经济数学课件 2.1 导数的概念
- 格式：ppt
- 大小：465.50 KB
- 文档页数：16
下载文档原格式
合集下载
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
导数概念
f (x) f (a) xn a n 解 lim 解 f (a) lim xa xa x a xa n1 n2 n1 lim (x ax a ) nan1
xa
把以上结果中的a换成x得f (x)nxn1 即(xn)nxn1
(ax)axln a 特别地有(ex )ex
1 (loga x) (loga x)(ln x)1 1 x) 1 特别地有 (ln x lna x lnax x
以上得到的是部分基本初等函数的导数公式
Jlin Institute of Chemical Technology
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
Hale Waihona Puke 2.求导数举例1 ) 1 (C)0 ( ( x ) 1 (x ) x 1 x x2 2 x
例 例4 求 f (x) x 的导数 3
解 f (x) lim f (x h) f (x) lim x h x 解 h0 h0 h h h 1 lim lim 1 h0 h( x h x ) h0 x h x 2 x
h 1 ah 1 令ah 1 t x t 令ah 1 t a x lim x lim a t x lim a a h0 h a lim log (1 t) t 0 loga ( t) h0 h t 0 a 1
ax
1 a x ln a loga e
Jlin Institute of Chemical Technology
f (x0 x) f (x0 ) lim x0 x
Jlin Institute of Chemical Technology
xa
把以上结果中的a换成x得f (x)nxn1 即(xn)nxn1
(ax)axln a 特别地有(ex )ex
1 (loga x) (loga x)(ln x)1 1 x) 1 特别地有 (ln x lna x lnax x
以上得到的是部分基本初等函数的导数公式
Jlin Institute of Chemical Technology
Jlin Institute of Chemical Technology
上页
下页
返回
退出
Hale Waihona Puke 2.求导数举例1 ) 1 (C)0 ( ( x ) 1 (x ) x 1 x x2 2 x
例 例4 求 f (x) x 的导数 3
解 f (x) lim f (x h) f (x) lim x h x 解 h0 h0 h h h 1 lim lim 1 h0 h( x h x ) h0 x h x 2 x
h 1 ah 1 令ah 1 t x t 令ah 1 t a x lim x lim a t x lim a a h0 h a lim log (1 t) t 0 loga ( t) h0 h t 0 a 1
ax
1 a x ln a loga e
Jlin Institute of Chemical Technology
f (x0 x) f (x0 ) lim x0 x
Jlin Institute of Chemical Technology
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时)
总结导数的理论知识和实 际应用，鼓励学生深入学 习和探索导数。
小结
1 本次课程的重点
总结本次课程的重点内容，帮助学生加深对导数概念的理解。
2 理解和应用
P强调学生对导数的理解和应用，鼓励他们练习导数的求法和应用方法。
导数的概念-课件-导数的 概念(第一课时)
导数的概念-课件-导数的概念(第一课时) 大纲
引言
1 重要性
深入讲解导数的重要性，为学生明确学习目标。
2 概念的含义
引导学生思考导数概念的含义，激发他们对导数的兴趣。
导数的定义
1 定义及公式
详细讲解导数的定义及公式，帮助学生掌握导数的基本概念。
2 导数与函数的关系
讲解导数对函数的单调性的影响，帮助学生分析 函数图像。
求导法则
简要介绍常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数及三角函数的求导法则。
应用
1 使用导数求函数极值 2 其它应用领域
3 理论与实际应用
教授使用导数求函数极值 的方法，帮助学生应用导 数解决实际问题。
介绍导数在其他领域的应 用，引发学生对导数的更 多思考。
解释导数与函数的关系，帮助学生理解导数在函数中的应用。
3 使用举例解释
通过举例解释导数的定义，让学生更好地理解导数的具体应用。
导数的性质
可加性和可乘性
介绍导数的可加性和可乘性，帮助学生理解导数 在数学运算中的灵活性。
图形意义
解释导数在图形上的意义，让学生从图像中探索 导数
经济应用数学-2.1导数的概念1
y 即 lim NMT 0.
MN 0
y f (x)
N
T
CM
o
x
3
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y). 割线MN的斜率为
tan y y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
x x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
14
首页
返回
结束
上页
下页
பைடு நூலகம்
铃
经济应用数学
2.1.3 求导数举例
❖ 利用定义求导数的步骤：
(1)求函数y f (x) 的改变量y y f (x x) f (x);
(2)求两个改变量的比值
y f ( x x) f ( x) ;
x
x
(3)求极限
y
f ( x x) f ( x)
lim lim
;
2 lim f (1 h) f (1 h)
x0
x
h0
h
解 (1) 令 : 2x h, x 1 h, x 0时h 0 2
原 式 ＝lim f (1 h) f (1)
h0
1h
2
2 f (1) 6
10
首页
返回
结束
上页
下页
铃
经济应用数学
例1.1 已知f (1) 3, 求下面的极限
2
切线MT的斜率为
y
k tan lim y
x0 x
lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
o
y f (x)
N
经济数学复习第二章导数与微分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x2 1
1
1 x2
，dy
1
dx x2
．
x2
（3） y2 f (e2x)e2x dy2 f (e2x)e2xdx
练习
若
y
tan
x 2
则
dy ?
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
(1) d(C) 0
(10) d(cot x) csc2 xdx
(2) d(x) x 1dx (11) d(sec x) sec x tan xdx
d u v du dv d uv vdu udv
d cu cdu，（c为常数）
d
(u v
)
vdu udv， v2
(v 0)
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
例7求 d(cos2x)
例8 求函数 yexcos4x 旳微分 解：dycos4xd(ex)exd(cos4x) cos4xexd(x)ex(sin4x)d(4x) excos4xdx4exsin4xdx ex(cos4x4sin4x)dx
f (x0),
y x ,x0
dy dx
, x x0
或
df dx
. x x0
ESC
一、导数旳概念
即
f (x0)
lim
x0
f
(x0 x) x
f
(x0) .
或
f (x0)
lim
x x0
f
(x) x
f (x0) x0
.
定义2.2 若函数 y f (x) 在区间 (a,b)内
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间 (a,b)
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
经济数学2.1导数的概念
y ( x x )3 x 3
导函数
3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3,
( x x )3 x 3 y lim x x 0
lim [ 3 x 2 3 x x ( x ) 2 ] 3 x 2.
M M M MM y 0
T
x
ESC
o
3
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
y f (x)
当点 M 沿着曲线 y f ( x )趋于 y 点 M 0 时, 割线 M 0 M 便绕着点 M 0 转动；当点 M 无限趋于点 M 0 时割线的极限位置是 M 0T , 割线 则称直线 M 0T 为曲线 y f ( x ) f ( x0 x ) 过点 M 0 处的切线. f ( x0) 切线
便绕着点 M 0 转动；当点 M f ( x0 x ) 无限趋于点 M 0 时， 割线的极限位置是 M 0T , 切线 f ( x ) y 则称直线 M 0T 为曲线 f ( x ) 过点 M 0 处的切线.
0
M0
x
1
o
ESC
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
ESC
二. 导数定义
函数在区间上的导数定义
定义2.2 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 任意一点处都可导，则称函数 f ( x )在区间 (a , b) 内可导．
记作 f ( x ) 或 即
y 或
dy 或 dx
df . dx
高等数学2.1导数概念-PPT课件
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。
二、导数的定义
定义1 设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义。当自变量在
x0处有增量Δ x时，函数有相应的增量y=f (x0+x)- f(x0)。
y 如果当Δ x→0时， 的极限存在，则称该极限值为y=f(x)在 x
点x0的导数，记为 y
x x0
, 即
y
xx0
f( x x )f( x ) y 0 0 lim l i m x 0 x 0 x x
也可记为 f (x ); 0
dy d ， f ( x) d x x x 0 dx x x0
使用导数来表示两个引例
(t0) (t0)s 瞬时速度 v
可导与连续的关系。
一、 变化率问题举例
1. 变速直线运动的速度
设一物体做变速直线运动，运动规律
为s=s(t)，求物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)？
自由落体运动
s 分析：匀速运动 v t
2 s1 g t 2
o
s (t 0 )
s(t0 t )
t0
t 0 Δt
t) s ( t 0 ) s s s(t0
f ( x ) 在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率为 k ) 曲线 y f (x 0 切
切线方程 法线方程
yy f ( x ) ( xx ) 0 0 0
1 yy (xx 0 0) f(x 0)
特别地
（ 1 ） f (x 0 时， 切 线 y y0 0)
(x ) 2x
2
y x 对一般幂函数
( 为常数)
(x ) x
例如， (
1
导数的概念PPT教学课件
坦因两次掠走遗书、文
物一万多件。
•1908年法国人伯希和从
藏经洞中拣选文书中的
精品，掠走约5000件。
•1910年藏经洞中的劫余
写经，大部分运至北京， 交京师图书馆收藏。
斯坦因和王圆箓像
•1911年日本人橘瑞超和吉川小一郎从王道士处，弄走
约600件经卷。
•1914年俄国人奥尔登堡又从敦煌拿走一批经卷写本，
作业布置
• 一、作业：想一想 议一议 • 二、预学指导：第10课 辽、西
夏和北宋并立
检查预习
• 1、宋辽，宋夏和议共同点是（ ） A辽夏向宋称臣 B北宋割地求和 C北宋送给 辽夏“岁币”D互相禁止边境贸易 2、辽夏吸取南下劫掠遭抵抗的教训，进而 推行（ ） A扩军备战 B用严酷刑罚镇压 C破坏被占领 地区经济 D“以汉制待汉人”
x在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量: y= x+x x
算比值, y x x x
1
x
x
x x x
取极限,
y
1
1
lim lim
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
学生展示，教师明确
学习指导（二）
“观者如山”的乐舞 请同学们自由朗读本目内容，先自主
思考以下问题，再与同位之间交流一下。 3分钟后看谁完成的最好。
《秦王破阵乐》的作者是唐朝皇帝 A.唐太宗 B.武则天 C.唐玄宗 D.唐中宗
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反之不成立。
作业:习题2-1
235
M M0
O
M0
x N
x0 x0 x x
lim lim
y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
2.1.2导数概念 一、导数的定义
1.函数y＝f（x）在点 x0的导数
lim lim f '(x0 )
y x0 x
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
记作：y' x x0，f '( x0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
2.1.1两个引例 一、总成本的变化率
设某产品的总成本为y f ( x)，x是产量, 当产量由x0变到x0 x时， 求(1)总成本的改变量y
y f ( x0 x) f ( x0 )
(2)总成本的平均变化率
总成本的平均变化率
总成本的改变量 产量的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
(3)产量为x0时，总成本的变化率（瞬时）
lim lim y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
二、曲线y＝f（x）在点 M0 的切线的斜率
1.曲线y＝f（x）在点 M0的切线
(1)曲线上有两点M 0和M， 连结两点，得到割线M0 M
y 3x2x 3x(x)2 (x)3
(2)
x
x
3x2 3xx (x)2
lim lim (3) f '(x)
y
[3x2 3xx (x)2 ]
x0 x x0
3x2
f '(x) 3x2
f '(1) ( x3 )' (3x2 ) 3
x1
x1
二、几何意义：斜率k f '( x0 )
应用：求曲线y =f (x)在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 和法线方程
▲切线方程（点斜式）：y y0 f '( x0 )( x x0 )
法线方程：y
y0
f
1 (x '( x0 )
x0 )
例2 求 y x3在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解： k ( x3 )' x1 3x2 x1 3
切线方程为: y 1 3( x 1) 即：y 3x 2 法线方程为：y 1 1 ( x 1) 3 即：y 1 x 4 33
2.1.4 可导与连续的关系
因为函数 y f (x) 在点 x 处可导，即
0
f (x ) lim y 存在，于是有
0
x x0
limy lim y x lim y limx f (x ) 0 0
，
dy dx
，
x x0
df dx
x x0
2.导函数（导数）
y
lim
x 0
x
lim
x 0
f
(x
x) x
f
(x)
记作：y'、f '( x)、dy、df dx dx
例1 设f (x) x3,用定义求f '(x), f '(1)
解：当自变量由x变到x x时， （1）y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3
xo
x xo
x x0
x0
0
这表明函数
y
f (x) 在点
x 处连续。 0
2.1.4 可导与连续的关系
但在点 x 处连续的函数不一定在 x 处可导。
0
0
例如：函数 y x 在 x 0 处连续，但在 x 0 处
不可导(如图2—3)。
图2－3
结论:
函数在某一点可导、连续、有极限的关系 可表示为：
可导 连续 有极限
y
( 2)当M沿着曲线趋向于M 0时， 割线达到极限位置M 0T， 称M 0T为曲线在M 0处的切线
o
y f (x) M T
M0 x
2.曲线y＝f（x）在点 M0的切线的斜率
斜率k= tanα
y
f ( x0 x)
M
T
当M0M M0T时，
y
f ( x0 )
则有k tan lim tan
作业:习题2-1
235
M M0
O
M0
x N
x0 x0 x x
lim lim
y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
2.1.2导数概念 一、导数的定义
1.函数y＝f（x）在点 x0的导数
lim lim f '(x0 )
y x0 x
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
记作：y' x x0，f '( x0 )
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
2.1.1两个引例 一、总成本的变化率
设某产品的总成本为y f ( x)，x是产量, 当产量由x0变到x0 x时， 求(1)总成本的改变量y
y f ( x0 x) f ( x0 )
(2)总成本的平均变化率
总成本的平均变化率
总成本的改变量 产量的改变量
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
(3)产量为x0时，总成本的变化率（瞬时）
lim lim y
f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
二、曲线y＝f（x）在点 M0 的切线的斜率
1.曲线y＝f（x）在点 M0的切线
(1)曲线上有两点M 0和M， 连结两点，得到割线M0 M
y 3x2x 3x(x)2 (x)3
(2)
x
x
3x2 3xx (x)2
lim lim (3) f '(x)
y
[3x2 3xx (x)2 ]
x0 x x0
3x2
f '(x) 3x2
f '(1) ( x3 )' (3x2 ) 3
x1
x1
二、几何意义：斜率k f '( x0 )
应用：求曲线y =f (x)在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 和法线方程
▲切线方程（点斜式）：y y0 f '( x0 )( x x0 )
法线方程：y
y0
f
1 (x '( x0 )
x0 )
例2 求 y x3在点(1,1)处的切线方程和法线方程 解： k ( x3 )' x1 3x2 x1 3
切线方程为: y 1 3( x 1) 即：y 3x 2 法线方程为：y 1 1 ( x 1) 3 即：y 1 x 4 33
2.1.4 可导与连续的关系
因为函数 y f (x) 在点 x 处可导，即
0
f (x ) lim y 存在，于是有
0
x x0
limy lim y x lim y limx f (x ) 0 0
，
dy dx
，
x x0
df dx
x x0
2.导函数（导数）
y
lim
x 0
x
lim
x 0
f
(x
x) x
f
(x)
记作：y'、f '( x)、dy、df dx dx
例1 设f (x) x3,用定义求f '(x), f '(1)
解：当自变量由x变到x x时， （1）y f ( x x) f ( x) ( x x)3 x3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3 3x2x 3x(x)2 (x)3
xo
x xo
x x0
x0
0
这表明函数
y
f (x) 在点
x 处连续。 0
2.1.4 可导与连续的关系
但在点 x 处连续的函数不一定在 x 处可导。
0
0
例如：函数 y x 在 x 0 处连续，但在 x 0 处
不可导(如图2—3)。
图2－3
结论:
函数在某一点可导、连续、有极限的关系 可表示为：
可导 连续 有极限
y
( 2)当M沿着曲线趋向于M 0时， 割线达到极限位置M 0T， 称M 0T为曲线在M 0处的切线
o
y f (x) M T
M0 x
2.曲线y＝f（x）在点 M0的切线的斜率
斜率k= tanα
y
f ( x0 x)
M
T
当M0M M0T时，
y
f ( x0 )
则有k tan lim tan