九年级数学(上册)考点解析

一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。

3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？ 【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0， 解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

人教版九年级数学上册考题易错汇总及答案解析1.关于 x 的方程 x2+2x﹣m＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（）A.m＝1B.m＝﹣1C.m＝2D.m＝﹣2【考点】根的判别式.【解答】由题意可知：△＝4+4m＝0，∴m＝﹣1，故选：B.2.下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（）A.x2+1＝0B.x+ ＝1C.ax2+bx+c＝0D.（x+1）（x﹣1）＝x2+x+1【考点】一元二次方程的定义.【解答】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A.3.一个容器盛满纯药液 63 千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液剩下 28 千克，那么每次倒出的药液是（）A.20 千克B.21 千克C.22 千克D.175 千克【考点】一元二次方程的应用.【解答】设每次倒出药液 x 升，依题意，得：＝1﹣，整理，得：x2﹣126x+2205＝0，解得：x1＝21，x2＝105（不合题意，舍去）.故选：B.4.已知关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+2＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围值是（）A. B. C.k＜且 k≠1 D.k≤且 k≠1【考点】一元二次方程的定义；的判别式.【解答】根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣8（k﹣1）＝12﹣8k＞0，且 k﹣1≠0，解得：k＜且 k≠1.故选：C.5.一元二次方程 x2﹣6x﹣1＝0 配方后可变形为（）A.（x﹣3）2＝8B.（x﹣3）2＝10C.（x+3）2＝8D. （ x+3 ） 2＝10【考点】解一元二次方程﹣配方法.【解答】∵x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣6x＝1，∴（x﹣3）2＝10，故选：B.6.某商品原售价为 60 元，4 月份下降了 20%，从 5 月份起售价开始增长，6 月份售价为 75 元，设 5、6 月份每个月的平均增长率为x，则 x 的值为（） A.15%B.25%C.20%D.30%【考点】一元二次方程的应用.【解答】设 5、6 月份每个月的平均增长率为 x，由题意，得 60（1﹣20%）（1+x）2＝75解得 x＝0.25＝25%（舍去负值）故选：B.7.一元二次方程 x2﹣5x+1＝0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【考点】根的判别式.【解答】由题意可知：△＝25﹣4＝21＞0，故选：A.8.若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+4＝0 的一个根是 x＝﹣1，则 2015﹣a+b的值是（）A.2011B.2015C.2019D.2020【考点】一元二次方程的解.【解答】把 x＝﹣1 代入方程 ax2+bx+4＝0 得 a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以 2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019.故选：C.9.为执行“均衡教育”政策，某区 2018 年投入教育经费 7000 万元，预计到 2020 年投入 2.317 亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，则下列方程正确的是（）A.7000（1+x2）＝23170B.7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝23170C.7000（1+x）2＝23170D.7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝2317【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解答】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为 x，由题意得，7000（1+x）2＝23170.故选：C.10.已知二次函数 y＝ax2+bx+3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如表：x…﹣2﹣10123…y…﹣503430…则在实数范围内能使得 y+5＞0 成立的 x 取值范围是（）A.x＞﹣2B.x＜﹣2C.﹣2＜x＜4D.x＞﹣2 或 x＜4【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵y+5＞0∴y＞﹣5观察表中数据可得该二次函数的对称轴为 x＝1∵1﹣（﹣2）＝3，1+3＝4∴当 x＝﹣2 时的函数值与当 x＝4 时的函数值相等∵x＝﹣2 时，y＝﹣5∴x＝4 时，y＝﹣5观察表中数据，可知函数为开口向下的二次函数∴当﹣2＜x＜4 时，y＞﹣5，即 y+5＞0故选：C.11.如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线 x＝1，下列结论中正确的是（）A.abc＞0B.b＝2aC.9a+3b+c＜0D.8a+c＝0【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线 x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交 y 轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故 A、B 错误；∵抛物线的对称轴为直线 x＝1，而点（﹣2，0）关于直线 x＝1 的对称点的坐标为（4，0），∴当 x＝3 时，y＝9a+3b+c＞0，故 C 错误；∵抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即 8a+c＝0，故 D 正确，故选：D.12.如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（）A.①③B.①③④C.①②③D.①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】①观察图象可知： a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；②当 x＝时，y＝0，即a+ b+c＝0，∴a+2b+4c＝0，∴a+4c＝﹣2b，∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，所以②正确；③因为对称轴 x＝﹣1，抛物线与 x 轴的交点（，0），所以与 x 轴的另一个交点为（﹣，0），当 x＝﹣时，a﹣b+c＝0，∴25a﹣10b+4c＝0. 所以③正确；④当 x＝时，a+2b+4c＝0，又对称轴：﹣＝﹣1，∴b＝2a，a＝ b， b+2b+4c＝0，∴b＝﹣c.∴3b+2c＝﹣ c+2c＝﹣ c＜0，∴3b+2c＜0. 所以④错误. 故选：C.13.抛物线 y＝3x2 先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，所得的抛物线是（）A.y＝3（x+2）2﹣1B.y＝3（x﹣2）2+1C.y＝（x﹣2）2﹣1D.y＝3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换.【解答】抛物线 y＝3x2 先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为 y＝3（x+2）2﹣1.故选：A.14.如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于 C 点，且对称轴为 x＝1，点 B 坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（）①2a+b＝0②4a﹣2b+c＜0③ac＞0④当 y＞0 时，﹣1＜x＜4A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点.【解答】点 B 坐标为（﹣1，0），对称轴为 x＝1，则点 A（3，0），①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；②x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＜0，正确，符合题意；③a＜0，c＞0，故 ac＜0，故③错误，不符合题意；④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，故④错误，不符合题意；故选：B.15.如图，已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c，它与 x 轴交于 A、B，且A、B 位于原点两侧，与 y 的正半轴交于 C，顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y＝4 上，则下列说法：①bc＜0，②0＜b＜4，③AB＝4，④S△ABD＝8其中正确的结论有（）A.①②B.②③C.②③④D.①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点.【解答】①a＜0，则 b＞0，c＞0，故 cb＞0，故①错误，不符合题意；②c﹣＝4，而 1＜c＜2，故 0＜2 ＜b＜2 ＜4，故正确，符合题意；③函数的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+4，故 x＝h±2，故 AB＝x2﹣x1＝4，正确，符合题意；④S△ABD＝×AB×yD＝8，正确，符合题意；故选：C.16.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【考点】轴对称图形；中心对称图形.【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：D.17.如图，在△ABC 中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（）A.10°B.15°C.20°D.30°【考点】旋转的性质.【解答】∵在△ABC 中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°得到△AB′C′，∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB＝80°，AC＝AC′，∴∠AC′C＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C＝10°，故选：A.18.下列说法正确的是（）A.成中心对称的两个图形全等B.全等的两个图形成中心对称C.成中心对称的两个图形一定关于某条直线对称D.关于某条直线成轴对称的两个图形一定关于某一点成中心对称【考点】全等图形；轴对称的性质；轴对称图形；中心对称图形.【解答】A.成中心对称的两个图形全等，故本选项正确；B.全等的两个图形不一定成中心对称，故本选项错误；C.成中心对称的两个图形不一定关于某条直线对称，故本选项错误；D.关于某条直线成轴对称的两个图形不一定关于某一点成中心对称，故本选项错误；故选：A.19.在平面直角坐标系中，有 A（2，﹣1），B（0，2），C（2，0），D（﹣2，1）四点，其中关于原点对称的两点为（）A.点 A 和点 BB.点 B 和点 CC.点 C 和点 DD.点 D 和点 A【考点】关于原点对称的点的坐标.【解答】∵A（2，﹣1），D（﹣2，1）横纵坐标符号相反，∴关于原点对称的两点为点 D 和点 A.故选：D.20.如图，P 是正三角形 ABC 内一点，且 PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到△P'AB.给出下列四个结论：①PP'＝6，②AP2+BP2＝CP2，③∠APB＝150°；④S△ABC＝36+25.正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质.【解答】连接 PP′，过点 A 作 AD⊥BP 于点 D，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AP'B，∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10，∵∠P'AP＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝6，故①正确；∵PB＝8，∴P'B2＝PB2+P'P2，∴△PP'B 是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，故②正确∴∠P'PB＝90°，∵∠P'PA＝60°，∴∠APB＝150°，故③正确；∴∠APD＝30°，∴AD＝ AP＝3，PD＝3，∴BD＝8+3，在 Rt△ABD 中，AB2＝AD2+BD2＝100+48，∴S△ABC＝ AB2＝36+25，故④正确. 故选：D.21.如图，在⊙O 中，∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A.50°B.25°C.20°D.15【考点】圆周角定理.【解答】∠A＝∠BOC＝×50°＝25°. 故选：B.22.下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.相等的弦所对的弧相等C.圆内接四边形的对角互补D.三个点确定一个圆【考点】圆内接四边形的性质；确定圆的条件.【解答】A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、相等的弦对的弧不一定相等，故错误，不符合题意；C、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；故选：C.23.如图，在⊙O 中，AB 是直径，OD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 D，则下列结论错误的是（）A.AD＝CDB.＝C.BC＝2EOD.EO＝DE【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.【解答】∵AB 是直径，OD⊥AC，∴，AE＝CE，∴AD＝CD，∵OA＝OB，∴OE 是△ABC 的中位线，∴BC＝2OE，∴选项 A 不符合题意、选项 B 不符合题意、选项 C 不符合题意；只有当 AD＝AO 时，EO＝DE，∴选项 D 符合题意；故选：D.24.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，的度数为? C 为圆心，BC 长为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则∠A 的度数为（）A.45°﹣酈.酑.45?+ 酓.25?+ á【考点】圆心角、弧、弦的关系.【解答】连接 OD，∵的度数为幔?∴∠DCE＝幔?∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣幔?∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+?45°+ 幔?∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣幔? 故选：A.25.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点 O 为扇形的圆心，格点 A，B，C 分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为 1，则的长为（）A.餭mB.C.D.2餭m【考点】弧长的计算.【解答】连接 OC，则 OC＝＝，∵∠AOF＝45°，∴的长＝＝穑? 故选：B.26.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 2 寸（ED＝2 寸），锯道长 8 寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径 AC 是（）A.5 寸B.8 寸C.10 寸D.12 寸【考点】垂径定理的应用.【解答】设⊙O 的半径为 r.在 Rt△AEO 中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有 r2＝42+（r﹣2）2，解得 r＝5，∴⊙O 的直径为 10 寸，故选：C.27.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、2、4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是（）A. B. C.D.【考点】列表法与树状图法.【解答】画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为 10，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率＝＝.故选：D.28.掷一枚质地均匀的标有 1，2，3，4，5，6 六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最大的是（）A.大于 4 的点数B.小于 4 的点数C.大于 5 的点数D.小于 5 的点数【考点】可能性的大小.【解答】A、P1＝＝；B、P2＝＝；C、P3＝；D、P4＝＝.骰子停止运动后出现点数可能性大的是出现小于 5 的点. 故选：D.29.下列说法正确的是（）A.甲组数据的方差 S 甲 2＝0.28，乙组数据的方差 S 乙 2＝0.25，则甲组数据比乙组数据稳定B.从 1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大C.数据 3，5，4，1，﹣2 的中位数是 3D.若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次必有 3 次中奖【考点】中位数；方差；概率的意义.【解答】A、甲组数据的方差 S 甲 2＝0.28，乙组数据的方差 S 乙2＝0.25，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误；B、从 1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故此选项错误；C、数据 3，5，4，1，﹣2 的中位数是 3，正确；D、若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次可能 3 次中奖，故此选项错误.故选：C.30.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝x2﹣2ax+b 的顶点在 x 轴上， P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点.若存在实数 c，使得 x1≤c﹣3，且 x2≥c+3 成立，则 m 的取值范围是 .【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.【解答】∵顶点在 x 轴上，＝0，∴b＝a2.∴x2﹣2 ax+a2＝m，解得 x1＝a﹣，x1＝a+ ，∴PQ＝2 ，又 x1≤c﹣3，x1≥c+3∴2 ≥（c+3）﹣（c﹣3），∴m≥9.故答案为：m≥9.31.二次函数 y＝x2﹣4x+m 的最小值是 2，则 m＝ .【考点】二次函数的最值.【解答】y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，∵a＝1＞0，∴当 x＝2 时，y 有最小值为 m﹣4，∴m﹣4＝2，∴m＝6.故答案为：6.32.二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当 x＜0 时，y 随x 的增大而减小；⑥a+b+c＞0 中，正确的有 .（只填序号）【考点】二次函数图象与系数的关系.【解答】①根据图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.∴①正确；②∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴△＞0，即 b2﹣4ac＞0，4ac＜b2.∴②正确；③∵抛物线的对称轴 x＜1，即﹣＜1，得 2a+b＞0.∴③正确；④∵抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，﹣2），∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2.∴④错误；⑤根据抛物线的性质可知：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；∴⑤正确；⑥当 x＝1 时，y＜0，即 a+b+c＜0.∴⑥错误.故答案为①②③⑤.33..将 A（2，0）绕原点顺时针旋转 40°，A 旋转后的对应点是 A1，再将 A1 绕原点顺时针旋转 40°，A1 旋转后的对应点是 A2，再将 A2绕原点顺时针旋转 40°，A2 旋转后的对应点是 A3，再将 A3 绕原点顺时针旋转 40°，A3 旋转后的对应点是 A4…，按此规律继续下去，A2019 的坐标是 .【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转.【解答】由题意：9 次应该循环，∵2019÷9＝224 余数为 3，∴A2019 的坐标与 A3 相同，∵A3（﹣1，﹣），∴A2019（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）.34.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC，若点 B 恰好落在 AB 边上 D 处，则∠1＝°.【考点】等腰三角形的性质；旋转的性质.【解答】∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝140°，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC，∴∠CDE＝∠B＝70°，BC＝CD，∴∠B＝∠BDC＝70°，∴∠ADE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠1＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100.35.如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过次旋转得到的，旋转角的度数是 .【考点】菱形的性质；旋转对称图形.【解答】由图可得，可以看作是由其中一个菱形至少经过 5 次旋转得到的，旋转角的度数是 60°.故答案为：5，60°.36.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1 是边长为 2 的等边三角形，作△B2A2B1 与△OA1B1 关于点 B1 成中心对称，再作△B2A3B3 与△B2A2B1 关于点 B2 成中心对称，…，如此作下去，则△B2018A2019B2019 的顶点 A2019 的坐标是 .【考点】规律型：点的坐标；中心对称；坐标与图形变化﹣旋转.【解答】∵△OA1B1 是边长为 2 的等边三角形，∴A1 的坐标为：（1，），B1 的坐标为：（2，0），∵△B2A2B1 与△OA1B1 关于点 B1 成中心对称，∴点 A2 与点 A1 关于点 B1 成中心对称，∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，∴点 A2 的坐标是：（3，﹣），∵△B2A3B3 与△B2A2B1 关于点 B2 成中心对称，∴点 A3 与点 A2 关于点 B2 成中心对称，∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，∴点 A3 的坐标是：（5，），∵△B3A4B4 与△B3A3B2 关于点 B3 成中心对称，∴点 A4 与点 A3 关于点 B3 成中心对称，∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，∴点 A4 的坐标是：（7，﹣），…，∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，∴An 的横坐标是：2n﹣1，A2n+1 的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，∵当 n 为奇数时，An 的纵坐标是，当 n 为偶数时，An 的纵坐标是：﹣，∴顶点 A2n+1 的纵坐标是：，∴△B2nA2n+1B2n+1（n 是正整数）的顶点 A2n+1 的坐标是：（4n+1，），∴△B2018A2019B2019 的顶点 A2019 的横坐标是：4×1009+1＝4037，纵坐标是，故答案为：（4037，）.37.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，AC＝2，BM＝8，则 BC ＝ .【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理.【解答】连接 AC、BC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACB＝∠AMC＝90°，∵∠BAC＝∠CAM，∴△ACM∽△ABC，∴＝，设 AM＝x，则 AB＝x+8，∴x（x+8）＝（2 ）2，解得 x＝2 或 x＝﹣10（舍去），∴AB＝2+8＝10，∴BC＝＝＝4，故答案为 4.38.如图，在圆心角为 90°的扇形 ACB 中，半径 CA＝6，以 AC 为直径作半圆 O.过点 O 作 BC 的平行线交两弧于点 D、E，则图中阴影部分的面积是 .【考点】扇形面积的计算.【解答】如图，连接 CE.∵AC⊥BC，AC＝BC＝2，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作，∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OD＝1，BC＝CE＝2. 又∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠COE＝90°.∴在直角△OEC 中，OC＝CE，∴∠OEC＝30°，OE＝.∴∠ECB＝∠OEC＝30°，∴S 阴影＝S 扇形 ACB﹣S 扇形 AOD﹣S 扇形 ECB﹣S△OCE＝﹣﹣﹣×1×＝﹣? .故答案为﹣? .39.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 D 是的中点，点E 是上的一点，若∠CED＝35°，则∠ADC＝ .【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质.【解答】∵∠CED＝35°，∴的度数是 70°，∵点 D 是的中点，∴的度数也是 70°，∴的度数是 360°﹣70°﹣70°＝220°，∴圆周角∠ADC 的度数是 110°，故答案为：110°.40.一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从 0 到 9 的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要位.【考点】概率公式.【解答】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要 3 位.故答案为：3.41.对某种品牌的一批酸奶进行质量检验，检验员随机抽取了 200 瓶该批次的酸奶，经检验有 198 瓶合格，若在这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为 .【考点】概率公式.【解答】由题意，随机抽取了 200 瓶该批次的酸奶，经检验有 198 瓶合格，所以样本中恰好取到合格品的概率约为＝，所以这批酸奶中任取一瓶，恰好取到合格品的概率约为，故答案为.42.已知一次函数 y＝（m﹣2）x+n﹣1.（1）若一次函数图象经过点（0，3）和（1，5），求一次函数的解析式；（2）若把一次函数的图象向上平移 3 个单位得到直线 y＝3x﹣3，求 m 和 n的值；（3）若一次函数的图象经过二、三、四象限，请判断方程 x2﹣5x+2（m+n）＝0 解的情况，并说明理由.【考点】根的判别式；一次函数的性质；一次函数图象与几何变换.【解答】（1）∵一次函数图象经过点（0，3）和（1，5），∴，解得：，∴一次函数的解析式是 y＝2x+3；（2）∵一次函数的图象向上平移 3 个单位得到直线 y＝3x﹣3，∴原一次函数的是 y＝3x﹣6，∴m﹣2＝3，n﹣1＝﹣6，∴m＝5，n＝﹣5；（3）∵一次函数的图象经过二、三、四象限，∴m﹣2＜0，n﹣1＜0，∴m＜2，n＜1，∴方程 x2﹣5x+2（m+n）＝0 的判别式△＝25﹣4×1×2（m+n）＝25﹣8（m+n）＞0，∴方程 x2﹣5x+2（m+n）＝0 有两个不相等的实数根.43.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，设运动时间为 t 秒.（1）填空：BQ＝，PB＝；（用含 t 的代数式表示）（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 3 cm？（3）当 t 为何值时，五边形 APQCD 的面积有最小值？最小值为多少？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的最值.【解答】（1）由题意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，故答案为 2t，（6﹣t）.（2）由题意，得.解得（不合题意，舍去），t2＝3.所以当 t＝3 秒时，PQ 的长度等于；（3）存在.理由如下：设五边形 APQCD 的面积为 S.∵S 矩形 ABCD＝6×8＝48（cm2），∴，∴当 t＝3 秒时，五边形 APQCD 的面积有最小值，最小值为39cm2.44.如图，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y轴于点 D，点 B 的坐标为（3，0），顶点 C 的坐标为（1，4）.（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点 Q，且点 Q 在第一象限，使△BDQ 中 BD 边上的高为？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】二次函数综合题.【解答】（1）∵抛物线的顶点 C 的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为 y＝a（x﹣1）2+4，∵点 B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0＝a（3﹣1）2+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+4，即 y＝﹣x2+2x+3，∵点 D 在 y 轴上，令 x＝0 可得 y＝3，∴D 点坐标为（0，3），∴可设直线 BD 解析式为 y＝kx+3，把 B 点坐标代入可得 3k+3＝0，解得 k＝﹣1，∴直线 BD 解析式为 y＝﹣x+3；（2）设 P 点横坐标为 m（m＞0），则 P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+ ，∴当 m＝，PM 有最大值；（3）如图，过 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G，交 x 轴于点 E，作QH⊥BD于 H，设 Q（x，﹣x2+2x+3），则 G（x，﹣x+3），∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，∵△BOD 是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ 中 BD 边上的高为时，即 QH＝HG＝，∴QG＝＝2，∵点 Q 在第一象限，∴﹣x2+3x＝2，解得 x＝1 或 x＝2，∴Q（1，4）或（2，3），综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（1，4）或（2，3）.45.如图所示，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 延长线上一点，△ACD 经过旋转后到达△BCE 的位置，（1）旋转中心是，逆时针旋转了度；（2）如果 M 是 AD 的中点，那么经过上述旋转后，点 M 转到的位置为.【考点】等边三角形的性质；旋转的性质.【解答】（1）由△ACD 经过旋转后到达△BCE 的位置，得，旋转中心是点 C，逆时针旋转了 60 度，故答案为：点 C，60；（2）如果 M 是 AD 的中点，那么经过上述旋转后，点 M 转到的位置为 BE的中点；故答案为：BE 的中点.46.如图，∠AOB＝120°，OC 平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM 与射线 OA 相交于 M 点，CN 与直线 BO 相交于 N 点.把∠MCN 绕着点 C 旋转.（1）如图 1，当点 N 在射线 OB 上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图 2，当点 N 在射线 OB 的反向延长线上时，OC 与 OM，ON 之间的数量关系是OC＝OM﹣ON（直接写出结论，不必证明）【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质.【解答】（1）证明：作∠OCG＝60°，交 OA 于 G，如图 1 所示：∵∠AOB＝120°，OC 平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG 是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN 和△GCM 中，，∴△OCN≌△GCM（ASA），∴ON＝GM，∵OG＝OM+GM，∴OC＝OM+ON；（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：作∠OCG＝60°，交 OA 于 G，如图 2 所示：∵∠AOB＝120°，OC 平分∠AOB，∴∠CON＝∠COG＝60°，∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，∴OC＝CG，∴△OCG 是等边三角形，∴OC＝OG，∠CGO＝60°，∴∠CGM＝120°＝∠CON，∵∠MCN＝∠OCG＝60°，∴∠OCN＝∠GCM，在△OCN 和△GCM 中，，∴△OCN≌△GCM（ASA），∴ON＝GM，∵OG＝OM﹣GM，∴OC＝OM﹣ON；故答案为：OC＝OM﹣ON47.如图，AB＝AC，⊙O 为△ABC 的外接圆，AF 为⊙O 的直径，四边形 ABCD是平行四边形.（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积.【考点】平行四边形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算.【解答】（1）∵AB＝AC，∴＝，∵AF 为⊙O 的直径，∴AF⊥BC，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∠AD⊥AF，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接 OC，OB，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵AF＝2，∴OB＝OC＝1，∴BC＝，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC＝，连接 OE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，∵OA＝OE＝1，∴阴影部分的面积＝S 梯形 AOED﹣S 扇形 AOE＝（1+）×1﹣＝﹣.48.如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 边上的一个动点（有与 A、D 重合），以 E 为圆心，EA 为半径的⊙E 交 CE 于 G 点，CF 与⊙E 切于 F 点.AD＝4，AE＝x，CF2＝y.（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）是否存在 x 的值，使得 FG 把△CEF 的面积分成 1：2 两部分？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由.【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围；勾股定理；切线的性质.【解答】（1）∵CF 与⊙E 切于 F 点，∴EF⊥CF，∵AE＝x，AD＝4，∴DE＝4﹣x，∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16，在 Rt△EFC 中，CF2＝CE2﹣EF2，∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）；（2）∵FG 把△CEF 的面积分成 1：2 两部分，∴EG＝ EC，或 EG＝EC，九年级数学上册∴x＝，或 x＝∴x＝±﹣，或 x＝∵0＜x＜4，∴x＝，或 x＝.21。

一元二次方程二次函数知识点梳理：1.定义：一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y=ax²的性质（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y=ax²的图像与a的符号关系.①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²（a≠0）.3.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：y=a（x - h）²+k的形式，其中5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax²；②y=ax²+k；③y=a（x - h）²；④y=a（x - h）²+k；⑤y=ax²+bx+c.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：∴顶点是:对称轴是直线:（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y=ax²+bx+c中，a、b、c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax²中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线，故：①b=0时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）的大小决定抛物线y=ax²+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax²+bx+c与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c=0，抛物线经过原点;②c>0，与y轴交于正半轴；③c<0，与y轴交于负半轴.以上三点当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y=a（x - h）²+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2).12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c得交点为(0, c).（2）与y轴平行的直线X=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点（h, ah²+bh+c）（3）抛物线与轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点Û△>0Û抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）Û△=0Û抛物线与x轴相切；③没有交点Û△<0Û抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax²+bx+c=k的两个实数根.（5）一次函数y=kx+n(k≠0)的图像L与二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时L与G有两个交点;②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax²+bx+c与x 轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，由于x1、x2是方程ax²+bx+c=0的两个根，故旋转圆知识点梳理：概率初步。

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

一元二次方程的根与系数的关系（知识点考点一站到底）知识点☀笔记韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 考点☀梳理考点1：韦达定理必备知识点：如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 解题指导：适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）韦达定理拓展公式 ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2②1x 1+1x 2=x 2+x 1x 1∙x 2x 2x 1+x1x 2=x 12+x 22x 1∙x 2=(x 1+x 2)2−2x 1∙x 2x 1∙x 2③(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2④|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1∙x 2 ；（2）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

九年级数学上册第二十二章二次函数高频考点知识梳理单选题1、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．2、函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．答案：D分析：先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；故选D．小提示：本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．3、在平面直角坐标系中，若抛物线y=2(x+5)(x−3)经一次变换后得到抛物线y=2(x+3)(x−5)，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移8个单位D．向下平移8个单位答案：B分析：先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．小提示：本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．4、若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a＞0C．a＞2D．a≠0答案：A分析：根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．解：由题意得：a−2≠0，则a≠2．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．5、某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元答案：D分析：将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．小提示：此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．6、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（）A．小球在空中经过的路程是40mB．小球运动的时间为6sC．小球抛出3s时，速度为0D．当t=1.5s时，小球的高度ℎ=30m答案：A分析：选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A 错误；B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；D、设函数解析式为ℎ=a(t−3)2+40，将（0，0）代入得：0=a(0−3)2+40，解得a=−40，9∴函数解析式为ℎ=−40(t−3)2+40，9∴当t＝1.5s时，ℎ=−40(1.5−3)2+40=30，9∴选项D正确．故选：A．小提示：本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．7、某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式y=−5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）A．90元，4500元B．80元，4500元C．90元，4000元D．80元，4000元答案：B分析：设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．解：设每月总利润为w，依题意得：w=y(x−50)=(−5x+550)(x−50)=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500∵−5<0，此图象开口向下，又x≥50，∴当x=80时，w有最大值，最大值为4500元．故选：B．小提示：本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．8、下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于-6D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大答案：C分析：利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得：{4a −2b +c =6c =−4a +b +c =−6 ，解得：{a =1b =−3c =−4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∵a =1>0，∴这个函数的图象开口向上，故A 选项不符合题意；∵△=b 2−4ac =(−3)2−4×1×(−4)=25>0，∴这个函数的图象与x 轴有两个不同的交点，故B 选项不符合题意；∵a =1>0，∴当x =32时，这个函数有最小值−254<−6，故C 选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，−254)，∴当x >32时，y 的值随x 值的增大而增大，故D 选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．9、抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ）A ．−14B ．14C ．−4D ．4答案：B分析：根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．小提示：此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．10、小嘉说：将二次函数y =x 2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D分析：根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=(x−2)2，把点(2,0)代入得：y=(2−2)2=0，所以该平移方式符合题意；②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x−1)2−1，把点(2,0)代入得：y=(2−1)2−1=0，所以该平移方式符合题意；③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平移方式符合题意；④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．小提示：本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．填空题11、某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝−1（x﹣5）2＋66（1）雕塑高OA的值是____m；（2）落水点C，D之间的距离是____m．答案： 116##156 22 分析：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑高OA 的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC 的长，结合CD ＝OC +OD 即可求出落水点C ，D 之间的距离；解：（1）当x ＝0时，y =−16×（0﹣5）2+6=116，∴点A 的坐标为（0，116），∴雕塑高116m ． 所以答案是：116． （2）当y ＝0时，−16（x ﹣5）2+6＝0，解得：x 1＝﹣1（舍去），x 2＝11，∴点D 的坐标为（11，0），∴OD ＝11m ．∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC ＝OD ＝11m ，∴CD ＝OC +OD ＝22m ．所以答案是：22．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D 的坐标；．12、已知抛物线y =(x −1)(x −5)与x 轴的公共点坐标是A(x 1,0),B(x 2,0)，则x 1+x 2=_______．答案：6分析：令y=0，可得(x−1)(x−5)=0，解出即可求解．解：∵抛物线y=(x−1)(x−5)与x轴的公共点坐标是A(x1,0),B(x2,0)，令y=0，则(x−1)(x−5)=0，解得：x1=1,x2=5，∴x1+x2=1+5=6．所以答案是：6．小提示：本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．13、如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米答案：0.64分析：根据抛物线，建立直角坐标系，求出抛物线解析式，即可求得OC的长．解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，代入y=ax2(a≠0)，有y F=(−0.6)2a=0.36a，y A=(−0.8)2a=0.64a，点A 的纵坐标即为OC 的长，∴0.36a ＋0.28＝0.64a ，解得a ＝1，∴抛物线解析式为y =x 2，y A =(−0.8)2=0.64，故OC 的长为：0.64m ．小提示：本题考查根据抛物线构建直角坐标系，解决实际问题，熟练掌握二次函数相关知识点是解题的关键．14、已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：答案：y =2x 2+2x −74 分析：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，进行计算即可得．解：将点(−1,−74)，(0,−74)，(1,94)代入y =ax 2+bx +c 中，得{ a −b +c =−74c =−74a +b +c =94解得，{a =2b =2c =−74，则二次函数的解析式为：y =2x 2+2x −74， 所以答案是：y =2x 2+2x −74． 小提示：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．15、如图，已知抛物线y =−2x 2+4x +6与x 轴相交于于点A ，B ，与y 轴的交于点C ．点P(m ，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设ΔPBC 的面积为S ．下列结论：①AB =4；②OC =6；③S 最大值=274，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）答案：①②③分析：y=−2x2+4x+6中令y=0得：−2x2+4x+6=0，得A（-1，0），B（3，0），从而判断①；y=−2x2+4x+6中令x=0得：y=6，得C（0，6），从而判断②；过点P作PF//y轴，交BC于点F，求出BC的函数关系式，得出点P的坐标为(m,−2m2+4m+6)，点F的坐标为(m,−2m+6)，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③．∵抛物线y=−2x2+4x+6与x轴相交于于点A，B，∴令y=0得：−2x2+4x+6=0，解得：x1=−1,x2=3，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正确；∵抛物线y=−2x2+4x+6与y轴相交于于点C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正确；过点P作PF//y轴，交BC于点F，如图1所示．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，将B(3,0)、C(0,6)代入y =kx +c ，得{3k +c =0c =6 ，解得{k =−2c =6， ∴直线BC 的解析式为y =−2x +6．∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P 的坐标为(m,−2m 2+4m +6)，则点F 的坐标为(m,−2m +6)，∴PF =−2m 2+4m +6−(−2m +6)=−2m 2+6m ，∴S =12PF ⋅OB =−3m 2+9m =−3(m −32)2+274， ∴当m =32时，ΔPBC 面积取最大值，最大值为274．故③正确，所以答案是：①②③．小提示：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键．解答题16、跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底B 、C 相距20cm ，头顶A 离地175cm ，相距60cm 的双手D 、E 离地均为80cm ．点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底B 、C 两点，且甩绳形状始终保持不变．(1)求经过脚底B、C时绳子所在抛物线的解析式．(2)判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．答案：(1)y=110x2−90.(2)不成功，理由见解析分析：（1）建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),由双手D、E离地均为80cm，可得C 点坐标为：(10,−80),再利用待定系数法求解解析式即可；（2）由175−80=95>80,可得跳绳不过头顶A，从而可得答案．（1）解：建立如图所示的坐标系：结合题意可得：D(−30,0),E(30,0),∵双手D、E离地均为80cm．∴C点坐标为：(10,−80),设抛物线为：y=ax2−80,{0=900a+b−80=100a+b,解得：{a=110b=−90,所以抛物线为y=110x2−90.（2）解：∵y=0.1x²－90，∴顶点为（0，－90）.即跳绳顶点到手的距离是90cm，∵175−90=85>80,∴跳绳不过头顶A，∴小明此次跳绳能不成功．小提示：本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，建立合适的坐标系是解本题的关键．17、如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B(0,−12)，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．答案：（1）y=18(x−2)2−1；（2）见解析；（3）2√2+6，(4,−12)分析：（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，18m2−12m−12），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．解：（1）设抛物线的函数解析式为y=a(x−ℎ)2+k,由题意,抛物线的顶点为A(2,−1),∴y=a(x−2)2−1.又∵抛物线与y轴交于点B(0,−12)∴−12=a(0−2)2−1∴a=18∴抛物线的函数解析式为y=18(x−2)2−1（2）证明：∵P（m，n），∴n=18(m−2)2−1=18m2−12m−12，∴P（m，18m2−12m−12），∴d=18m2−12m−12−(−3)=18m2−12m+52，∵F（2，1），∴PF=√(m−2)2+(18m2−12m−12−1)2=√164m4−18m3+78m2−52m+254，∵d2=164m4−18m3+78m2−52m+254，PF2=164m4−18m3+78m2−52m+254，∴d2=PF2，∴PF=d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=√22+22=2√2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF=QH，∴DQ+DF=DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2√2+6，此时Q（4，-1）．2小提示：本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题．18、某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？答案：每间租金225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元分析：首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．由题意可得：y＝（150＋25x）（240−20x）＝−500x2＋3000x＋36000＝−500（x−3）2＋40500当x＝3时，y最大值＝40500．因此每间租金150＋25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．小提示：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．。

专题12 正多边形和圆（综合题）知识互联网易错点拨知识点01：正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．细节剖析:判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点02：正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.细节剖析:要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点03：正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆细节剖析:（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点04：正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….细节剖析:画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.易错题专训一．选择题1．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG 为（）A．3B．C．D．3【易错思路引导】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．【规范解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．2．（2022•游仙区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°【易错思路引导】根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定与性质可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的内角和定理可得答案．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．【考察注意点】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解决此题的关键．3．（2022•太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（）A．7个B．8个C．9个D．10个【易错思路引导】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【规范解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故选：D．【考察注意点】本题主要考查圆的基本性质，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．4．（2022•安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【易错思路引导】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【规范解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故选：C．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2022•固安县模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积（阴影部分面积）之比是（）A．3：1 B．4：1 C．5：2 D．2：1【易错思路引导】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．【规范解答】解：正六边形的面积＝6××（2a）2＝6a2，阴影部分的面积＝a•2a＝2a2，∴空白部分与阴影部分面积之比是＝6a2：2a2＝3：1，故选：A．【考察注意点】本题考查正多边形的性质、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题6．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝18 ．【易错思路引导】连接CE，用n表示出正n边形的中心角，根据三角形的外角性质列出方程，解方程求出n．【规范解答】解：连接CE，正n边形的中心角的度数为：，则∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案为：18．【考察注意点】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式、三角形的外角性质是解题的关键．7．（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为54 厘米．【易错思路引导】根据对称性和周长公式进行解答即可．【规范解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．【考察注意点】本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．8．（2022•陈仓区二模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A 落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为54°．【易错思路引导】根据正五边形的性质可求出角A的度数，再根据等腰三角形以及三角形的内角和可求出∠ABE，再根据正方形的性质求出∠ABG即可．【规范解答】解：∵正五边形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54°．【考察注意点】本题考查正五边形，正方形以及等腰三角形，掌握正五边形、正方形、等腰三角形的性质是正确计算的前提．9．（2022•沙湾区模拟）已知图标（如图）是由圆的六个等分点连接而成，若圆的半径为1，则阴影部分的面积等于．【易错思路引导】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．【规范解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F．∵如图是由圆的六等分点连接而成，∴△ABC与△ADE是等边三角形，∵圆的半径为1，∴AH＝，BC＝AB＝，∴AE＝，AF＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝××+×××3＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．10．（2022•雁塔区校级模拟）在正六边形ABCDEF中，对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．【易错思路引导】根据正六边形的性质可得∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，从而利用等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCA＝30°，进而求出∠ABM＝90°，BM＝CM，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．【规范解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝∠ABC＝120°，AB＝BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ABM＝∠ABC﹣∠CBD＝90°，∠CBD＝∠BCA＝30°，∴BM＝CM，在Rt△ABM中，∠BAC＝30°，∴AM＝2BM，∴AM＝2CM，∴＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查了等腰三角形的判定，正多边形和圆，多边形的内角与外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．11．（2022•河北二模）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是27 ．【易错思路引导】根据拼图，由“外围”的边长进行计算即可．【规范解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，故答案为：20，27．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，理解“外围”的意义是正确解答的前提，得出外围正多边形的边数是解决问题的关键．12．（2021秋•西湖区校级月考）如图，⊙O的内接正六边形，点M，N分别为AF，BC边的中点，直线MN与⊙O交于点PQ，若AB＝1，则PQ＝．【易错思路引导】如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．利用勾股定理求出PK，再利用垂径定理，可得结论．【规范解答】解：如图，连接CF，OA，OB，OP，过点O作OJ⊥AB于点J，交PQ于点K．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，CF∥AB，CF经过圆心O，∵CN＝BN，AM＝MF，∴MN∥AB∥CF，∴OK＝JK，∵OA＝OB＝AB＝1，∴OJ＝，∴OK＝，∵AB∥PQ，OJ⊥AB，∴OK⊥PQ，∴PK＝QK＝＝＝，∴PQ＝2PK＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，垂径定理，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF ＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长．【易错思路引导】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．【规范解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，∴四边形ABPN是平行四边形，∴PN＝AB＝6，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，∴△ANG是等边三角形，∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∴∠PCG＝∠DHC，∵∠CPG＝∠D，∴△CPG∽△HDC，∴＝，∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，∴DH＝，∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．14．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．【易错思路引导】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．【规范解答】解：连接CE，作EF⊥PF．∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，∴△APD∽△CPE，∴＝，∵P为边CD的中点∴PD＝PC＝，PA＝＝，＝，∴PE＝，∵FE∥AD∴△APD∽△EPF，∴＝，∴＝，∴PF＝，∴EF＝＝1，∴DE＝＝＝，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．三．解答题15．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．【易错思路引导】（1））根据正五边形的性质可知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，所以∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，因此∠AOB ＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，推出AB＝AO，则CD＝AO；（2）根据圆周角定理求出∠BDE、∠E的度数，进而证明DF∥AE；证明AF∥DE，AE＝DE，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵五边形是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，AE∥BD，∴∠ABO＝72°，∠BAO＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠AOB＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠ABO，∴AB＝AO，∴CD＝AO；（2）四边形AODE是菱形；理由如下：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠BDE＝＝72°，∠E＝×360°＝108°，∴∠BDE+∠E＝180°，DO∥AE；同理可证：AO∥DE，而AE＝DE，∴四边形AODE是菱形．【考察注意点】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是：深入分析、大胆猜测、合情推理、科学论证．16．（2021•云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【易错思路引导】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【规范解答】解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．【考察注意点】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．17．（2019秋•长乐区期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，过O点作边AD的垂线交于E 点，连接BE，求∠ABE的度数．【易错思路引导】求出圆内接正方形的中心角度数∠AOD，再根据垂径定理求出∠AOE，由圆周角定理得出答案．【规范解答】解：如图，连接OA、OD，∵四边形ABCD是圆内接正方形，∴∠AOD＝＝90°，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠AOE＝∠AOD＝×90°＝45°，∴∠ABE＝∠AOE＝×45°＝22.5°．【考察注意点】本题考查正多边形和圆，圆周角定理以及垂径定理，求出圆内接正方形的中心角度数是解决问题的关键．18．（2021秋•日喀则市月考）如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6．求正方形ABCD的边长和边心距．【易错思路引导】过点O作OE⊥BC，垂足为E．解直角三角形求出BC，OE即可．【规范解答】解：过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．19．（2022•包河区校级二模）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．【易错思路引导】（1）证明CF∥BE，BF∥EC可得结论；（2）证明△DCH≌△CBE（ASA），可得结论．【规范解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB，∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形；（2）∵BF∥EC，∴∠CBF＝∠BCE，∵∠CDH＝∠CBG，∴∠CDH＝∠BCE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCH＝∠CBE＝90°，在△DCH和△CBE中，，∴△DCH≌△CBE（ASA），∴DH＝CE．【考察注意点】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．【易错思路引导】（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．【规范解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝＝108°，即∠ABC＝108°；（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，如图，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴∠NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）连接OD，如图，∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，∵∠AOD＝＝144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．【考察注意点】本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。

解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。

《直线与圆的位置关系》专题解析【考点图解】【技法透析】1．判定直线与圆的位置关系的方法有两种：一是从直线与圆的公共交点的个数来进行判断，另一种是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系来判断．2．切线的判定方法有三种：一是根据定义，直线与圆只有一个公共点；二是圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；三是切线的判定定理，当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常用“连半径证垂直”的方法，当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常用“作垂直证半径”的方法．3．切线的性质定理有：①切线与圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．4．涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据租方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理．5．和圆有关的比例线段定理包括相交弦定理、切割线定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系．利用这些定理，可直接进行线段的等积式的变换，或比例线段的转化．【名题精讲】考点1直线与圆的位置关系例1 如图10－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，OB＝m，⊙O的半径为r＝12，当m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交？【切题技巧】要判断OB＝m在什么范围内取值时，BC与⊙O相离、相切、相交，就是要判断圆心O到BC的距离d与⊙O的半径r之间的大小关系．【切题技巧】作OD⊥BC于点Ｄ【借题发挥】判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：①若d<r，直线与圆相交；②若d＝r，直线与圆相切；③若d>r，直线与圆相离．【同类拓展】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；BC＝4cm，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．相切或相交2．如图10－2，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是( )A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤2C．0≤x≤2D．x>2考点2直线与圆相切的综合问题例2 如图10－3，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线(2)求证：BC＝12AB(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．【切题技巧】(1)证∠OCP＝∠ACB＝90°即可得PC是⊙O的切线，(2)证∠CBO＝∠COB得BC＝OC，从而有BC＝12AB，(3)连MA，MB，先证△BMN∽△CMB得MN·MC＝BM2，再在Rt△ABM中求出BM长即可求值．【规范解答】【借题发挥】切线的证明有两种方法：一种是已知切点，连接圆心和切点证垂直；另一种是不知切点，过圆心向已知直线作垂线，证垂线段长等于半径．【同类拓展】3．如图10－4，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，交AC于点E，连接AD，BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H，交BE于点G，则以下正确的结论是_______（填序号）①BD＝CD ②DF是⊙O的切线③∠DAC＝∠BDH ④DG＝12BM4．如图10－5，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC 于点D，连接BD．(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．考点3线段相等的证明例3 如图10－6，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD＝BC，CE⊥AD，垂足为E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE＝PC【切题技巧】由切割线定理得PC2＝PF·PA，要证明PE＝PC，只需证明PE2＝PF·PA，这样通过圆幂定理把线段相等问题转化为线段等积式的证明，由三角形相似可完成，【规范解答】延长DA交⊙O于K，连结BK，OC．【借题发挥】证比例式或平方法是圆中证线段相等的重要方法，证比例式常通过相似三角形或平行线性质得到，当要证相等的线段中有一条是圆的切线时，常采用平方法，而线段的平方常由切割线定理，相似三角形的性质来证，值得注意的是，几何图形中有直径这一条件，常添加辅助线，构成直径上的圆周角是直角，使其杓成直角三角形．【同类拓展】5．如图10－7，AB是半圆的直径，AC⊥AB，在半圆上任取一点D，过点D 作DE⊥CD，交直径AB于点E，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F，问图中除了AB＝AC外，是否还有其它两条线段相等，如果有，指出这两条相等的线段，并给出证明：如果没有，也要说明理由．6．如图10－8，四边形ABCD为正方形，00过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB、AD于点F、E．(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值．考点4多边形的切圆问题例4 如图10－9，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1，T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．(1)设T1，T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；(2)求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．【切题技巧】(1)由圆内接正六边形的特点可知，相邻两个顶点与圆心构造的三角形是等边三角形，所以它的外接圆半径与边长相等，由此不难得出它们的比值；(2)由相切关系和等边三角形的性质可求得它们之间的比值．【规范解答】(1)如图10－10，连接圆心O和Ｔ1的6个顶点可得6个全等的正三角形，且OC⊥AB．∴OA＝AB=b，AC=12 b．【借题发挥】解决正多边形外切圆和内接圆问题的一般方法是转化为等腰三角形或直角三角形问题，特别地，对于三角形的内切圆问题，有一条很有用的结论：如图10－11，⊙O切△ABC 的三边于点D，E，F，则AE＝AF＝12(AB＋AC－BC)，BD＝BF＝12(BC＋AB－AC)，CD＝CE＝12(AC＋BC－AB)．【同类拓展】7．如图10－12，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上的点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于E，F两点，设AB＝a，AC＝b，则⊙O的半径等于_______．8．如图10－13，△ABC是正三角形，点C在矩形ABDE的边DE上，△ABC的内切圆半径是1，则矩形ABDE的外接圆直径是_______．考点5 直线与圆的动态问题例5 如图10－14，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB ＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，设运动时间为ts，当t＝0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【切题技巧】对于(1)按半圆与直线AC，AB相切分两大类，每一大类又可分两小类：①与线段AC相切，切点为E；②与线段AC相切，切点为D；③与线段AB相切，切点为F；④与线段AB的延长线相切，切点为Q．【规范解答】(1)在图10－15中，①如图10－15①，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6cm．所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t＝22＝1(s．)②如图10－15②，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm．则OF＝6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了8cm，所求运动时间为：t＝82＝4(s)．③如图10－15③，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC＝OD＝6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t＝142＝7(s)．④如图10－15④，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，过点O作⊙O上直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径．所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t＝322＝16 (s)．因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①、③两种情形；与AB 所在的直线相切只有上述②、④两种情形；与BC所在直线始终相交，所以只有当t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切．(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与图③所示的两种情形．①如图10－15②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：s扇形EOM＝14π×62＝9(cm2)．②如图10－15③，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则PH＝BH．Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6cm，则OH＝3cm，BH＝33cm，BP＝63cm．S△POB＝12×63×3＝93(cm2)．又因为∠DOP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形DOP＝16π×62＝6π(cm2)．所求重叠部分面积为：S△POB＋S扇形DO P＝（93＋6π）(cm2)．【同类拓展】9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？参考答案1. B2. C3.①②③④4．(1)203(2)略5．BF＝BE 6．(1)略227．aba b219．(1)t＝83（s）(2)t＝2。