新人教版高中数学二倍角公式公开课PPT课件

2
5 12 120 sin2α 2sinαcosα 2 13 13 169
119 12 5 cos2α cos α sin α 13 13 169
2 2 2 2
例题分析
$
5 π 例1. 已知sinα ,α ,π.求sin2α、cos2α、tan2α的 值. 13 2
2
例题分析
$
5 π 例1. 已知sinα ,α ,π.求sin2α、cos2α、tan2α的 值. 13 2 120 120 169 119 120 120 sin2α 答案：sin2α tan2α tan2α , cos2α , 169 169 119 169 119 119 cos2α
3 2：已知sin(α π) ,求cos2α的值。 5
π 3：已知sin2α sinα,α( ,π),求tanα的值。 2
1 4：已知tan2α ,求tanα的值。 3
$
二倍角公式
$
根据公式口答下列各题 ：
sin2α 2sinαcosα cos2α cos 2α sin2α 2tanα tan2α 1 tan2α
(1)2sin15 cos15 2π 2π (2)cos sin 6 6 2tan30 (3) 2 1 tan 30
1 2 1 2
3
例题分析
$
5 π 例1. 已知sinα ,α ,π.求sin2α、cos2α、tan2α的 值. 13 2
5 5 144 2 2 解： 由sinα cos α 1 sin α 1 13 13 169 π α ，π 2 12 cosα 13

结论
(1) 2
2
(2) 4 2 2
例6 化简:
(1) sin400 (tan 100 3) (2)
解: (1) 原式

sin400
(
sin100 cos 100
例4
sin2 sin2
1 cos 2 1 cos 2

(
)
A tan B cot C sin
1 2sin2
D sin2
解:
原式
s in 2 s in 2
1 (1 2sin2 ) 1 (2cos 2 1)

s in 2 s in 2
(sin5 cos5)2 | sin5 cos5 | (sin5 cos5)
sin2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
2cos 2 1 1 2sin2
tan
2

1
2 tan tan2
例5 用二倍角公式化简: (0 )
13
13
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
解
:
sin

12 13
, cos


5 13
,
sin2 2sin cos 2 12 ( 5 ) 120 0
13 13 169
cos 2 cos2 sin2 ( 5 )2 (12)2
(1 sin2 ) sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 cos 2 1 2sin2
sin2 2sin cos cos 2 cos2 sin2 2cos2 1

1、二倍角的正、余弦公式
cos 2 cos2 sin2
2cos2 1 1 2sin2
sin 2 2sin cos
2、二倍角的正切公式
tan
2
2 tan 1 tan2
C2
S2 T2
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的否 定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”

( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4

4

2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);

课前热身
1、过点A(3，0)，且平行于直线 2x 3y 0
的直线方程是__2_x___3__y_ 6 0
2、两直线 x 3y 2 0 与 3x 3y 4 0
的夹角是____6_0_0_____
3、两平行直线 y 2x 和 y 2x 5
间的距离是 ______5____
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0 2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 B A（x1，y1）、B（x2，y2），则
O
x
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。 两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
θ A1
又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 ②
B1
联立 ① ②，可得 x1-x2=5 或 y1-y2=0
x1-x2=0 y1-y2=5
【布置作业】
优化设计P105、P106
2sin cos
sin 2 2sin cos
2020/4/14
3
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
cos 2 cos2 sin2
sin2 cos2 1
2 cos2 1
1 2sin2
2020/4/14
4
tan( ) tan tan 1 tan tan
①l1与l2相交于点P(m,-1)； ②l1∥l2； ③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1∥l2 的 必 要 条 件 是 A1B2-A2B1=0 ， 而 l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依 据上面结论去操作.

为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。

• 第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明确目标
发展素养
1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导 1.通过公式的推导，培
出二倍角的正弦、余弦、正切公式．
养逻辑推理素养．
2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 2.借助运算求值，提升
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用. 数学运算素养.
• (一)教材梳理填空 • 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
x.
(2)证明：因为左边＝33－ ＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－ ＋ccooss 22AA2＝22csions22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，
所以33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
• [方法技巧]
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ ＝ 2－2cosα4＝ 4sin2α8. 因为 3π<α<4π，所以38π<α8<π2，所以 sinα8>0，故原式＝2sinα8.
4cos2α4
•试分析该解题过程是否正确．若不正确，错在何处？并写 出正确的解题过程． •提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时， 没有顾及角的范围而选择正、负号，导致错误．
正解如下：
因为 3π<α<4π，所以32π<α2<2π，34π<α4<π，38π<α8<π2，则 cosα2>0，cosα4<0，cosα8>0.
所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α2＝ 2－ 2＋2cosα2＝ 2－ 4cos2α4
＝ 2＋2cosα4＝ 4cos2α8＝2cosα8.

°
°
=(
×
.

)
=

=
− . °
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α = 2sinα cosα
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1-2sin2α
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
正弦：SCCS
符号同
(∓) : ( ∓ = ±
余弦：CCSS
符号异
(∓) :
∓
( ∓ ) =
1 ±

正切：

子同母异
探究1：你能利用S(α+β)， C(α+β)，T(α+β)推导出sin2α，cos2α，

2
1 tan 2 A B
11 117
1
2
.
课堂检测
教材P223练习1

4
1.已知cos =− ，8
8
5
解： ∵ 8 < <



< < 12，求sin ，cos ，tan 的值.
4
4
4

3

3
12 ，∴ < < ∴sin
，8 =− 5
S(2α)
cos2α = cos2α - sin2α
= 1-2 sin2α=2cos2α-1
C(2α)
2tanα
tan2α = ————
1 - tan2α
T(2α)
作业：教材P223 ：练习：3、4题

tanα tanβ tan β α 1 tanαtanβ
T( )
二倍角公式
sin2α 2sinαcosα cos2α cos α sin α
2 2
2tanα tan2α 2 1 tan α
π kπ π α kπ 且α 2 2 4
问题1：公式中的角是否为任意角？
π kπ π 注：α kπ 且α 2 2 4
2tanα tan2α 1 tan 2α
12 cosα 13
还认识我吗？
sin 2 2sin cos cos 2 cos sin
2 2
1 2sin
2
2 cos 1
2
2 tan tan 2 2 1 tan
牛刀小试
π π π π 例2. 8sin cos cos cos 48 48 24 12 π π π 解：原式 4sin cos cos 请用二倍角的正弦公式： 24 24 12 sin2α 2sinαcosα π π 2sin cos π π 12 12 可得到8sin cos 48 48 π sin π π 6 4 2sin cos 48 48 1 π 4 sin2 2 48 π 4 sin 24
三角函数的互化问题。 广泛应用于 三角函数的求值、证明 、化简，应 灵活理解“二倍角”的 含义，熟悉 公式的逆用，并注意公 式成立的条件 。
课后作业
1：二倍角公式导学案 题篇
书面作业
α 4 α α α 1：已知cos ,8πα 12π,求sin , cos , tan 的值。 8 5 4 4 4
再用两次这个方法，问题就解决咯~
牛刀小试
π 例3. 2cos 1 8

高中新教材数学人课 件必修时二倍角的正 弦余弦正切公式
汇报人：XX 20XX-01-22
目录
• 引言 • 二倍角公式的推导 • 二倍角公式的应用 • 典型例题解析 • 课堂练习与互动 • 课后作业与拓展
01
引言
教材分析
本节课是高中数学新教材必修时的重要内容，主要学习二倍角的正弦、余弦、正切 公式。
例题二：求解二倍角的余弦值
题目
已知 cosα = -√3/2，α 为钝角，求 cos2α 的值。
解析
根据二倍角的余弦公式 cos2α = cos^2α - sin^2α，需要先求出 sinα 的值。由 sin^2α + cos^2α = 1 可 得 sinα = √(1 - cos^2α) = 1/2。因 此，cos2α = (-√3/2)^2 - (1/2)^2 = 1/2。
题目3
证明$tan 2gamma = frac{2tan gamma}{1 tan^2 gamma}$。
06
课后作业与拓展
作业一：完成教材上的习题
1 2
习题一
利用二倍角公式，求sin2α、cos2α、tan2α的表 达式。
习题二
已知sinαα的值。
正切二倍角公式推导
利用正弦二倍角公式和余弦二倍角公式，将tan(2α)表示为 sin(2α)/cos(2α)的形式。
将sin(2α)和cos(2α)的表达式代入，化简得到2tanα/(1 tan²α)，即为正切二倍角公式。
03
二倍角公式的应用
求解三角函数值
利用二倍角公式，可以将一些特殊角度（如30°、45°、60°等）的三角函数值转 化为基本角度（如15°、30°、45°等）的三角函数值进行计算。