2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)-教师用卷

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，分层抽样C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样【答案】D【解析】解：学生会的同学随机对24名同学进行调查，是简单随机抽样，对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，是系统抽样，故选：D．根据抽样的不同方式，选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为3的同学，这种抽样是系统抽样．抽样包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，根据条件选择合适的抽样方法，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，2.已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，基本事件总数，该数为偶数包含的基本事件个数，该数为偶数的概率为．故选：C．基本事件总数，该数为偶数包含的基本事件个数，由此能求出该数为偶数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.下列命题中错误的是A. 样本数据的方差越小，则数据离散度越小B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高C. 相关系数r满足且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱D. 相关指数越小，回归直线拟合效果越好．【答案】D【解析】解：对于A，样本数据的方差越小，则数据离散度越小，正确；对于B，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；对于C，相关系数r满足且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，正确；对于D，应该是相关指数越大，回归直线拟合效果越好，故错；故选：D．利用方差、残差、相关系数，相关指数的意义，即可判定．本题考查了方差、残差、相关系数，相关指数的意义，属于基础题．4.从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则不含字母a的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，基本事件总数，不含字母a包含的基本事件个数，不含字母a的概率为．故选：D．基本事件总数，不含字母a包含的基本事件个数，由此能求出不含字母a的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.的单调增区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，由，得，的单调增区间是．故选：B．求出，，由，得，由此能求出的单调增区间．本题考查函数的单调增区间的求法，考查导数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.如图为某班数学测试成绩的茎叶图根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，错误的为A. 15名女生成绩的众数为80B. 17名男生成绩的中位数为80C. 男生成绩比较集中，整体水平稍高于女生D. 男生中的高分段比女生多，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重【答案】C【解析】解：由茎叶图得：在A中，15名女生成绩的众数为80，故A正确；在B中，17名男生成绩的中位数为80，故B正确；在C中，男生成绩相对分散，整体水平稍低于女生，故C错误；在D中，男生中的高分段比女生多，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重，故D正确．故选：C．利用茎叶图、中位数、众数定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查茎叶图、中位数、众数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组，得到频率分布直方图如图设成绩小于16秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为A. ，35B. ，45C. ，35D. ，45【答案】A【解析】解：由频率分布直方图得：成绩小于16秒的学生的频率为，成绩大于等于15秒且小于17秒的频率为：，成绩小于16秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，，，从频率分布直方图中可分析出x和y分别为和35．故选：A．由频率分布直方图求出成绩小于16秒的学生的频率和成绩大于等于15秒且小于17秒的频率，由此从频率分布直方图中可分析出x和y的值．本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.从1至9这9个自然数中任取两个：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数；至多有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：从1至9这9个自然数中任取两个：在中，恰有一个偶数和恰有一个奇数能同时发生，故不是对立事件；在中，至少有一个是奇数和两个数都是奇数能同时发生，故不是对立事件；在中，至多有一个奇数和两个数都是奇数，不能同时发生，她不能同时不发生，故是对立事件；在中，至少有一个奇数和至少有一个偶数数能同时发生，故不是对立事件．故选：C．利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元【答案】B【解析】解：由题意可得；，因为回归直线方程经过样本中心，所以：．回归直线方程为：．时，．故选：B．利用公式求出，然后转化求解即可得出结论．本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．10.已知函数的图象如图所示，如图四个图象中其中是函数的导函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，由函数的图象，当时，先为减函数，再为增函数，最后为减函数，在区间上为增函数，则其导数在上，应该先负，后正，最后为负，在区间上正，分析选项：D符合；故选：D．根据题意，由函数的图象，分析其单调性，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得导数在上，应该先负，后正，最后为负，在区间上正，分析选项即可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意由函数的单调性分析函数导数的符号，属于基础题．11.函数，若存在使得成立，则实数m的范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，可得，，所以函数是减函数，存在使得成立，可得．故选：A．利用函数的导数，求解函数的最值，转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，函数的单调性的判断，考查计算能力．12.函数，若关于x的方程有两个解，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：作出函数的图象，当直线与相切，设切点为，即有，，可得，，再由直线过点，可得，可得时直线与曲线有两个交点；当直线过时，，即有时直线与曲线有两个交点，综上可得符合题意的a的范围是，故选：A．分别作出函数和的图象，利用方程有两个解，利用数形结合，结合函数的导数的几何意义，即可得到所求范围．本题主要考查方程根的个数的应用，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想，本题难度较大，综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为21人，则样本容量为______．【答案】45【解析】解：根据分层抽样的定义和方法，每个个体被抽到的概率等于．设样本容量等于n，则有，解得，故答案为：45．根据分层抽样的定义和方法，先求出每个个体被抽到的概率，再根据用样本容量除以个体总数得到的值就等于每个个体被抽到的概率，由此求得样本容量．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．14.在区间上随机取一个数x，使得成立的概率为______．【答案】【解析】解：不等式化为或，解得或；所以在区间上随机取一个数x，使得成立的概率为．故答案为：．求出不等式的解集，再利用几何概型的概率公式计算所求的概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了绝对值不等式的应用问题，是基础题．15.若函数在，上都是单调增函数，则实数a的取值集合是______．【答案】．【解析】解：．．由在，上都是单调递增．则的两解必在内．得且，即，得，解得，的取值范围为．故答案为：．根据函数的单调区间得的两解必在内，建立条件关系即可得到结论．本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数在函数中的应用．16.已知，，则关于x的方程有实根的概率是______．【答案】【解析】解：由题意，表示的平面区域为矩形，面积为；则在此范围内，关于x的方程有实根，应满足，它表示的平面区域如图阴影所示；则阴影部分面积为，所以，所求的概率为．故答案为：．求出表示的平面区域面积S与表示的平面区域面积，计算面积比即可．本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求函数单调区间；Ⅱ求证：方程有三个不同的实数根．【答案】解：Ⅰ，，令，解得或，当，解得或，函数单调递增，当，解得，函数单调递减，的单调增区间是，，单调减区间是；证明：Ⅱ由Ⅰ可得极大值，极小值，方程有三个不同的实数根．【解析】Ⅰ先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，Ⅱ由Ⅰ求出函数的极值，根据极大值，极小值，即可证明方程有三个不同的实数根．本题考查了导数和函数的极值和单调性的关系，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．18.哈三中数学竞赛辅导班进行选拔性测试，且规定：成绩大于等于110分的有参加资格，110分以下不包括110分的则淘汰若现有1500人参加测试，频率分布直方图如下：Ⅰ求获得参加资格的人数；Ⅱ根据频率直方图，估算这1500名学生测试的平均成绩．【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得成绩大于等于110分的频率为：，成绩大于等于110分的有参加资格，110分以下不包括110分的则淘汰现有1500人参加测试，获得参加资格的人数为：．Ⅱ根据频率直方图，估算这1500名学生测试的平均成绩为：．【解析】Ⅰ由频率分布直方图求出成绩大于等于110分的频率，由此能求出获得参加资格的人数．Ⅱ根据频率直方图，能估算这1500名学生测试的平均成绩．本题考查频数的求法，考查平均成绩的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.教育部记录了某省2008到2017年十年间每年自主招生录取的人数为方便计算，Ⅰ根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值；Ⅱ根据Ⅰ所得到的回归方程预测2018年该省自主招生录取的人数．其中，【答案】解：Ⅰ由表中数据可得，，，，；，，关于x的回归方程为当时，，则第8年的估计值和实际值之间差的绝对值为；Ⅱ当时，，预测2018年该省自主招生录取的人数为．【解析】Ⅰ由表中数据求得、，计算回归系数，写出回归方程，利用回归方程求出时的值，再计算估计值和实际值之间差的绝对值；Ⅱ由题意计算时的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20.已知函数．Ⅰ当时，求曲线则处的切线方程；Ⅱ若恒成立，求a的取值范围．【答案】解：时，函数，可得，所以，时，．曲线则处的切线方程；即：；由条件可得，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，，所以在上为减函数．又，所以在上，；在上，．所以在上为增函数；在上为减函数．所以，所以．【解析】求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．函数恒成立，即恒成立分离变量，得，恒成立，则只需a大于等于的最大值即可用导数求出的最大值即可．本题主要考查了应用导数求函数的切线方程的求法，考查函数的单调区间，极值，最值，以及恒成立问题的判断．21.已知椭圆：的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线与椭圆交于不同的两点，，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ由椭圆：的离心率为，可得，，由椭圆经过点，可得，解得，，，则椭圆的方程为；Ⅱ，，，直线与椭圆联立可得，，，又原点到直线的距离，的面积令，则，而在递增，可得的最小值为，当且仅当，即时，面积的最大值为．【解析】Ⅰ运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；Ⅱ直线与椭圆联立，表示出面积，利用韦达定理，结合换元，对勾函数的单调性，即可求面积的最大值．本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查对勾函数的单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数，Ⅰ设试讨论在的单调性；Ⅱ是的一个极值点，设曲线与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线为直线求证：曲线上的点都不在直线l的上方．【答案】解：Ⅰ设．，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ证明：函数，，是的一个极值点，可得，解得．函数，曲线在处切线为：，令，，在增，为减，，，即，即上的点都不在直线l的上方．【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过当时，当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．Ⅱ曲线在处切线：，令，通过，利用导函数求解函数的最大值，然后证明结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．第11页，共11页。

哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 复数(34)i i +的虚部为（ ） A. 4i B. 3i C.4 D. 32. 命题“若a b <，则22ac bc < ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ ） A.0个 B. 2个C.3个D. 4个3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从,,A B C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知,,A B C 三所学校分别有180,270,90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为 （ ）A.10B.12C.18D. 244. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 ， 的值分别为（ ） A .2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,85. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及2K 公式算得：8.846k ≈，参照附表得到的正确结论是 （ ）.84100 B. 在犯错的概率不超过000.1的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” C. 在犯错的概率不超过001的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D. 在犯错的概率不超过 001的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6. 已知集合1262A x Rx ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，{}11B x R x m =∈-<<+，若x B ∈成立的一个充分不必要的条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2m ≥B. 2m ≤C. 2m >D. 22m -<<7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输 入的 ，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于 （ ）A. B. C. D.8. 如图所示的程序框图中，若输出的S 是，则①处应填（ ）A. 5n ≤B. 6n ≤C.7n ≥D. 8n ≤ 9. 命题“，”的否定是 （ ）A. ，B. ，C. ，D. ，10.已知椭圆22221(0)+=>>x y a b a b过点32（，），当22+a b 取得最小值时，椭圆的离心率为 （ ）A.1211.用数学归纳法证明()*1111++++,12321⋅⋅⋅<∈>-n n n N n 的第二步从=n k 到1=+n k 成立时，左边增加的项数是（ ）A .2k B.21-k C.12-k D.21+k12.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线C 上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB ，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 4B. 2C.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布2(90,)N σ，若分数在(]70,110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为 ．14. 给出下列等式：231111222；⨯=-⨯ 2231411+112223232；⨯⨯=-⨯⨯⨯ 2333141511++112223234242；⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯由以上等式推出一个一般结论：对于2314121,++122232(1)2*+∈⨯+⨯⨯=⨯⨯+n n n N n n ．15.已知命题:∃∈p x R ，使tan 1=x ；命题2:320-+<q x x 的解集是{}12<<x x ．下列结论： ①命题“∧p q ”是假命题； ②命题“（）⌝∧p q ”是假命题； ③命题“p q ⌝∨（）”是真命题；④命题“（）（）⌝⌝∧p q ”是真命题．其中正确的是 ．（填所有正确命题的序号） 16.已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(+1)1N x y +=，直线12,l l 分别过圆心,M N ，且1l 与圆M 相交于,A B ,2l 与圆N 相交于,C D ,P 是椭圆22134x y +=上的任意一动点，则PA PB PC PD +的最小值为 .三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为5cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），点P 的坐标为()．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 过点P 且与曲线C 交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为45，求⋅PA PB 的值．18. （本小题12分）设()14=+--f x x x ．（1）若2()6≤-+f x m m 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设（1）中m 最大值为0m ，,,a b c 均为正实数，当03+4+5=a b c m 时，求证：22212a b c ++≥． 19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（x （吨）为买进蔬菜的数量，y （天）为销售天数）：（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=+y bx a ；（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？ （参考数据和公式：88882111148,32,244,364ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑，1122211()()()====---==--∑∑∑∑nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx，=-a y bx ．）20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下 频率分布直方图．（1）求a 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．21.（本小题12分）已知椭圆22:1(02)2+=<<x y C n n（1）若椭圆C 的离心率为12，求n 的值； （2）若过点()-2,0N 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180∠+∠=NMA NMB ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知抛物线22(0)=>y px p 的准线经过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 的左焦点1F ,点(4,0)A -为椭圆的左顶点，且椭圆短轴的一个端点与其两焦点构成一个直角三角形.（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M , 直线2MF (2F 为椭圆的右焦点)交抛物线于,C D 两点，过2F 作2MF 的垂线，交y 轴于点N , 直线AN 交椭圆于另一点Q ，直线2NF 交抛物线于,G H 两点，(ⅰ)求证：11CD GH+为定值.(ⅱ)求APQ ∆的面积的最大值.哈师大附中2017-2018年度高二下学期期中考试（答案）数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 复数的虚部为（ D ）A. B.C.4D.32. 命题“若，则”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（ B ）A.0个B. 2个C.3个D. 4个3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知 三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为 （ A ）A.10B.12C.18D. 244. 如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为（ C ）A.2,5B.5,5C.5,8D.8,85.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由公式算得：，参照附表得到的正确结论是 （ C ）A. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B.在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” C. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D. 在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6. 已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（ A ）A.B.C.D.7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于（ C ）A. B. C. D.8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的是，则①处应填（ B ）A. B. C. D.9. 命题“，”的否定是（ B ）A. ，B. ，C. ，D. ，10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为（ D ）A. B. C. D.11. 用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是（ A ）A . B. C. D.12. 已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ B ）A. 4B. 2C.D.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为 150 ．14.给出下列等式：由以上等式推出一个一般结论：对于．15.已知命题，使，命题的解集是．下列结论：①命题“”是假命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是②③．（填所有正确命题的序号）16.已知圆，圆，直线圆分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为6 .三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线过点且与曲线交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．解：(1) 由消去，得，则曲线为椭圆．(2) 由直线的倾斜角为，可设直线的方程为（其中为参数），代入，得，所以，从而．18. （本小题12分）设．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）设的最大值为，均为正实数，当时，求证：．．【答案】解（1）﹣5≤|x+1|﹣|x﹣4|≤5．，由于f（x）≤﹣m2+6m的解集为R，∴﹣m2+6m≥5，即1≤m≤5．（2）由（1）得m的最大值为5，∴3a+4b+5c=5由柯西不等式（a2+b2+c2）（32+42+52）≥（3a+4b+5c）2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故a2+b2+c2≥．（当且仅当a=，b=c=时取等号）19. （本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：参考公式：，．（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天．解：（1）散点图如图所示：（2）依题意，，，，，，所以，所以回归直线方程为．（3）由（Ⅱ）知，当时，．即若一次性买进蔬菜吨，则预计需要销售天．20. （本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．（1）根据题意得：．解得．（2）设样本中男生身高的平均值为，则所以估计该市中学全体男生的平均身高为．（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为，，，．所以；；；．随机变量的分布列为因为，所以．21. （本小题12分）已知椭圆（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）因为，，所以．又，所以有，得．（2）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，，且满足．依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为．由得．因为直线与椭圆有两个交点，所以．即，解得．设，，则，，，．令，即，即，当时，，所以，化简得，，所以．当时，检验也成立．所以存在点，使得．22.（本小题12分）已知抛物线的准线经过椭圆的左焦点,且椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个直角三角形，为椭圆的左顶点.(1)求抛物线和椭圆的标准方程；(2)设为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点,直线(为椭圆的右焦点)交抛物线于两点，过作的垂线，交轴于点,直线交椭圆于另一点，直线交抛物线于两点，(ⅰ)求证：为定值.(ⅱ)求的面积的最大值.解：（1）依题意所以抛物线方程为，椭圆方程为………………………………….4分（2）(ⅰ)由已知直线斜率存在且为正数，设直线方程为，则点，又，故直线的斜率分别为直线的方程为直线直线的方程为直线设由得，，同理为定值……………………………………………………………………8分(ⅱ)由得同理，可知点关于原点对称，即直线过原点当且仅当即时取等号，此时的最大值为...............12分。

哈师大附中高二下学期期末考试文科数学试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出结果．详解：∵集合，∴．故选：A．点睛：本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．2. 对于任意实数以下四个命题正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案．详解：选项①，由不等式的可加性可得故A正确，点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．3. 已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为A. i−1B. 1+2iC. 1−iD. 1−2i【答案】B【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由(i−1)(z−)=2i(，得，则的共轭复数为．故选：B．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4. 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.5. 下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.【答案】A考点：双曲线的渐近线方程和标准方程之间的关系.6. 下列四个命题:①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；④对于命题,使得，则，均有，其中正确命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】分析：①．利用逆否命题的定义即可判断出正误；②．由，解得，2，即可判断出关系；③举例说明原命题为真时，它的否命题不一定为假④特称命题：使的否定是：把改为，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．详解：①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”，正确；②由，解得，2，因此“”是“”的充分不必要，正确；③原命题为真时，它的否命题不一定为假命题，如时，，它的否命题是时，，都是真命题，故③不正确；④对于命题,使得，则，均有，正确．故选C.点睛：本题主要考查了充分与必要条件的判断，命题的逆否命题的写法，复合命题的真假关系的应用，属于中档题．7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：函数在区间内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0．详解：要使函数在区间上单调递增，需在上恒成立；即在上恒成立，即0在上恒成立，即在上恒成立，而当且仅当时等号成立，符合题意.即.故选：B．点睛：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决．8. 若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题考查直线方程，斜率公式，直线垂直，圆的几何性质.圆的圆心为的中点是根据圆的性质知：直线的斜率为则直线的斜率为由点斜式得直线方程为故选B9. 执行如图所示的程序框图，则可以输出的函数为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合流程图逐一考查函数的性质即可确定输出值，然后选择题意要求的函数即可．详解：A．是奇函数，则输入该函数时输出的结果为：“是奇函数”；B ，且函数值恒大于0，不是奇函数，此时“非负”；C．，不是奇函数，也不是非负，则输出函数；D．，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”；故选：B．点睛：本题考查了函数的性质，流程图及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．10. 函数的部分图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.11. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是A. 甲和乙B. 乙和丙C. 丁和戊D. 甲和丁【答案】D【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】分析：设，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．详解：设，则，∴是偶函数．当.，∴在上是增函数，∵，∴即，∴，即．故选：A．点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13. 函数在其极值点处的切线方程为___________．【答案】【解析】分析：求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．详解：依题解：依题意得令，可得，∴．因此函数在其极值点处的切线方程为．故答案为：．点睛：本题考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14. 已知实数x，y满足，则的最大值为___________．【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为即答案为14.点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.15. 若函数在上有极值点，则的取值范围是___________．【答案】【解析】分析：求函数的导数，利用函数取值极值转化为有根进行求解即可．详解：，则函数在上有极值点，转化为有根，当时，显然又跟，符合题意；当时，函数在上有极值点，则有两个不同的实根，则综上的取值范围是.即答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．16. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时；则解得，则命题为假命题时，或，若命题双曲线的离心率为真命题时；则即即则命题为假命题时，，或，∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题，当真假时，0，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：，或．故答案为：.点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （1）求不等式的解集；（2）设，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）5【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；（2）利用柯西不等式可求的最大值.详解：（1）①当时，，得，∴；②当时，成立，∴；③当时，，得，∴；综上，不等式的解集为．（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号∴当，x＋y＋z的最大值为5．点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.18. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.【答案】（1），；（2）2【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1的极坐标方程．（2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．详解：（1）圆普通方程所以的极坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 已知函数的图象过点,且在点处的切线方程为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）；（2）增区间为,,减区间为【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．试题解析：(1)；(2)增区间是和解：(1)由的图象经过，知，所以，，由在处的切线方程是，知，即，，∴，即，解得.故所求的解析式是.(2)，令，即，解得，，当或时，，当时，，故的增区间是和.减区间是.20. 已知是函数的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．21. 已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点的轨迹的方程；（Ⅱ）经分析当直线的斜率不存在时，不满足是的中点，然后设出直线的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x，结合得到关于的方程，则直线的斜率可求．详解：（1），（2）由条件知直线有斜率，设与联立得设则又是的中点，，此时故直线斜率点睛：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．22. 已知函数（）.（1）若，求函数的极值；（2）若，求函数在上的最小值的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）【解析】分析：（1）时，，列表可求函数的极值；（2），求出，记，，在上单调递减记可证，即可得到函数在上的最小值的取值范围．详解：（1）时，，-20+0-0+的极大值为，的极小值为（2），，在上单调递增，存在使得，上单调递减，上单调递增，，记，，在上单调递减记在上单调递减最小值的取值范围是点睛：本题考查路导数研究函数的性质，属难题.。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属高二下学期期中考试数学（文）试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知x 与y则y 与x 的线性回归方程∧y =bx+a 必过A 点(2,2)B 点(1.5 ,4)C 点(1.5,-3.75)D 点(1.5,0) 2.在区间[]1,3上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为A 0.25B 0.5C 0.6D 0.753.用反证法证明命题:a ，b N ∈，ab 的乘积可被5整除，那么a,b 中至少有一个能被5整除，假设的内容应为A a,b 都能被5整除B a,b 都不能被5整除C a,b 不都能被5整除D a 不能被5整除4.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是A 模型1的相关指数2R 为0.97 B 模型2的相关指数2R 为0.81 C 模型3的相关指数2R 为0.49 D 模型4的相关指数2R 为0.255.对于事件A 和事件B ，通过计算得到2K 的观测值k ≈4.526，下列说法正确的是 A 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A 和事件B 有关 B 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和事件B 有关 C 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为事件A 和事件B 无关 D 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A 和事件B 无关 6. 一枚硬币连抛2次，只有一次出现正面的概率为21314132DC BA7. 复平面内，复数iz +=21对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限8. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A 若得观测值为2K =6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患病B 从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D 以上三种说法都不正确9.若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m,n 作为点P 的坐标（m,n ）,则点P 落在圆2216x y +=内的概率92614121DC BA10. 回归直线方程y=2 ―1.2x,则变量x 增加一个单位A y 平均增加1.2个单位B y 平均增加2个单位C y 平均减少2个单位2D y 平均减少1.2个单位 11. 从3男1女4位同学中选派2位同学参加演讲比赛，那么选派的都是男生的概率 A43 B 41 C 32 D 21 12．椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ，M 为椭圆上一点，且12MF MF 的最大值的取值范围是22,2c c ⎡⎤⎣⎦，其中c 是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是111,,1,123222A B CD ⎫⎡⎤⎡⎫⎪⎪⎢⎥⎢⎪⎣⎦⎣⎭⎣⎦⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 观察下列各式：2333233)321(321,)21(21++=+++=+， 23333)4321(4321+++=+++根据上述规律，第四个等式为__________14. 若i x x z )1()1(22-+-=为纯虚数，则实数x 的值为__________15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。

黑龙江省哈尔滨道里区2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共40分）1．已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B=（）A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9}2．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M=（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|x≤﹣2或x≥2} 3．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．命题“p或q”是真命题，则下列结论中正确的个数为（）①“p且q”是真命题②“p且q”是假命题③“非p或非q”是真命题④“非p或非q”是假命题．A．0个B．1个C．2个D．3个6．下列4个命题是真命题的个数是（）①“若x2+y2=0，则x、y均为零”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若A∩B=A，则A⊆B”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被5整除”的逆否命题．A．1个B．2个C．3个D．4个7．复数是实数，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或19．复数=（）A．﹣﹣i B．﹣ +i C．﹣i D． +i10．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A． B． C． B． C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．二、填空题（每空5分，共20分）11．若函数f（x）=，则f（f（10））= 2 ．【考点】3T：函数的值．【分析】先求出f（10）=lg10=1，从而f（f（10））=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（10）=lg10=1，f（f（10））=f（1）=12+1=2．故答案为：2．12．已知f（x+1）=x2﹣2x，则f（1）的值为．0 ．【考点】3T：函数的值．【分析】利用函数的性质求解．【解答】解：f（x+1）=x2﹣2x，则f（0+1）=02﹣2×0=0．故答案为：0．13．复数z=在复平面对应的点位于第三象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===﹣﹣在复平面对应的点位于第三象限．故答案为：三．14．曲线y=x（3lnx+2）在点（1，2）处的切线方程为5x﹣y﹣3=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后利用导函数值求解斜率，利用点斜式求解即可．【解答】解：曲线y=x（3lnx+2），可得y′=3lnx+5，y′|x=1=5，曲线y=x（3lnx+2）在点（1，2）处的切线方程为：5x﹣y﹣3=0．故答案为：5x﹣y﹣3=0三．解答题（共40分）15．求下列函数的定义域（1）y=（2）y=．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）根据根式成立的条件进行求解即可．（2）根据根式，分式，对数成立的条件进行求解即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，则，即得，即﹣4≤x≤1且x≠0，即函数的定义域为{x|﹣4≤x≤1且x≠0}．（2）要使函数有意义，则log0.5（4x﹣3）＞0，则0＜4x﹣3＜1，得＜x＜1，即函数的定义域为{x|＜x＜1}．16．求下列函数的导数（1）y=（2x2+3）（3x﹣1）；（2）y=xe x+2x+1．【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）y=（2x2+3）（3x﹣1）=6x3﹣2x2+9x﹣3∴y'=18x2﹣4x+9，（2）y′=e x+xe x+2．17．已知函数f（x）=x3﹣ax2+b在x=2处有极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导数，令x=2时导数等于零，求出a的值，要验证2两侧导数是否异号；（2）求导数，解不等式导数大于零得原函数增区间，导数小于零得减区间．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=x2﹣2ax，令f′（2）=0得a=1，经验证a=1时x=2两侧导数异号，所以a=1符合题意．（2）由（1）知f′（x）=x2﹣2x，令f′（x）＞0得x＞2或x＜0；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以原函数的增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，2）．18．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：其中附表问能否有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别有关？【考点】BL：独立性检验．【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由K2=≈7.822＞6.635，∴有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别有关．。

2017-2018学年黑龙江省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足zi=3+4i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．（5分）观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）24．（5分）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．35．（5分）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”，类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1其中类比结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）下列推理属于演绎推理的是（）A．由圆的性质可推出球的有关性质B．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电7．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）8．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．29．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）10．（5分）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2B．C．4D．511．（5分）在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x﹣1.8，则（4，1），（m，2），（8，3）这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个．A．1B．2C．3D．012．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题：（每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数（3﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．14．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=．15．（5分）已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；③在回归直线方程=﹣0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．⑤回归直线=x+恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点；⑥若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．其中正确命题的序号是．16．（5分）已知f（x）=e x（lnx+x2﹣mx），若对任意的x∈（0，+∞），均有f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m．（1）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（2）若关于的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：（1）根据已知条件求出上面的2×2列联表中的A和B；用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明是否有99.5%的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：参考公式：，其中n=a+b+c+d．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．20．（12分）（1）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|a∈R．若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求实数a的取值范围；（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥．21．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．22．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣2，a∈R（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年黑龙江省实验中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z满足zi=3+4i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由zi=3+4i，得z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（4，﹣3），位于第四象限．故选：D．2．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选：B．3．（5分）观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2【解答】解：∵1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）=（2n﹣1）2，故选：B．4．（5分）已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．3【解答】解：曲线y=x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′=2x﹣，由题意直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣=﹣1，所以x=1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m=1+1=2．故选：B．5．（5分）给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”，类比推出“若a，b，c，d∈Q，则”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若x∈C，则|z|＜1⇒﹣1＜z＜1其中类比结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在有理数集Q中，若．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误④“若x∈R，则|x|＜1⇒﹣1＜x＜1”类比推出“若z∈C，|z|＜1表示复数模小于1，不能⇒﹣1＜z＜1，故④错．故4个结论中，有两个是正确的．故选：B．6．（5分）下列推理属于演绎推理的是（）A．由圆的性质可推出球的有关性质B．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电【解答】解：由圆的性质类比推出球的有关性质，这是类比推理；由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°，这是归纳推理，某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其各科成绩都是满分，这是归纳推理，由于命题：“金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电”，这是一个三段论推理，属于演绎推理，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．8．（5分）点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（）A．1B．C．2D．2【解答】解：由题意作图如下，当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时，最近；故令y′=2x﹣=1解得，x=1；故点P的坐标为（1，1）；故点P到直线y=x﹣2的最小值为=；故选：B．9．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，则a2+a+1＞f（x）max，∵f（x）max=1，∴a2+a+1＞1，∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）故选：D．10．（5分）已知a＞0，b＞0，则的最小值是（）A．2B．C．4D．5【解答】解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号．故选：C．11．（5分）在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y关于x的回归方程为=0.65x﹣1.8，则（4，1），（m，2），（8，3）这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个．A．1B．2C．3D．0【解答】解：由表中数据，计算=×（4+m+8+10+12）=，=×（1+2+3+5+6）=3.4，代入回归方程=0.65x﹣1.8中，得3.4=0.65×﹣1.8，解得m=6；所以x=4时，=0.65×4﹣1.8=0.8＜1，点（4，1）在回归直线=0.65x﹣1.8上方；x=6时，=0.65×6﹣1.8=2.1＞2，点（6，2）在回归直线=0.65x﹣1.8下方；x=8时，=0.65×8﹣1.8=3.4＞3，点（8，3）在回归直线=0.65x﹣1.8下方；综上，（4，1），（6，2），（8，3）这三个样本点中落在回归直线下方的有2个．故选：B．12．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题：（每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数（3﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣．【解答】解：（3﹣i）（a+2i）=3a﹣ai+6i﹣2i2=3a+2+（6﹣a）i，∵复数（3﹣i）（a+2i）是纯虚数，∴，解得a=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣415．（5分）已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1；③在回归直线方程=﹣0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．⑤回归直线=x+恒过样本点的中心（，），且至少过一个样本点；⑥若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．其中正确命题的序号是①③④⑦．【解答】解：①在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，表示回归效果越好，①正确；②两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，②错误；③在回归直线方程=﹣0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，③正确；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；⑤回归直线=x+恒过样本点的中心（，），可以不经过任一个样本点，⑤错误；⑥若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中可能有99人患有肺病，⑥错误；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确．故答案为：①③④⑦．16．（5分）已知f（x）=e x（lnx+x2﹣mx），若对任意的x∈（0，+∞），均有f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：f（x）=e x（lnx+x2﹣mx）的导数为：f′（x）=e x（lnx+x2﹣mx）+e x（+x﹣m），对任意的x∈（0，+∞），均有f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，可得e x（+x﹣m）＞0对x＞0恒成立，即有m＜x+的最小值，由x+≥2=2，当且仅当x=1时，取得等号，则m＜2，即m的取值范围是（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m．（1）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（2）若关于的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或，即x＞3或x∈∅或x＜﹣2，解得f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|＞m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，可得m的取值范围是（﹣∞，1]．18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：（1）根据已知条件求出上面的2×2列联表中的A 和B ；用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2，并说明是否有99.5%的把握认为心肺疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：参考公式：，其中n=a+b+c+d ．【解答】（1）A=20，B=30由列联表知，患心肺疾病的有30人，要抽取6人，用分层抽样的方法，则男性要抽取6×=4人（2）由列联表中的数据，代入公式中，算出：==8.333＞7.879，查临界值表知：有99.5%把握认为心肺疾病与性别有关．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组（每个有序数对（x，y）叫作一组）数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4组数据求线性回归方程．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月和6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅲ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？参考公式：．【解答】解：（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种．所以P（A）==．（2）由数据求得=11，=24．由公式求得=，再由=﹣求得：=﹣，所以y关于x的线性回归方程为：=x﹣．（3）当x=10时，y=，|﹣22|=＜2；当x=6时，y=，|﹣12|=＜2；所以，该小组所得线性回归方程是理想的．20．（12分）（1）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|a∈R．若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求实数a的取值范围；（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥．【解答】解：（1）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，所以a的取值范围为[﹣7，7]．（2）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＞0，∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），∴3（a2+b2+c2）≥（b+c+a）2，∴a2+b2+c2．21．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【解答】解：（1）解：由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知，f′（x）=e x﹣2，x∈R，令f′（x）=0，得x=ln2，于是，当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=2﹣2ln2+2a．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g'（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知，对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是，当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0），而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞0，即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．22．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣2，a∈R（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当a=8时，f（x）=+lnx﹣2，（x＞0），∴f′（x）=﹣+=（x＞0），令f′（x）＞0，即＞0，解得：x＞8，令f′（x）＜0，即＜0，解得：0＜x＜8，∴f（x）的单调递减区间为（0，8），单调递增区间为（8，+∞）；…（4分）（2）由f（x）=+lnx﹣2，求导f′（x）=﹣+=，（x＞0），（i）当a≤0，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，e2]上单调递增，无最小值，不满足题意．（ii）当a＞0，令f′（x）=0，得x=a，∴当f′（x）＞0时，x＞a，当f′（x）＜0时，x＜a，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．若a＞e2，则函数f（x）在（0，e2]上的最小值f（x）min=f（e2）=+lne2﹣2=，由=2，解得：a=2e2，满足a＞e2，符合题意；若0＜a≤e2，则函数f（x）在（0，e2]上的最小值f（x）min=f（a）=+lna﹣2=lna ﹣1，由lna﹣1=2，解得：a=e3，不满足0＜a≤e2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a=2e2，使函数f（x）在（0，e2]上有最小值2．…（12分）。

绝密★启用前黑龙江省哈尔滨三中高二（下）期中数学试卷评卷人得分一、单选题1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样【答案】D【解析】【分析】根据抽样的不同方式，选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为的同学，这种是系统抽样【详解】学生会的同学随机对名同学进行调查，是简单随机抽样对年级的名学生编号，由到，请学号最后一位为的同学参加调查，是系统调查故选【点睛】本题主要考查了简单随机抽样和系统抽样方法，属于基础题。

2．已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】运用古典概率即可计算出结果【详解】设该数为偶数为事件则故选【点睛】本题主要考查了数字的排列问题，只要运用古典概率计算方法，将三个数字进行排列即可算出结果3．下列命题中错误的是A．样本数据的方差越小，则数据离散度越小B．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高C．相关系数r满足且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱D．相关指数越小，回归直线拟合效果越好．【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、变量间的相关关系来进行判定【详解】对于，样本数据的方差越小，则数据离散度越小正确对于，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高正确对于，相关系数满足且越接近，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱正确对于，相关指数越小说明残差平方和越大，则拟合效果越差，故错误故选【点睛】本题考查对变量间的相关关系进行判定，结合残差图、相关系数来进行分析即可得到结果，较为基础4．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则不含字母a的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】运用古典概率先计算出从五个字母中选取两个的可能性，然后再从四个字母中选取两个，计算出概率【详解】由题意可得：不含字母的概率为：故选【点睛】本题考查了古典概率，在选取字母时只要运用组合即可选取满足条件的情况，较为基础5．的单调增区间是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求导数，令导数大于，解得的范围即为函数的单调增区间【详解】函数的定义域为对函数求导可得：令，，解得函数的单调增区间为故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，易错点是忘记求函数的定义域，属于基础题。

黑龙江哈师大附中2018-2019学度高二下学期年中考试数学（文）试题word 版含解析哈师大附中2018—2018学年度下学期期中考试高二数学文试题第一卷【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共20分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.从1、2、3、4、5五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，那个数字是偶数的概率为〔〕.A 25.B 35.C 14.D 342.函数214y x x=+的单调递增区间为〔〕.A (0,)+∞ .B (,1)-∞.C 1(,)2+∞.D (1,)+∞3.从正六边形的六个顶点中随机选择四个作为四边形的顶点，四边形是矩形的概率为〔〕.A 110.B 18.C 16.D 15 4.函数31()(0)3f x ax bx a =+≠满足0(3)3()f f x '=，那么0x =〔〕.A 1±.B .C .D 25.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于〔〕.A 72 .B 83.C 73.D 2896.函数2()=f x x cos x -，那么(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 〔〕.A (0)<(0.6)<(-0.5)f f f .B (0)<(-0.5)<(0.6)f f f .C (0.6)<(-0.5)<(0)f f f.D (-0.5)<(0)<(0.6)f f f7.有3个相识的人某天各自乘同一列火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为().A 29200.B 725.C 29144.D 718 8.直线y kx b =+与曲线31y x ax =++相切于点〔2,3〕，那么b 的值为〔〕.A -3.B 9.C -15.D -79.甲乙两人一起去游“2017上海世博会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选3个进行游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们同在中国馆的概率是().A 136.B 19.C 536.D 1610.如下图，曲线是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，那么2212x x +等于〔〕.A 89.B 109.C 169.D 5411.实数{},1,2,3a b ∈，那么函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为().A 13.B 29.C 23.D 7912.定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时,1'()()0f x x f x -+>,那么函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为〔〕.A .D 1 .B 2 .C 0D 、0或2第二卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，记为b ，且{},1,2,3,4a b ∈，假设1a b -≤，那么称甲、乙“心有灵犀”。

2017-2018学年哈师大附中高二上学期期中考试文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线24x y =的焦点坐标是 A.(0,1)B.(1,0)C.1(0,)16D.1(,0)162. 若直线210x y ++=与直线20ax y +-=互相垂直，那么a 的值等于 A ．1B ．13-C ．2-D ．23- 3. 圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切D. 内切4．焦点在x 轴上的椭圆2221(0)x y a a+=>的焦距为A.3B.6C.D.25. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是A ．4B ．5C ．1D ．6. 方程22141x y t t +=--表示椭圆，则t 的取值范围是 A.14t <<B.1t <或4t >C.4t >D. 512t <<或542t << 7. 过P (4,1)-的直线l 与双曲线2214x y -=仅有一个公共点，则这样的直线l 有（ ）条 A.1 B.2C.3D.48. 直线y x m =+与椭圆2212x y +=相切，则m 的值为A.B.C.1±D.3±9．已知斜率为1的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于B A 、两点，且AB 的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±=D ．x y 33±= 10．倾斜角为4π的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，与抛物线相交于,A B 两点，则弦AB 的长为 A.2B. 4C. 6D. 811. 直线1y kx =-与双曲线221x y -=的左支有两个公共点，则k 的取值范围是 A．(B. (C. (1)-D. (1]-12. 在直角坐标系中，O 为坐标原点，i 为x 轴正方向上的单位向量，动点P 满足2243OP i OP i -++=||OP 的最大值为A.2B. 4C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=P 的轨迹方程 ．14. 已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.15．若,x y 满足约束条件：1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则3x y +的最大值为___ ____.16．设21F F ，分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P ，使得12123||||2,||||,2PF PF b PF PF ab -=⋅=则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)直线过点(3,1)P -，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点. (Ⅰ)若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程；(Ⅱ)若2AP PB =，求直线l 的方程.18．(本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中, 曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上。

黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题1．若函数f（x）满足f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f′（1）的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣12．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（）A．各三角形内一点B．各正三角形的中心C．各正三角形的某高线上的点 D．各正三角形外的某点3．已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．ρ=﹣D．ρ=4．圆ρ=5cosθ﹣5sinθ的圆心坐标是（）A．（5，）B．（5，）C．（5，）D．（5，）5．在曲线上的点是（）A． B．C．D．6．函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C．D．7．从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A．B．C．D．18．已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为（）A．B．C．D．10．已知直线y=3﹣x与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是（）A．B．C．D．11．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x ∈[﹣1，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）二、填空题（每小题5分共20分）13．（坐标系与参数方程选做题）参数方程（θ为参数）表示的图形上的点到直线 y=x的最短距离为．14．我校高二年级张雨同学到科伦制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：张雨同学为了求出y关于x的线性回归方程y=bx+a，根据收集到的表中数据已经正确计算出b=0.6，请你根据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数为万盒．15．已知=2， =3， =4，…，类比这些等式，若=7（a，b均为正整数），则a+b= ．16．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ（sinθ﹣kcosθ）=3，k为实数．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C2上，从点P向C1作切线，切线长的最小值为2，求实数k的值．20．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：（Ⅰ）画出数据对应的散点图；（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=bx+a；（Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？（参考公式：）21．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．22．已知函数f （x ）=在点（e ，f （e ））处切线与直线e 2x ﹣y+e=0垂直．（注：e 为自然对数的底数） （1）求a 的值；（2）若函数f （x ）在区间（m ，m+1）上存在极值，求实数m 的取值范围；（3）求证：当x ＞1时，f （x ）＞恒成立．黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．若函数f（x）满足f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f′（1）的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1【考点】62：导数的几何意义；3T：函数的值．【分析】先根据f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x求导，再把x=1代入，求f′（1）的值【解答】解；求函数f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x的导数，得，f′（x）=x2﹣2f′（1）x﹣1，把x=1代入，得，f′（1）=1﹣2f′（1）﹣1∴f′（1）=0故选A2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面（）A．各三角形内一点B．各正三角形的中心C．各正三角形的某高线上的点 D．各正三角形外的某点【考点】F3：类比推理．【分析】给出的是面上线的中点，则类比时，体内面的“中点”，称为中心．【解答】解：正四面体的内切球切于四个侧面三角形的中心．故选C．3．已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．ρ=﹣D．ρ=【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用点P的直角坐标是（﹣1，0），过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x=﹣1，化为极坐标方程，得到答案．【解答】解：点P的直角坐标是（﹣1，0），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x=﹣1，化为极坐标方程为ρcosθ=﹣1，即，故选C．4．圆ρ=5cosθ﹣5sinθ的圆心坐标是（）A．（5，）B．（5，）C．（5，）D．（5，）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用，极坐标的定义即可得出．【解答】解：原式可化为：ρ2=5cosθρ﹣5sinθρ∴x2+y2=5x﹣5y配方为（x﹣）2+（y+）2=25∴圆心的坐标为．∴ρ==5，θ=．∴圆心的极坐标为．故选：D．5．在曲线上的点是（）A． B．C．D．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先找曲线的普通方程y2=1+x，结合选项可找出符合条件的点．【解答】解：曲线的普通方程为y2=1+xx=sin2θ≤1结合选项可得时，满足条件故选：B6．函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3O：函数的图象．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．7．从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A．B．C．D．1【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】从3个人中选出2个人，则每个人被选中的概率都是．【解答】解：从3个人中选出2个人当代表，则所有的选法共有3种，即：甲乙、甲丙、乙丙，其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是，故选C．8．已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足（x+1）f （x ）+xf'（x ）＞0，则（ ） A ．f （x ）＞0 B ．f （x ）＜0 C ．f （x ）为减函数 D ．f （x ）为增函数 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=xe x f （x ），g′（x ）=e x [（x+1）f （x ）+x′（x ）]，可得函数g （x ）在R 上单调递增，而g （0）=0即x ＞0时，g （x ）=xe x f （x ）＞0⇒f （x ）＞0；x ＜0时，g （x ）=xe x f （x ）＜0⇒f （x ）＞0；在（x+1）f （x ）+xf'（x ）＞0中取x=0，得f （0）＞0．【解答】解：构造函数g （x ）=xe x f （x ），g′（x ）=e x [（x+1）f （x ）+x′（x ）]， ∵（x+1）f （x ）+xf'（x ）＞0，∴g′（x ）=e x [（x+1）f （x ）+x′（x ）]＞0， 故函数g （x ）在R 上单调递增，而g （0）=0∴x ＞0时，g （x ）=xe x f （x ）＞0⇒f （x ）＞0；x ＜0时，g （x ）=xe x f （x ）＜0⇒f （x ）＞0；在（x+1）f （x ）+xf'（x ）＞0中取x=0，得f （0）＞0． 综上，f （x ）＞0． 故选：A ．9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和不小于10的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CB ：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出所得的两个点数和不小于10包含的基本事件个数，由此能求出所得的两个点数和不小于10的概率． 【解答】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， 基本事件总数n=6×6=36，则所得的两个点数和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共6个，∴所得的两个点数和不小于10的概率为p=．故选：D ．10．已知直线y=3﹣x 与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意画出图形，分别求出区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型得答案．【解答】解：如图所示，△OAB对应的区域为Ω1，△OBC对应的区域为Ω2，联立，解得C（1，2），∴，，由几何概型可知，该点落在区域Ω2的概率，故选B．11．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】求出质量在100.5﹣105.5之间的频率，设出前三组长方形的高度成等差数列的公差为d，利用频率和为1求出d的值，再求出115.5﹣120.5对应的长方形高．【解答】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为÷5=．故选：D．12．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x ∈[﹣1，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．利用导数求得g（x）=﹣x3+3x+1的最大值，可得a的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x∈[﹣1，2]恒成立，则当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞x+1恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．令g（x）=﹣x3+3x+1，令g′（x）=﹣3x2+3=0，x=±1，在[﹣1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函数；在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，故g（x）的最大值为g（1）=3，∴a＞3，故选：C．二、填空题（每小题5分共20分）13．（坐标系与参数方程选做题）参数方程（θ为参数）表示的图形上的点到直线 y=x的最短距离为．【考点】QH：参数方程化成普通方程；IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．【分析】把参数方程化为普通方程，找出圆心坐标和半径r，先利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，然后用d﹣r即可求出圆上的点到直线的最短距离．【解答】解：把参数方程化为普通方程得：（x﹣3）2+（y+3）2=9，所以圆心坐标为（3，﹣3），半径r=3，圆心到直线的距离d==3，r=3，则圆上的点到直线 y=x的最短距离为3﹣3=3（﹣1）．故答案为：3（﹣1）14．我校高二年级张雨同学到科伦制药总厂进行研究性学习，收集到该制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：张雨同学为了求出y关于x的线性回归方程y=bx+a，根据收集到的表中数据已经正确计算出b=0.6，请你根据上述数据估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数为 6.8 万盒．【考点】BK：线性回归方程．【分析】由数据求得样本中心点（，），代入回归直线方程求得，求得回归直线方程，将x=6，代入即可求得该药厂6月份生产甲胶囊产量．【解答】解： =（′+2+3+4+5）═3， =（4+4+5+6+6）=5，由回归直线方程过样本中心点（，），=﹣0.6•=3.2，线性回归方程为=0.6x+3.2，由当x=6时，y=6.8，故答案为：6.8．15．已知=2， =3， =4，…，类比这些等式，若=7（a，b均为正整数），则a+b= 55 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】观察所给式子的特点，找到相对应的规律，问题得以解决．【解答】解：∵=2，=3，=4，…，∴=2=2，=3=3，=4=4，…，=7=7∴a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=48+7=55．故答案为：5516．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x），利用导数求出max最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2=2ln2﹣2，∴当x=ln2时，g（x）max∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣1，1）上递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增，当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1）=3，当x=1取到极小值f（1）=﹣1．…（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=﹣3x即3x+y﹣1=0．…18．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；B3：分层抽样方法．【分析】（I）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．（III）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．【解答】解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为=，∴男性应该抽取20×=4人…．（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ），共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=．…．（III ）∵K 2≈8.333，且P （k 2≥7.879）=0.005=0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（θ为参数）．以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ（sin θ﹣kcos θ）=3，k 为实数． （1）求曲线C 1的普通方程及曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 2上，从点P 向C 1作切线，切线长的最小值为2，求实数k 的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（1）∵曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的普通方程；由ρsin θ=y ，ρcos θ=x ，能求出曲线C 2的直角坐标方程．（2）由切线长的最小值为2，得到圆心C 1（3，4）到直线C 2：y=kx+3的距离为3，由此利用点到直线的距离公式能求出实数k 的值．【解答】解：（1）∵曲线C 1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C 1的普通方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1， ∵曲线C 2：ρ（sin θ﹣kcos θ）=3，k 为实数， ρsin θ=y ，ρcos θ=x ，∴曲线C 2的直角坐标方程y=kx+3．…（2）∵切线长的最小值为2，∴圆心C 1（3，4）到直线C 2：y=kx+3的距离为：d==3，∴d==3，解得k=﹣．…20．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x （万元）与获得的利润y （万元）的数据，如表所示：（Ⅰ）画出数据对应的散点图；（Ⅱ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=bx+a；（Ⅲ）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？（参考公式：）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）分别以x，y为横纵坐标描点；（2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（3）把x=10代入回归方程计算．【解答】解：（1）作出散点图如下：（2）==4， ==5．=2×2+3×3+4×5+5×6+6×9=117， =22+32+42+52+62=90．∴==1.7， =5﹣1.7×4=﹣1.8．∴线性回归方程为： =1.7x﹣1.8．（3）当x=10时， =1.7×10﹣1.8=15.2（万元）． ∴当投入资金10万元，获得利润的估计值为15.2万元．21．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程； （2）利用极径的意义，即可得出结论． 【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．22．已知函数f （x ）=在点（e ，f （e ））处切线与直线e 2x ﹣y+e=0垂直．（注：e 为自然对数的底数） （1）求a 的值；（2）若函数f （x ）在区间（m ，m+1）上存在极值，求实数m 的取值范围；（3）求证：当x ＞1时，f （x ）＞恒成立．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出，由题意得，由此得到a=1．（2）由，（x ＞0），得到当x ∈（0，1）时，f （x ）为增函数，当x ∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，从而当x=1时，f（x）取得极大值f（1），再由函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，能求出实数m的取值范围．（3）当x＞1时，，令g（x）=，则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣，由导数性质得g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，由此能证明当x＞1时，f（x）＞恒成立．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴，由题意得，∴﹣=﹣，解得a=1．（2）由（1）得，（x＞0），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1），∵函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，∴m＜1＜m+1，解得0＜m＜1，∴实数m的取值范围是（0，1）．（3）当x＞1时，＞，∴，令g（x）=，则=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣，∵x＞1，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∵φ（1）=1，∴当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，g（x）＞g（1），又g（1）=2，∴g（x）＞2恒成立，∴当x＞1时，f（x）＞恒成立．。