法。

§2.3 数学归纳法(2)【学情分析】：数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。

本节课是在上节课的基础上进上步熟悉数学归纳法的证题原理及步骤。

【教学目标】：（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。

（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

【教学重点】：进一步巩固对数学归纳法的基本思想的认识，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。

【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

【教学过程设计】：【练习与测试】： 1．使用数学归纳法证明22()n n n N <∈，若不等式成立，则n 的取值范围是（ ）A. 2n ≥B. 3n ≥C. 4n ≥D. 5n ≥ 答案：D解：当n 取第一个值5时，命题成立。

2．用数学归纳法证明“*)(11312111N n n n n ∈>++++++ ”，要证明第一步时，左边的式子= 。

答案：1213413121=++。

3．当*N n ∈时，求证：3()2n n >。

证明：（1）当n=1时，左式=32，右式=1，312>，原不等式成立。

（2）假设当n=k 时，原不等式成立，即3()2k k >则当n=k+1时，左式=13333()()22222k k kk k +=>=+132,1,()12k k k k +≥∴≥+>+上式即所以n=k+1时结论成立综合（1）（2）原不等式对于任意*N n ∈均成立。

数学归纳法及其应用考纲要求1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题2掌握利用“观察→归纳→猜想→证明”探索问题的方法重点、难点归纳1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法2数学归纳法对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

这种证明方法就叫做数学归纳法。

学法探秘数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。

用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。

其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。

两个步骤各司其职，缺一不可。

证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。

需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k 时命题成立”这一条件。

因为“当n=k 时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。

“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。

这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。

典型例析例1用数学归纳法证明证明：1当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。

2假设当n=k 时，等式成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。

那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n 都成立。

说明：要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。

第一课时 4.1 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.2. 练习：已知()*()13521,f n n n N =++++-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？ 过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.3. 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用： ① 出示例1：求证*111111111,234212122n N n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅+∈-++ 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 关键：在假设n =k 的式子上，如何同补？小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.② 出示例2：求证：n 为奇数时，x n +y n 能被x +y 整除.分析要点：（凑配）x k +2+y k +2=x 2·x k +y 2·y k =x 2(x k +y k )+y 2·y k －x 2·yk =x 2(x k +y k )+y k (y 2－x 2)=x 2(x k +y k )+y k ·(y +x )(y －x ).③ 出示例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.2. 练习：① 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-n ∈N *）. ② 用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）③ 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.第二课时 4.2 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)n n n n N n n n ++++=∈⋅⋅-++.2. 求证：*11111,23421n n n N +++++≤∈-.二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：比较2n 与2n 的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n = → 猜想结论 → 用数学归纳法证明→ 要点：222222(1)2123k k k k k k k k k k +=++<++<+<+<…. 小结：试值→猜想→证明② 练习：已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且11()2n n nS a a =+，归纳出a n 的公式并证明你的结论.解题要点：试值n =1,2,3,4， → 猜想a n → 数学归纳法证明③ 出示例2：证明不等式|sin ||sin |()n n n N θθ*≤∈.要点：|sin(1)||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |k k k k k θθθθθθθθθ+=+≤+ |sin ||sin ||sin ||sin |(1)|sin |k k k θθθθθ≤+≤+=+④ 出示例3：证明贝努利不等式. (1)1(1,0,,1)n x nx x x n N n +>+>-≠∈>2. 练习：试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c互不相等时，均有a n +c n ＞2b n .解答要点：当a 、b 、c 为等比数列时，设a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1). ∴ a n +c n =…. 当a 、b 、c 为等差数列时，有2b =a +c ，则需证2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *). …. 当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a ) =41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 . 3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： 111tan(2)(1)(1)....(1)cos2cos4cos2tan n n θθθθθ+++=. 2. 已知1111,2,12122n N n n n n∈≥<+++<++证明：. 3. 作业：教材P 54 3、5、8题.。