24.2.1点和圆的位置关系

A B
2. 作线段AB、BC的垂直平分线,
其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径
C O
作圆.
⊙O即为所求.
巩固练习
如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的
工具找到圆形工件的圆心．
解: ∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两 A
B C
点的距离相等，
O
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在
巩固练习
如图,已知直角坐标系中,A(0,4), B(4,4), C(6,2). (1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标. (2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.
解：(1)在方格纸中，线段AB和BC的垂直 平分线相交于点(2，0)，所以圆心M的坐 标为(2，0). (2)圆的半径 AM 22 42 2 5.
课堂检测
能力提升题
1. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三
点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ B ）
A．点P C．点R
B．点Q D．点M
A
B
C
PQR M
课堂检测
2. 画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且 小于或等于3cm的点组成的图形.
1
2cm
· O
课堂检测
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确 定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
线段DM 5 22 2 02 13 2 5，所以点D在圆M内.
探究新知
素养考点 2 考查三角形的外接圆的有关知识
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到 BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．

个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其 上任意一点为圆心，以这点和 点A或B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆.
·
A
· · ·
B
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ 经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上.

F A B ●
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
四 反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A、 B、C可以作一个圆，设这个圆的圆 心为P，那么点P既在线段AB的垂直 平分线l1上，又在线段BC的垂直平 分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过 一点有且只有一条直线与已知直线 垂直”相矛盾，所以过同一条直线 上的三点不能作圆．
A
1. 外接圆 外接圆 ， ⊙O叫做△ABC的________ △ABC叫做⊙O的____________. 内接三角形
●
O
C
B
2.三角形的外心： 定义： 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： 到三角形三个顶点的距离相等.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
·r
P
O
d<r d=r
⑵点在圆上 P ⑶点在圆外
P
·
O
r r
·
O
d>r
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与 ⊙A的位置关系如何？

C l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同
一条直线上的三点不能作圆．
24.2.1 点和圆的位置关系
反证法的定义
要点归纳
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常 与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
F
C M
24.2.1 点和圆的位置关系
位置关系
归纳总结
定理： 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
有且只有
F
A
B
●
o
C
G
24.2.1 点和圆的位置关系
试一试：
已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
O C
B
24.2.1 点和圆的位置关系
概念认知
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
BC=4cm，以点A为圆心、3cm为半径画圆，并判断：
B
（1）点C与⊙A的位置关系;
D●
（2）点B与⊙A的位置关系;
（3）AB的中点D与⊙A的位置关系.
A
C
解：已知⊙A的半径r=3 cm. (1) 因为AC AB2 BC2 52 42 3(cm) r ，所以点C在⊙A上. (2) 因为AB=5 cm>3 cm=r, 所以点B在⊙A外. (3)因为 DA 1 AB 2.5cm3cm r，所以点D在⊙A内.
解：(1)当0<r<3时，点A，B在⊙C外． (2)当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
24.2.1 点和圆的位置关系
课堂小结
点与圆的 位置关系
位置关系数量化

典型例题
如图，已知等边三角形ABC中，边长为 6cm，求它的外接圆半径。
A
E O B D C
C 90 1、如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，
若 AC=12cm，BC=5cm， 求的外接圆半径。
B
C
A
如图，等腰⊿ABC中， AB AC 13cm，
BC 10cm ，求外接圆的半径。
方法，领会其思想。心的距离为d。则 位置 数量
●
●
O
●
点在圆内
●
d﹤r d＝r d>r
点在圆上 点在圆外
练习：1、已知圆的半径等于5厘米，点到圆心的距离是:
A、8厘米
B、4厘米
C、5厘米。
请你分别说出点与圆的位置关系。
自学效果检测
2.⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为 8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是： 点A在⊙O内 ；点B在 ⊙O上 ；点C在⊙O外。 3.正方形ABCD的边长为 3 cm，以A为 圆心2cm为半径作⊙A，则点C( C ) A.在⊙A上 B.在⊙A内
A A
●
A
●
O C B ┐
O C
●
O
B
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
1、判断下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ ) 2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为( B ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形