经济数学基础(上)--导数与微分笔记整理

大一经济数学基础知识点经济数学是应用数学的一个分支，它在经济学研究中扮演着重要的角色。

在大一的学习过程中，经济数学基础知识点是我们打下坚实基础的关键。

本文将介绍大一经济数学基础知识点的几个重要方面，包括微积分、线性代数和统计学。

一、微积分微积分是研究函数变化的一门学科，经济学中的许多问题都可以用微积分方法进行求解。

在大一学习中，主要涉及以下几个知识点：1. 导数和微分导数是描述函数变化率的概念，它可以帮助我们求解最优化问题、边际分析和弹性计算等。

微分则是导数的一个具体应用，它被广泛应用于边际成本和边际收益的计算中。

2. 积分和面积积分是导数的逆运算，可以帮助我们计算曲线下的面积、总收益和总成本等。

理解积分的概念和运算方法对于经济学问题的求解非常重要。

3. 微分方程微分方程是一种描述变化率和状态变化的方程，它在经济学中被广泛应用于模型的建立和分析中。

了解微分方程的基本概念和解法可以帮助我们理解经济学模型的动态特性。

二、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科，它对经济学中的模型和理论具有重要的应用价值。

在大一学习中，我们需要掌握以下几个基本知识点：1. 向量和矩阵向量是线性代数的基础概念，它可以表示经济变量的组合和关系。

矩阵则是由多个向量组成的矩形阵列，它在经济学中用于表示多个变量之间的关系。

2. 线性方程组线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，它在经济学中被广泛用于建立和求解模型。

了解如何求解线性方程组可以帮助我们分析经济关系和市场均衡等问题。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵代数中的重要概念，它们可以帮助我们理解经济模型和系统的稳定性和变化规律。

三、统计学统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，它在经济学中被广泛应用于模型估计和决策分析。

在大一学习中，我们需要了解以下几个关键知识点：1. 数据的类型和描述了解数据的类型和描述方法是进行统计分析的基础，包括定量数据和定性数据的区别，以及均值、方差和标准差等统计量的计算方法。

经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。

112 函数的值域：函数值的集合。

113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。

116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。

2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。

211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。

212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。

二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。

1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。

规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。

而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。

4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。

lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。

既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。

因此，可导一定是连续的。

反之，如果连续，不一定可导。

不多说。

同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。

同理要注意左右导数的问题。

如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。

如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。

为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。

比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。

x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。

X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。

因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。

第2章 导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。

“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)( )(0x x →若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时，（0x x ≠）2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即22lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim 21--→x x x解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211lim 21=--→x x x2.1.3 左极限和右极限考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念. 定义2.4 设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作= R .极限存在的充分必要条件：极限)(lim 0x f xx →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x 处的左，右极限都存在且相等.即例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x → 解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.11lim )(lim 00==++→→x x x f ，0lim )(lim 0==--→→x x f x x可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在. 2.1.4 无穷小量0)(lim 0=→x f x x 称当0x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为+∞=+∞→xx 2lim ，所以，当+∞→x 时，x 2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1x f 是无穷大；反之，若)(x f 是无穷大，则是无穷小.例4 2x y =，当0→x 时，?2→x解： 由图形可知，当0→x 时，02→x ，当0→x 时，2x 是无穷小量. 2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则B A v u v u ±=±=±lim lim )lim(，B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim(例1 求22lim x x → 解：422)lim )(lim ()(lim lim 22222=⨯==⋅=→→→→x x x x x x x x x 例2 求11lim 21--→x x x解：21)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x例3 求xx x x +-∞→2231lim解：31)13()11(lim 31lim22222=+-=+-∞→∞→xx x x x x x x x 例4 求xx x 11lim 0-+→解：)11()11)(11(lim 11lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )11(lim++=→x x xx 21111lim=++=→x x 2.2.2 两个重要极限 1.1sin lim0=→xxx几何说明： 如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2sin x，x 对应的扇形的面积为2x ，x 对应的大三角形的面积为2tan x 当0→x 时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.例1 xxx 3sin lim0→解：x x x 3sin lim 0→=333sin 3lim0=→x x x 333sin lim 0=→xxx 2.e )11(lim =+∞→xx x e )1(lim 10=+→x x x 例2 求极限xx x)311(lim +∞→ 解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x xx x例3 求极限xx x 10)21(lim -→解 2221)2(211e ]))2(1(lim [))2(1(lim )21(lim ---→--→→=-+=-+=-x x xx xx x x x2.3 函数的连续性定义 设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续.点0x 是)(x f 的连续点. 函数间断、间断点的概念如果函数f x ()在点x 0处不连续，则称f x ()在点x 0处发生间断.使f x ()发生间断的点x 0，称为f x ()的间断点例如 函数32,x y x y ==，x y x y cos ,sin ==，xy x y e ,ln ==在定义域内都是连续的.例1 ⎩⎨⎧>-≤+=13211)(x x x x x f ,问)(x f 在1=x 处是否连续？ 注意：此函数是分段函数，1=x 是函数的分段点.解: 1)32(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ，2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x )(lim 1x f x →不存在，)(x f 在1=x 处是间断的. 例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx y ,问)(x f 在0=x 处是否连续？解: )0(01sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ （无穷小量×有界变量=无穷小量）∴)(x f 在0=x 处是连续的. 结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续； （3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3xx x x 220cos 1e lim ++→解: 21110cos 01e cos 1e lim 220220=+=++=++→x x x x 注意： xx x 22cos 1e ++是初等函数，在0=x 处有定义，利用结论有极限值等于函数值. 2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念. 三个引例边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题引例1： 边际成本问题 C —总成本，q —总产量已知 时当q q q q C C ∆+→=00),(（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量）)()(0q q C q C ∆+→），qq C q q C ∆-∆+)()(00（成本平均变化率），qq C q q C q ∆-∆+→∆)()(lim 000（边际成本）引例2: 瞬时速率问题路程S 是时间t 的函数)(t S ，当t 从t t t ∆+→00时，)(t S 从)()(00t t S t S ∆+→tt S t t S ∆-∆+)()(00 （平均速率）t t S t t S t ∆-∆+→∆)()(lim000 （在0t 时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线)(x f y =在0x x =处的切线斜率.当x x x ∆+→00时，对应的y y y ∆+→00，曲线上))(,(00x f x 和))(,(00x x f x x ∆+∆+两点间割线的斜率为xx f x x f ∆-∆+=)()(tan 00φ（当0→∆x 时），xx f x x f x x ∆-∆+==→∆→∆)()(limtan lim tan 000φα 称为切线的斜率.qq C q q C q C q ∆-∆+=→∆)()(lim)(000tt S t t S t S t ∆-∆+=→∆)()(lim)(000xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(000关于函数)(x f y =x x x ∆+→00，)()(00x x f x f ∆+→，考虑极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000定义 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得改变量)0(≠∆x 时，函数y 取得相应的改变量.)()(00x f x x f y -∆+=∆ 若当0→∆x 时，两个改变量之比xy∆∆的极限 x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为 )(x f y =在点0x 处的导数， 记为)(0x f '或0x x y ='或d d x x xf =或d d x x x y =即 )(0x f '=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000若极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 导数定义的意义· 数量意义 变化率 · 经济意义 边际成本 · 几何意义 切线的斜率例1 2)(x x f y ==，求.)2(,)3(,)1(-'''f f f思路：先求)(x f '，再求)(0x f '.解：因为22)()(,)(x x x x f x x f ∆+=∆+=x x x x x xx x x xx f x x f x x x 2)(2lim )(lim )()(lim202200=∆∆+∆=∆-∆+=∆-∆+→∆→∆→∆ 所以x x x f 2)()(2='='，426321-=-'='='）（，）（，）（f f f 例2 x xg ln )(=，求).5.0(),10(g g ''解: 因为)ln()(,ln )(x x x x g x x g ∆+=∆+=xx x x x xx x xx x x xx x x xx g x x g ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆-∆+=∆-∆+10000)(ln lim ln 1lim ln )ln(lim )()(limx x xx x x xx x 1e ln ]lim ln[1110==∆+=⋅∆→∆）（所以2)5.0(,101)10(='='g g 导数公式 xx 1)(ln ='求导步骤1、求)(x f '；2、求0)(x x x f ='.注意：)(x f '是)(x f 的导函数，函数在0x 处的导数值0)()(0x x x f x f ='=' 微分的概念 设)(x f y =，导数)(d )(d d d x f y xx f x y '='==，两边同乘x d ，得到函数的微分. 微分 x x f x y x f y d )(d )(d d '='== 导数公式xx x x c 1)(ln )(0)(1='='='-αααxx x xa a a x x x x e )e (ln )(sin )(cos cos )(sin ='='-='='微分公式由导数公式可以得到微分公式x x x x x d )(d )(11--=='αααααα x xx xx d 1)(ln d 1)(ln ==' x x x x x d cos )(sin d cos )(sin ==' x x x x x d sin )(cos d sin )(cos -=-='x a a a a a a x x x x d ln )(d ln )(=='2.5 导数的计算 导数的加法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ±在点x 处可导亦可导，且)()())()((x v x u x v x u '±'='± )())((x v c x cv '='（c 为常数）加法公式证明)()())()((x v x u x v x u '+'='+证：设)()()(x v x u x f +=，则)()()(x x v x x u x x f ∆++∆+=∆+，)()()(x v x u x f +=xx f x x f x v x u x f x ∆-∆+='±='→∆)()(lim))()(()(0xx v x u x x v x x u x ∆+-∆++∆+=→∆))()(())()((lim0])()()()([lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim)()(lim 00)()(x v x u '+'= 由已知条件，)(),(x v x u 均可导. 导数的乘法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u ⋅在点x 处可导亦可导，且)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' )()()())((x v c x v c x v c x cv '='+'='导数除法法则设)(),(x v x u 在点x 处可导，则)()(x v x u 在点x 处可导亦可导，且 )()()()()())()((2x v x v x u x v x u x v x u '-'='（0)(≠x v ） 例1 设函数1453+-=x x y ，求?='y析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数. 解： )1()4()5(3'+'-'='x x y （利用加法法则）1)(4)(53'+'-'=x x )())((x v c x cv '='=4152-x （利用导数公式0)(,)(1='='-c x x ααα）例2 设x x x y ln 243+-=，求y '.解：)ln 2()()4(3'+'-'='x x x y)(ln 2)()(43'+'-'=x x x （提示 xx xx 1)(ln 21)(='=' ）212x =xx221+-例3 设4cos 3xy x+=，求y '. 解：)4cos ()3('+'='x y x（提示x x a a a x x sin )(cos ln )(-='='）)sin (413ln 3x x -+=4sin 3ln 3xx -=例4 x x y ln 213+-=，?='y解：因为x x y ln 212123+-=（由对数的性质：x x x ln 21ln ln 21==）所以 xx y 21232+='（其中常数的导数为0） 例5 设xx y e 2=，求y '.解：利用导数的乘法法则，)(e e )(22'+'='xxx x y （利用导数公式xx e )e (='）)2(e e e 22x x x x x x x +=+=例6 4x y =，求y '.解：<方法1> 由导数基本公式344)(x x =' <方法2> 利用导数的乘法法则224x x x y ⋅==3222222224422)()()()(x x x x x x x x x x x x y =⋅+⋅='⋅+⋅'='⋅='='说明无论用哪种方法其结果是唯一的. 例7 xxy sin =，求y '. 解：<方法1> 将函数看成x xy sin 1=，利用乘法法则求导. 22cos sin cos 1sin 1)(sin 1sin )1(x x x x x x x x x x x x y +-=+-='+'='<方法2> 利用导数的除法法则求导2sin cos )sin (xxx x x x y -='=' 其中x x v x x u ==)(,sin )(.两个结果是完全一样的. 例8 求)(tan 'x解：xx x x x x x x x 22cos 1cos )sin (sin cos cos )cos sin ()(tan =--⋅='=' （利用三角公式1cos sin 22=+x x ）同理可求x x 2sin 1)(cot -='. 2.5.2 复合函数求导法则问题：2)32(+=x y ，求?='y 100)32(+=x y ，则?='y解：第一个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y利用加法法则有128+='x y方法2：将函数写成两个因式乘积的形式 )32)(32()32(2++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第二个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=⋅==='x u xu u y x y y 2.5.2 复合函数求导法则定理 设y=f (u ),u=(x ),且u (x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=x )处可导，则复合函数y=f ((x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或x u x u y y '⋅'='复合函数求导步骤·分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；·依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u x v u y y '⋅'⋅'='注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和21x y --=分别求导21x xy --='和21x xy -=' 将21x y -=和21x y --=分别代入，得 yx y -=' 01232=+--y x x （1）由（1）解得:)13(212+-=x x y 0e e =-+x xy y （2）在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y =隐函数求导方法步骤·方程两边求导，)(x y y =；·整理方程，求出y '.例1 求下列函数的导数或微分（1）xy 2e =，求.y ' 解：方法一: 由x x x x y e e e e )11(2⋅===+x x x y 222e 2e e =+='.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u2,e ==x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='（其结果是完全一样的) （2）x y e =，求.y ' 解：利用复合函数求导法则，设x u y u ==,e x u x u u x x u y e 2121e )e (⋅=⋅='⋅'='.（3）x y cos ln =，求y d .解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==x x xx u u u y x u tan )sin (cos 1)(cos 1)(ln -=-='='⋅'=',x x y d tan d -= 例2 设21x y -= ，求).0(y '解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果. 设21,x u u y -==，利用复合函数求导法则，221)2(21)1()(x x x ux u y x u --=-='-⋅'=',.0)0(='y 例3 设函数)2(sin 32x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）322,sin ,x v v u u y +===,23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+= 例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2311,x u u y -==)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 322)1(32---=x x 例5 设函数x y 1cos 3=，求y '. 解: xv v u y u 1,cos ,3=== x v u u x v y )1()(cos )3(''⋅'=' [21)()1(---='='x x x ] )1)(sin )(3ln 3(2xv u --=)1)(1sin )(3ln 3(21cos x x x --=x x x 1cos 231sin 3ln ⋅⋅= 例6 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.022='+y y x ,解出yx y -='（与前面的结果相同）. 例7 求由方程0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.0e e =+'++'x y y x y y ,解得注意：在隐函数的导数结果中常常含有y .例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为0='+y x y ,所以xy y -=',且在点（1，1）处的切线斜率1)1,1(-='y2.6 高阶导数 )(x f 的高阶导数例1：4)(x x f = 34)(d )(d x x f xx f ='=22212)(d )(d d )d )(d d(x x f x x f x x x f =''==x x f xx f 24)(d )(d 33='''= 一般地，)(x f y =，函数的n 阶导数记为)(d d )()(x f y xy n n n n == 例1 求函数522-+=x x y 的二、三阶导数. 解： 14+='x y ，4=''y ，0='''y例2 求)1ln(x y +=的二阶导数 至n 导数. 解： xy +='11，2)1(1)11()(x x y y +-='+=''=''， 32)1(1)!2()1(x y +-=''' … n n n x n y )1(1)!1()1(1)(+--=-。

《经济数学基础》主要公式一、两个重要极限○10sin lim 1x x x →=，或0lim 1sin x xx→=；它的推广形式：sin ()lim1()u x u x =，（其中()0u x →）○21lim(1)xx x e →+=，或1lim(1)xx e x→∞+=； 它的推广形式：若()0u x →且lim ()()u x v x A =，则()lim[1()]v x A u x e +=。

③常用的等价无穷小量()0u x →时，()sin ()~()u x u x 、()tan ()~()u x u x 、()1~()u x e u x -、()ln 1()~()u x u x +()~(0)2u x a a a>二、导数及微分1．导数的定义xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000，000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→记作：()f x '，y '，dydx ，()d f x dx在函数)(x f 任意一点x 导数的定义：x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(00()()()limh f x h f x f x h →+-'= 2．微分的定义()dy y dx f x dx ''==3．导数及微分主要公式：1︒．()0C '=； 0dC = （C 为任意常数） 2︒．1()x xααα-'=； 1()d x xdx ααα-= （α为任意实数）3︒．()ln xxa a a '= ln x xda a adx = （0，1a a >≠） 特别地()x x e e '= x xde e dx =4︒．1(log )ln a x x a '=1(log )ln a d x dx x a =（0，1a a >≠） 特别地1(ln )x x '= 1(ln )d x dx x=5︒．(sin )cos x x '= (sin )cos d x xdx = 6︒．(cos )sin x x '=- (cos )sin d x xdx =-7︒．221(tan )sec cos x x x '==221(tan )sec cos d x xdx dx x== 8︒．221(cot )csc sin x x x '=-=- 221(cot )csc sin d x xdx dx x=-=- 4．复合函数求导法则：若函数()u u x =在点x 可导，函数()y f u =在点u 处可导，则复合函数(())y f u x =在点x 可导，且：0()u u x dy dy dudx du dx==⋅ 或记作[])())(())((x u x u f x u f '⋅'='α5．常用的复合函数求导公式： 1︒．)())((]))([(1x u x u x u '⋅='-ααα （α为常数）2︒．)(ln )()()(x u a a ax u x u '⋅=' 特别地：)()()()(x u e e x u x u '⋅='3︒．)(ln )(1))((log x u a x u x u a '⋅=' 特别地：)()(1))((ln x u x u x u '⋅='4︒．)())(cos(]))([sin(x u x u x u '⋅='；)())(sin(]))([cos(x u x u x u '⋅-=' 6．求导与微分的基本法则设()u u x =，()v v x =，()w w x =均可微；，a b 是任意常数，则 1︒．()au bv au bv '''±=±； ()d au bv adu bdv ±=± 2︒．()u v u v uv '''⋅=+； ()d u v vdu udv ⋅=+3︒．2()u u v uv vv ''-'=； 2()u vdu udv d v v -= 特别地：21()v v v ''=-； 21()dvd v v=-4︒．()uvw u vw uv w uvw ''''=++ ()d uvw vwdu uwdv uvdw =++ 7．隐函数的导数设方程(,)0F x y =确定隐函数()y y x =，求y '（或00x x y y y =='）的步骤：1︒、方程(,)0F x y =两边同时对x 求导数，求导过程中视y 为中间变量，得到含有y '的一个方程；2︒、从上述方程中解出y '（或将00,x x y y ==代入上述含有y '的方程，化简并解出0x x y y y =='）8．曲线()y f x =在点00(，)x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-9．导数的应用 （1）单调性1︒．设函数()y f x =在区间I 上（内）连续，在I 内()0f x '>，则函数()f x 在区间I 上（内）单调增加；2︒．设函数()y f x =在区间I 上（内）连续，在I 内()0f x '<，则函数()f x 在区间I 上（内）单调减少。

导数知识点总结笔记一、导数的概念导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率或斜率。

在几何学上，导数可以理解为曲线在某一点处的切线斜率。

导数的概念最初由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，并成为微积分的基础概念之一。

导数的计算可以通过极限的概念来进行，即在一个点的邻域内取一个趋近该点的点，然后计算两点间的变化率。

导数在自然科学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用，是微积分中一个非常重要的概念。

二、导数的符号表示导数通常用f'(x)来表示，读作f关于x的导数。

也可以写成y'或dy/dx等形式。

导数表示了函数在某一点的瞬时斜率，或者在函数的定义域内任意一点的变化率。

导数实际上是关于自变量的函数，是一个描述函数变化率的函数。

三、导数的计算方法1. 通过定义法计算导数导数可以通过函数的定义来计算，即导数定义为函数在某一点的极限。

对于函数f(x)，它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h这就是导数的极限定义，即可以通过极限的概念来计算导数。

2. 导数的常见计算法则除了用极限的定义来计算导数外，还有一些导数的计算法则可以简化导数的计算：（1）常数法则：常数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0；（2）幂函数法则：f(x)=x^n，则f'(x)=n*x^(n-1)；（3）和差法则：f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)；（4）乘积法则：f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)；（5）商法则：f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^2；3. 高阶导数如果一个函数的导数存在，那么它的导数也可以再次求导，这就得到了函数的高阶导数。

微积分知识点总结笔记微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到了各种变化率、积分、微分和极限等概念。

在现代数学中，微积分是一门非常基础的学科，它广泛应用于物理、工程、经济学等领域。

本文将从微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分、不定积分和定积分、微分方程等方面对微积分的知识点进行总结。

1.微积分的基本概念微积分的基本概念包括函数、极限、导数和积分。

首先，函数是自变量到因变量的映射规律，通常用f(x)或y来表示。

当自变量x的取值逐渐接近某一数值时，函数值f(x)也有着确定的趋势，这种趋势称为极限。

导数是函数在某一点处的变化率，而积分则是对函数在某一区间上的累积效应。

2.函数的极限函数的极限是微积分中的基础概念之一，它用来描述自变量趋于某一数值时，函数值的变化情况。

数学上通常用极限符号lim来表示，比如lim(x->a)f(x)=L表示当x趋近a时，函数f(x)的极限是L。

在微积分中，函数的极限经常用来计算导数和积分，因此对于函数的极限有着很重要的意义。

3.导数和微分导数是函数在某一点处的变化率，它描述了函数在这一点附近的近似线性变化。

导数的计算可以通过极限的方法进行，通常用f'(x)或dy/dx来表示。

微分是导数的积分形式，它表示了函数的微小变化。

在实际中，导数和微分常用来描述函数的变化趋势和优化问题，比如求解最大值、最小值和函数图像的曲线斜率等。

4.不定积分和定积分不定积分是对函数的积分形式，它表示了函数在某一区间上的累积效应。

通常用∫f(x)dx来表示，它求解的是函数的原函数。

定积分则是对函数在某一区间上的定量描述，它表示了函数曲线与x轴之间的面积。

在微积分中，不定积分和定积分是密切相关的，它们有着许多重要的性质和应用，比如面积、体积、弧长、曲线图形的面积等。

5.微分方程微分方程是描述变化规律的数学方程，它由未知函数、自变量和导数等组成。

微分方程在物理、工程、生物等领域中有着广泛的应用，它可以用来描述各种自然现象的变化规律，比如弹簧振动、电路运行、生物种群的增长和衰减等。

微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。

2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。

3. 导数的意义：- 函数的变化率。

- 曲线的切线斜率。

- 判断函数的单调性。

二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。

2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。

3. 微分的意义：- 切线的近似值。

- 函数的增量。

三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。

2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。

3. 积分的意义：- 函数的面积。

- 函数的平均值。

- 求导的逆运算。

四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。

2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。

3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。

五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。

2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。

3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。

4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。

5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。

导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量这就是质点在时间段△t的位移。

因此，在此段时间内质点的平均速度为：若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。

我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。

记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。

若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。

这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。

注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。

若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。

若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。

注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。

其中u、v为可导函数。

常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。

用公式可写成：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。

用公式可写成：函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。