二倍角公式一(公开课)

还可以将公式sin2α＋cos2α＝1变形为：cos2α＝1-sin2α，再将其代入二倍角余弦公式可得：
二倍角余弦公式三种形式cos 2α＝cos2α－sin2αcos 2α＝2cos2α－1cos 2α＝1－2sin2α
我们继续思考以下几个问题该怎么解决？
（1）tan 2α公式还可以怎么推导？
（2）倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
由cos 2α＝2cos2α－1降幂变形得：
由cos 2α＝1－2sin2α 降幂变形得：
降幂公式：
你能用二倍角公式解决以下问题吗?
(2)计算cos215°－sin215°结果等于________．
(3)已知α为第三象限角， ，则tan 2α＝________．
解：因为α为第三象限角， ,所以 ， ， ．
解：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝ ；
cos215°－sin215°＝cos 30°＝ ；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ ；
sin215°＋cos215°＝1，
故选 B .
B
解： ．
二倍角的三角函数(1)
第十章 三角恒等变换
相关著名历史人物
两角和的三角函数公式
比鲁尼 (973～1048)是波斯著名科学家、史学家、哲学家．青年时曾到朱尔占师从艾布·纳斯尔·曼苏尔等著名学者．他博览群书，广交学者，学识渊博，富有创造性，对史学、地理、天文、数学和医学均有很深的造诣．比鲁尼的著作《马苏德规律》在三角学方面有创造性的贡献，他给出一种测量地球半径的方法．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式．
解：因为sin α=，α，
于是sin 2α ＝ 2sin αcos α， cos 2α＝1－2sin2α=1－2， tan 2α＝．

例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan

.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4

tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B


24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，

为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。

3.1.3二倍角的 正弦、余弦、正切公式
引例
等腰三角形ABC的顶角是A，底角是B，C，
cosB= 3
5
，求顶角A的正弦、余弦、正切值.
二 倍 角 公 式：
sin 2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin 2 R
2cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan 1 tan 2
k 2
,且 4
k 2
，k Z
倍角的相对性
(1)sin 4 2sin_ cos_ (2) cos cos2_ sin2_ 2 cos2_1
1 2sin2_
(3) tan
2
2 tan_ 1 tan2_
四、典例剖析
例1.已知sin 4 , ＜＜，
52
求sin 2, cos 2, tan 2的值.
练习：1.解决引例提出的问题. 在ABC中，B=C,cos B 3 ,求sin A, cos A, tan A.
5
2.灵活应用公式.
(1) cos2 75 sin2 75 2 tan 22.5
(2) 1 tan2 22.5 (3) sin15 cos15
(4)4 cos 75 cos15
5
课堂小结
• 1.倍角公式（推导、熟记、灵活应用）。 • 2.公式的特征、成立的条件、倍角的相
对性。
• 3.转化与化归的数学思想。 • 4.算法的合理性。
作业
在ABC中,sin A 3 , tan B 2, 5
求 tan 2A 2B的值.
谢谢大家！
知识与方法总结重要。
例2.在ABC中, cos A 4 , tan B 2, 5
求 tan 2 A B的值.

注意： 切化弦
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列

=


+




= +


+

-

+ - .


因为 θ 是第二象限角,




即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=










, + < < + (∈),


解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =

答案:
.

.

二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;


.
-
=2sin

=2× × = ,



,


+

的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.

sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin

4

sin 2 2sin cos
2
4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2) sin 2π cos 2π
8
8
(cos
2π 8
sin
2π ) 8
解题点拨：对比公式
cosπ 4
cos2α cos 2αsin 2α
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).
tan22.5 1 tan 2 22.5
x
sin
x)
求函数f (x)的最小正周期。
五、练习深化
1、 已知sin( - ) 3 , 求 cos 2的值
5
解题方法： 用诱导公式 化简函数,再 用二倍角公式
五、练习深化
2、已知tan2
1 3
,求
tan
的值。
解:
tan2
1
2
tan tan
2
1 3
,
解题方法： 应用正切的
6tan 1 tan 2 ，
二、二倍角公式的推导
问题： 由一般的 ， 到特殊的两个角相等， 即： ， 你得到什么启示？有什么发现？
cos ？ sin ？
tan ？
二、二倍角公式的推导
cos cos cos sin sin 令 cos 2 cos 2 sin 2
利用公式 sin 2 cos 2 1变形为：cos2 2 cos2 1
两位伟大的数学家启迪我们， 学习数学的重要性和方法：
数 学 是 知 识 的 工 具， 也 是 其 它 知 识 工 具 的 源 泉， 所 有 研 究
的 科 学 均 和 数 学 有 关。 — —笛 卡 儿
学 习 数 学 要 多 做 习 题， 边 做 边 思 考， 知 其 然， 知 其 所 以 然。

∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .

经典例题
题型二 条件求值
例 2(1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝________；
(2)已知 0<α<π2，cosπ6＋α＝13，则 sin3π＋2α＝________.
解：(1)∵tan α＝2， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α ＝12－×222＝－43.
(2)∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π.
＝cos2( ＋α)＝2cos2( ＋α)－1＝2×( )2－1＝－ .
经典例题
题型二 条件求值
跟踪训练2 (2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，则 sin2α＋1π2的值为________．
(2)∵α 为锐角，∴α＋π6∈π6，23π. 又∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，
公式
简记
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
S2α
余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α
C2α
正切 tan2α＝
2tan α 1－tan2α
T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都 成立，如 4α 是 2α 的二倍，α 是α2的二倍等.
自主学习
二．正弦的二倍角公式的变形 1.sin αcos α＝12sin 2α； 2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
－ 解析：因为 tanα＝－ ，所以 tan2α＝
＝
＝－ .
经典例题
题型一 给角求值
例 1 求下列各式的值：
(1)sin2 π－cos2 π；
(2)sin1π2cos1π2；
(3)
；
(4)cos20°·cos40°·cos80°.

3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施

第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂， 不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n －1αcos 2n －1α⇒cos αcos 2αcos 22α…cos 2n －1α＝s2innsi2nnαα.
题型二 给值求值——师生共研 例 1 (1)已知 α 是第三象限角，cos α＝－153，则 sin 2α 1123×－153＝112609.
(2)∵sin2π－α＝cos α＝35，α∈0，2π，∴sin α＝45，
∴tan α＝34，∴tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×14396＝－274.
(3)cos2α＋4π＝1＋cos22α＋π2＝1－s2in 2α＝1－2 23＝61.
A．－1123
12 B.13
C．－112609
120 D.169
(2)若 sinπ2－α＝35，α∈0，π2，则 tan 2α＝(
)
A．－274
3 B.2
C．－32
24 D. 7
(3)已知 sin 2α＝23，则 cos2α＋4π＝________.
解析：(1)∵α 是第三象限角，且 cos α＝－153，∴sin α＝－1123，∴sin 2α
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意的 α 角，都有 cos 2α＝cos2α－sin2α.( √ ) (2)对任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( × ) (3)对于任意的角 α，tan 2α＝1－2tatnanα2α.( × ) (4)对于任意的角 α，sin 4α＝2sin 2αcos 2α.( √ )

对后续学习的展望与建议
展望
在后续的学习中，我们将进一步学习三 角函数的和差公式、积化和差与和差化 积公式等，这些公式与二倍角公式有着 密切的联系。通过深入学习这些公式， 我们可以更好地理解和应用二倍角公式 ，提高解决复杂问题的能力。
VS
建议
为了更好地掌握和应用二倍角公式，建议 同学们多做练习题，通过实践来加深对公 式的理解和掌握。同时，也需要注重培养 自己的数学思维和解决问题的能力，以便 更好地应对各种复杂的数学问题。
题目一解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 2π/3)转化为cos[π/2 + (α - 2π/3)]，再利用已知条件计算结果为-1/3 。
题目二解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(2sin^2α + cos^2α)转化为(cos^2α)/(2sin^2α + cos^2α)，再利 用已知条件计算结果为3/5。
题目六
已知sin(π/4 - α) = 1/3，求cos(5π/4 + α)的值。
题目四解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(α - 5π/6)转化为cos[π/2 + (α - 5π/6)]，再利用已知条件计算结果为-4/5 。
题目五解析
利用同角三角函数基本关系式，将1/(sin^2α - cos^2α) 转化为(cos^2α)/(sin^2α - cos^2α)，再利用已知条件 计算结果为-3/4。
题目九
已知sin(π/6 + α) = √5/5，求cos(7π/6 - α)的值。
题目七解析
利用诱导公式和二倍角公式，将sin(5π/6 + α)转化为cos[π/2 + (5π/6 + α)]，再利用已知条件计算结果为7/8。