《数学分析C1》课程大纲

包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。

《数学分析》课程教学大纲课内学时数：276学时其中讲授课：212学时习题课： 64学时适用的专业范围及层次：全日制专科数学教育专业学分：16学分考核方式：考试说明一、教学目的和要求数学分析是高等师范院校数学专业的一门基础课，是进一步学习复变函数论、微分方程、概率与数理统计、微分几何等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基础。

本课程要求学生掌握以下几个方面内容：（一）掌握函数、极限和连续等基本概念（二）掌握导数与微分（三）掌握中值定理与导数的应用（四）掌握不定积分（五）掌握定积分（六）掌握级数理论（七）掌握多元函数的微分法（八）掌握二重积分（九）掌握曲线积分与曲面积分在教学过程中应注意逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间抽象能力以及自学能力，特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题以及创新能力. 正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力，培养学生辩证唯物主义观点。

二、课程内容和学时分配课程内容和学时分配表三、教学建议实施本大纲时，请注意以下几点：1、在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授时数和顺序安排，可作适当调整。

2、作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定理解。

本大纲把“实数理论”作为附录放在最后，建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。

3、本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。

4、本学科分三个学期讲授，第一学期96、第二学期108、第三学期72。

四、理论教学部分第一章函数教学目的与要求本章的教学目的：（1）使学生掌握实数的基本性质和确界原理，建立起实数集确界的清晰概念。

（2）使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见述语。

本章的教学要求是：（1）加强对函数概念的理解，要求理解符号f与 f(x)的意义，掌握函数的几种表示法，特别是分段函数的表示法，会判别一个对应法则是否是一个函数。

数学分析课程教学大纲（Mathematical Analysis ）课程性质：学科基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积分方程、非线性分析总学分：18教学目的与要求：1. 通过本课程的讲授与作业， 应使学生：（1） 对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；（2） 正确理解数学的基本概念，基本掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。

2. 本课程要求总学时数为300学时，其中讲授课约220学时，习题课约80学时。

下面各节标题后所列时数指讲授时数。

3. 本大纲附有课程标准（教学要求），供授课时按学生水平、教学计划实际课时数灵活掌握。

4. 实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化，随时调整教学内容。

一. 实数集与函数（8学时）实数集， Archimedes 性质，区间与邻域。

函数（映射，包括单、满、双射），反函数，复合函数，初等函数，一些特殊类型的函数（奇、偶函数，周期函数，有界函数，单调函数）。

有界数集，确界原理，涉及确界的一些运算，否定。

注：1. “涉及确界的一些运算”指涉及sup(A ∪B ), sup (A + B ), sup(λA )等的一些结果。

2. “否定”指逻辑中关于“和”与“或”、“所有”与“存在”的两个否定法则。

二. 极 限（24学时）收敛数列及其性质，定向发散数列，扩张的实数系。

单调数列的极限，n n n)11(lim +。

闭区间套定理，数集的聚点及聚点定理，数列的极限点与收敛子列定理，数列的Cauchy 准则，*数列的上、下极限。

函数的极限及其性质Heine 定理，单调函数的极限，函数极限的Cauchy 准则，x x x sin lim 0→, x x x)11(lim +∞→, 复合函数的极限，无穷小量、无穷大量及其阶。

注：1. 注意收敛数列与定向发散数列、数列极限与函数极限在处理上的一致性。

《数学分析》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。

本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。

本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。

（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。

1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。

包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。

2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。

包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。