第4讲 不等式的综合应用
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不等式题型选讲1、 有关不等式的解法:解不等式是通过变形转化为简单不等式从而得到解集,如分式不等式转化为整式不等式但要注意是同解变形,每一步变形既充分又必要,例如解分式不等式不要随便去分母,而是先移项,等价转化为f (x )>0或f (x )<0的形式,再分析讨论。
一些含绝对值符号的不等式,含有参数的不等式必须进行讨论。
例1、(1)设集合A ={x ∣x 2-1>0},B ={x ∣log 2x >0},则A ∩B 等于( )A 、{x ∣x >1}B 、{x ∣x >0}C 、{x ∣x <-1}D 、{x ∣x <-1或x>1}(2)不等式(1+x )(1-∣x ∣)>0的解集为( )A 、{x ∣0≤x <1}B 、{x ∣x <0且x ≠-1}C 、{x ∣-1<x <1}D 、{x ∣x <1或x ≠-1}(3)设f (x )是奇函数且在(-∞,0)内是减函数,f (-2)=0,则x f (x )<0的解集为( )A 、(-1,0)∪(2,+∞)B 、(-∞,-2)∪(0,2)C 、(-∞,-2)∪(2,+∞)D 、(-2,0)∪(0,2)(4)(2003新教材高考试题)设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ,若f (x )>1,则x 0的取值范围是( )A 、(-1,1)B 、(-1,+∞)C 、(-∞,-2)∪(0,+∞)D 、(-∞,-1)∪(1,+∞)选择题具有自身独特的特点,从而决定了它的解法具有灵活机动的优势。
解题者选择不同的解法,从一个侧面反映出他们数学水平的不同“层次”。
例2、(1)不等式1)20(lg cos 2>x (x ∈(0,π)的解集为(2)不等式x x x <-24的解集是-----------------。
第4讲 基本不等式思维导图知识梳理1.基本不等式ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b . 2.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果x +y 是定值q ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是q 24(简记:和定积最大).核心素养分析(,0)2a ba b +≤≥。
结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.题型归纳题型1 利用基本不等式求最值【例1-1】(2019·济南模拟)(1)已知2x <,求9()2f x x x =+-的最大值; (2)已知x ,y 是正实数,且9x y +=,求13x y+的最小值.【例1-2】(2019·辽宁模拟)已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. 【例1-3】(2019·合肥调研)已知a >b >0,那么a 2+1b (a -b )的最小值为________.【跟踪训练1-1】(2020春•湖北期中)已知32x >,则1()4146f x x x =-+-的最小值为 . 【跟踪训练1-2】(2020•韶关二模)已知0x >,0y >,且121x y+=,则2x y +的最小值是( )A .7B .8C .9D .10【名师指导】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式; (4)利用基本不等式求解最值.3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.4.两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性.题型2 利用基本不等式解决实际问题【例2-1】(2019秋•罗田县期中)小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a 和()b a b >,其全程的平均时速为v ,则( )A .a v <<B .b v <<C 2a b v +<D .2a bv += 【例2-2】(2019春•南昌县校级月考)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份( ) A .甲食堂的营业额较高B .乙食堂的营业额较高C .甲乙两食堂的营业额相同D .不能确定甲,乙哪个食堂的营业额较高【跟踪训练2-1】(2019秋•金安区校级月考)近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤,家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同:家庭主妇甲每周买3斤猪肉,家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉,试比较谁购买方式更实惠(两次平均价格低视为实惠) (在横线上填甲或乙即可). 【名师指导】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.题型3 基本不等式的综合应用【例3-1】(2020春•吉林月考)在Rt ABC ∆中,已知90C ∠=︒,3CA =,4CB =,P 为线段AB 上的一点,且||||CA CB CP xy CA CB =+,则11x y +的最小值为( )A .76B .712C .712 D .76【例3-2】(2020春•广陵区校级期中)已知直线22(0,0)mx ny m n +=>>过圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心,则12m n+的最小值为( )A .3B .3+C .6D .3+【例3-3】(2020•山东模拟)若(0,)x ∀∈+∞,241x m x+,则实数m 的取值范围为 .【跟踪训练3-1】(2020春•沙坪坝区校级月考)已知向量22(1,1),(94,61)a b x y xy ==++,且向量a 与向量b 平行,则32x y +的最大值为( ) A .1B .2C .3D .4【跟踪训练3-2】(2020•淮南一模)已知函数()exf x ln e x=-,满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+,b 均为正实数),则14a b +的最小值为 【名师指导】利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.。
不等式的综合应用不等式是数学中常见且重要的概念,在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用,包括数学问题求解、经济学和物理学中的应用。
一、数学问题求解不等式在数学问题的求解中起着重要的作用。
例如,在解决线性方程组时,我们通常需要对方程组进行不等式的相关处理。
设想有以下线性方程组:3x + 5y ≥ 102x - 4y ≤ 8我们可以将其转化为不等式的形式。
首先,将第一个等式左右两边都减去10得到:3x + 5y - 10 ≥ 0然后,将第二个等式左右两边都加上8得到:2x - 4y + 8 ≤ 0通过这样的处理,我们可以将线性方程组问题转化为不等式问题。
进一步分析这个不等式系统,我们可以求解出x和y的取值范围,从而得到方程组的解。
二、经济学中的应用不等式在经济学中也具有广泛的应用。
例如,在市场需求与供给的分析中,我们经常需要利用不等式关系来描述市场状况。
假设某种商品的市场需求量D(x)和市场供给量S(x)分别与价格x相关。
根据供需关系,我们可以得到以下不等式:D(x) ≥ S(x)通过对不等式进行进一步分析,我们可以确定市场均衡价格的范围,从而指导市场的调节和决策。
三、物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如,在运动学问题中,不等式可以帮助我们描述物体的运动状态。
考虑一个自由落体问题,物体从高度h自由落下,其下落时间t和下落距离s满足以下不等式关系:s = (1/2)gt^2 ≥ h其中,g表示重力加速度。
通过这个不等式关系,我们可以求解出物体的下落时间和下落距离的范围。
结论综上所述,不等式的应用范围广泛且多样化。
无论是在数学问题的求解、经济学的市场分析,还是物理学中的运动描述,不等式都能够提供重要的辅助工具。
在实际问题中,我们可以运用不等式的性质和方法,解决各种与大小关系相关的计算和推理问题。
通过不等式的综合应用,我们可以更好地理解和解决数学、经济学和物理学中的各种实际问题。
不等式的综合应用不等式是数学中常见的一种数学工具,它在各个领域有着广泛的应用。
本文将探讨不等式的综合应用,包括经济学、物理学和生活中的实际问题。
通过实际情景的分析,我们将展示不等式的强大威力和应用前景。
经济学中的不等式应用在经济学中,不等式常用于描述资源分配、生产效率和市场需求等问题。
例如,假设某地有两种商品A和B,它们的制造需要不同的资源和工人。
设x为商品A的生产数量,y为商品B的生产数量,我们可以建立如下不等式:2x + 3y ≤ 200 (1)3x + 2y ≤ 240 (2)式(1)和式(2)约束了商品A和B的生产数量,左侧分别代表了所需的资源量和工人数量,右侧表示了可用的资源和工人数量。
通过求解这个不等式组,我们可以找到最优的生产方案,即在资源和工人有限的情况下,如何使得产出最大化。
物理学中的不等式应用在物理学中,不等式常用于描述力学、热力学和电磁学等问题。
例如,考虑一个物体在斜坡上滑动的情况。
若物体的质量为m,斜坡的倾角为θ,摩擦系数为μ,我们可以建立如下不等式:μmgcosθ - mgsinθ ≥ 0 (3)式(3)表示了物体在斜坡上滑动的条件,左侧是摩擦力和重力垂直分量的差值,右侧为0。
当左侧大于等于0时,表示摩擦力足够大,物体可以保持在斜坡上不滑动;当左侧小于0时,表示摩擦力不足,物体将发生滑动。
通过分析这个不等式,我们可以推导出物体保持在斜坡上不滑动的条件。
生活中的实际问题中的不等式应用除了学术领域,不等式在我们的日常生活中也有重要的应用。
例如,假设你的电费与用电量有关,且电费计价标准如下:0 ≤ 电价≤ 2 (4)100 ≤ 用电量≤ 500 (5)式(4)和式(5)为两个不等式,分别限制了电价和用电量的范围。
通过解这个不等式组,你可以确定用电量在给定范围内对应的最低和最高电费,以预估你的电费支出。
结论通过以上几个实例,我们可以看到不等式的综合应用在各个领域都具有重要意义。
第4讲 基本不等式[学生用书P114]1.基本不等式ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a +ab ≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a ,b ∈R ). (4)a 2+b 22≥⎛⎫a +b 22(a ,b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a =b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是(简记:积定和最小)(2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大)判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y =x +1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )=cos x +4cos x,x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y +yx ≥2”的充要条件.( )(4)若a >0,则a 3+1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 有相同的成立条件.( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)函数f (x )=x +1x 的值域为( )A .[-2,2] B.[2,+∞) C .(-∞,-2]∪[2,+∞) D .R 解析:选C .当x >0时,x +1x ≥2x ·1x=2. 当x <0时,-x >0. -x +1-x≥2(-x )·1(-x )=2.所以x +1x≤-2.所以f (x )=x +1x的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).故选C .(教材习题改编)设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( )A .80 B.77 C .81D .82解析:选C .18=x +y ≥2xy ,所以xy ≤9,即xy ≤81. 若x >1,则x +4x -1的最小值为________.解析:x +4x -1=x -1+4x -1+1≥4+1=5.当且仅当x -1=4x -1,即x =3时等号成立.答案:5若实数x ,y 满足xy =1,则x 2+2y 2的最小值为______.解析:因为xy =1,所以y =1x ,所以x 2+2y 2=x 2+2x2≥2x 2·2x2=22.即x 2+2y 2的最小值为22. 答案:2 2若f (x )=x +1x -2(x >2)在x =a 处取得最小值,则a =________. 解析:f (x )=x +1x -2=(x -2)+1x -2+2≥2(x -2)·1x -2+2=4,当且仅当x -2=1x -2,即x =3时,“=”成立,所以a =3. 答案:3利用基本不等式求最值(高频考点) [学生用书P114]利用基本不等式求最值是高考考查的重点,很少单独命题,常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查,主要命题角度有:(1)通过配凑法利用基本不等式求最值; (2)通过常数代换法利用基本不等式求最值; (3)通过消元法利用基本不等式求最值.[典例引领]角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1,则x (4-3x )取得最大值时x 的值为________. (2)已知x <54,则f (x )=4x -2+14x -5的最大值为________.(3)函数y =x 2+2x -1(x >1)的最小值为________.【解析】 (1)x (4-3x )=13·(3x )(4-3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x +(4-3x )22=43, 当且仅当3x =4-3x , 即x =23时,取等号.(2)因为x <54,所以5-4x >0,则f (x )=4x -2+14x -5=-(5-4x +15-4x)+3≤-2+3=1.当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时,等号成立. 故f (x )=4x -2+14x -5的最大值为1. (3)y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+3x -1=(x -1)+3x -1+2≥23+2.当且仅当(x -1)=3(x -1),即x =3+1时,等号成立. 【答案】 (1)23(2)1 (3)23+2角度二 通过常数代换法利用基本不等式求最值已知a >0,b >0,a +b =1,则1a +1b 的最小值为________.【解析】 因为a +b =1,所以1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=2+⎝⎛⎭⎫b a +a b ≥2+2b a ·ab=2+2=4. 当且仅当a =b 时,“=”成立. 【答案】 41.若本例条件不变,求⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b 的最小值. 解:⎝⎛⎭⎫1+1a ⎝⎛⎭⎫1+1b =⎝⎛⎭⎪⎫1+a +b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+a +b b=⎝⎛⎭⎫2+b a ·⎝⎛⎭⎫2+a b=5+2⎝⎛⎭⎫b a +a b ≥5+4=9. 当且仅当a =b =12时,取等号.2.若将本例条件改为a +2b =3,如何求解1a +1b 的最小值.解:因为a +2b =3, 所以13a +23b =1.所以1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b ⎝⎛⎭⎫13a +23b =13+23+a 3b +2b3a ≥1+2a 3b ·2b 3a =1+223. 当且仅当a =2b 时,取等号.角度三 通过消元法利用基本不等式求最值已知x >0,y >0,x +3y +xy =9,则x +3y 的最小值为________. 【解析】 法一:由已知得x +3y =9-xy , 又因为x >0,y >0, 所以x +3y ≥23xy ,所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +3y 22,当且仅当x =3y 时, 即x =3,y =1时取等号, (x +3y )2+12(x +3y )-108≥0. 令x +3y =t ,则t >0且t 2+12t -108≥0, 得t ≥6即x +3y ≥6. 法二:由x +3y +xy =9, 得x =9-3y 1+y,所以x +3y =9-3y 1+y +3y =9-3y +3y (1+y )1+y=9+3y 21+y =3(1+y )2-6(1+y )+121+y =3(1+y )+121+y -6≥23(1+y )·121+y-6=12-6=6.即x +3y 的最小值为6. 【答案】 6(1)利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路: ①对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.②条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. (2)条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.[注意] (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.[通关练习]1.已知x >0,y >0且x +y =1,则8x +2y 的最小值为________.解析:因为x >0,y >0, 且x +y =1,所以8x +2y =⎝⎛⎭⎫8x +2y (x +y )=10+8y x +2xy ≥10+28y x ·2xy=18, 当且仅当8y x =2xy ,即x =2y 时等号成立,所以当x =23,y =13时,8x +2y 有最小值18.答案:182.若对∀x ≥1,不等式x +1x +1-1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是________. 解析:因为函数g (x )=x +1x +1-1在[1,+∞)上单调递增,所以函数g (x )=x +1+1x +1-2在[1,+∞)上单调递增,所以函数g (x )在[1,+∞)上的最小值为g (1)=12,因此对∀x ≥1不等式x +1x +1-1≥a 恒成立,所以a ≤g (x )最小值=12,故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,12. 答案:⎝⎛⎦⎤-∞,12 3.若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. 解析:由x +3y =5xy 可得15y +35x =1,所以3x +4y =(3x +4y )⎝⎛⎭⎫15y +35x=95+45+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =12时,等号成立), 所以3x +4y 的最小值是5. 答案:5利用基本不等式解决实际问题 [学生用书P115][典例引领]某厂家拟定在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x =3-k m +1(k 为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? 【解】 (1)由题意知, 当m =0时,x =1(万件),所以1=3-k ⇒k =2,所以x =3-2m +1,每件产品的销售价格为1.5×8+16xx (元),所以2018年的利润y =1.5x ×8+16xx-8-16x -m=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m +1+(m +1)+29(m ≥0).(2)因为m ≥0时,16m +1+(m +1)≥216=8,所以y ≤-8+29=21,当且仅当16m +1=m +1⇒m =3(万元)时,y max =21(万元).故该厂家2018年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.[通关练习]经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t 天(1≤t ≤30,t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )=4+1t,而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )=120-|t -20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30,t ∈N *)的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值. 解:(1)W (t )=f (t )g (t )=⎝⎛⎭⎫4+1t (120-|t -20|) =⎩⎨⎧401+4t +100t , 1≤t ≤20.559+140t-4t , 20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时,401+4t +100t≥401+24t ·100t=441(t =5时取最小值).当t ∈(20,30]时,因为W (t )=559+140t-4t 递减,所以t =30时,W (t )有最小值W (30)=44323,所以t ∈[1,30]时,W (t )的最小值为441万元.基本不等式的综合应用(高频考点)[学生用书P116]基本不等式的综合应用也是高考考查的重点,多为选择题或填空题,难度适中,主要命题角度有:(1)与其他知识交汇的最值问题; (2)求参数值或最值范围.[典例引领]角度一 与其他知识交汇的最值问题(1)已知直线ax +by +c -1=0(b ,c >0)经过圆x 2+y 2-2y -5=0的圆心,则4b +1c的最小值是( )A .9 B.8 C .4D .2(2)设等差数列{a n }的公差是d ,其前n 项和是S n ,若a 1=d =1,则S n +8a n的最小值是________.【解析】 (1)圆x 2+y 2-2y -5=0化成标准方程, 得x 2+(y -1)2=6, 所以圆心为C (0,1).因为直线ax +by +c -1=0经过圆心C ,所以a ×0+b ×1+c -1=0, 即b +c =1.因此4b +1c =(b +c )⎝⎛⎭⎫4b +1c =4c b +bc +5. 因为b ,c >0, 所以4c b +b c≥24c b ·bc=4. 当且仅当b =2c , 且b +c =1,即b =23,c =13时,4b +1c 取得最小值9.(2)a n =a 1+(n -1)d =n ,S n =n (1+n )2,所以S n +8a n =n (1+n )2+8n =12(n +16n +1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n +1=92, 当且仅当n =4时取等号. 所以S n +8a n 的最小值是92.【答案】 (1)A (2)92角度二 求参数值或最值范围(1)已知函数f (x )=4x +ax (x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.(2)不等式x 2+x <a b +ba 对任意a ,b ∈(0,+∞)恒成立,则实数x 的取值范围是________.【解析】 (1)因为x >0,a >0, 所以f (x )=4x +ax≥24x ·ax=4a , 当且仅当4x =ax,即4x 2=a 时,f (x )取得最小值.又因为f (x )在x =3时取得最小值,所以a =4×32=36.(2)根据题意,由于不等式x 2+x <a b +ba 对任意a ,b ∈(0,+∞)恒成立,则x 2+x <⎝⎛⎭⎫a b +b a min,因为a b +b a ≥2a b ·ba=2, 当且仅当a =b 时等号成立,所以x 2+x <2,求解此一元二次不等式可知-2<x <1,所以x 的取值范围是(-2,1). 【答案】 (1)36 (2)(-2,1)求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.[通关练习]1.已知不等式(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +a y ≥9对任意的正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .3 B.4 C .6D .8解析:选B .(x +y )⎝⎛⎭⎫1x +a y =1+a +y x +axy ≥1+a +2a =(a +1)2(x ,y ,a >0), 当且仅当y =ax 时取等号,所以(x +y )·⎝⎛⎭⎫1x +a y 的最小值为(a +1)2, 于是(a +1)2≥9恒成立. 所以a ≥4.2.已知正数x ,y 满足x +22xy ≤λ(x +y )恒成立,则实数λ的最小值为________. 解析:依题意得x +22xy ≤x +(x +2y )=2(x +y ),即x +2xyx +y ≤2(当且仅当x =2y 时取等号),即x +22xy x +y 的最大值为2.又λ≥x +22xyx +y,因此有λ≥2,即λ的最小值为2.答案:2基本不等式转化的功能基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.基本不等式的应用技巧(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2+b 22;a +b2≥ab (a >0,b > 0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a >0,b >0).变形有ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22≤a 2+b 22,ab ≤a +b 2≤a 2+b 22(a >0,b >0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等. 应用基本不等式解题时应注意3点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”,忽视哪一个都可能致误.(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况,应考虑使用函数y =x +mx(m >0)的单调性.[学生用书P295(单独成册)]1.当x >0时,函数f (x )=2xx 2+1有( )A .最小值1 B.最大值1 C .最小值2D .最大值2解析:选B .f (x )=2x +1x ≤22x ·1x=1.当且仅当x =1x,x >0即x =1时取等号.所以f (x )有最大值1.2.下列不等式一定成立的是( ) A .lg ⎝⎛⎭⎫x 2+14>lg x (x >0) B .sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z )C .x 2+1≥2|x |(x ∈R )D .1x 2+1>1(x ∈R ) 解析:选C .对选项A ,当x >0时,x 2+14-x =⎝⎛⎭⎫x -122≥0,所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2+14≥lg x ; 对选项B ,当sin x <0时显然不成立; 对选项C ,x 2+1=|x |2+1≥2|x |,一定成立; 对选项D ,因为x 2+1≥1, 所以0<1x 2+1≤1.故选C .3.若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则( )A .R <P <Q B.Q <P <R C .P <Q <RD .P <R <Q解析:选C .因为a >b >1,所以lg a >lg b >0,12(lg a +lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P .因为a +b 2>ab ,所以lg a +b 2>lg ab =12(lg a +lg b )=Q , 所以R >Q ,所以P <Q <R ,故选C .4.若正实数x ,y 满足x +y =2,且1xy ≥M 恒成立,则M 的最大值为( )A .1 B.2 C .3D .4解析:选A .因为正实数x ,y 满足x +y =2, 所以xy ≤(x +y )24=224=1,所以1xy ≥1;又1xy≥M 恒成立,所以M ≤1,即M 的最大值为1. 5.一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为( ) A .L 28B.L 24C .L 22D .L 2解析:选A .设菜园的长为x ,宽为y , 则x +2y =L ,面积S =xy , 因为x +2y ≥22xy . 所以xy ≤(x +2y )28=L 28.当且仅当x =2y =L 2,即x =L 2,y =L4时,S max =L 28,故选A .6.已知a >0,b >0,a +2b =3,则2a +1b 的最小值为________.解析:由a +2b =3得13a +23b =1,所以2a +1b =⎝⎛⎭⎫13a +23b ⎝⎛⎭⎫2a +1b =43+a 3b +4b 3a ≥43+2a 3b ·4b 3a =83. 当且仅当a =2b =32时取等号.答案:837.已知函数y =x -4+9x +1(x >-1),当x =a 时,y 取得最小值b ,则a +b =________.解析:y =x -4+9x +1=x +1+9x +1-5,因为x >-1,所以x +1>0,9x +1>0. 所以由基本不等式, 得y =x +1+9x +1-5≥2(x +1)·9x +1-5=1,当且仅当x +1=9x +1,即(x +1)2=9,即x +1=3,x =2时取等号, 所以a =2,b =1,a +b =3.答案:38.若2x +2y =1,则x +y 的取值范围是________. 解析:因为2x +2y ≥22x ·2y =22x +y (当且仅当2x =2y 时等号成立),所以2x +y ≤12,所以2x +y ≤14,得x +y ≤-2.答案:(-∞,-2]9.(1)当x <32时,求函数y =x +82x -3的最大值;(2)设0<x <2,求函数y =x (4-2x )的最大值. 解:(1)y =12(2x -3)+82x -3+32=-⎝ ⎛⎭⎪⎫3-2x 2+83-2x +32.当x <32时,有3-2x >0,所以3-2x 2+83-2x≥23-2x 2·83-2x=4, 当且仅当3-2x 2=83-2x ,即x =-12时取等号.于是y ≤-4+32=-52,故函数的最大值为-52.(2)因为0<x <2,所以2-x >0, 所以y =x (4-2x )=2·x (2-x )≤2·x +2-x2=2,当且仅当x =2-x ,即x=1时取等号,所以当x =1时,函数y =x (4-2x )的最大值为2.10.已知x >0,y >0,且2x +8y -xy =0,求 (1)xy 的最小值; (2)x +y 的最小值. 解:(1)由2x +8y -xy =0, 得8x +2y=1,又x >0,y >0, 则1=8x +2y ≥28x ·2y =8xy. 得xy ≥64,当且仅当x =16,y =4时,等号成立. 所以xy 的最小值为64.(2)由2x +8y -xy =0,得8x +2y =1,则x +y =⎝⎛⎭⎫8x +2y ·(x +y ) =10+2x y +8yx≥10+22x y ·8yx=18. 当且仅当x =12且y =6时等号成立, 所以x +y 的最小值为18.1.已知直线ax +by -6=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为25,则ab 的最大值是( )A .9 B.92 C .4D .52解析:选B .将圆的一般方程化为标准方程为(x -1)2+(y -2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径r =5,故直线过圆心,即a +2b =6,所以a +2b =6≥2a ·2b ,可得ab ≤92,当且仅当a =2b =3时等号成立,即ab 的最大值是92,故选B .2.若正数a ,b 满足a +b =2,则1a +1+4b +1的最小值是( )A .1 B.94 C .9D .16解析:选B .1a +1+4b +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1+4b +1·(a +1)+(b +1)4=14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+4+b +1a +1+4(a +1)b +1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5+2b +1a +1·4(a +1)b +1=94, 当且仅当b +1a +1=4(a +1)b +1,即a =13,b =53时取等号,故选B .3.设a ,b >0,a +b =5,则a +1+b +3的最大值为________. 解析:设a +1=m ,b +3=n ,则m ,n 均大于零,因为m 2+n 2≥2mn , 所以2(m 2+n 2)≥(m +n )2, 所以m +n ≤2·m 2+n 2, 所以a +1+b +3≤2·a +1+b +3 =32, 当且仅当a +1=b +3,即a =72,b =32时“=”成立,所以所求最大值为32. 答案:3 24.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x -y -2≤0x -y ≥0x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >1,b >2)的最大值为5,则1a -1+4b -2的最小值为________. 解析:由约束条件⎩⎨⎧3x -y -2≤0x -y ≥0x ≥0,y ≥0,作出可行域如图,联立⎩⎪⎨⎪⎧x -y =03x -y -2=0,解得A (1,1).由z =ax +by (a >1,b >2),得y =-a b x +zb,由图可知,z max =a +b =5. 可得a -1+b -2=2.所以1a -1+4b -2=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1+4b -2(a -1+b -2)=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+b -2a -1+4(a -1)b -2 ≥12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5+2b -2a -1×4(a -1)b -2=92.当且仅当b =2a 时等号成立,并且a +b =5,a >1,b >2即a =53,b =103时上式等号成立.所以1a -1+4b -2的最小值为92.答案:925.已知x >0,y >0,且2x +5y =20. 求:(1)u =lg x +lg y 的最大值; (2)1x +1y 的最小值. 解:(1)因为x >0,y >0,所以由基本不等式,得2x +5y ≥210xy . 因为2x +5y =20,所以210xy ≤20,xy ≤10, 当且仅当2x =5y 时,等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x +5y =20,2x =5y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =2,此时xy 有最大值10.所以u =lg x +lg y =lg(xy )≤lg 10=1.所以当x =5,y =2时,u =lg x +lg y 有最大值1.(2)因为x >0,y >0, 所以1x +1y =⎝⎛⎭⎫1x +1y ·2x +5y 20=120⎝⎛⎭⎫7+5y x +2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7+25y x ·2x y =7+21020. 当且仅当5y x =2xy 时,等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x +5y =20,5y x =2x y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1010-203,y =20-4103.所以1x +1y 的最小值为7+21020.6.某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元,以后每年增加2万元,把工作室出租,每年收入租金30万元.(1)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?(2)若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时,以46万元出售该工作室;②纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室.问该商人会选择哪种方案?解:(1)设第n 年获取利润为y 万元.n 年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n 年付出的装修费之和为n ×1+n (n -1)2×2=n 2,又投资81万元,n 年共收入租金30n 万元,所以利润y =30n -n 2-81(n ∈N *). 令y >0,即30n -n 2-81>0, 所以n 2-30n +81<0,解得3<n <27(n ∈N *),所以从第4年开始获取纯利润.(2)方案①:年平均利润t =30n -(81+n 2)n =30-81n -n =30-⎝⎛⎭⎫81n +n ≤30-281n·n =12(当且仅当81n=n ,即n =9时取等号),所以年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12×9+46=154(万元).方案②:纯利润总和y=30n-n2-81=-(n-15)2+144(n∈N*),当n=15时,纯利润总和最大,为144万元,所以纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室共获利润144+10=154(万元),两种方案盈利相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①.。
网络课程内部讲义
不等式的综合应用
教师:苗金利
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不等式的综合应用
一、知识热点及复习策略
运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时,关键在于把非不等式问题转化为不等式问题;在化归与转化中,要注意等价性;在应用均值不等式处理相关问题时,有时要对式子的结构进行调整,创造所需形式。
二、例题分析:
例题1. 求函数值域:()123f x x x =−++
例题2. 某粮食批发市场每天随行情定价,某甲、乙两名采购员在每月同一天去该市场购买同一种大米,甲每次购买a 公斤,乙每次购买b 元,问该方案实施三次后,谁的购买方式平均价格更低。
例题3. 四边形ABCD 对角线交于O 点,AOB Δ面积为4,COD Δ面积为16,求四边形ABCD 面积的最小值。
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例题4. 设x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+−≤−−0,002063y x y x y x ,若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的值是最大值为
12,求
23a b
+的最小值.
例题5. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?
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例题6. 过P(1,0)做曲线C:((0,),,1)k
y x x k N k +=∈+∞∈>的切线,切点为1Q ,设1Q 在x 轴上的投影为1P ,又过1P 做曲线C 的切线,切点为2Q ,设2Q 在x 轴上的投影为2P ,L ,依次下去得到一系列点123,,,n Q Q Q Q L ,设n Q 的横坐标为n a ,求证: 21(1)(2)1(3)11n n n n i i
k n i a a k k k k a =⎛⎞=≥+<−⎜⎟−−⎝⎠
∑。