累次积分与重积分

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222= 。

（其中{}222),(Ry x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10交换积分次序后，得到的积分为 。

（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是 。

解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。

应该填写：332R π。

（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。

应该填写：⎰⎰y yx y x f y 2d ),(d 10。

（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰2011。

应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择 （1）二重积分xx y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（ ）。

A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y221+=所围的体积是（ ）。

重积分的计算方法
重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算
1．常用方法
（1）化累次积分计算法
对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：
第一步：画出积分区域D的草图；
第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；
第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法
着重看下面的例子：。

重积分的计算方法重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算1．常用方法（1）化累次积分计算法对于常用方法我们先看两个例子对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D的草图；第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法着重看下面的例子：在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。

从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。

利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。

于积分区域的多样性。

为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。

（3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）下面看一个例子：计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如能采用适当的坐标系，往往可以收到事半功倍的效果。

重积分的知识点总结一、多重积分的概念1. 多元函数多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$、$y$是自变量，$z$是因变量。

2. 二重积分二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sig ma_i$其中$D$为平面区域，$f(x,y)$为在$D$上的连续函数，$\Delta\sigma_i$为区域$D$上第$i$个小面积，$\xi_i$、$\eta_i$为$(x,y)$的取值点。

$\lambda$是面积的划分趋于0时的极限。

3. 三重积分三重积分是对三元函数在空间区域上的积分，其定义如下：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_ i)\Delta V_i$其中$\Omega$为空间区域，$f(x,y,z)$为在$\Omega$上的连续函数，$\Delta V_i$为区域$\Omega$上第$i$个小体积，$\xi_i$、$\eta_i$、$\zeta_i$为$(x,y,z)$的取值点。

$\lambda$是体积的划分趋于0时的极限。

4. 一般情况下的重积分对于$n$元函数在$n$维空间上的积分通常可以表示为：$\int...\int_Df(x_1,x_2,...,x_n)dV$其中$D$为空间区域，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为在$D$上的连续函数，积分区域为$D$，$dV$为该区域上的$n$维体积元。

二、多重积分的性质1. 多重积分的可加性重积分在可加性方面与定积分类似，即若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续，则有：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\,d\sigma$其中$D=D_1\cup D_2$，$D_1$、$D_2$为$D$的互不相交子区域。

二重积分及三重积分的计算二重积分是在二维平面上计算一些函数在一个区域上的积分，三重积分是在三维空间中对一些函数在一个区域上的积分。

在数学和物理学中，积分是一个非常重要的概念，它可以用于求解曲线、曲面、体积以及各种实际问题的数值解。

首先我们来看二重积分的计算。

二重积分主要分为定积分和累次积分两种方法。

对于定积分，我们需要先确定积分区域，然后确定函数的上下界，最后进行积分计算。

而对于累次积分，由于积分区域较复杂，我们会将其划分为多个简单的区域，然后对每个区域进行积分计算，再对各个区域的积分结果进行求和。

例如，我们要计算函数f(x, y)在一个矩形区域R上的二重积分。

首先我们可以使用定积分的方法，确定积分区域R和函数的上下限，然后进行积分计算。

假设矩形区域R的边界分别为x=a、x=b、y=c、y=d，积分区域可以表示为R={(x,y)，a≤x≤b, c≤y≤d}。

那么f(x, y)在区域R上的二重积分可以表示为∬Rf(x, y)dxdy = ∫(c→d)∫(a→b)f(x,y)dxdy。

接下来我们来看三重积分的计算。

三重积分与二重积分类似，也有定积分和累次积分的计算方法。

对于定积分，我们需要先确定积分区域，然后确定函数的上下界，最后进行积分计算。

而对于累次积分，我们会将三维空间划分为多个小区域，然后对每个小区域进行积分计算，再对各个小区域的积分结果进行求和。

例如，我们要计算函数f(x, y, z)在一个立体区域V上的三重积分。

首先我们可以使用定积分的方法，确定积分区域V和函数的上下限，然后进行积分计算。

假设立体区域V的边界分别为x=a、x=b、y=c、y=d、z=e、z=f，积分区域可以表示为V={(x,y,z)，a≤x≤b, c≤y≤d, e≤z≤f}。

那么f(x, y, z)在区域V上的三重积分可以表示为∭Vf(x, y, z)dxdydz= ∫(e→f)∫(c→d)∫(a→b)f(x, y, z)dxdydz。

陈纪修反常重积分化为累次积分的证明1. 介绍陈纪修反常重积分在数学分析领域具有重要的理论价值和应用价值。

其将重积分化为累次积分的证明方法，是数学分析领域的重要研究内容。

本文将从陈纪修反常重积分的定义入手，详细介绍其化为累次积分的证明过程，并对证明中的关键步骤进行分析和解释，希望能够为相关领域的研究者提供一定的参考和帮助。

2. 陈纪修反常重积分的定义陈纪修反常重积分是指在定积分的计算中，由于被积函数在一定区间上发散或不连续而无法直接求得定积分的情况。

具体而言，对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx，若f(x)在该区间上不满足黎曼可积的条件，则称其为反常重积分。

3. 化为累次积分的证明过程陈纪修提出的将反常重积分化为累次积分的方法，是通过逐步逼近来实现的。

具体步骤如下：（1）将区间[a, b]分割将区间[a, b]等分成n个小区间，设Δx=(b-a)/n，记a=x0<x1<...<xn=b，其中xi=a+iΔx，i=0,1,...,n。

（2）对每个小区间进行逼近在每个小区间[xi-1,xi]上，利用黎曼和的定义，对被积函数f(x)进行逼近。

这里需要注意，由于f(x)是反常积分，所以在这一步需要对其积分上限和积分下限进行适当的调整，以确保积分的有限性。

（3）将各个小区间的逼近结果相加对每个小区间上的逼近结果进行求和，得到整个区间[a, b]上的逼近结果。

由于区间的等分是任意的，所以当n趋向于无穷大时，逼近结果将趋近于反常积分的值。

4. 关键步骤的分析和解释在化为累次积分的证明过程中，有几个关键的步骤需要特别注意：（1）区间的等分区间的等分是化为累次积分的关键步骤之一。

在实际计算中，可以根据被积函数的特点来确定区间的等分方式，以尽量减小逼近误差。

（2）逼近的精度在对每个小区间进行逼近时，需要考虑逼近的精度问题。

通常情况下，可以通过增加小区间的个数来提高逼近的精度，以确保逼近结果的准确性和稳定性。

积分学中各种积分之间的关系研究与例解作者：杨元启来源：《科技风》2017年第01期摘要：本文讨论了高等数学中几种类型的积分之间的联系与转化技巧，并用适当例子说明这些转化技巧的具体应用。

这对各类积分思想的理解和计算都有很重要的意义。

关键词：定积分；重积分；累次积分；线积分；面积分高等数学中的积分学包含的积分类型很多，积分计算也经常走入死胡同，无法求解。

如果能深刻地领会不同积分之间的内在关系，掌握不同类型积分互相转化的技巧，一般都能顺利解答。

各种积分之间的关系及转化技巧，在国内众多文献中能找到一些零星的讨论，但都不够细致深入。

本文着重对定积分、重积分、线积分、面积分这几个常见常用的积分，用实例来详细讨论积分转换技巧的应用。

一、定积分与重积分重积分的计算问题除了用定义外，几乎都是化成两个或多个定积分（累次积分）来计算的。

对一些较复杂的定积分，也可能无法求出其原函数，必须借助重积分的思想才能求解。

以下通过几个例子来说明这些积分的转化技巧。

例1 计算∬D dxdy，其中D 是直线x=π，y=x，y=0所围成的闭区域。

解：如果将二重积分化成如下累次积分：∬D dxdy=dydx由被积函数的特点知这样的积分无法计算，为此交换积分次序：∬D dxdy=dxdy=sinxdx=[-cosx]π=2例2 计算dx解：用求原函数的方法几乎没法解答，注意到=xydy，为此，可以将定积分化成累次积分再来讨论。

原式=dxxydy，交换积分次序得：原式=dyxydx=dxxydy=dx=ln（）例3 设f（x），g（x）在[a，b]上连续，满足∀x∈[a，b），f（t）dt⩾g（t）dt，以及f （x）dx=g（x）dx，证明：xf（x）dx⩽xg（x）dx证：这样的题一般也需要借助累次积分以及换序技巧。

由题意，∀x∈[a，b），f（t）dt-g（t）dt⩾0，（f（t）-g（t））dt作为[a，b）上的非负连续函数，有：（f（t）-g（t））dtdx⩾0，交换积分次序，dt（f（t）-g（t））dx=b（f（t）-g（t））dt-（tf（t）-tg（t））dt⩾0，仍由题意有，tf（t）dt⩽tg（t）dt。