20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.1 空间几何体三视图(解析版)

空间几何体的结构及三视图、直观图1．了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系．2．掌握柱、锥、台、球的结构特征．3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．知识梳理1．柱、锥、台、球的结构特征续表2.三视图(1)正视图是光线自物体的前面向后面正投影所得的投影图．俯视图是光线自物体的上面向下面正投影所得的投影图．侧视图是光线自物体的左面向右面正投影所得的投影图．(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的下方，长度与正视图相等，侧视图则安排在正视图的正右方，高度与正视图相同.3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′点，且使∠x′O′y′＝45°(或135°).②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度相等.(3)成图根据实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图．1．根据三视图确定直观图的常用结论(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24.热身练习1．下列四个命题：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是棱台；④两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．其中正确的命题有(A)A．0个 B．1个C．2个 D．3个①假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边形；由图1至图3可知②、③、④都是错误的．2．下列说法正确的是(C)A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径A是错误的，以直角三角形的直角边．．．为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的．以直角梯形的垂直于底的腰．．．．．．为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．故选C.3．下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(D)A．①② B．①③C．①④ D．②④圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形．4．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.5．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是(C)A ．1＋22B ．1＋ 2C ．2＋ 2 D.12＋22先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)，可知平面图形是一个直角梯形，其中AD＝2，DC＝1，AB＝2＋1，所以其面积S＝1＋2＋1×2＝2＋ 2.2空间几何体的结构特征(经典真题)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5根据n的取值构造相应的几何图形或几何体求解．n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长不可能相等．B本题考查了空间想象能力和推理论证能力，试题有较大的难度．根据题目特点善于构造几何图形和空间几何体是解决这类问题的关键．1．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是①③④⑤.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．作出正方体ABCD－A′B′C′D′.①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如B′－ACD′；⑤取D －B′BC时各面均为直角三角形．空间几何体的三视图如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图分别是(①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①④③ B．①②③C．⑤④③ D．①④⑥由四面体ABCD四个顶点是长方体的四个顶点，可得四面体ABCD的正视图为①，侧视图为②，俯视图为③.故四面体ABCD的三视图分别为①②③.B(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握：①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中的特点．④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可视的画成虚线．(2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等，有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的三视图．2．(1)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②(2)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(C)A.3 4B.3 2C.3 4D．1(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A (0,0,2)，B (2,2,0)，C (1,2,1)，D (2,2,2)，则ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin 60°＝32. 所以侧视图的面积为S ＝12×32×3＝34.由三视图得到空间几何体的直观图(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3C．2 2 D．2在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.B将三视图还原为直观图时，若能将其放置到“正方体”或“长方体”中去研究，不仅能较易得到直观图，同时还能发现各元素之间的数量关系与位置关系，便于问题的解决．3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(B)A．10 B．12 C．14 D．16将三视图还原为直观图，如图：可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2.因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2.故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.1．与柱、锥、台、球有关的概念题，要结合其定义和结构特征，作出准确的判断，若说明命题是假命题，只需要举出一个反例即可．2．画三视图要注意“长对正、高平齐、宽相等”．3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．。

一、自我诊断知己知彼1. 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A【解析】由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.2．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行【答案】D【解析】由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．3. 如图，直观图所表示的平面图形是()A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 【答案】D【解析】由直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，还原后原图AC ∥y 轴，BC ∥x 轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π【答案】B【解析】由题意得，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V +=πππ=⋅⋅⋅⋅⋅，选B5．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π【解析】 取SC 的中点O ，连接OA 、OB ，因为SA=AC,SB=BC ，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=二、温故知新 夯实基础1．空间几何体的结构2．三视图与直观图3．表面积、体积计算（1）多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l（3）柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh4. 与球有关的几个结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.三、典例剖析思维拓展考点一空间几何体的结构例1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】(1)A(2)B【解析】(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. (2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.【易错点】不熟悉空间几何体的结构特征导致判断出错。

第8章 立体几何认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特 理解空间直线、平面位置关系的定义．第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(6)菱形的直观图仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案：D关于棱柱的下列说法错误的是()A．棱柱的侧棱都相等B．棱柱的侧棱都平行C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱的侧面是全等的平行四边形解析：选D.根据棱柱的结构特征可知选D.如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()A．棱台 B.四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案：C某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱 B.圆锥C．四面体D．三棱柱解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.(教材习题改编)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选 B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.空间几何体的结构特征[学生用书P120][典例引领](1)给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B.1C．2 D．3(2)给出以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B.1C．2 D．3【解析】(1)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)由圆台的定义可知①错误，②正确，对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．【答案】(1)B(2)B空间几何体概念辨析题的常用方法(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．[通关练习]1．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.如图知，A不正确，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故C错误，由定义知，D正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④空间几何体的三视图(高频考点)[学生用书P121]空间几何体的三视图是每年高考的热点，可以单独考查，也常与表面积、体积综合考查．主要命题角度有：(1)已知几何体，识别三视图；(2)已知三视图，判断几何体；(3)已知几何体的某些视图，判断其他视图．[典例引领]角度一已知几何体，识别三视图如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥ B.①②③C．④⑤⑥D．③④⑤【解析】正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是相邻两边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③，故选B.【答案】 B角度二已知三视图，判断几何体(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B.三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)(2017·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B.2 3C．2 2 D．2【解析】(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝23.故选B.【答案】(1)B(2)B角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()【解析】(1)由几何体的直观图(如图)知选B.(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.【答案】(1)B(2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．[通关练习]1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析：选C.过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C 中的图形，故选C.2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．圆柱 B.三棱柱C．球D．四棱柱解析：选B.由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B.3．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为()解析：选B.由三视图的画法规则：长对正、高平齐、宽相等可知，选项B正确．空间几何体的直观图[学生用书P122][典例引领](1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2D．616a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A ．正方形 B.矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形【解析】 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D . (2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm .所以OC ＝OD 2＋CD 2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形，故选C .【答案】 (1)D (2)C(1)用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算． [通关练习]1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D ′为△A ′B ′C ′中B ′C ′边的中点且A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′，A ′D ′，A ′C ′三条线段对应原图形中的线段AB ，AD ，AC ，那么( )A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C .由题中的直观图可知，A ′D ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD ∥y 轴，BC ∥x 轴，又因为D ′为B ′C ′的中点，所以△ABC 为等腰三角形，且AD 为底边BC 上的高，则有AB ＝AC >AD 成立．2.如图正方形OABC 的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm .解析：由题意知正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB ＝ 2 cm ，对应原图形平行四边形的高为2 2 cm ，所以原图形中，OA ＝BC ＝1 cm ，AB ＝OC ＝（22）2＋12＝3 cm ，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm .答案：8画三视图的三个原则(1)画法规则：“长对正，高平齐，宽相等”．(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．已知三视图，判断几何体的技巧(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体．(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置． (3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．原图与直观图中的“三变”与“两不变” (1)“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变（减半）图形改变(2)“两不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行关系不变与x 轴平行的线段长度不变学习本讲应注意的三个问题(1)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点． (2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．(3)对于简单组合体，若相邻两几何体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[学生用书P297(单独成册)]1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B .根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B ，故选B .2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析：选D .由俯视图是圆环可排除A 、B 、C ，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D .3．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选D .根据几何体的结构特征进行分析即可．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选D .A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选D . 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选C .由正视图和侧视图及体积易得几何体是四棱锥P -ABCD ，其中ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，此时V P ­ABCD ＝13×22×2＝83，则俯视图为Rt△P AB ，故选C .6.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．解析：直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋2.答案： 2＋ 27．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm .解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5(cm)． 所以AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：138．已知正四棱锥V -ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD 的中心O ，连接VO ，AO ，则VO 就是正四棱锥V -ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝22.因为一条侧棱长为211， 所以VO ＝VA 2­AO 2＝44－8＝6. 所以正四棱锥V -ABCD 的高为6. 答案：69．某几何体的三视图如图所示． (1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．10．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选C .当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A ，D ；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线P A 形成的投影，应为虚线，故答案为C .2．(2018·兰州适应性考试)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P -BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1 B. 2 C . 3D ．2解析：选D .正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S正视图＝12×a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2，故选D . 3．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A .152 B.6＋ 3 C .32＋3 3 D ．4 3解析：选A .侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152. 4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是________．解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长且DC＝AF＝BF2＋AB2＝33.答案：3 35．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.俯视图(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 (cm)．由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．6．已知正三棱锥V-ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图和侧视图．(2)求出侧视图的面积．解：(1)如图．(2)侧视图中 VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝23.则S △VBC ＝12×23×23＝6.。

9.1 空间几何体三视图一．空间几何体的分类：多面体和旋转体二．多面体的概念及性质1.棱柱的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台【套路秘籍】---千里之行始于足下侧面的形状对角面的形四．空间几何体的三视图1.三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等五．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.考向一已知几何体识别三视图【例1】将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )'''X OY【答案】 B【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故选B.【举一反三】1．如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）A B ．C ．12x x D ．4【答案】B【解析】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形的边长为22，即侧视图的长为2，所以三棱柱侧视图的面积为故选B 2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )【答案】 D【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.考向二已知三视图选几何体【例2】如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得：该几何体为一个圆锥与圆柱组合而成；故选D【套路总结】【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A ．242+B ．4+CD ．22【答案】C即为侧视图的底边长，正视图的高即为侧视图的高，所以侧视图的面积为：122⨯=C ． 考向三 三视图知二选三【例3】 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为B ，故选B.【举一反三】1、一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为( )【答案】 C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，∴A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，∴B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，∴D有可能．2.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A. B. C. D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 是边长为√2的正方形，PA ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．考向四 三视图的运用【例4】一个动点从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到定点1C 位置，共有6种展开方式，若把平面11ABA B 和平面11BB C C 展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过1BB 的中点，故此时的正视图为②；若把平面ABCD 和平面11CDD C 展到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过CD 的中点，此时的正视图为④其中其它几种展开方式所对应的正视图在题中没有出现或已在②④中，故选C.【举一反三】1．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧,该几何体的表面上的点M 在正视图上的对应点为A （中点），几何体的表面的点N 在正视图上的对应点为B ，则在此几何体的侧面上从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）。

求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(20xx·河北衡水中学四调)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A ．2 000π9B ．4 000π27C ．81πD ．128π(2)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝4，BC ＝2，沿中位线EF 折起，使得∠AEB 为直角，连接AB ，CD ，则所得的几何体的表面积为________，体积为________．【解析】 (1)小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0＜h ＜5)，底面半径为r (0＜r ＜5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0＜h ＜5)，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0＜h ＜53时，V ′＞0，体积V 单调递增；当53＜h＜5时，V ′＜0，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值，即V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259×⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B. (2)如图，过点C 作CM 平行于AB ，交AD 于点M ，作CN 平行于BE ，交EF 于点N ，连接MN .由题意可知ABCM ，BENC 都是矩形，AM ＝DM ＝2，CN ＝2，FN ＝1，AB ＝CM ＝22，所以S △AEB ＝12×2×2＝2，S 梯形ABCD ＝12×(2＋4)×22＝62，S 梯形BEFC ＝12×(2＋3)×2＝5，S 梯形AEFD ＝12×(3＋4)×2＝7，在直角三角形CMD 中，CM ＝22，MD ＝2， 所以CD ＝23.又因为DF ＝FC ＝5，所以S △DFC ＝12×23×2＝6，所以这个几何体的表面积为2＋62＋5＋7＋6＝14＋62＋6.所以AS 为三棱锥S -ABC 的高，所以V S ­ABC ＝13×6×2×12×23＝43，故选C.2．(20xx·江苏南通联考)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D -BB 1C 1的体积为________．解析：如图，取BC 中点O ，连接AO .因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，所以AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝3.因为AA 1∥平面BCC 1B 1，所以点D 到平面BCC 1B 1的距离为3. 又S △BB 1C 1＝12×2×2＝2，所以VD ­BB 1C 1＝13×2×3＝233.答案：233与球有关的切、接问题[典型例题]A.12B.14C.16D.112解析：选C.V A ­BC 1M ＝V C 1­ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝16.故选C.3．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( ) A ．10 B ．103 C ．102D ．53解析：选B.设圆锥的底面半径为r ，高为h .因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr ＝20π，所以r ＝10，所以h ＝202－102＝103.4．已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163π C.323π D ．16π解析：选D.如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心，于是，球的半径r ＝OB ＝OA2＋AB2＝12＋（3）2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.5．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于( )A.33B.63C ．1 D.2解析：选B.如图，连接BD 1，易知D 1D 就是三棱锥D 1­ABC 的高，AD 1＝CD 1＝5，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD21－AO 2＝3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由V B ­D 1AC ＝V D 1­ABC ，即13S △D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，所以h ＝63.故选B. 6．在三棱锥S -ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝12SC ，且三棱锥S -ABC 的体积为932，则该三棱锥的外接球半径是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，则OA ＝OB ＝OC ＝OS ，即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r ，则13×2r ×34r 2＝932，所以r ＝3. 7．(20xx·安徽省江南十校3月检测)我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用此原理求以下几何体的体积：如图，曲线y ＝x 2(0≤y ≤L )和直线y ＝L 围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为π(l )2＝πl .由此构造右边的几何体Z 1(三棱柱ABC -A 1B 1C 1)，其中AC ⊥平面α，BB 1C 1C ∥α，EFPQ ∥α，AC ＝L ，AA 1⊂α，AA 1＝π，Z 1与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 和BB 1C 1C 为矩形，且PQ ＝π，FP ＝l ，则几何体Z 1的体积为( )A ．πL 2B ．πL 3C.12πL 2D.12πL 3 解析：选C.由题意可知，在高为L 处，几何体Z 和Z 1的水平截面面积相等，为πL ，所以S 矩形BB 1C 1C ＝πL ，所以BC ＝L ，所以V 三棱柱ABC -A 1B 1C 1＝S △ABC ·π＝12πL 2，故选C. 8．(20xx·××市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．63D ．43解析：选B.由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR 2＝16π，所以R ＝2，所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP2－OF2＝23.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23AD ＝12.故选B. 9．(多选)下列说法正确的是( )A ．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B ．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C ．有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥D ．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥解析：选ABD.在A 中，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故A 正确；在B 中，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故B 正确；在C 中，依照棱锥的定义，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故C 错误；在D 中，若六棱锥的底面边长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长一定大于底面边长，故D 正确．10．(多选)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是( )A ．矩形B ．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体C ．每个面都是直角三角形的四面体D ．每个面都是等边三角形的四面体解析：选ABCD.4个顶点连成矩形的情形显然成立；图(1)中四面体A 1­D 1B 1A 是B 中描述的情形；图(2)中四面体D -A 1C 1B 是D 中描述的情形；图(3)中四面体A 1­D 1B 1D 是C 中描述的情形．正三棱锥的高为18－12＝6.答案：614．(20xx·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×⎝⎛⎭⎫122×1＝π4. 答案：π415．(20xx·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________．解析：如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC于点F .由题意知PE ＝PF ＝3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为2.答案：216．(20xx·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝33.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：334π81。

2020年领军高考数学（理）一轮必刷题考点40 空间几何体的三视图1．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：BC BCD ACD为直角三角形，ABD为正三角形由正方体的性质得A,,故选：C2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D【解析】 由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.3．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷理）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A 2B 3C 5D ．2【答案】C【解析】 由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒， 由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径R =，故选C.4．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（ ）A 3πB 2πC ．33D ．22【答案】A【解析】 根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h ，底面半径为r 323r =，∴332h r =.故232233(2)3(1)132rh r r r r r S πππππ⎫⎡⎤==-=--+⎪⎣=⎦⎪⎭侧…， 当1r =，S 侧3π.5．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试理）如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选D 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．23B 3C ．3πD ．3π【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径r ==，则：343V π=⋅⋅=⎝⎭. 故选：B ．7．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试理）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】 通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111943342448,24332V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B. 8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163πB ．283πC ．11πD ．323π 【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体， 故：下底面的中心到底面顶点的长为：33， 所以：外接球的半径为：22232171393R ⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=． 故选：B ．9．（广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.10．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由三视图可知该几何体如下图所示，CB⊥AB，CB⊥DA，DA∩AB＝A，所以，CB⊥平面DAB，所以，CB⊥BD，即△DBC是直角三角形，因此，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形，所以，选A．11．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。

9.1 空间几何体三视图一．空间几何体的分类：多面体和旋转体 二．多面体的概念及性质 1.棱柱的概念和主要性质 2、棱锥、棱台的概念及性质 名称棱柱 直棱柱 正棱柱 图形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形名称棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台【套路秘籍】---千里之行始于足下侧面的形状对角面的形四．空间几何体的三视图1.三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等五．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.考向一已知几何体识别三视图【例1】将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )'''X OY【答案】 B【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B 1C 不平行，投影为相交线，故选B.【举一反三】1．如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）A B ．C ．12x xD ．4【答案】B【解析】由题意可得，侧视图是个矩形，由已知，底面正三角形的边长为22，即侧视图的长为2，所以三棱柱侧视图的面积为故选B 2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )【答案】 D【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P－A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.考向二已知三视图选几何体【例2】如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由几何体的三视图可得：该几何体为一个圆锥与圆柱组合而成；故选D【套路总结】【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A ．242+B ．4+CD ．22【答案】C正视图的高即为侧视图的高，所以侧视图的面积为：122⨯=C ． 考向三 三视图知二选三【例3】 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )【答案】 B【解析】 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为B ，故选B.【举一反三】1、一个几何体的三视图中，正视图和侧视图如图所示，则俯视图不可以为( )【答案】 C【解析】A中，该几何体是直三棱柱，∴A有可能；B中，该几何体是直四棱柱，∴B有可能；C中，由题干中正视图的中间为虚线知，C不可能；D中，该几何体是直四棱柱，∴D有可能．2.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A. B. C. D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 是边长为√2的正方形，PA ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．考向四 三视图的运用【例4】一个动点从正方体1111ABCD A BC D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到定点1C 位置，共有6种展开方式，若把平面11ABA B 和平面11BB C C 展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过1BB 的中点，故此时的正视图为②；若把平面ABCD 和平面11CDD C 展到同一个平面内，在矩形中连接1AC 会经过CD 的中点，此时的正视图为④其中其它几种展开方式所对应的正视图在题中没有出现或已在②④中，故选C.【举一反三】1．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧,该几何体的表面上的点M 在正视图上的对应点为A （中点），几何体的表面的点N 在正视图上的对应点为B ，则在此几何体的侧面上从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）。

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图2019考纲考题考情1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。

平行于x 轴和z 轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。

1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点。

2．三视图的基本要求 (1)长对正，高平齐，宽相等。

(2)在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”。

在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线。

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变。

“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变。

一、走进教材1．(必修2P 8A 组T 1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________。

(填写所有正确的序号)答案③⑤2．(必修2P15练习T1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是( )解析由俯视图定义易知选项C符合题意。

故选C。

答案 C二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示。

空间几何体结构及其三视图编稿:孙永钊审稿:【考纲要求】(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图表示的立体模型,会用材料(如纸板)制作模型,并会用斜二测法画出它们的直观图.(3)通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识网络】【考点梳理】考点一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征(1)棱柱(以三棱柱为例)如图:平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行,ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。

各侧棱之间的关系是:A1A∥B1B∥C1C,且A1A=B1B=C1C。

(2)棱锥(以四棱锥为例)如图:一个面是四边形,四个侧面是有一个公共顶点的三角形。

(3)棱台棱台可以由棱锥截得,其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面和底面之间的部分为棱台。

2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到,画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。

3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到,在这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x’轴、y’轴的夹角为45o(或135o),z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变,平行于y轴的线段长度在直观图中减半。

5、平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点。

要点诠释:空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是:(1)观察角度:三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果:三视图是正投影下的平面图形,直观图是在平行投影下画出的空间图形。

9.2 空间几何体的体积及表面积一．多面体的面积和体积公式二．旋转体的面积和体积公式表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，12表示半径.考向一 体积求法【例1】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23D.13【答案】 C【解析】 几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为13×12×2×1×2×1＝23，故选C.【举一反三】1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 80B. 160C. 240D. 480 【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥111A BB D D -，且该四棱锥的底面四边形为矩形，其中221=10,6+8=10BB BD =，高为1A 到11B D 的距离，即6824=105⨯。

所以该几何体的体积为()124101016035V =⨯⨯⨯=。

选B 。

2.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32【答案】 A【解析】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， 取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱锥F －BCH ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝2V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.考向二 表面积【例2】一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为( )A ．16＋4 3B ．16＋4 5C ．20＋4 3D ．20＋4 5【答案】 D【解析】 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S ＝5×22＋4×12×2×5＝20＋45，故选D.【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．34π+B ．942π+C ．42π+D ．1142π+ 【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，故其表面积：2339212122214442S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，故选：B ． 2．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是四棱锥，故13163V =⋅⋅=(或221=44316332V V 三棱柱=⋅⋅⋅⋅=)故选C .1．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．2D ．4【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥， 画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱ABG DCH -， 由三视图的性质可知三棱柱的底面面积12112ABG S ∆=⨯⨯=，高4BC =， 所以4ABG DCH ABG V S BC -∆=⋅=，13E DCH F ABG ABG V V S --∆==13FG ⋅=,所以，几何体的体积为11104333--=.故选A. 2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是632π，则它的表面积是（ ）A ．17πB ．18πC ．1534πD ．36π【答案】C【解析】由三视图可知几何体为一个球去掉其18，如下图所示：∴几何体体积：33477633862V R R πππ=⨯==，解得：3R = ∴几何体表面积：227163271534384244S R R πππππ=⨯+⨯=+=本题正确选项：C3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥P ABCD -，其中1PA PB PC PD AB BC CD DA ========,所以1,,222PAB PAD PDC PBC S S S S ∆∆∆∆====，选C.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．46B ．48C ．50D ．52【答案】B 【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD -，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直， 4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得该几何体表面积为34542444822S ⨯⨯⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，故选B. 5．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．4+【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故122422422S =⨯+⨯⨯⨯⨯=+D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积和为（ ）A ．2+B ．4+C ．3D ．4【答案】B【解析】由几何体的三视图可知该几何体为：此四棱锥的三个侧面都为直角三角形．故11122222222S =⨯⨯++⨯⨯4=+B ． 7．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A ．48+B ．18+C ．36+D ．36+【答案】A【解析]由题意，根据给定的三视图，可得该几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面上的正投影是斜边的中点，由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是166182⨯⨯=， 又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥的高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的高是4，底边长为 其余两个侧面三角形的高为5，底边长为6，故三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的面积为142⨯⨯= 另两个侧面三角形的面积都是165152⨯⨯=，故此几何体的表面积是1821548+⨯+=+，故选A. 8．如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．2+B ．3+C ．3D ．2+【答案】D【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ﹣ABC ，故AC ＝1，PA ﹣2，BC AB PB PC ===∴S ABC ＝S PAC ＝1122(1,)(1,)x y x y λ+=+，122PAS S ∆=⨯⨯=，12PBC S ∆=⨯=∴多面体的表面积为2．故选：D ．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A 5B 9C 10D ．10【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示，在直角梯形ABCD 中，CD ===；同理，PB ===PD ===3PC ===；在PCD ∆中，2222223cos26PC CD PDPCDPC CD+-+-∠===，∴sin PCD∠==，∴11sin322PCDS PC CD PCD∆=∠=⨯⨯=，1111222,2332222PAB PADS PBAB S PA AD∆∆==⨯⨯===⨯⨯=，11122PBCS PB BC∆==⨯=235 PCD PAB PADPBCS S S S S∆∆∆∆=+++=+.故选A. 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．B．C．2D．8+【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A BCD-，三角形BCD 是等腰直角三角形且4CB CD ==，8BCD S ∴=△；ABC 是直角三角形，AB =ABC S ∴=△ACD 是等腰三角形，且AC AD ==ACD S ∴=△又4BD =22AB AD ∴+=2BD ，90BAD ∴=∠，ABD S ∴=△，∴该几何体的表面积是8+ D. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3+B ．3+C ．2D ．2+【答案】A【解析】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为141122S =⨯⨯⨯+2134⨯+=+故选A.12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．8+4√6B．4+2√6C．43D．23【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图如下：其中三棱锥的高为2，底面等腰三角形ABC的底边AC=2，高为2，由勾股定理，得PB=√22+22=2√2，PA=PC=BA=BC=√5，则该三棱锥的表面积是S=12×2×2×2+12×2√2×√(√5)2−(√2)2×2=4+2√6.故选B.13．如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为6π，则该几何体的表面积为（）A ．45π2+12 B ．15π2+12C ．12π+12D ．9π2+18【答案】C【解析】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3， 设圆锥的高为h,则6π=12⋅13⋅π⋅32⋅ℎ,∴ℎ=4,所以母线为√32+42=5.所以几何体的表面积为12⋅π⋅32+12⋅6⋅4+12⋅2π⋅3⋅5⋅12=12π+12.故选：C14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．2π C ．83πD ．8π【答案】B【解析】由几何体三视图可知：该几何体为圆柱，且圆柱的底面圆半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为2122V ππ==.故选B15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A．283π-B．83π-C．15 D．23π【答案】A【解析】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积122223Vπ=⨯⨯-⨯=283π-，选A16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20 B．10 C．30 D．60 【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 17．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．C D【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ， 所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥， 因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥 C.18．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选D 19．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D 【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥A BCDE -为三视图还原后的几何体， CBA 和ACD 是两个全等的直角三角形；A C=C D=B C=2，几何体的体积为：1822233⨯⨯⨯=， 故选：C20．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．1003B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=.故选：B 21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 （）A ．23B ．43C ．53D ．4【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中ABCD 为矩形，PA AB ⊥，PA AD ⊥，易知该几何体的体积14233V =⨯=（故选B22．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．16B．43C．83D．4【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥如下图所示P－ABC，体积V＝114222 323⨯⨯⨯⨯=故选：B23．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．253πB ．263πC ．223πD ．233π【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，其球的组合体的体积33341425V 2143433πππ=⨯⨯+⨯⨯=.故选：A ．24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.25．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．316π B ．163π C ．173π D ．356π 【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥， 其中球的半径为2R =，圆锥的底面半径为1r =，高为2h =， 故所求体积为3214113121223436V πππ=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅⋅=，故选A. 26．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mm D ．330000mm【答案】C【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选：C ．27．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．233π-B ．133π- C ．81633π- D ．8833π- 【答案】D 【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 28．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为( )A ．6B ．8C ．D ．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中的四棱锥11C DEE D -，其中在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2,3AB AD AA ===，点1,E E 分别为11,AB A B 的中点．由题意得CE DE ==CE DE ⊥，又1CE EE ⊥，所以CE ⊥平面11DEE D 即线段CE 即为四棱锥的高．所以111111(3833DEE D C DEE D V S CE -=⋅⋅=⨯⨯⨯=四棱锥.故选B ． 29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．40+C ．48+D ．44+【答案】C【解析】由三视图知，该几何体的直观图为多面体EFGD CBA -，如图所示 其中四边形ABCD 是边长为4的正方形，所以16ABCD S =，四边形EBAF 和GDAF 为全等的直角梯形， 所以244122EBAF S +=⨯=，4BCE DCG S S ∆∆==，四边形ECGF 是菱形，其对角线长分别为24和所以12ECGF S =⨯=所以该几何体的表面积为421621248⨯++⨯+=+ C.30．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为（ ）A ．2+B ．C ．4+D ．2+【答案】A【解析】将三棱锥S ABC -放到正方体中，由三棱锥的三视图知，SBC ∆是等腰直角三角形，2SC BC ==，12222SBC S ∆=⨯⨯=，AS SC ⊥，122ABC SAC S S ∆∆∴==⨯⨯=，(24SAB S ∆==,∴三棱锥的表面积为：2+,故选A .31．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．22π3B ．23π3C ．25π3D ．26π3【答案】C【解析】由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的34，和一个小球的14组合而成， 由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1， 所以该几何体的体积为34×43π×23+14×43π×13=253π.故选C32．如图，某几何体的三视图都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A ．12B ．56C ．13D ．23【答案】D【解析】如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三视图所对的几何体为该正方体去掉三棱锥111B A B C -和三棱锥1A ABD -所得的组合体，其体积为：311212111323V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.33．如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．【答案】83π+【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为21112241282233V V V ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+三棱柱半圆锥．故答案为：83π+．34．某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图为正方形，则该三棱锥的体积为______.【答案】16【解析】设三棱锥为P ﹣ABC ，O 为P 在底面上的射影， 由三视图可知ABCO 为边长为1的正方形，且棱锥的高PO ＝1，∴三棱锥的体积11111113326ABCV S PO∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：16．。

第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(×)2．下图所示的几何体中，是棱柱的为③⑤(填写所有正确的序号)．解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．3．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(A)解析：由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.4．(2019·昆明调研测试)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(A)A．63π B．72πC．79π D．99π解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为5，底面圆的半径为3，半球的半径为3，所以组合体的体积为32π×5＋12×43π×33＝63π，故选A.知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．5．下列说法正确的是(D)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．6．如图，直观图所表示的平面图形是(D)A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：由直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，还原后原图AC ∥y 轴，BC ∥x 轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．三视图的基本要求长对正，高平齐，宽相等．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧ 平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变考向一空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【答案】②③④⑤(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为①②③.解析：(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．考向二空间几何体的三视图方向1由几何体识别三视图【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)(2019·山西八校联考)将正方体(如图1)截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为()【解析】(1)由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.(2)将图2中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线方向观察，易知该几何体的侧视图为选项D中的图形，故选D.【答案】(1)A(2)D方向2已知三视图判断几何体【例3】(1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2(2)(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】(1)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，∵P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.【答案】(1)B(2)C1.对于一些三视图题，可将几何体放到正方体或长方体中，利用正方体或长方体的线面、面面垂直关系分析几何体的三视图.2.求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问题的关键是过好双关：一是还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原出空间几何体的直观图；二是转化关，即把空间问题转化为平面问题去解决.1．(方向1)(2019·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(C)解析：如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．2．(方向2)(2019·湖南湘东五校联考)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(C)A ．16－2π3B ．8－4π3C ．16－4π3D ．16(1－π3)解析：根据三视图知，该几何体是一个直四棱柱内挖去一个圆锥后剩余的部分，画出直观图如图所示，结合图中数据，得该几何体的体积V ＝V四棱柱－V 圆锥＝22×4－13π×12×4＝16－4π3，故选C.考向三 空间几何体的直观图【例4】 如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A ′B ′C ′D ′是一直角梯形，A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′⊥C ′D ′，且B ′C ′与y ′轴平行，若A ′B ′＝6，D ′C ′＝4，A ′D ′＝2.求这个平面图形的实际面积．【解】 根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变．由于C ′B ′＝2A ′D ′＝2 2.所以CB ＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算.已知平面△ABC 的直观图A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．解：如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则D ′到x ′轴的距离为32a ，∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ，由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.三视图还原几何体的“三步法”三视图问题(包括求解几何体的表面积、体积等)是培养和考查空间想象能力的好题目，是高考的热点．由三视图还原几何体是解决这类问题的关键，但是不少学生感到难度颇大．笔者研究发现，由三视图还原几何体只要按照以下三步骤去做，基本都能准确还原出来．这三个步骤是：第一步，先画长(正)方体，在长(正)方体中画出俯视图；第二步，在三个视图中找直角；第三步，判断直角位置，并向上(或向下)做垂线，找到顶点，连线即可．下面举例说明．典例1下图是一个四面体的三视图，三个三角形均是腰长为2的等腰直角三角形，还原其直观图．【解】第一步，根据题意，画正方体，在正方体内画出俯视图，如图1.第二步，找直角，在俯视图、正视图和侧视图中都有直角．第三步，将俯视图的直角顶点向上拉起，与三视图中的高一致，连线即可．所求几何体为三棱锥A -BCD ，如图2.以上三步，第一步是必须，第二步是关键！下面从不同角度来进一步详细说明．典例2 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为( )A.16B.26C.36D.12【解析】 几何体还原说明：(1)画出正方体，俯视图中实线可以看作正方体的上底面及底面对角线．(2)俯视图是正方形，有四个直角，正视图和侧视图中分别有一个直角．正视图和侧视图中的直角对应上底面左边外侧顶点(右图中D点上方顶点)，将该顶点下拉至D点，连接DA，DB，DC即可．该几何体即右图中棱长为1的正方体中的四面体ABCD，由此可得答案为A.【答案】 A典例3下图是几何体的三视图，还原其直观图．【解】按照三步骤去做．第一步，画出长方体，并在长方体内画出俯视图，如图1.第二步，在正视图和侧视图中找直角．正视图中直角在左侧，侧视图是矩形．所以，将M与P向上垂直拉起，分别至C，D.注意三视图中的虚、实线，连接PC，PD，可得几何体P-ABCD.如图2.典例4下图是一个棱锥的三视图，还原其直观图．【解】俯视图中有两个直角，∠BAC和∠BDA，正视图和侧视图中没有直角．由此，可以判断俯视图中的D点是棱锥顶点在底面上的射影，所以，将D点向上拉起．右图中的棱锥V-ABC即为所求．。