例析不等式在实际生活中的应用

不等式(组)实际应用例析
不等式（组）在日常生活和工作中有广泛的应用。

下面是一些常见的不等式（组）实际应用的例子：
•用不等式分析矩形的长宽关系：如果长大于宽，则长的平方大于长乘宽；如果宽大于长，则长的平方小于长乘宽。

•用不等式解决三角形面积的限制：如果三角形的两边之和大于第三边，则该三角形存在；如果三角形的两边之和小于第
三边，则该三角形不存在。

•用不等式解决线性规划问题：如果有多个变量，则可以用不等式来描述限制条件，并使用数学软件解决线性规划问题。

这些例子只是不等式（组）在实际应用中的一小部分，它还有很多其他应用，例如分析统计数据、判断函数单调性等。

生活中的不等式
在生活中，我们经常会遇到各种各样的不等式。

有些不等式是数学上的，比如
1+2<4，表示1加2小于4。

而有些不等式则是指人生中的不平等现象，比如社会
地位的不平等、收入的不平等等等。

在社会中，不平等现象是普遍存在的。

有些人出生在富裕的家庭，拥有良好的
教育资源和生活条件，而有些人则出生在贫困的家庭，缺乏基本的生活保障。

这种社会地位的不平等，导致了人们在起跑线上的差异，使得一些人很难有机会去追求自己的梦想和目标。

另外，收入的不平等也是一个严重的问题。

在社会中，有些人拥有丰富的财富
和资源，而有些人却只能勉强维持生计。

这种不平等导致了社会的不稳定和不公平，使得一些人在经济上难以获得应有的权利和地位。

然而，生活中的不等式并不是不可逆转的。

通过社会的努力和改革，可以逐渐
缩小社会地位和收入的不平等现象。

比如通过教育改革，可以让每个人都有机会接受良好的教育，从而改变自己的命运。

又比如通过税收政策和福利制度的调整，可以让社会资源更加公平地分配，使得每个人都能够享有基本的生活保障。

因此，生活中的不等式虽然存在，但并不是无法解决的问题。

只要我们齐心协力，努力改变现状，就能够让社会变得更加公平和美好。

让我们共同努力，消除生活中的不等式，创造一个更加和谐和公正的社会。

不等式与绝对值不等式的应用不等式在数学中扮演着重要的角色，它们有着广泛的应用领域，其中包括解决实际问题和证明数学定理等。

在不等式的基础上，绝对值不等式则在解决一些涉及绝对值的问题时非常有用。

本文将探讨不等式与绝对值不等式的应用，并通过例子详细说明其运用方法和效果。

一、不等式的应用不等式的应用涵盖了很多领域，其中包括经济学、物理学、几何学等等。

下面将以一个实际问题为例，展示不等式在解决实际问题时的应用。

例1：假设某公司生产一种产品，每个产品的成本为C元，售价为P元。

设该公司的固定成本为F元，求该公司的盈利情况。

解：首先，我们可以列出该问题的不等式表示形式：P > C + F其中，P表示售价，C表示成本，F表示固定成本。

不等式P > C + F表示售价要大于成本和固定成本的总和，才能够获得盈利。

通过观察不等式，我们可以看到，当售价超过成本和固定成本的总和时，该公司将盈利。

如果售价等于成本和固定成本的总和，该公司将实现收支平衡。

而如果售价低于成本和固定成本的总和，该公司将亏损。

通过这个例子，我们可以看到不等式在实际问题中的应用。

通过建立恰当的不等式关系，我们可以对经济利益进行分析和预测。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在许多问题中都有重要的应用，尤其是涉及到绝对值的问题。

下面将以一个实际问题为例，展示绝对值不等式的应用。

例2：假设小明家离学校有一段距离为D公里，他每天骑自行车上学，速度为V千米/小时。

他希望能够在t小时内到达学校，求t的取值范围。

解：首先，我们可以列出该问题的绝对值不等式表示形式：|D| ≤ V × t其中，|D|表示距离的绝对值，V表示速度，t表示时间。

绝对值不等式|D| ≤ V × t表示距离的绝对值必须小于等于速度乘以时间的乘积，才能够按时到达学校。

通过观察绝对值不等式，我们可以得出以下结论：当距离小于等于速度乘以时间的乘积时，小明可以按时到达学校；当距离大于速度乘以时间的乘积时，小明无法按时到达学校。

一元一次不等式组应用实例及答案本文介绍了一元一次不等式组的应用实例及其答案。

一元一次不等式组是用来解决不等式问题的数学工具。

它由多个一元一次不等式组成，其中每个不等式都含有一个未知数，并且未知数的指数为1。

应用实例下面是一些应用实例，展示了如何使用一元一次不等式组解决实际问题。

实例1：商店促销某商店打折销售苹果和橙子，苹果每个1元，橙子每个2元。

现有100元购物券，问最多可以购买多少个苹果和橙子？解析：设购买苹果的个数为x，购买橙子的个数为y。

根据题意，我们可以列出以下两个一元一次不等式：- 苹果总价为x元：1 * x ≤ 100- 橙子总价为2y元：2 * y ≤ 100接下来，我们可以求解这个不等式组，找到满足约束条件的x和y的取值范围。

实例2：生产计划某工厂有两个生产部门A和B，每天生产产品的数量不等。

已知部门A每天最多生产50个产品，部门B每天最多生产30个产品。

同时，工厂每天总共生产的产品数量不得超过80个。

问部门A和部门B每天生产的产品数量应如何分配，使得生产数量最大化？解析：设部门A每天生产的产品数量为x，部门B每天生产的产品数量为y。

根据题意，我们可以列出以下三个一元一次不等式：- 部门A每天最多生产50个产品：x ≤ 50- 部门B每天最多生产30个产品：y ≤ 30- 总产量不得超过80个产品：x + y ≤ 80通过求解这个不等式组，我们可以找到生产数量最大化时部门A和部门B每天生产的产品数量的合理分配方案。

答案实例1的答案：- 苹果总价不得超过100元：1 * x ≤ 100，解得x ≤ 100- 橙子总价不得超过100元：2 * y ≤ 100，解得y ≤ 50根据题意，购买苹果和橙子的个数必须是整数，所以最多可以购买的苹果个数为100个，最多可以购买的橙子个数为50个。

实例2的答案：- 部门A每天最多生产50个产品：x ≤ 50，解得x ≤ 50- 部门B每天最多生产30个产品：y ≤ 30，解得y ≤ 30- 总产量不得超过80个产品：x + y ≤ 80，解得x + y ≤ 80通过求解这个不等式组，我们可以得到合理的生产方案，例如部门A每天生产50个产品，部门B每天生产30个产品，总产量为80个产品。

试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。

例谈生活中的不等式在实际生活中，常常涉及到不等式的应用问题，通过解决这些实际问题，可使我们认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学知识无处不在.例1国际上广泛使用“身体体重指数”（BMI ）作为判断人体健康状况的一个指标：这个指数B 等于人体的体重G （千克）除以人体身高h （米）的平方所得的商.国内健康组织参考标准（1）写出身体体重指数B 与G 、h 之间的关系式；（2）如上表是国内健康组织提供的参考标准，若林老师体重G=78千克，身高h=1.75米，问他的体型属于哪一种？（3）赵老师的身高位1.7米，那么他的体重在什么范围内属于正常？解析: (1)根据指数B 等于人体的体重G （千克）除以人体身高h （米）的平方所得的商,得B=2h G . (2)由B=2h G =47.2575.1782 .对比表中参数可知林老师属于超重; (3)由20≤B<25,得20≤2h G <25,即20≤27.1G <25,解得57.8≤G<72.25. 所以赵老师的正常体重应在57.8千克至72.25千克之间.评注:关注健康就是关注生命.本题以人的身体体重指数与健康之间的关系,编拟的一道数学问题.例2 喷灌是一种先进的田间灌水技术，雾化指标P 是它的技术要素之一，当喷嘴的直径为d （mm ），喷头的工作压强为h(kp a )时，雾化指标P ＝100h/d.对果树喷灌时要求3000≤P ≤4000，若d ＝4mm,求h 的范围解析： 由题意，得300≤4100h ≤4000，解得120≤h ≤160.评注：本题是一道和其他学科结合在一些的生活中的不等式应用问题.通过试题的解决，可以领略到高科技与数学知识的密切联系.例3 在公路上.我们常看到以下不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如果设汽车载重为x ，速度为y ，宽度为l ，高度为h ，请你用不等式表示图中各种标志的意义.限重 限宽 限高 限速解：由题意可知，限重、限高、限宽、限速中的“限”的意义就是不超过，所以x ≤5.5t,y ≤30km,l ≤2m,h ≤3.5m.评注:生活中的图像、徽标等信息，已成为考试中的一种素材题，解决这类题目，需要将图像信息转化为数学语言.通过本题使我们认识到关注身边的数学的重要性.例4小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知这两种灯的照明效果和使用寿命都一样. 已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算. [用电量（度）=功率（千瓦）×时间（时）分析:解决本题要理解选节能灯合算,就是选择节能灯总的费用比白炽灯总的费用少. 解:设使用寿命为x 小时,选择节能灯才合算,根据题意,得x x 1000405.03210001005.02⨯+>⨯+, 解得x>1000.即当这两种灯的使用寿命超过1000小时,小王选择节能灯才合算.评注：创建节约型社会是每个公民的职责，通过解决本题，可使你懂得一些节约用电的知识，同时也体验了学好数学知识的重要意义.应用不等式解决生活问题一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面和同学们欣赏07年中考中的应用问题。

排列不等式应用案例
排列不等式是数学中常见的一个概念，用于比较和描述数值的
大小关系。

在实际应用中，排列不等式可以被广泛运用于各个领域。

本文将介绍一些排列不等式的应用案例。

1. 经济学
在经济学中，排列不等式可以用于衡量和比较不同国家或地区
的经济发展水平。

例如，可以使用国内生产总值（GDP）作为评价
指标，并将不同国家的GDP进行排列。

通过排列不等式，我们可
以了解各国之间的经济发展水平差异。

2. 数学竞赛
排列不等式也是数学竞赛中常见的考点之一。

比如，给定一组
正整数，要求证明它们的平均值大于等于它们的几何平均值。

通过
使用排列不等式，我们可以很容易地得到证明结果。

3. 数据分析
在大数据分析中，排列不等式可以用于排序和筛选数据。

例如，在进行市场营销活动时，我们可以根据顾客的消费金额对顾客进行
排列，从而选择出消费最高的顾客进行个性化推荐。

排列不等式在
这种场景中可以起到非常重要的作用。

4. 社会科学
在社会科学研究中，排列不等式可以用于比较和研究不同社会
群体之间的收入差距。

通过排列不等式，我们可以对不同收入层次
的人群进行排列，并分析各个收入层次之间的差异和趋势。

以上仅是排列不等式应用的一些案例，实际上排列不等式在数
学和其他学科中都有着广泛的应用。

无论是经济学、数学竞赛还是
数据分析，排列不等式都可以帮助我们更好地理解和研究问题，提
供更有效的解决方案。

基本不等式在实际问题中的应用高中数学　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题．导语同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m 2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD 空白的宽度为10 m ，两框架之间的中缝空白宽度为5 m ，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD ，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题　利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示　一正：x ，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例1　(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m 2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m ，y m ，围栏的长度为2(x ＋y )m.方法一　由已知xy ＝16，由≥，可知x ＋y ≥2＝8，x ＋y2xy xy 所以2(x ＋y )≥16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.方法二　由已知xy ＝16，可知y ＝，16x所以2(x ＋y )＝2≥2×2＝16.(x ＋16x )x ·16x 当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究　如果小明的爸爸只有12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？解　由已知得2(x ＋y )＝12，故x ＋y ＝6，面积为xy ，由≤＝＝3，或＝≤＝3，xy x ＋y262xy x (6－x )x ＋6－x 2可得xy ≤9，当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立．因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2.反思感悟　利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值，利用基本不等式求最值；(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论．跟踪训练1　要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价．解　设该长方体容器底面的长和宽分别为a m ，b m ，成本为y 元，由于长方体容器的容积为4 m 3，高为1 m ，所以底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S ＋10[2(a ＋b )]＝20(a ＋b )＋80，由基本不等式可得y ＝20(a ＋b )＋80≥20×2＋80＝160(元)，ab 当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元．二、基本不等式在几何中的应用例2　如图所示，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ，并求出x 的取值范围；(2)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值．解　(1)矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，∵AB ＝x ，∴AD ＝－x ＝12－x ，242在△APC 中，∠PAC ＝∠PCA ，所以AP ＝PC ，从而得DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∵AB >BC ＝AD ，得x >12－x ，∴6<x <12，∴DP ＝12－(6<x <12)．72x (2)在Rt △ADP 中，S △ADP ＝AD ·DP ＝(12－x )＝108－(6<x <12)．1212(12－72x )(6x ＋432x )∵6<x <12，∴6x ＋≥2·＝72，当且仅当6x ＝，即x ＝6时取等号．432x 6x ·432x 2432x 2∴S △ADP ＝108－≤108－72，∴当x ＝6时，△ADP 的面积取最大值108－72.(6x ＋432x )222反思感悟　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪训练2　如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝________时，矩形花坛AMPN 的面积最小．答案　4解析　设BM ＝x (x >0)，则由DC ∥AM 得＝，解得ND ＝，NDND ＋344＋x 12x ∴矩形AMPN 的面积为S ＝(4＋x )＝24＋3x ＋≥24＋2＝48，当且仅当(3＋12x )48x 3x ×48x 3x ＝，即x ＝4时等号成立．48x1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用．(2)基本不等式在几何中的应用．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( )A ．9 cm 2 B ．16 cm 2C ．4 cm 2 D ．5 cm 2答案　C解析　设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x >0，y >0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy ≤＝＝4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，(x ＋y )24424所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( )A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算C ．两种方案一样 D ．无法确定答案　B解析　任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价为＝≥；30m ＋30n60m ＋n 2mn 第二种方案的均价为＝≤.400200m＋200n 2mn m ＋n mn 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( )A ．x ＝B ．x ≤C ．x >D ．x ≥a ＋b2a ＋b2a ＋b2a ＋b2答案　B解析　由题意得，A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，因为(1＋a )(1＋b )≤2，(1＋a ＋1＋b2)所以1＋x ≤＝1＋，2＋a ＋b2a ＋b2所以x ≤，当且仅当a ＝b 时取等号．a ＋b24.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．答案　400解析　由题意设矩形花园的长为x >0，宽为y >0，矩形花园的面积为xy ，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE 与△ABC 相似，所以＝，又因为AG ＝BC ＝40，AFAG DEBC所以AF ＝DE ＝x ，FG ＝y ，所以x ＋y ＝40，由基本不等式x ＋y ≥2，得xy ≤400，xy 当且仅当x ＝y ＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释( )A ．如果a >b >0，那么>a bB ．如果a >b >0，那么a 2>b 2C ．对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立ab 答案　C解析　可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c (c 2＝a 2＋b 2)，则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2＋b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C.2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( )A ．大 B ．小C ．相等 D ．不能确定答案　B解析　令单程为s ，则上坡时间为t 1＝，下坡时间为t 2＝，sa sb 平均速度为＝＝<<.2st 1＋t 22ssa＋s b 21a＋1b ab a ＋b23．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m答案　C解析　设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．故C 既够用，浪12a 2＋b 2ab 2ab 2费也最少．4.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的( )A ．最小长度为8B ．最小长度为42C ．最大长度为8D ．最大长度为42答案　B解析　设BC ＝a ，CD ＝b ，因为矩形的面积为4，所以ab ＝4，所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为2a ＋b ＝2a ＋≥2＝4，4a 2a ·4a 2当且仅当2a ＝，即a ＝时，等号成立．4a 25．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为(4n ＋46)(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( )A ．300天 B ．400天 C ．600天 D ．800天答案　B解析　设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为＝＋2n ＋48，当且仅当＝2n 时，取得最小值，此时320 000＋(50＋4n ＋46)n2n320 000n320 000nn ＝400.6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y (万元)与运营年数x 的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则下列判断正确的是( )A ．车辆运营年数越多，收入越高B ．车辆在第6年时，总收入最高C ．车辆在前5年的平均收入最高D ．车辆每年都能盈利答案　BC解析　由题意，y ＝－x 2＋12x －25，是开口向下的二次函数，故A 错误；对称轴x ＝6，故B 正确；＝－x ＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x ＝5时，等号成立，yx 25x (x ＋25x )25故C 正确；当x ＝1时，y ＝－14，故D 错误．7．矩形的长为a ，宽为b ，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．答案　32解析　由题意，矩形中长为a ，宽为b ，且面积为64，即ab ＝64，所以矩形的周长为2a ＋2b ＝2a ＋≥2＝32，128a 2×128当且仅当a ＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m.答案　160解析　设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为m ，4 8003x 由题意可得水池总造价y ＝150×＋120×＝240 000＋7204 8003(2×3x ＋2×3×4 8003x )(x >0)，(x ＋1 600x)则y ＝720＋240000≥720×2＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297(x ＋1 600x)x ·1 600x 600，当且仅当x ＝，即x ＝40时，y 有最小值297 600，1 600x 此时另一边的长度为＝40(m)，4 8003x 因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝(v >0)．在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 900vv 2＋5v ＋1 000最大？解　y ＝＝，900vv 2＋5v ＋1 000900v ＋1 000v ＋5∵v ＋≥2＝20，1 000v v ·1 000v 10∴y ＝≤＝，900v ＋1 000v ＋59002010＋5180410＋1当且仅当v ＝，即v ＝10时等号成立．1 000v 10∴当汽车的平均速度v ＝10千米/小时时车流量y 最大．1010．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(2＋x 2360)(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解　(1)由题意，y ＝2·＋14·＝＋(0<x ≤100)．(2＋x 2360)130x 130x 2 340x 13x18(2)因为y ＝＋≥2＝26，当且仅当x ＝18时，等号成立，2 340x 13x18 2 340x ·13x181010又0<18<100，10所以当x ＝18千米/小时时，这次行车的总费用最低，为26元．101011.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式( )A ．a 2＋b 2≥a ＋bB ．4ab ≥a 2＋b 2C ．a ＋b ≥2D ．a 2＋b 2≥2abab 答案　D解析　从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a ＋b )2≥8×ab ＝4ab ，所以a 2＋b 2≥2ab .1212．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公p (p －a )(p －b )(p －c )式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( )A ．3 B ．8 C ．4 D ．9773答案　A解析　由题意p ＝7，S ＝＝≤·＝3，7(7－a )(7－b )(7－c )7(7－b )(7－c )77－b ＋7－c27当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时，等号成立，此三角形面积的最大值为3.713．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( )A ．先提价p %，后提价q %B ．先提价q %，后提价p %C ．分两次提价%p ＋q2D ．分两次提价%(以上p ≠q )p 2＋q 22答案　D解析　由题意可知，A ，B 选项的两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)；C 选项的提价为2，D 选项的提价为(1＋p ＋q 2%)2，(1＋p 2＋q 22%)又∵<，∴(1＋p %)(1＋q %)<2<2，p ＋q2p 2＋q 22(1＋p ＋q 2%)(1＋p 2＋q 22%)∴提价最多的为D 选项．14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．答案　5解析　设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为y 1，每月货物的运输费用为y 2，由题意可设y 1＝，y 2＝k 2x ，k 1x 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8，∴y 1＝，y 2＝0.8x ，20x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋≥2×4＝8，20x 当且仅当0.8x ＝，即x ＝5时等号成立．20x 当仓库建在离车站5 km 处两项费用之和最小．15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( )A ．大于10 gB ．大于等于10 gC ．小于10 gD ．小于等于10 g 答案　A解析　由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a (a >0)，右臂长为b (b >0)，则a ≠b ，再设先称得黄金为x g ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝，y ＝，5a b 5b a ∴x ＋y ＝＋＝5≥5×2＝10，5ab 5b a (a b ＋b a )a b ·b a 当且仅当＝，即a ＝b 时等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10，a b ba 因此，顾客购得的黄金大于10 g.16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(10－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．解　(1)∵Error!∴0<x <100，y ＝x －＝x －－20(0<x <100)，(20＋1010－0.1x )100100－x 当x ＝80时，y ＝80－－20＝55(元)，100100－80此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)．(2)y ＝x －－20，100100－x ∵0<x <100，∴100－x >0，∴y ＝－＋80[100100－x ＋(100－x )]≤－2＋80＝60，100100－x ·(100－x )当且仅当＝100－x ，即x ＝90元时，每套利润最大为60元．100100－x。

数学教学应用之生活里的不等式我们知道，数学来源于现实生活，又反过来为现实生活服务。

下面我们就通过生活中的几个实际例子，来看看不等式在实际生活中的应用。

例一如果用a千克白糖制出b千克糖溶液，则糖的质量分数为a/b。

若在上述溶液中再添加m千克白糖，此时糖的质量分数增加到（a+m)/(b+m).将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。

分析：显然，a,b,m都是正数，而且a<b.生活经验告诉我们。

在已有的糖溶液中加糖，糖的质量分数增大。

故上面数学问题就抽象为以下不等式问题：若：a,b,m都是正数，而且a<b，则（(a+m)/(b+m))>(a/b)例二证明截面周长相等时，截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

分析：设截面周长为L，则周长为L的圆面积为π（L/2π）2，周长为L的正方形面积为（L/4）2，则只需证明π（L/2π）2>（L/4）2即可。

例三有10人各拿一只水桶去接水。

设水龙头注满第i （i=1,2,…,10）个人的水桶需要ti分，假定这些ti各不相同。

问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？分析：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题。

若第一个接水的人需t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分；第二个接水的人需t2分，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2分；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一人等，需要t10分。

所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等待总时间（分）是10t1+9t2+…+2t9+t10.这个和数就是问题的数学模型，现要考虑t1，t2，…t10满足什么条件时这个和数最小？根据排序不等式就很容易解决这个问题。

以上这三个生活中的实际问题，在转化为数学问题后，都可以利用不等式的有关知识来解决。

例如：前两个例子用证明不等式的基本方法（例一用比差法，例二用分析法），最后一个例子用排序不等式（排序原理）。

不等式应用举例
不等式应用在我们生活中无处不在，涉及到人们的经济、医疗、
教育、安全等方面。

下面，我们就来看几个具体的例子，来了解不等
式在实际生活中的应用。

首先，经济方面。

我们知道，经济增长与收入水平相关，而收入
水平与教育程度和工作岗位也有关系。

在同等教育程度下，拥有高薪
职业的人群可以得到更高的收入。

那么，我们可以利用不等式的概念
来描述这种关系，即“收入水平≥教育程度×工资水平”。

这样就方
便了我们进行各种经济分析和预测。

其次，医疗方面。

大家都知道，医疗保健的价格远高于许多人的
负担能力。

为保障人民的健康，一些政府组织或慈善机构推出了医疗
救助计划，通过根据收入情况提供的补贴和优惠办法来降低医疗成本。

对于这样的救助方式，我们可以利用不等式来描述其应用场景，即“（医疗成本-补贴）÷收入≤%”。

再次，安全方面。

在道路交通方面，我们需要担心的不仅是车辆
碰撞事故，更要考虑到车辆超速的情况。

超越合理限速行驶，往往会
导致危险的驾驶结果，因此一些政府部门推出了交通管理措施，并依
靠超速处罚的方式对车辆超速行驶做出应对。

此时，不等式“车速＞
限速”也在这个过程中得到了应用。

总而言之，不等式在我们日常生活中有广泛的应用。

经济、医疗、安全等领域都有涉及，我们可以通过应用这些不等式来描述和分析生
活中的各种复杂场景，让我们更好地理解生活中的问题并为之打好基础。

生活中的不等式
在生活中，我们经常会面对各种各样的不等式。

有些不等式是数学上的概念，
比如大于、小于、不等于等，而有些不等式则是指生活中的种种差距和不平等。

无论是数学上的不等式还是生活中的不平等，都需要我们去思考和解决。

在生活中，我们常常会面对各种不同的人和事物，而这些人和事物之间往往存
在着不同的差距和不平等。

比如，有些人天生就拥有更多的财富和资源，而有些人则生活在贫困和困难之中；有些人拥有更多的机会和资源，而有些人却面临着种种限制和挑战。

这些不平等的存在，让我们意识到生活中的不等式是如此普遍和深刻。

然而，面对这些不平等，我们不能只是袖手旁观，而是需要积极地去思考和解决。

我们可以通过教育来弥补知识和机会上的不平等，通过社会公平来缩小财富和资源上的差距，通过公益活动来帮助那些处于困境中的人们。

只有通过我们每个人的努力和奉献，才能让生活中的不等式变得更加公平和平等。

除了生活中的不平等，数学上的不等式也给我们启示。

在数学上，不等式是用
来描述数值之间的大小关系的。

而在生活中，我们也可以把这种大小关系应用到我们的生活中。

比如，我们可以通过努力和奋斗来不断地提升自己，让自己变得更加优秀和出色；我们可以通过善待他人和帮助他人来让生活变得更加美好和和谐。

只有在我们不断地努力和奋斗，才能让我们的生活变得更加丰富和美好。

生活中的不等式是如此的普遍和深刻，它们不仅存在于我们的日常生活中，也
存在于我们的内心深处。

只有通过我们的努力和奉献，才能让这些不等式变得更加公平和平等。

让我们一起努力，让生活中的不等式变得更加美好和和谐。

不等式在实际问题中的应用不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。

不等式的应用范围广泛，涉及到经济、生活、科学等各个领域。

本文将从几个实际问题出发，探讨不等式在解决这些问题中的应用。

一、经济领域中的不等式应用在经济领域中，不等式常常被用来描述资源的分配情况和经济收入的差距。

以收入分配为例，我们可以通过不等式来描述不同社会群体之间的收入差距。

假设有两个家庭A和B，家庭A的年收入为X元，家庭B的年收入为Y元，且X<Y。

我们可以用不等式X<Y来表示家庭B的收入高于家庭A。

这样的不等式可以帮助我们分析收入差距的大小，为政府制定相关政策提供参考。

二、生活中的不等式应用在日常生活中，不等式也有着广泛的应用。

以购物打折为例，商场经常会推出各种促销活动，如打折、满减等。

假设某商场推出了一种打折活动，商品原价为P 元，现在打折后的价格为Q元，且Q<P。

我们可以用不等式Q<P来表示商品打折后的价格低于原价。

通过不等式，我们可以判断打折力度的大小，从而决定是否购买。

三、科学领域中的不等式应用在科学研究中，不等式也有着重要的应用。

以生态学为例，生态系统中的物种数量和资源之间存在着一定的关系。

假设某个生态系统中的物种数量为N，资源的供给量为R，且N<R。

我们可以用不等式N<R来表示资源供给量不足以支撑物种的数量。

通过不等式，我们可以分析生态系统的平衡状态，为保护生物多样性提供科学依据。

四、教育领域中的不等式应用在教育领域中，不等式也被广泛应用于学生的成绩评价和升学选拔。

以高考为例，学生的分数通常通过不等式来进行排名和选拔。

假设某个学校有N个学生，他们的总分从高到低依次为S1、S2、...、SN，且S1>S2>...>SN。

我们可以用不等式S1>S2>...>SN来表示学生之间的成绩差距。

通过不等式，学校可以根据学生的成绩进行排名，为升学选拔提供依据。

应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。

基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。

对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。

传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。

二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。

例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。

2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。

例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。

3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。

例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。

三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。

利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。

2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。

江苏省XY中等专业学校2022-2023-1教案教学内容一、情境创设在生活中, 我们经常利用不等式可以解决一些实际问题.二、知识探究（一）如图所示, 现有质量分数为 50%的酒精溶液 100g, 要稀释成质量分数不低于 20% 且不高于 30%的酒精溶液 500 g, 那么需要加入质量分数介于什么范围内的酒精溶液呢？分析加入另外的酒精溶液后, 酒精溶液质量和溶液中的酒精质量都会发生变化.质量和溶液中的酒精质量都会发生变化．教学内容（三）大国工匠胡双钱是我国某飞机制造厂数控机加车间钳工组组长, 在 30 多年的航空技术制造工作中, 他经手的零件数十万, 没有出过一次质量差错. 大飞机的很多重要精密零部件, 都需要胡双钱这样的能工巧匠手工完成. 某国产大型客机需要制作一个精密零件, 该零件的内孔直径为5mm, 且误差不能超过0.15mm. 请问该零件的内孔直径应该控制在什么范围内呢?解设零件的内孔直径为, 则应满足15.05≤-x．解不等式, 得所以, 加工该零件的内孔时, 应将内孔直径控制在 [4.85, 5.15] 范围内（单位：mm）．三、巩固练习1.小明家距离学校 2000 m. 按平常的速度匀速行走, 小明需要步行 30 min才能按时到校. 若某日小明在前一半时间只走了 800 m, 问后半段时间平均速度至少为多少才能保证按时到校？2.某商店出售甲、乙两种品牌的水泥, 袋子上分别标注规格及误差范围是（“ 20±0.2）kg”和“（20±0.3）kg”. 现从中任意拿出两袋, 它们的质量最多相差多少？3. 园林工人计划使用20 m的栅栏材料, 在靠墙的位置围出一块长方形的花圃, 要求花圃面积不小于42mଶ , 试确定与墙平行的栅栏的长度范围.教学内容四、小结交流五、布置作业1.书面作业: 完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺: 根据个人情况对课堂学习复习回顾；3.拓展作业: 阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)基本不等式的应用技巧基本不等式是数学中常见的一种重要工具，通过它可以解决各种问题。

本文将介绍一些基本不等式的应用技巧，并通过解析版的方式进行具体分析。

1. 不等式的加减变形不等式的加减变形是不等式求解中常用的技巧。

通过对不等式两边同时加减同一个数，可以改变不等式的形式，从而更好地进行化简和求解。

例如，对于不等式 a + x < b，我们可以通过减去 a 并加上负数 x，得到 x < b - a。

这样，原不等式就被转化为一个更简单的形式，使得求解变得更加容易。

2. 不等式的乘除变形和加减变形类似，不等式的乘除变形也是常见的求解技巧之一。

通过对不等式两边同时乘除同一个数（要求该数不为0），可以改变不等式的方向以及取值范围。

例如，对于不等式 a/x > b，若 a 和 b 均为正数，我们可以将不等式两边同时乘以正数 x，得到 a > b*x。

这样，原不等式的方向被颠倒，变为大于号，并且取值范围也随之改变。

3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式是基本不等式中的一个重要分支。

它关注的是具有绝对值符号的不等式，需要特别注意其取值范围的变化。

例如，对于不等式 |x - a| < b，我们可以通过分情况讨论来解决。

当x - a > 0 时，原不等式可以简化为 x - a < b；当 x - a < 0 时，原不等式可以简化为 a - x < b。

通过进一步化简和求解，可以得到不等式的解集。

4. 不等式的应用实例分析接下来，我们通过一个具体实例来进行不等式的应用分析。

假设有一条长为 20m 的绳子，要将其分成两段，其中一段的长度是另一段的3倍。

我们需要求解这两段绳子的长度。

设绳子的一段长度为 x，则另一段长度为 3x。

根据题意，我们可以得到以下不等式：x + 3x = 20，即 4x = 20。

通过解方程，可得 x = 5，因此一段绳子的长度是 5m，另一段绳子的长度是 15m。