数学分析 重积分

第二十一章 重积分9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 分析：可分四步证明(1)对任意(u 0,v 0)∈int △, 任意ε>0, 存在(u 0,v 0)的邻域G, 当正方形I ⊂G 且(u 0,v 0)∈I 时, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(+εμ(I).(2)对任意正方形I ⊂ int △, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(.(3)μ(D)≤⎰⎰∆dudv v u J ),(.(4)μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.证：(1)设(u 0,v 0)∈int △, ∀ε>0, 取正数η<|J(u 0,v 0)|满足 (1+η)2|J(u 0,v 0)|<|J(u 0,v 0)|-η+ε.∵|J(u,v)|在点(u 0,v 0)上连续, ∴∃(u 0,v 0)的邻域G 1⊂ int △, 使得 当(u,v)∈G 1时, |J(u,v)|>|J(u 0,v 0)|-η. 定义映射 L 1⎩⎨⎧-+-+=-+-+=))(,())(,(),(),(ˆ))(,())(,(),(),(ˆ0000000000000000v v v u y u u v u y v u y v u yv v v u x u u v u x v u x v u xv u v u ，即L(u,v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000),(),(),(),(ˆ),(ˆv v u u v u J v u y v u x v u y v u xT ，其中 J T (u 0,v 0)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛),(),(),(),(00000000v u y v u y v u x v u x v u v u . ∵x(u,v), y(u,v)在(u 0,v 0)处可微, 所以|x(u,v)-xˆ(u,v)|=|x(u,v)-x(u 0,v 0)-x u (u 0,v 0)(u-u 0)-x v (u 0,v 0)(v-v 0)|=o (ρ)(ρ→0);|y(u,v)-yˆ(u,v)|=|y(u,v)-y(u 0,v 0)-y u (u 0,y 0)(u-u 0)-y v (u 0,v 0)(v-v 0)|=o (ρ)(ρ→0), 其中设(J T (u 0,v 0))-1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a , 令M=|a|+|b|+|c|+|d|. ∃(u 0,v 0)的邻域G ⊂G 1, 使得当(u,v)∈G 时, |x(u,v)-xˆ(u,v)|<M22ηρ, |y(u,v)-yˆ(u,v)|<M22ηρ.任取正方形I ⊂int △, 满足(u 0,v 0)∈I, 并设I 的边长为β, 任取(x(u,v),y(u,v))∈T(I), 其中(u,v)∈I.设(u 1,v 1)∈L -1(x(u,v),y(u,v)), 即xˆ(u 1,v 1)=x(u,v), y ˆ(u 1,v 1)=y(u,v), ∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v v u u v u J v u y v u y v u x v u x T 11001111),(),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ, ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ),(ˆ)),((1111111110011v u y v u y v u x v u x d c b a v u y v u y v u x v u x v u J v v u u T .∈I, (u 0,v 0)∈I, 从而β, 于是|u 1-u|=|a(),(ˆ),(ˆ11v u x v u x-)+b(),(ˆ),(ˆ11v u y v u y -)| =|a(),(ˆ),(v u xv u x -)+b(),(ˆ),(v u y v u y -)| ≤|a||),(ˆ),(v u xv u x -|+|b||),(ˆ),(v u y v u y -| ≤|a|M22ηρ+|b|M22ηρ≤|a|M2ηβ+|b|M2ηβ≤2ηβ. 同理|v 1-v|≤2ηβ. 设I 1是与I 同中心的正方形，边长为(1+η)β, 从而(u 1,v 1)∈I 1, 于是 T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))=L(u 1,v 1)∈L(I 1), 即有T(I)⊂L(I 1). 设I 1的两邻边向量为l 1,l 2, 由于L 是仿射变换, L(I 1)是邻边向量为L(l 1), L(l 2)的平行四边形，于是 μ(L(I 1))=|L(l 1)×L(l 2)|=|J(u 0,v 0)||l 1×l 2|=|J(u 0,v 0)|μ(I 1). 因此 μ(T(I))≤μ(L(I 1))=|J(u 0,v 0)|μ(I 1)=|J(u 0,v 0)|(1+η)2μ(I).另一方面，⎰⎰Idudv v u J ),(≥(|J(u 0,v 0)|-η)μ(I), 因此μ(T(I))≤|J(u 0,v 0)|(1+η)2μ(I)≤(|J(u 0,v 0)|-η+ε)μ(I)≤⎰⎰Idudv v u J ),(+εμ(I).(2)若有正方形I ⊂int △, 使μ(T(I))-⎰⎰Idudv v u J ),(=δ>0, 则将I 等分为4个小正方形，其中必有一个(记为I 1), 使μ(T(I 1))-⎰⎰1),(I dudv v u J ≥4δ. 再将I 1等分为4个小正方形, 中必有I 2, 使μ(T(I 2))-⎰⎰2),(I dudv v u J ≥24δ. 依此进行可得正方形序列I 1⊃I 2⊃…, 使 μ(T(I n ))-⎰⎰nI dudv v u J ),(≥n 4δ….由闭域套定理知存在(u 0,v 0)∈ ∞=1n n I ⊂int △.于是∀ε>0, ∃(u 0,v 0)的开邻域G ⊂int △满足(1)中结论, 又当n 充分大时， I n ⊂G, ∴nI u 4)(ε=εμ(I n )≥μ(T(I n ))-⎰⎰nI dudv v u J ),(≥n4δ, 即εμ(I)≥δ>0, 令ε→0, 即有0≥δ>0, 矛盾！ ∴对任意正方形I ⊂ int △, μ(T(I))≤⎰⎰Idudv v u J ),(.(3)用平行于坐标轴的直线将uv 平面分割成大小相等的闭正方形， 假定与int △交集不空的正方形为{ I 1, I 2,…, I n }, 其中 完全在int △内的正方形为{ I 1’, I 2’,…, I s ’}, 不完全在int △内的正方形为{ I 1”, I 2”,…, I t ”}.作△的分割T △={I i ∩△|i=1,2,…,n}和D 的分割T D ={T(I i ∩△)|i=1,2,…,n}. 由于T 在△上的一致连续性，当∆T →0时, D T →0. 又∂△⊂ ti i I 1)(=∆''及∂D ⊂ ti i I 1)(=∆''. 定义△上函数φ(u,v)=⎩⎨⎧∆∂∈∆∈),(0int ),(1v u ，v u ，.∵φ(u,v)仅在零面积集∂△上不连续, ∴ φ(u,v)在△上可积.又∑=→∆∆ni i i T I 1)(lim μω=0, 其中ωi 为φ(u,v)在I i ∩△上的振幅, ∵I i ”不完全在int △内, 且至少有一个内点, ωi ”=1.而I i ’完全在int △内, ωi ’=0. ∴∑=→∆''∆t i i T I 10)(lim μ=∑=→∆∆ni i i T I 1)(lim μω=0. 同理可证∑=→∆''ti i T I T D1))((lim μ=0. 设|J(u,v)|在△上的上确界为M, 则当∆T →0时, 0≤⎰⎰∆dudv v u J ),(-∑⎰⎰='s i I i dudv v u J 1),(=∑⎰⎰=∆''ti I i dudv v u J 1),( ≤∑=∆''ti iI M 1)( μ→0.于是有μ(D)=∑=→'si i T I T D10))((lim μ≤∑⎰⎰='→si I T i Ddudv v u J 10),(lim =⎰⎰∆dudv v u J ),(. (4)记J 0(x,y)=),(),(y x v u ∂∂, 以T -1代替T, I i ’代替D, T(I i ’)代替△代入上式，并 由积分中值定理, 存在(u i ’,v i ’)∈I i ’, 使得μ(I i ’)=μ(T -1(T(I i ’))) ≤⎰⎰')(0),(i I T dxdy y x J=|J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|μ(T(I i ’)), i=1,2,…,s.由|J(u,v)|在△上可积及|J(u,v)||J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|=1知⎰⎰∆dudv v u J ),(=∑=→'''∆si iiiT I v u J 1)(|),(|lim μ≤∑=→''∆si i i T v u J 10|),(|lim |J 0(x(u i ’,v i ’),y(u i ’,v i ’))|μ(T(I i ’))=∑=→'∆si i T I T 1))((lim μ=μ(D). 综合(3)可得μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.。

重积分的计算方法及应用重积分是多元函数积分的一种形式，应用广泛。

本文将介绍重积分的计算方法和应用。

一、重积分的计算方法1. 重积分的定义重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分，它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。

假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R，那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。

2. 重积分的计算方法重积分的计算方法与一元函数积分类似，可以使用曲线积分或者换元法进行求解。

特别的，对于二元函数f(x,y)，可以通过极坐标系进行重积分的计算，在极坐标系中，面积可以用rdrdθ表示，积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。

如果要计算三元函数的重积分，则需要使用球坐标系，积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。

二、重积分的应用重积分在实际生活中有许多应用，比如：1. 计算物体的质量和重心物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值，因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。

同样的，对于一个平面图形，可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。

2. 计算物体的体积重积分还可以用于计算物体的体积。

假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S，那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。

3. 计算动量和角动量在物理学中，物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。

物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积，因此可以通过对速度的积分来计算动量。

同样的，物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积，因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。

4. 计算电荷量和电场强度在电磁学中，电荷量可以通过积分来计算。

同样的，电场强度也可以通过积分来计算。

第二十一章 重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。

第二十一章 重积分 6重积分的应用一、曲面的面积问题：设D 为可求面积的平面有界区域，函数f(x,y)在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z=f(x,y), (x,y)∈D 所确定的曲面S 的面积.分析：对区域D 作分割T ，把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). 曲面S 同时也被分割成相应的n 个小曲面片S i (i=1,2,…,n). 在每个S i 上任取一点M i , 作曲面在这一点的切平面πi , 并 在πi 上取出一小块A i , 使得A i 与S i 在xy 平面上的投影都是σi . 现在M i 附近，用切平面A i 代替小曲面片S i . 则当T 充分小时，有 △S=∑=∆ni i S 1≈∑=∆ni i A 1, 这里的△S, △S i , △A i 分别表示S, S i 和A i 的面积.∴当T →0时，可用和式∑=∆ni i A 1的极限作为S 的面积.建立曲面面积计算公式：∵切平面πi 的法向量就是曲面S 在点M i (ξi ,ηi ,ζi )处的法向量， 记其与z 轴的夹角为γi , 则|cos γi |=),(),(1122i i yi i xf f ηξηξ++.∵A i 在xy 平面上投影为σi , ∴△A i =iiγσcos ∆=i i i y i i x f f σηξηξ∆++),(),(122. 又和数∑=∆ni i A 1=∑=∆++ni i i i y i i x f f 122),(),(1σηξηξ是连续函数),(),(122y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和，∴当T →0时，有△S=∑=→∆++ni i i i y i i x T f f 1220),(),(1lim σηξηξ=⎰⎰++Dy x dxdy y x f y x f ),(),(122, 或△S=∑=→∆ni i iT 1cos limγσ=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(,其中),cos(∧z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦.例1：求圆锥z=22y x +在圆柱体x 2+y 2≤x 内那一部分的面积. 解：由x 2+y 2≤x, 得D={(r,θ)|0≤r ≤21, 0≤θ≤2π}, 又z x =22y x x +=r r θcos =cos θ, z y =22yx y+=r r θsin =sin θ, ∴△S=⎰⎰++Dyxdxdy z z 221=⎰⎰πθ202102rdr d =π42.例2：设平面光滑曲线的方程为y=f(x), x ∈[a,b] (f(x)>0). 求证：此曲线绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为： S=⎰'+ba dx x f x f )(1)(22π.证：由上半旋转面方程为z=22)(y x f -, 得 z x =22)()()(yx f x f x f -', z y =22)(yx f y --. 即有221yxz z ++=2222222)()()()(1yx f y y x f x f x f -+-'+=2222)())(1)((yx f x f x f -'+. ∴S=⎰⎰--'+b a x f x f dy y x f x f x f dx )()(222)()(1)(2=⎰⎰-'+b a x f dyy x f dx x f x f )(0222)(1)(1)(4=⎰⎰---'+ba x f x yf d x f y dx x f x f )(01222))(()(11)(1)(4=⎰⎰-'+b a dt tdx x f x f 102211)(1)(4=⎰'+b adx x f x f )(1)(22π.注：若空间曲面S 由参量方程：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D 确定, 其中x(u,v), y(u,v), z(u,v)在D 上具有连续一阶偏导数，且),(),(v u u y x ∂,),(),(v u u z y ∂,),(),(v u u x z ∂中至少有一个不等于0，则 曲面S 在点(x,y,z)的法线方向数为⎝⎛∂),(),(v u u z y ,),(),(v u u x z ∂,⎪⎪⎭⎫∂),(),(v u u y x , 则 它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为：),cos(∧z n =222),(),(),(),(),(),(),(),(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂v u u y x v u u x z v u u z y v u u y x=2222222)())((),(),(v u v u v u vvvuuuz z y y x x z y x z y x v u u y x ++-++++∂=21),(),(FEG v u u y x -∂,其中E=222u u u z y x ++,G=222v v v z y x ++,F=v u v u v u z z y y x x ++.当),(),(v u u y x ∂≠0，则有△S=⎰⎰∧Dz n dxdy ),cos(=dudv z n v u u y x D ⎰⎰'∧∂),cos(),(),(=dudv F EG D ⎰⎰'-2.例3：求球面上两条纬线和两条经线之间 的曲面的面积(图中阴影部分). 解：设球面方程为：(R 为球的半径). x=Rcos ψcos φ,y=Rcos ψsin φ, z=Rsin ψ.由E=222ψψψz y x ++=R 2, G=222ϕϕϕz y x ++=R 2cos 2ψ, F=ϕψϕψϕψz z y y x x ++=0， 得2F EG -=R 2cos ψ. ∴△S=⎰⎰2121cos 2ψψϕϕψψϕd R d =R 2(φ2-φ1)(sin ψ2-sin ψ1).二、质心引例：设V 是密度函数为ρ(x,y,z)的空间物体，ρ(x,y,z)在V 上连续. 为求得V 的质心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则小块v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 若把每一小块看作质量集中在(ξi ,ηi ,ζi )的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替. 由于质点系的质心坐标公式为：∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v x 11),,(),,(ζηξρζηξρξ, ∑∑==∆∆=ni iiiini iiiiin v v y 11),,(),,(ζηξρζηξρη, ∑∑==∆∆=n i iiiini ii i i in v v z 11),,(),,(ζηξρζηξρζ.当T →0时，n x , n y , n z 的极限x , y , z 就定义为V 的质心坐标，即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x x x ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x y y ),,(),,(ρρ, ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdVz y x dVz y x z z ),,(),,(ρρ.当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有⎰⎰⎰∆=VxdV Vx 1, ⎰⎰⎰∆=VydV Vy 1, ⎰⎰⎰∆=VzdV Vz 1, 这里△V 为V 的体积.又密度分布为ρ(x,y)的平面薄板D 的质心坐标为：⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x x x σρσρ),(),(, ⎰⎰⎰⎰=DDd y x d y x y y σρσρ),(),(. 当平面薄板的密度均匀时，即ρ为常数时，则有⎰⎰∆=Dxd D x σ1, ⎰⎰∆=D yd D y σ1, △D 为薄板D 的面积.例4：求密度均匀的上半椭球体的质心.解：设椭球体由不等式a x 2+by 2+c z 2≤1表示.由对称性知x =0, y =0, 又由ρ为常数，得z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdVdVz ρρ=abc abc ππ3242=83c .三、转动惯量质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即J=mr 2.设ρ(x,y,z)为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续. 对V 作分割T ，在属于T 的每一小块v i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi )，则v i 的质量可用ρ(ξi ,ηi ,ζi )△v i 近似代替. 当以质点系{(ξi ,ηi ,ζi ), i=1,2,…, n}近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量为：i i i i ni i i x v J n∆+=∑=),,()(122ζηξρζη.当T →0时，上述积分和的极限就是物体V 对于x 轴的转动惯量 J x =⎰⎰⎰+VdV z y x z y ),,()(22ρ. 类似地,V 对于y 轴与z 轴的转动惯量分别为：J y =⎰⎰⎰+VdV z y x x z ),,()(22ρ, J z =⎰⎰⎰+VdV z y x y x ),,()(22ρ.同理，V 对于坐标平面的转动惯量分别为：J xy =⎰⎰⎰VdV z y x z ),,(2ρ, J yz =⎰⎰⎰VdV z y x x ),,(2ρ, J xz =⎰⎰⎰VdV z y x y ),,(2ρ.平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为：J x =⎰⎰Dd y x y σρ),(2, J y =⎰⎰Dd y x x σρ),(2. 以及有J l =⎰⎰Dd y x y x r σρ),(),(2,其中l 为转动轴, r(x,y)为D 中点(x,y)到l 的距离函数.例5：求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量. 解：设圆环D 为R 12≤x 2+y 2≤R 22, 密度为ρ, 则D 中任一点(x,y)与转轴的距离平方为x 2+y 2, 于是转动惯量为：J=⎰⎰+Dd y x σρ)(22=⎰⎰21320R R dr r d πθρ=2πρ(R 24-R 14)=例6：求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量.解：设D 为x 2+y 2≤R 2, 密度为ρ, D 内任一点(x,y)与y 轴的距离为|x|, 于是转动惯量为：(m 为圆盘质量) J=⎰⎰Dd x σρ2=⎰⎰Rdr r d 02320cos θθρπ=⎰πθθρ2024cos 4d R =44R ρπ=42mR .例7：设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解：设球体由x 2+y 2+z 2≤R 2表示，密度为k 222z y x ++, k 为比便常数. 切平面方程为x=R, 则球体对于平面x=R 的转动惯量为： J=k ⎰⎰⎰-++VdV x R z y x 2222)(=k ⎰⎰⎰-ππϕθϕϕθ003220sin )cos sin (Rdr r r R d d=kR 6⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππϕθϕθϕθ023220cos sin 61cos sin 5241d d =⎰πθθ2026cos 911d kR =911k πR 6.四、引力求密度为ρ(x,y,z)的立体对立体外质量为1的质点A 的引力.设A 的坐标为(ξi ,ηi ,ζi )，V 中点的坐标用(x,y,z)表示. V 中质量微元dm=ρdV 对A 的引力在坐标轴上的投影为 dF xyz其中K 为引力系数， r=222)()()(ζηξ-+-+-z y x 是A 到dV 的距离，于是 力F 在三个坐标轴上的投影分别为： F x =K ⎰⎰⎰-VdV r x ρξ3, F y =K ⎰⎰⎰-V dV r y ρη3, F z =K ⎰⎰⎰-VdV r z ρζ3, 所以F=F x i+F y j+F z k.例8：设球体V 具有均匀的密度ρ, 求V 对球外一点A(质量为1)的引力(引力系数为k).解：设球体为x 2+y 2+z 2≤R 2，球外一点坐标为(0,0,a) (R<a). 则F x =F y =0,F z =k ⎰⎰⎰-++-V dV a z y x a z ρ2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-++--zD R R a z y x dxdydz a z 2/3222])([)(, 其中D z ={(x,y)|x2+y2≤R 2-z 2}. 运用极坐标计算得： F z =k ρdr a z r rd dz a z z R RR ⎰⎰⎰---+-2202/32220])([)(πθ =2πk ρ⎰-+----R R dz aaz R a z )21(22=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-⎰-R R dz a az R R a a az R a R 22222222212= 2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----+---⎰⎰--RRRRaz d a az R a R a az d a az R a R )2(214)2(241222222222=2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-----RRRRa az R a R a a az R a R 22222322222)2(612 =2πk ρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++----222233)(6)()(2a R a R a a R R a R=2πk ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++-232332a R R a R R R =2334a R k ρπ-. (注：z ≤R<a)习题1、求曲面az=xy 包含在圆柱x 2+y 2=a 2内那部分的面积.解：∵z x =a y, z y =ax , D={(r,θ)|0≤r ≤a, 0≤θ≤2π}, ∴曲面面积为： S=⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ddxdy a x a y 221=⎰⎰+a dr a r r d 022201πθ=)122(322-a π.2、求锥面z=22y x +被柱面z 2=2x 所截部分的曲面面积. 解：且面在xy 平面的投影区域为：D={(r,θ)|0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, 且z x =22yx x +, z y =22yx y +, ∴曲面面积为：S=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ddxdy y x y y x x 2222221=⎰⎰10202rdr d πθ=π2.3、求下列均匀密度的平面薄板质心：(1)半椭圆2222by a x +≤1, y ≥0；(2)高为h, 底分别为a 和b 的等腰梯形.解：(1)设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.y =⎰⎰⎰⎰DDd yd σρσρ=⎰⎰⎰⎰DDd yd σσ=⎰⎰Dyd ab σπ2=dr r ab d ab ⎰⎰πθθπ122sin 2=π34b . (2)不妨设a 为下底，以下底中点为原点建立直角坐标系，则 D={(x,y)|l 1(y)≤x ≤l 2(y),0≤y ≤h}.设质心位置为(x ,y ), 由对称性得x =0.又等腰三角形的面积为2)(hb a +, ∴y =⎰⎰+D yd h b a σ)(2=⎰⎰+h y l y l dx ydy h b a 0)()(21)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+--+h ydy a h y h a b a h y h b a h b a 02)(22)(2)(2=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+h ydy a h y h b a h b a 0)()(2=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+h dy by y h b a h b a 02)(2=h b a a b )(32++. 其中：l 1(y): x=2)(2a h y h a b ---; l 2(y): x=2)(2ah y h b a +--.4、求下列均匀密度物体的质心.(1)z ≤1-x 2-y 2, z ≥0；(2)由坐标面及平面x+2y-z=1所围的四面体. 解：(1)设质心为(x ,y ,z ), 由对称性x =y =0, 应用柱面坐标变换有,z =⎰⎰⎰⎰⎰⎰VVdV dV z ρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--221020110201r r dz r d r d zdz r d r d ππθθ=dr r r dr r r )1()1(212102210--⎰⎰=31. (2)设质心为(x ,y ,z ),∵V=⎰⎰⎰VdV =121， ∴x =⎰⎰⎰--+21001211x y x dz dy xdx V =⎰⎰---2101)21(12x dy y x xdx =⎰-1024)1(12dx x x =41. y =⎰⎰⎰--+yy x dz dx ydy V 210122101=⎰⎰---ydx x y ydy 210210)21(12=⎰-21022)21(12dy y y =81. z =⎰⎰⎰--+yy x zdz dx dy V21012211=⎰⎰--+-ydx y x dy 2102210)12(6=⎰--21033)21(6dy y =41-.5、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量： (1)半径为R 的圆关于其切线的转动惯量；(2)边长为a 和b, 且夹角为φ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量.解：(1)设切线为x=R, 密度为ρ.则对任一点P(x,y)∈D, P 到x=R 的距离为R-x ，从而转动惯量 J=ρ⎰⎰-Dd x R σ2)(=ρ⎰⎰+-Rdr r Rr R r d 022220)cos cos 2(θθθπ=ρ⎰+-πθθθ2024)cos 41cos 3221(d R= R 4. (2)设密度为ρ. 以底边为x 轴，左端点为原点，则转动惯量 J=⎰⎰Dd y σ2=ρ⎰⎰+by y a dx dy y ϕϕϕcot cot sin 02=3sin 33ϕρb a .6、计算下列引力：(1)均匀薄片x 2+y 2≤R 2, z=0对于轴上一点(0,0,c) (c>0)处的单位质量的引力；(2)均匀柱体x 2+y 2≤a 2, 0≤z ≤h 对于点P(0,0,c) (c>h)处的单位质量的引力；(3)均匀密度的正圆锥体(高h, 底半径R)对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.解：(1)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρ⎰⎰++Ddxdy c y x c 2/3222)(=kc ρ⎰⎰+R dr c r r d 02/32220)(πθ=2k .∴F={0,0,2k }.(2)根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0. F z =k ρ⎰⎰⎰-++-VdV c z y x c z 2/3222])([=k ρ⎰⎰⎰-+-a h dr c z r rd dz c z 02/322200])([)(πθ=-2k πρdz c z a c z h⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+022)(1=2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(. ∴F={0,0,2k πρ[]h c h a c a --+-+2222)(}.(3)以圆锥体的顶点为原点, 对称轴为z 轴建立xyz 三维直角坐标系. 根据对称性知引力方向在z 轴上，∴F z =0, F y =0.F z =k ρm ⎰⎰⎰++V dV z y x z 2/3222)(=k ρm ⎰⎰⎰+R hrR dz z r zrdr d 02/322020)(πθ=2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22221R h R h R . ∴F={0,0, 2k πR ρm ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22221R h R h R }.7、求曲面⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=ψϕψϕψsin sin )cos (cos )cos (a z a b y a b x (0≤φ≤2π, 0≤ψ≤2π) 的面积，其中常数a,b 满足0≤a ≤b.解：∵x φ=-(b+acos ψ)sin φ, y φ=(b+acos ψ)cos φ, z φ=0; x ψ=-asin ψcos φ, y ψ=-asin ψsin φ, z ψ=acos ψ.∴E=222ϕϕϕz y x ++=(b+acos ψ)2, G=222ψψψz y x ++=a 2, F=ψϕψϕψϕz z y y x x ++=0. ∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σψd a b a D ⎰⎰'+)cos (=⎰⎰+ππψψϕ2020)cos (d a b d a =4ab π2.8、求螺旋面⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϕb z r y r x sin cos (0≤r ≤a, 0≤φ≤2π) 的面积.解：∵x r =cos φ, y r =sin φ, z r =0; x φ=-rsin φ, y φ=rcos φ, z φ=b.∴E=222r r r z y x ++=1, G=222ϕϕϕz y x ++=r 2+b 2, F=ϕϕϕz z y y x x r r r ++=0.∴S=σd F EG D ⎰⎰'-2=σd b r D ⎰⎰'+22=⎰⎰+πϕ20022d dr b r a=π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b b a a b b a a 22222ln .9、求边长为a 密度均匀的正方体关于其任一棱边的转动变量. 解：以正方体的一个顶点为原点，顶点上方的棱为z 轴，使 正方体处于第一卦限中，则正方体对z 轴上的棱的转动变量为： J z =ρ⎰⎰⎰+V dV y x )(22=ρ⎰⎰⎰+aaadz y x dy dx 00220)(=a ρ⎰⎰+aady y x dx 0220)(=a ρ⎰+adx a ax 032)31(=32a 5ρ. (ρ为正方体密度)。

高等数学重积分总结重积分是高等数学中的一个重要章节，包括了二重积分和三重积分。

本文将对重积分的相关概念、性质、计算方法等进行总结。

一、重积分的定义和性质重积分可以看作是对多元函数在一个区域内的积分，其中二重积分和三重积分分别对应了二元函数和三元函数。

对于一个区域D，其可以用极限值对角线的方法划分成n个微小的小区域Di，其中i的取值范围为1到n。

设函数f(x,y)在小区域Di上的面积为S，且S趋近于0，则重积分可以表示为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\substack{n,m\to \infty}} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_{ij},y_{ij})\Delta S$$其中$\Delta S$为小区域Di的面积，$(x_{ij},y_{ij})$为小区域Di的任意一点。

与一元函数的积分类似，重积分也具有线性性、可加性、区间可减性和保号性等数学特征。

同时，由于重积分的定义，其也满足如下性质：1.积分与被积函数与积分区域的连续性，即对于在区域D上连续的函数f(x,y)，有：2.积分与区域的可加性，即对于一个区域D可以分割成两个没有公共点的子区间，则：同时还有极坐标和柱面坐标下的重积分公式：对于极坐标，有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$$$$\iiint_W f(x,y,z)dxdydz=\int_a^b\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\rho cos\varphi,\rho sin\varphi, z)\rho d\rho d\varphi dz$$其中W为三维区域，$(\rho,\varphi,z)$为柱面坐标系。

三、重积分的计算方法对于重积分的具体计算，常用的有以下几种方法：1.累次积分法累次积分法就是将多重积分化为多个一元积分，以二重积分为例，若：$$\iint_D f(x,y)dxdy$$其中D为一个平面区域，那么可以先将y作为常数，对x进行积分，再将x作为常数，对y积分，即可得到：其中a、b、c、d为D中x、y坐标的极值。

重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。

它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。

下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。

一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。

二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。

2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。

2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。

3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。

4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。

第二十一章 重积分7 n 重积分引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为32221112121)(rdz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Vdz dy dx dz dy dx rx x z y x z y x 22211132122221111))(,,(),,(ρρ.这是在由六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯nnb a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(21212211.3、当V 由不等式组a 1≤x 1≤b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯),,,(),,,(21)()(21121121121211),,,(n n n nx x x b xx x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=),,,(),,,(),,,(2121222111n n n nn x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n nn n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯∂∂∂∂⋯⋯⋯⋯∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂212221212111恒不为零,则有n 重积分换元公式：I= n n n Vdx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=n n n n n Vd d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为△T n =h nn n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211个=h n a n . 其中D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则a n =1211101--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,a n = 12111012)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=na n 1-, 其中D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.当n=1时，a 1=1, ∴a n =!1n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为△V n =R nn n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211221 个=R n b n . 其中b n =121111122121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d nn ξξξξξξξ 个=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---11212)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-01cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin πθθd n . 又⎰20sin πθθd n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π, 及b 1=2, ∴△V n =R nb n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =⎰⎰⎰⎰------⋯⋯πππϕϕϕϕϕϕ20122312102001sin sin sin n n n n n n Rd r d d dr=⎰⎰⎰----⋯πππϕϕϕϕϕ2010220112sin sin n n n n n d d d n R =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=34πR 3.求n 维空间中的曲面面积：设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△⊂R n-1为n 维空间中的曲面，则其面积为 11212111---∆⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎰⋯⎰n n n nn dx dx x x x x 个.例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12121-+⋯+-n x x (2121-+⋯+n x x ≤1), 又21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-n n n x x x x =n x 1, ∴上半球面面积为 21△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰- 个=)(1212111112121---≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰-n n n x x x x dx dx n个=⎰---+⋯+-+⋯+------≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰)(1)(1212112121222122212121)(1n n n x x x x n n n n x x xx dx dx dx个. 又⎰--+⋯+-+⋯+----+⋯+-)(1)(12121122212221)(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21△S=π21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个=πb n-2, 其中b n-2=21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个为n-2维空间中单位球体体积.由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-12!)!12()2(22)!1(2m n ，m m n ，m mmππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.习题1、计算五重积分⎰⎰⎰⎰⎰Vdxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15852r π.2、计算四重积分⎰⎰⎰⎰++++----Vdxdydzdu u z y x u z y x 2222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=⎰⎰⎰⎰+-102123222030201sin sin 11dr r rr d d d ϕϕϕϕϕπππ =⎰⎰+-132011211sin 4dr r r r d πϕϕπ=2π2⎰+-1032211dr r r r =π2(1-4π).3、求n 维角锥x i ≥0,nn a x a x a x +⋯++2211≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =iia x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i ii ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个.由例1得V=!1n a 1…a n .4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分n n n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则nn n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个=⎰⎰⎰⎰⎰------⋯⋯ππππϕϕϕϕϕϕϕ2012231202020101sin sin sin )(n n n n n Rn d d d d dr r f r ,∵⎰π0sin tdt n =2⎰20cos πtdt n =⎪⎭⎫⎝⎛+Γ⎪⎭⎫⎝⎛+Γ2221n n π. ∴原式=⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓR n hdr r f r h 012)(22π.。

第二十一章 重积分7 n 重积分引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为32221112121)(rdz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Vdz dy dx dz dy dx rx x z y x z y x 22211132122221111))(,,(),,(ρρ.这是在由六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n Vdx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯nnb a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(21212211.3、当V 由不等式组a 1≤x 1≤b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯),,,(),,,(21)()(21121121121211),,,(n n n nx x x b xx x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=),,,(),,,(),,,(2121222111n n n nn x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n nn n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯∂∂∂∂⋯⋯⋯⋯∂∂⋯∂∂∂∂∂∂⋯∂∂∂∂212221212111恒不为零,则有n 重积分换元公式：I= n n n Vdx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=n n n n n Vd d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为△T n =h nn n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211个=h n a n . 其中D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则a n =1211101--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,a n = 12111012)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=na n 1-, 其中D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.当n=1时，a 1=1, ∴a n =!1n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为△V n =R nn n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211221 个=R n b n . 其中b n =121111122121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d nn ξξξξξξξ 个=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---11212)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-01cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin πθθd n . 又⎰20sin πθθd n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π, 及b 1=2, ∴△V n =R nb n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：0≤r ≤R, 0≤φ1,φ2,…,φn-2≤π, 0≤φn-1≤2π, 从而 △V n =⎰⎰⎰⎰------⋯⋯πππϕϕϕϕϕϕ20122312102001sin sin sin n n n n n n Rd r d d dr=⎰⎰⎰----⋯πππϕϕϕϕϕ2010220112sin sin n n n n n d d d n R =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m mm ππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△V 1=2R ，△V 2=πR 2，△V 3=34πR 3.求n 维空间中的曲面面积：设x n =f(x 1,…,x n-1), f(x 1,…,x n-1)∈△⊂R n-1为n 维空间中的曲面，则其面积为 11212111---∆⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎰⋯⎰n n n nn dx dx x x x x 个.例3：求n 维单位球面x 12+x 22+…+x n 2=1的面积.解：n 维单位球面上半部为：x n =)(12121-+⋯+-n x x (2121-+⋯+n x x ≤1), 又21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-n n n x x x x =n x 1, ∴上半球面面积为 21△S=n n n x x x dx dx n 11112121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰- 个=)(1212111112121---≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰-n n n x x x x dx dx n个=⎰---+⋯+-+⋯+------≤+⋯++⋯+-⋯⎰⋯⎰)(1)(1212112121222122212121)(1n n n x x x x n n n n x x xx dx dx dx个. 又⎰--+⋯+-+⋯+----+⋯+-)(1)(12121122212221)(1n n x x x x n n x x dx =π, ∴21△S=π21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个=πb n-2, 其中b n-2=21212121--≤+⋯+⋯⎰⋯⎰-n n x x dx dx n个为n-2维空间中单位球体体积.由例2得n 维球面面积为：△S=2πb n-2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-12!)!12()2(22)!1(2m n ，m m n ，m mmππ.注：特别地，当n=1,2,3时，有△S 1=2，△S 2=2π，△S 3=4π.习题1、计算五重积分⎰⎰⎰⎰⎰Vdxdydzdudv , 其中V ：x 2+y 2+z 2+u 2+v 2≤r 2.解：根据例2的结论，当n=5时V 5=!!5)2(225πr =15852r π.2、计算四重积分⎰⎰⎰⎰++++----Vdxdydzdu u z y x u z y x 2222222211, V ：x 2+y 2+z 2+u 2≤1.解：令x=rcos φ1, y=rsin φ1cos φ2, z=rsin φ1sin φ2cos φ3, u=rsin φ1sin φ2sin φ3, 原式=⎰⎰⎰⎰+-102123222030201sin sin 11dr r rr d d d ϕϕϕϕϕπππ =⎰⎰+-132011211sin 4dr r r r d πϕϕπ=2π2⎰+-1032211dr r r r =π2(1-4π).3、求n 维角锥x i ≥0,nn a x a x a x +⋯++2211≤1, a i >0 (i=1,2,…,n)的体积. 解：令ξi =iia x (i=1,2,…,n), 则V=n n a x dx dx n i ii ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个=a 1…a n n n d d n i i ξξξ⋯⎰∑⋯⎰≤=111个.由例1得V=!1n a 1…a n .4、把Ω：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2上的n(n ≥2)重积分n n n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个化为单重积分，其中f(u)为连续函数. 解：令x 1=rcos φ1, x 2=rsin φ1cos φ2,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1,x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-2sin φn-1, 则nn n dx dx x x x f ⋯+⋯++⎰⋯⎰122221Ω)(个=⎰⎰⎰⎰⎰------⋯⋯ππππϕϕϕϕϕϕϕ2012231202020101sin sin sin )(n n n n n Rn d d d d dr r f r ,∵⎰π0sin tdt n =2⎰20cos πtdt n =⎪⎭⎫⎝⎛+Γ⎪⎭⎫⎝⎛+Γ2221n n π. ∴原式=⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓR n hdr r f r h 012)(22π.。

第二十一章 重积分总练习题1、求下列函数在所指定区域D 内的平均值： (1)f(x,y)=sin 2xcos 2y, D=[0,π]×[0,π]；(2)f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2, D={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2≤x+y+z}. 解：(1)∵D 的面积为：π2, ∴平均值为：⎰⎰πππ02022cos sin 1ydy dx x =41. (2)由x 2+y 2+z 2=x+y+z 得(x-21)2+(y-21)2+(z-21)2=43, ∴V D =34π323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π. 令x=21+rsin φcos θ, y=21+rsin φsin θ, z=21+rcos φ, 则平均值为：⎰⎰⎰++Ddxdydz z y x )(32222π=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕϕθϕθϕϕθπ02302220sin )cos sin sin cos (sin 4332dr r r r d d =⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕθϕθϕϕϕθπ023043220)cos sin sin cos (sin 43sin 32dr r r r d d =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ππϕϕϕθθϕϕθπ0220)cos sin )sin (cos sin 649sin 203332d d =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πθθθππ20)sin (cos 1289103332d =53332ππ⋅=56.2、计算下列积分：(1)⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ；(2)⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ. 解：(1)如图，被积函数等价于[x+y]= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈4321),(3),(2),(1),(0D y x ，D y x ，D y x ，D y x ，,⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ=⎰⎰10D d σ+⎰⎰21D d σ+⎰⎰32D d σ+⎰⎰43D d σ=23+3+23=6. (2)如图被积函数为sgn(x 2-y 2+2)=⎩⎨⎧∈-∈321),(1),(1D D y x ，D y x ， ,⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y xσ=⎰⎰1D dxdy -⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy . 其中⎰⎰2D dxdy =⎰⎰-+-224211x x dy dx =⎰-+--1122)24(dx x x =32π-2ln 231+=⎰⎰3D dxdy . 又⎰⎰3D dxdy =4π-⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy ,∴⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ=4π-4 ⎝⎛32π-2ln ⎪⎪⎭⎫+231=34π+4ln )32(+.3、应用格林公式计算曲线积分：⎰-L ydx x dy xy 22, 其中 L 为上半圆周x 2+y 2=a 2从(a,0)到(-a,0)的一段. 解：由y ∂∂(-x 2y)=-x 2, x∂∂xy 2=y 2, 得 ⎰-Lydx x dy xy22=⎰⎰+Dd x y σ)(22=⎰⎰adr r d 030πθ=44a π.4、求⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f , 其中f(x,y)为连续函数.解：由中值定理知，存在(ξ,η), 使得⎰⎰≤+222),(ρσy x d y x f =f(ξ,η)πρ2, 其中(ξ,η)∈D={(x,y)|x 2+y 2≤ρ2}, ∴⎰⎰≤+→222),(1lim 2ρρσπρy x d y x f =22),(lim πρπρηξρf →=),(lim 0ηξρf →. 又f(x,y)为连续函数，∴⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f=f(0,0).5、求F ’(t)，设(1)F(t)=⎰⎰≤≤≤≤ty t x ytxd e 1.01.02σ,(t>0)；(2)F(t)=⎰⎰⎰≤++++2222)(222t z y x dV z y xf ,其中f(u)为可微函数；(3)F(t)=⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤tz t y t x dV xyz f 000)(,其中f(u)为可微函数.解：(1)令x=tu, y=tv, 则|J|=t 2, F(t)=t 2⎰⎰112dv e du v u.∴F ’(t)=2t ⎰⎰10102dv e du v u=t2F(t).(2)令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ, 则F(t)=r d r f r d d t ⎰⎰⎰022020)(sin ϕϕθππ=4πr d r f r t⎰022)(, ∴F ’(t)=4πt 2f(t 2).(3)令x=tu, y=tv, z=tw, 则|J|=t 3,F(t)=⎰⎰⎰10331010)(dw uvw t f t dv du =⎰⎰⎰10310103)(dw uvw t f dv du t , ∴F ’(t)=⎰⎰⎰10310102)(3dw uvw t f dv du t +⎰⎰⎰'10310105)(3dw uvw t f uvw dv du t =)(3t F t+⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤'t z t y tx dV xyz f xyz t 000)(3.6、设f(t)=dx e t x ⎰-221, 求dt t tf ⎰10)(. 解：令dF(t)= 2x e-dx, 则f(t)=dx e t x ⎰-221=F(t 2)-F(1), f ’(t)=2tF ’(t 2)=2t 4t e -.dt t tf ⎰1)(=210)(21dt t f ⎰=21t 2f(t)|10-)(21102t df t ⎰=21f(1) -dt e t t ⎰-1034=-410441dt e t ⎰-=10441te -=41(e -1-1).7、证明：⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(, 其中V ：222222cz b y a x ++≤1；Ω：x 2+y 2+z 2≤1.证法一：若令x=arsin φcos θ, y=brsin φsin θ, z=crcos φ. 则⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(=r d cr br ar f abcr d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；若令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, r=rcos φ. 则⎰⎰⎰ΩΩd cz by ax f ),,(=r d cr br ar f r d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；∴⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.证法二：令x=au, y=bv, z=cw, 则|J|=abc,⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(= abc ⎰⎰⎰≤++1222),,(w v u dudvdw cw bv au f = abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.8、试写出单位立方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.解：在柱面坐标系下，用z=c 的平面截立方体，截口为正方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤40cos 1010πθθr z 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤24sin 1010πθπθr z ， ⎰⎰⎰11010),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰θπθθθcos 14010),sin ,cos (dr z r r rf d dz +⎰⎰⎰θππθθθsin 10241),sin ,cos (dr z r r rf d dz .在球面坐标系下，用θ=c 的平面截立方体，截口为长方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθcos 10cos tan 040r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθcos sin 102cos tan 40r arcc 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθπcos 10sin tan 024r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθπsin sin 102sin tan 24r arcc ， ⎰⎰⎰1101),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰ϕπθϕθcos 140cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕππθϕθcos sin 10402cos tan ),,(drw v u kf d d arcc+⎰⎰⎰ϕππθϕθcos 1024cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕπππθϕθsin sin 10242cos tan ),,(dr w v u kf d d arcc ,其中k=r 2sin φ, u=rsin φcos θ, v=rsin φsin θ, w=rcos φ.9、证明：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积, 则2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b a dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.证：构造函数φ(t)=t2⎰badx x f )(2+2t ⎰b a dx x g x f )()(+⎰badxx g )(2=[⎰ba dx x f )(t 22+2tf(x)g(x)+]dx x g )(2=[]⎰+ba dx x g x f 2)()(t ≥0.∴函数φ(t)的图象与x 轴至多有一个交点，即△=2)()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a dx x g x f -4⎰⎰⋅ba b a dx x g dx x f )()(22≤0.∴2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.注：当且仅当f(x)与g(x)线性相关时等号成立.10、设f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，且恒取正值，试求：⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x nn d y x f x00),(sin lim.解：∵f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，即 0<m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈[0,π]×[0,π]. 从而⎰πdy m n≤⎰π),(dy y x f n≤⎰πdy M n→π (n →∞).∴⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x n n d y x f x 00),(sin lim =⎰⎰∞→ππ00),(sin lim dy y x f xdx nn =2π.11、求由椭圆(a 1x+b 1y+c 1)2+(a 2x+b 2y+c 2)2=1所界面积, a 1b 2-a 2b 1≠0. 解1：令x=12212112)sin ()cos (b a b a c r b c r b ----θθ,y=12211221)cos ()sin (b a b a c r a c r a ----θθ,则J=122121122121122112122112sin cos cos sin cos sin sin cos b a b a r a r a b a b a a a b a b a r b r b b a b a b b -+-------θθθθθθθθ=1221b a b a r -.∴⎰⎰Dd σ=⎰⎰-⋅1122120dr b a b a rd πθ=1221b a b a -π. 解2：令u= a 1x+b 1y+c 1, v=a 2x+b 2y+c 2, 则),(),(v u y x ∂∂=),(),(/1y x v u ∂∂=12211b a b a -. ∴S=⎰⎰Dd σ=⎰⎰≤+-1122122v u b a b a dudv=1221b a b a -π.12、设△=333222111c b a c b a c b a ≠0, 求由平面a 1x+b 1y+c 1z=±h 1, a 2x+b 2y+c 2z=±h 2, a 3x+b 3y+c 3z=±h 3,所界平行六面体的体积.解：令u=a 1x+b 1y+c 1z, v=a 2x+b 2y+c 2z, w=a 3x+b 3y+c 3z, 则J=∆1. ∴V=⎰⎰⎰Ωdxdydz =⎰⎰⎰Ω∆dudvdw ||1=⎰⎰⎰---∆332211||1h h h h h h dw dv du =||8∆h 1h 2h 3.13、设有一质量分布不均匀的半圆弧x=rcos θ, y=rsin θ (0≤θ≤π), 其线密度为ρ=a θ(a 为常数), 求它对原点(0,0)处质量为m 的质点的引力. 解：r=(x,y), dF=k r r r ds m ⋅2ρ=km ⎪⎭⎫ ⎝⎛33,r y r x ρρds, (k 为引力常数) ∴dF x =3r x km ρds, dF y =3rykm ρds. F x =ds r x km L ⎰3ρ=θθθπd r ra km ⎰022cos =r amk 2-； F y =ds ry km L ⎰3ρ=θθθπd r a km ⎰0sin =r amkπ； ∴F=(F x ,F y )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r amk r amk π,2, 且|F|=24π+r amk .14、求螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (0≤t ≤2π)对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为1.解：ds=)()()(222t z t y t x '+'+'dt=22b a +dt. J z =ds y x L ⎰+)(22=dt b a a 22202+⎰π=2πa 222b a +.15、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，质量分布均匀. 解：由ds=)()(22t y t x '+'dt=t a t a 2222sin )cos 1(+-dt=2sin2ta dt ，得 ⎰L ds =2a dt t ⎰π02sin =4a;⎰L xds =2a 2dt t t t ⎰-π02sin )sin (=316a 2;∴⎰⎰=L L ds xds x /=34a .又⎰L yds =2a2dt t t ⎰-π2sin )cos 1(=316a 2;∴⎰⎰=L L ds yds y /=34a. ∴摆线质心的为⎪⎭⎫⎝⎛34,34a a .16、设u(x,y), v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：(1)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v σ2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D d y v y u x v x u σ+ds n uv L ∂∂⎰； (2)⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n v u L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂， 其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而n u ∂∂=),cos(∧∂∂x n x u +),sin(∧∂∂x n y u , n v ∂∂=),cos(∧∂∂x n xv+),sin(∧∂∂x n y v是u(x,y), v(x,y)沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 证：在格林公式中，以P 代替Q ，-Q 代替P 得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y Q x P =⎰-L Qdx Pdy =⎰∧∧+L ds x n Q x n P )],sin(),cos([. a 式(1)令P=vxu∂∂, Q=v y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u v 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uv x n x u v )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u v 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u v . b 式 (2)令P=uxu∂∂, Q=u y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u u 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uu x n x u u )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u u 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u u . c 式由c 式-b 式得：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n vu L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.17、求指数λ, 使得曲线积分k=dy r yx dx r y x y x y x λλ22),(),(0-⎰与路线无关(r 2=x 2+y 2), 并求k.解：设P=λr yx , Q=λr y x 22-, 则y P ∂∂=])([2222x y x y x r λλ++--, x Q ∂∂=-])(2[232222λλy x y x y x r ++-，由y P ∂∂=x Q ∂∂得 x y x yx λ++-)(222=λ23222)(2y x y x y x ++, 得λ=-1. 这时k 与路径无关，且P=22yx y x +, Q=2222y x y x +-. d(y y x 22+)=22yx y x+dx-2222y x y x +dy. ∴k=dy y x y xdx yx y xy x y x 2222),(),(220+-+⎰=()),(,2200y x y x y yx +=yy x 22++C.。

数学分析教案第二十一章重积分一、教学目标1.掌握重积分的定义和性质。

2.了解重积分的计算方法和应用。

3.能够熟练运用重积分解决实际问题。

二、教学重难点1.重积分的计算方法。

2.重积分的应用。

三、教学内容和教学步骤1.重积分的引入通过提问引导学生回顾定积分的概念和计算方法，并对比定积分与重积分的异同之处，引出重积分的概念。

2.重积分的定义和性质定义：设D为平面上的有界闭区域，函数f(x,y)在D上有界，将D 分成许多小矩形，取其中任意一个小矩形，设其面积为ΔA，取小矩形的一些点(xi,yi)，使得(xi,yi)在小矩形内，记作(Pi)，则称Σf(xi,yi)ΔA为f(x,y)在D上的一个二重积分，记作∬D f(x,y)dxdy。

性质：（1）线性性质：∬D (αf(x,y)+βg(x,y))dxdy = α∬Df(x,y)dxdy + β∬D g(x,y)dxdy，其中α、β为常数。

（2）可加性质：D = D1 ∪ D2，则∬D f(x,y)dxdy = ∬D1f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。

（3）保号性质：若f(x,y)在D上非负，则∬D f(x,y)dxdy ≥ 0。

3.重积分的计算方法（1）累次积分法：先对一个变量积分，再对另一个变量积分。

（2）极坐标法：适用于具有极坐标形式的函数，通过变量代换，将重积分转化为二重积分。

（3）换元法：通过变量代换，将重积分中的积分区域变换为简单形式，然后计算二重积分。

4.重积分的应用（1）计算质量：对密度函数和有界闭区域进行重积分，得到物体的质量。

（2）计算重心：对密度函数、有界闭区域和轴线进行重积分，得到物体的重心坐标。

（3）计算面积：对平面区域的特定函数进行重积分，可以计算出该区域的面积。

（4）计算二重积分：通过重积分计算曲面的面积、曲面的体积以及曲面与平面的交线弧长。

四、课堂练习及讲评1.小组讨论解决以质量和重心为主题的实际问题。