数学分析 重积分的变量替换变量替换公式

本节将给出在具有一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量变换公式(定理21.13)的一般证明.==(,),(,)x x u v y y u v §9 重积分变量变换公式的证明*返回证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理.那么成立关系式ìü1A ¢D ¢C ¢P ¢O ¢2x ¢2A ¢2)(x T Q =2145-图C ¢¢P2A ¢¢1A 1A ¢¢CD2A D ¢¢G ¢其中(,,,)(,,,),P A C A T P A C A ¢¢¢¢=的边界¢D微分中值定理, 存在点使得(,),x x D ¢¢¢Î¶¢¢其中从而由的定义可得()h wm其中k 是与h 及在中的位置无关的常数(这是因¢D ¢D 界,因此和在上也上也有界有界).¢D =(1,2)i a i ()h w 现在来证明引理的结论, 即(1)式成立. 为此为此先证明先证明下面的包含关系:.(6)W D D ¢¢Ì 事实上, 设Z 为中的任意一点. 我们从平行四边形D 在有界闭域上具有一阶连¢¢=12(,)(1,2)i x x i j ¢D 为续偏导数,于是它们与它们的一阶于是它们与它们的一阶偏导数在偏导数在¢D 上有的中心出发,作一射线经过且延伸到无穷. 由¢¢D ¢¢Y Z 于函数与在上有界, 所以是¢¢112(,)x x j ¢¢212(,)x x j ¢D D 一有界区域, 并且它的边界是按段光滑的封闭曲G 线. 因此所作的射线必与相交于某一点.又由G 0Z (4) 式知道从而,W G Ì0.Z W W D ¢¢ÎÌ 因此包含整个线段所以¢¢ W D 0,Y Z ¢¢.Z W D ¢¢Î 这就证明了包含关系(6) 成立.设表示平行四边形中垂直于边的高.下i H ¢¢D ¢¢i PA面分两种情形证明(1)式成立.((),)((),()).T Y Y T Y T Y r r l *¢¢¢¢¢=£¢¢(,)x x h h 其中常数C不依赖于点与的选取, 即与£+=+28()48()()a h W a h h W l m w m() m D所有的¢¢¢Î(,)x x D 一致地成立.¢¢12(,)J x x ¢¢12(,)x x 表示在变换T 之下,面积微元在点的局部伸缩率.下面给出在¢¢==12(,)(1,2)i i x x x i j 具有一阶连续偏导数的一般条件下, 二重积分变量变换公式的证明. 证由于T 是一对一变换, 因而在所设条件下¢D 的按段光滑的边界曲线变换到D 时,其边界曲线也是按段光滑的. 在¢¢12x x 平面上作平行于坐标轴的方格¢D 12x x 网,它是的一个分割. 由变换T ,相应地得到平由(10)式看到, 与一元函数的导数相仿, 函数行列式内的方格D i在上的一个上界. 将它们按下标逐项相加, 得到1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò由(11)式中e 的任意性, 上面两式右边部分相等上面两式右边部分相等，，即得如下变换式成立:注值得注意的是,本节中所有的证明在n 维空间中112212120lim ((,),(,))|(,)|()i i i i i i i h if x x x x J x x j j m D ®¢¢¢¢¢¢¢å1122121212((,),(,)|(,)|d d .D f x x x x J x x x x j j ¢¢¢¢¢¢¢¢¢=òò1212(,)d d Df x x x x òò维立方体、、平行多面体来代替这里的正方只要用n维立方体。

数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。

§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。

二.第二换元法（变量代换法）第一换元法是用凑微分的办法，把一个比较复杂的积分dx x x f )()]([ϕϕ'⋅⎰化成)()]([x d x f ϕϕ⎰再积分，第二换元法则是将积分dx x f ⎰)((看似简单，但是很难积分)用一个适当的变量代换)(t x ϕ=使dt t t f dx x f )()]([)(ϕϕ'⋅=⎰⎰却容易积分。

再将结果中的t 变回))((1x t -=ϕx .例3.20求dx x x ⎰sin .解令t x =，2t x =，tdt dx 2=，则dx x x ⎰sin c x c t dt t tdt t t +-=+-==⋅=⎰⎰cos 2cos 2sin 22sin .例3.21计算dx a x ⎰-221,(0>a ).解令t a x sec =，20π<<t .dt t ta t ad dx )sin (cos 1)cos 1(2-⋅-⋅==∴原式⎰⋅=dt tt a t a 2cos sin tan 11|tan sec |ln cos 1c t t dt t++==⎰c a x x c aa x a x +-+=+-+=||ln ||ln 22122.类似可算出dx ax ⎰+221,(0>a ).令t a x tan =，tdta dx 2sec =原式⎰⎰++==⋅=12|tan sec |ln cos 1sec cos c t t dt ttdt a a t c a x x c a x a a x +++=+++=22122ln ||ln ()c a x x +++=22ln .（为何不要绝对值？）例3.22求.)(12322dx x a ⎰+解令ax t tdt a dx t a x =⇒=⇒=tan ,sec ,tan 2.)(1csc ..sin 1cos 1sec sec 1)]tan 1([sec )(122223222222322232222322c x a a x dx x a x x a t xa ctgt c t a tdt a dt t t a dx t a t a dx x a ++=+⇒+=∴=+===+=+⎰⎰⎰⎰⎰例2.23求⎰-xx dx 2.解⎰-x x dx 2⎰---=41)21()21(2x x d （利用例3.20的结果）c x x +--+-=41)21()21(ln 2c x x x +-+-=2)21(ln .例3.24计算.922dx x x ⎰-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin )(cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c xx x x c x x x x c t t t dt t dt tdt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰=画三角形例3.25求⎰-dx x a 22，（)0>a .解∵222)(1a x a x a -=-∴可令例3．29dxxe x x x ⎰++)1(1令,)1(,1dx e x dt t xe x x +==+则c xexe c t t dt t t tt dt xe xe dx e x dx xe x x x xx x x x ++=+-=--=-=++=++∴⎰⎰⎰⎰1ln 1ln 111()1()1()1()1(1例3．30⎰-+221)1(x x xdx 令,sin t x =则tdt dx cos =c xx c t t t d tt t t d dt t t t t tdt t xx xdx +---+-=+--+-=-++-=--=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰22222221212ln 42)]cos 2ln()cos 2[ln(42cos )cos 21cos 21(221cos 2cos sin 1sin cos )sin 1(cos sin 1)1(例3．31计算.922dx xx ⎰-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin )(cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c x x x x c x x x x c t t t dt t dt tdt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰=画三角形例3．32⎰+dxx x )1(1tdtdx t x t x 2,,2=∴==则令.22112)1(2)1(122c x tg arc c tgt arc dt t dt t t t dx x x +=+=+=+=+⎰⎰⎰例3．33⎰+dx x x )1(1.2,11,,,022tdt dx t x t x t x x =+=+∴==>则令当.1ln 21ln 2)1(2)1(2)1(1222c x x c t t dt t dt t t t dx x x +++=+++=+=+=+⎰⎰⎰.2,11,,,122tdt dx t x t x t x x -=-=+-==--<则令当c x x dx x x +--+--=+⎰1ln 2)1(1§5.4分部积分法∵)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '⋅+⋅'='⋅∴)()(])()([)()(x u x v x v x u x v x u '⋅-'⋅='⋅.两边积分[]dx x u x v dx x v x u dx x v x u ⎰⎰⎰'⋅-'⋅='⋅)()()()()()(dx x u x v dx dxx v x u d ⎰⎰'⋅-⋅=)()()]()([.即)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ⎰⎰-⋅=此积分公式叫分部积分公式.例4.1⎰⎰⎰-==dx x x x x d x dx x x sin sin sin cos c x x x ++=cos sin ,其中x x u =)(,x x v sin )(=.例4.2求⎰xdx x ln .解⎰⎰⎰-⋅==↑↑)(ln 22)(ln )2(ln ln 222x d x x x x d x xdx x vu ⎰⋅-=dx x x x x 121ln 222c x x x +-=2241ln 2c x x +-=)21(ln 22.例4.3⎰+-dx e x x x )23(2⎰↑↑+-=vu x e d x x )23(2⎰+--+-=)23()23(22x x d e e x x x x ⎰↵--+-=dx e x e x x x x )32()23(2 =c e x x x ++-=)75(2.*例4.4vdx x u ↑⎰ arctan ⎰-⋅=)(arctan arctan x xd x x ⎰++-⋅=)1(1121arctan 22x d x x x c x x x ++-⋅=)1ln(21arctan 2.*例4.5x x x x de x x e x d e dx x e ⎰⎰⎰+-=-=cos cos cos sin )(sin cos x d e x e xx ⎰+-=xdx e x e x e x x x sin sin cos ⎰-+-=∴x e x e dx x e x x x cos sin sin 2-=⎰.∴c x x e dx x e x x +-=⎰)cos (sin 21sin .例4.6试求积分⎰dx x )ln (sin .c x x x I I x x x dx x x x dx xx x x x I +-=∴--=-=-=⎰⎰)]cos(ln )[sin(ln 2)]cos(ln )[sin(ln )cos(ln )sin(ln 1)ln (cos )sin(ln 原式例4.7求dx x e x ⎰+22)1(tan .解原式⎰++=dx x x e x )1tan 2(tan 22⎰⎰+=dxx e xdx e x x tan 2sec 222⎰⎰+=dx x e x d e x x tan 2tan 22⎰⎰+-=dx x e xde x e xx x tan 2tan tan 222⎰⎰+-=dx x e xdx e x e x x x tan 2tan 2tan 222c x e x +=tan 2.*例4.8⎰⎰⎰--=-dx xx xd dx x x 221)1(ln 1ln ⎰⎰-⋅+-=dx x dx x x x x 2111ln 1c x x+-=ln 1.*例4.9⎰dx x x 2sin sin ln ⎰-=)cot (sin ln x d x ⎰+⋅-=)sin (ln cot sin ln cot x xd x x⎰+⋅-=xdx x x x x cos sin cot sin ln cot ⎰+⋅-=dx x x x x 22sin cos sin ln cot ⎰-+⋅-=dx xx x x 22sin sin 1sin ln cot c x x x x +--⋅-=cot sin ln cot .例4.10.tgxdx arc x x ⎰+221.)1ln(21)(21)(211)(211)111(2222222c x arctgx xarctgx arctgx dx x x xarctgx arctgx d xdarctgx arctgx x dx xarctgx arctgxdx dx tgx arc x ++---+-=--⋅=+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4．11.dxe ectg arc x x ⎰c e x e e tg arc c t t t t tg arc dt t t t t t tg arc dt t t t t tg arc t d t tg arc dt tt tg arx dx e e ctg arc dt t dx t e x x x x x x +++--=+++--=+---=+-+-=-=====⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(21)1ln(21ln )1(1[)1(11,1,22222原式则令例4．12.dx x x x ⎰--2)ln (ln 1.ln ln 11)ln )(1()ln 1()1()1(1)ln )(1()ln 1(ln 1)1(ln )ln )(1()ln 1(ln 1)ln 1(122c x x x c x x x x x x x d x x x x x x dx xx x x x x x x x x x x d x x x +-=+-----=--+---=-⋅------=---=⎰⎰⎰作业P.2382(1,4,6,8,15,16);3(3,5,9);4(3,7,9,11,15,19).§5.5简单有理函数的积分法例5.1⎰⎰+--=--=-c ax a x a x d dx a x 1)()()(122.例5.2⎰⎰---=+-dx x x dx x x )1121(2312c x x c x x +--=+---=|12|ln |1|ln |2|ln .例5.3dx x x x dx x x x ⎰⎰-+-+=-++545)42(23541322⎰⎰-+--+-+=54554)54(23222x x dx x x x x d ⎰-+--+=545|54|ln 2322x x dx x x ⎰--++-+=dx x x x x )1151(65|54|ln 232c x x x x +--++-+=|1|ln 65|5|ln 65|)1)(5(|ln 23.例5.4c x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 21)11(112223例5.5⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435⎰-+-++=dx x C x B x A ))2(21(2⎰⎰⎰---++-=dx x dx x dx x 2)2(121321132c x x x +-+-++-=21|2|ln 32|1|ln 32c x x x +-+--=21|12|ln 32.*例5.6⎰⎰⎰+-+++=+-+=+dx x x C Bx x A dx x x x x dx )422()42)(2(18223⎰⎰+---+=dx x x x x dx 42412121212⎰⎰+-++-+--+=424142)42(241|2|ln 121222x x dx x x x x d x ⎰+-++--+=4241|42|ln 241|2|ln 12122x x dx x x x ⎰+--++--+=222)3()1()1(41|42|ln 241|2|ln 121x x d x x x ⎰+-++--+=])3(1[3]3/)1[(41|42|ln 241|2|ln 12122x d x x xc x x x x +-++--+=31arctan 341|42|ln 241|2|ln 1212*例5.7⎰⎰⎰++-++++=++-dx x x x x x x d dx x x x 194117194)194(3194562222⎰+++-++=222)15()2()2(17|194|ln 3x x d x x ⎰+++-++=]152(1[15]15/)2[(17|194|ln 322x x d x x c x x x ++-++=152arctan 1517|194|ln 32.例5.8⎰+---+dxx x x x x )1)(1(1222先利用部分分式原式⎰⎰+----=dxx x x dx x 13122⎰⎰+-++-+---=43)21(251)1(21|1|ln 2222x dxx x x x d x ⎰-+-++---=])2321(1[23]23)21[(25|1|ln 21|1|ln 222x x d x x x cx x x x +-++---=2321arctan 35|1|ln 21|1|ln 22cx x x x +-++---=312arctan 35|1|ln 21|1|ln 22综合题举例例1．dxx x x⎰+cos sin sin 解法一.cos sin sin cos sin )cos (sin (cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin dx xx x dx x x x x d x dx xx x dx dx xx x x x dx x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-++-=+-=+-+=+导数）在分子上造一个分母的=+∴⎰dx x x x cos sin sin )cos sin )cos (sin (21dx x x x x d x ⎰++-c x x x ++-=)cos sin ln (21解法二dx x x dx x x x ⎰⎰+=+)4sin(sin 21cos sin sin πc x x x c t t dt t t t dt t t ++-=+-=-=-=⎰⎰)cos sin ln (21)sin ln (21sin cos sin 21sin )4sin(211π解法三dx xx x ⎰+cos sin sin=+-+++=+-++=+⋅+=+⋅+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dctgx x ctg ctgx dctgx x ctg dctgx ctgx dctgx x ctg ctgx ctgx dctgx xctg ctgx dx x ctg x ctgx dx ctgx 22222212111211121)1111(2111111csc 1111例2求dx xx ⎰sin cos 3c x x c u u du u u x d x x dx x x u x +-=+-=-=⋅=⎰⎰⎰=2sin sin ln 2ln 1sin sin cos sin cos 222sin 23解例3求dx x x⎰+2sin 12sin ..)sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1sin sin 2sin 1cos sin 2sin 12sin 222222c x x d xxx xd dx x x x dx x x ++=++=+=+=+⎰⎰⎰⎰解法一.)22123ln()2cos 2123(2cos 2123122cos 112sin sin 12sin 2c x x d x dx x x dx x x +-=--=-+=+⎰⎰⎰解法二例4求dx x x e x 22)11(⎰+-.1)1(2)]11(1[)1(21)1(21)1(21)11(2222222222222222C xe dx x xe x d e x e dx x xe x de dx x xe dx x e dx x x x e dx x x e xxx x x x x x x x ++=+-+⋅-+=+-+=+-+=++⋅=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-解例5求dx x x arctgx ⎰+)1(22解arctgxdx xx dx x x arctgx )111()1(2222+-=+⎰⎰c arctgx x x x arxtgx arctgx dx xx x x arxtgx arctgx x x dx x arxtgx arctgx arctgxd x arxtgxd dx x arctgx dx x arctgx +-+-+-=-+-+-=-++-=--=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222222)(211ln 21ln )(21)11()(21])1([)()1(1例6求.),1max(2dx x ⎰解).,(.1,;1,1),1max()(22+∞-∞∈⎩⎨⎧>≤==C x x x x x f 设其原函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+-<+=>≤-<=⎰⎰⎰.1,311,1,31.1,1,1,)(3321322x c x x c x x c x x dx x x dx x dx x x F.32,320,32,32311131),(lim )(lim );(lim )(lim 1),,()(132212312,231111-===-=+=+-=+-+=+==±=∴+∞-∞∈-+-+-→-→→→c c c c c c c c c c c x F x F x F x F x C x F x x x x 得取即即处有在 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-<-=1,32311,1,3231)(33x x x x x x x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+-<+-=+=∴⎰.1,32311,1,3231)(),1max(332x c x x c x x c x c x F dx x 例7求dx x b x a ⎰++)sin()sin(1..])sin()cos()sin()cos([)sin(1)sin()sin()sin()cos()cos()sin()sin(1)sin()sin()]()sin[()sin(1)sin()sin(1dx a x a x b x b x b a dx b x a x b x a x b x a x b a dx x b x a b x a x b a dx x b x a ++-++⋅-=++++-++⋅-=+++-+⋅-=++⎰⎰⎰⎰解例8⎰-+221)1(x x xdx 令,sin t x =则tdtdx cos =c x x c t t tt d t t d t d tt t t d dt t t t t tdt t xx xdx+---+-=+--+-=---++-=-++-=--=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222221212ln 42)]cos 2ln()cos 2[ln(42]cos 2)cos 2(cos 2)cos 2([221cos )cos 21cos 21(221cos 2cos sin 1sin cos )sin 1(cos sin 1)1(。

重积分的积分方法和积分公式重积分是高等数学中的重要概念，也是应用数学和物理学中使用最广泛的数学工具之一。

重积分包括二重积分和三重积分两种形式，其积分方法和积分公式对于求解各种物理量的大小、均值、中心、惯性矩等、数学物理问题的衍生、傅里叶级数的变换等都有着非常重要的应用价值。

1.二重积分的积分方法在二维空间内，设有一函数$f(x,y)$，在有界区域$D$上有定义，那么$f(x,y)$在$D$上的二重积分可以通过将$D$分成若干个无穷小的小矩形，然后对每个小矩形求面积乘上$f(x,y)$在矩形内的均值得出，公式如下：$\iint_Df(x,y)dxdy=\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i, y_i) \Delta x_i \Delta y_i$这里，$\Delta x$和$\Delta y$表示$x$和$y$在区域$D$上的最小划分，$n$表示小矩形的个数，而$f(x_i,y_i)$则为小矩形中心点$(x_i,y_i)$处的函数值。

不同的小矩形划分方式会影响到二重积分的精确度，一种常用的划分方式是网格划分方法，即将区域D分成若干格子，然后在每个格子中取其中心点作为较准确的位置来求积分。

2.二重积分的积分公式(1) Fubini定理：对于在矩形域$D$上的二重积分，其积分范围可以交换。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy=\int_{c}^ {d}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx$(2) 极坐标变换：若对于$f(x,y)$在极坐标下的表示为$f(r,\theta)$，则对于圆域$D$有以下公式成立。

$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R(\theta)}f(r\c os\theta,r\sin\theta)rdr$其中，$R(\theta)$表示圆$D$在极坐标系下，相对于$\theta$的极径取值范围。