第30讲 不等式的综合应用(56张PPT)

公共卫生政策
公共卫生政策通常需要考虑多种因素之间的平衡，例如，疫苗分配和传染病传播之间的不等式关系。利用不等式可以帮助制定更加科学合理的公共卫生政策。
不等式在医学中的应用
认知与情感
在心理学领域，不等式可以用来描述认知和情感之间的关系。例如，不等式可以表示不同个体在记忆、学习或决策过程中的差异，或者不同情感状态之间的不等关系。
行为与心理治疗
在心理治疗中，不等式可以用来描述不同行为和心理治疗方法的效果和适用范围。例如，不等式可以表示药物治疗与心理疗法之间的比较和选择。
不等式在心理学中的应用
在工程领域，不等式可以用来描述工程设计和优化问题。例如，不等式可以表示结构强度与材料之间的关系，或者不同设计方案的成本与性能之间的不等关系。
投资组合选择
在资本预算中，不等式可以用来确定项目的可行性和投资限制。例如，利用不等式可以将投资成本与预期收益进行比较，以确定哪些项目具有更高的投资回报。
资本预算
不等式在金融中的应用
诊断与治疗
在医学领域，不等式可以用来描述疾病的诊断与治疗方法。例如，不等式可以表示药物治疗的效果与药物剂量的关系，或者手术风险与患者年龄的关系等。
除此之外，不等式还可以按照其表现形式分为比较式、关系式、不等式组等
严格不等式是指对于任意两个实数a和b，如果a严格小于b，那么可以表示为a<b
不等式的分类
02
常见不等式
a+b≥2√ab，当且仅当a=b时等号成立。
均值不等式
均值不等式的形式
求最值、证明不等式、解决实际问题等。
应用场景
一般采用归纳法、一般化方法等。
代数式中不等式中等号取到的情况。
根据单调性求极值点，判断极值点左右单调性，得出单调区间和极值点，根据极值点和单调区间判断取得最大最小值的条件。

经济领域
在经济学中，资源的分配和利用是核心问题，利用基本不等式可以确定最优 资源配置方案。
物理领域
在物理学中，能量的分配和转化是核心问题，利用基本不等式可以确定最优 能量分配方案。
04
基本不等式的推广
推广到多个变量的基本不等式
多个变量的基本不等式
对于任意实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 和 $y_1,y_2,\cdots,y_n$，有 $(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(\frac{y_1}{x_1}+\fr ac{y_2}{x_2}+\cdots+\frac{y_n}{x_n})\geqslant n^2(y_1+y_2+\cdots+y_n)$
积和的最值
对于正实数a，b，存在一个正数K，使得a + b >= K根号ab 在a=b时取等号。
基本不等式适用于复数范围。
对称性
对于任意实数x，y，有基本不等 式f(x,y) = f(y,x)。
传递性
若a>b，c>d，则ac>bd。
常用不等式技巧
常数代换
应用举例
在多个变量的情况下，可以使用该不等式来获得一些更 复杂的平均值不等式
基本不等式的广义形式
广义形式的证明
可以使用微积分中的极值方法，将基本不等式的条件进行推广，得到更广泛的不 等式形式
应用举例
在解决一些极值问题时，可以使用该不等式来寻找极值的范围
基本不等式的其他证明方法
利用琴生不等式证明
琴生不等式是微积分中的一个著名不等式，可以用来证明基本不 等式
利用柯西不等式证明
柯西不等式是概率论中的一个著名不等式，也可以用来证明基本 不等式

挑战
在实际应用中，如何选择合适的不等式方法，如何处理数据波动和误差等问题， 是我们需要解决的挑战。
探讨不等式未来的发展方向和应用前景
发展方向
不等式作为数学工具，其发展方向包括更高效的算法、更精 确的求解方法、更广泛的应用领域等。
应用前景
随着大数据、人工智能等领域的不断发展，不等式在数据挖 掘、模式识别、机器学习等领域的应用前景越来越广阔。
04
不等式的进一步应用
利用不等式解决实际问题
投资组合问题
利用不等式表示各种投资的比例 关系，通过优化不等式来获得最 佳投资组合。
运输问题
在运输问题中，利用不等式表示 各个车辆之间的装载量和行驶时 间的关系，通过不等式求解最佳 的车辆调度方案。
分配问题
利用不等式表示各个分量的比例 关系，通过优化不等式来获得最 佳的分配方案。
总结
在本章中，我们学习了如何利用不等式进行优化、极值点判断等，这些方法 在数学建模、数据分析等领域有着广泛的应用。
技巧总结
不等式的应用技巧包括巧妙运用基本不等式、根据情况选用不同不等式、利 用导数求解极值点等。
分析不等式在实际应用中的限制和挑战
限制
不等式方法在实际应用中可能会受到数据波动、精度要求、复杂环境等因素的影 响。
03
不等式在实际生活中的应用
在经济生活中的应用
1 2 3
投资组合选择
在投资组合理论中，投资者需要根据风险和收 益的不等关系，选择最优的投资组合。
拍卖机制设计
在拍卖中，拍卖品的价格往往是不确定的，因 此需要设计合理的拍卖机制，以实现是不平衡的， 需要通过不等式的概念来分析，制定相应的经 济政策。
利用不等式表示各种生产管理问题的约束条件，建立数学模型来 求解生产管理问题的最优解。

柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式

存储优化问题
不等式的证明方法
04
从已知条件出发，借助其他已知条件或定理、公理等，经过推导逐步得出结论。
综合法
从求证的不等式出发，逐步寻找使不等式成立的充分条件。
分析法
直接证明法
反证法
假设原不等式不成立，由此推出与已知条件或定理、公理等相矛盾的结论，从而否定原假设，肯定原不等式。
同一法
构造一个与原不等式同解的函数或方程，利用其同解性来证明原不等式。
详细描述
在资源分配问题中，需要考虑不同部门或生产任务的资源需求，并希望通过优化资源分配比例获得最大的效益或满足特定的生产目标。利用不等式模型，可以建立资源分配的约束条件，并利用优化算法求解出最佳的资源分配方案。
资源分配问题
VS
风险管理问题中通常会涉及到不等式的应用，例如在衡量和管理风险、制定风险控制策略等方面。
证明
不等式可以用来确定函数的极值点，即函数取到最大值或最小值的点。
极值
不等式在数学中的应用
不等式的实际案例分析
06
通过建立不等式模型，可以有效地解决投资组合问题中的优化问题。
总结词
在投资组合问题中，通常需要考虑到不同资产的风险和回报率，并希望通过优化投资比例获得最大的收益或最小的风险。通过建立不等式约束条件，可以限制投资比例的范围，并利用优化算法求解出最佳的投资组合。
详细描述
在风险管理中，需要考虑不同风险的概率和影响程度，并希望通过制定相应的风险控制策略将风险控制在可接受的范围内。利用不等式模型，可以建立风险衡量和控制的约束条件，并利用优化算法求解出最佳的风险控制策略。
总结词
风险管理问题
谢谢您的观看
THANKS
投资组合问题
利用不等式描述生产计划问题中的约束条件，建立数学模型，为生产者提供优化方案。

学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
返回
• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．

不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。

示为一组数的集合。
3
数集表示法
将不等式的解集表示为一组数字的集 合。
区间表示法
使用圆括号、方括号和省略号来描述 不等式的解集。
不等式的性质
1 可加性
两个不等式相加的结果仍是一个不等式。
2 可乘性
两个不等式相乘的结果仍是一个不等式，前提是两个不等式的乘积不为零。
3 传递性
如果a > b且b > c，那么a > c。
不等式的求解方法
1
代数法
通过代数运算（加减乘除、移项等）求解不等式，找出使得不等式成立的解。
2
图形法
通过绘制图形（数轴图、坐标图等）找出使得不等式成立的解。
3
估算法
通过估算数值找出使得不等式成立的解。
不等式的应用
商业应用力、风险控制和市场预测。
不等式可以用于评估运动员的 能力、竞争对手之间的差距和 优胜劣汰。
不等式在数学和实际生活中起着重要作用，它们帮助我们理解和解决各种问题。
不等式的表示方法
符号表示法
数学符号（>、<、≥、≤）用于 表示不同的不等式关系。
数轴表示法
可以通过数轴来直观地表示不 等式的解集。
图像表示法
使用图形来展示不等式的解集， 帮助我们更好地理解。
不等式的解集表示
1
集合表示法
2
使用大括号表示法将不等式的解集表
《不等式》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我将为你们带来有趣而又实用的不等式知识。让 我们一起探索这个令人兴奋的数学领域！
什么是不等式
定义
不等式是通过不等于号（>、<、≥、≤）表示的数学陈述。它描述了两个数之间的大小关系。

判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。

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2
一、认真研读新旧考试大纲,关注新课标与原大纲
教材考试大纲的差异,从中嗅捕高考信息与动态.
通过对新、旧考试大纲的研读对比,我们不难发 现,在新课程数学考试大纲中函数、数列、不等式 仍是主干知识,但是在考试内容和考试要求方面还 是有一定的区别,如:
函数：1.两种考试大纲都对函数的概念、图象 与性质作出了规定与要求，而新课标考试大纲对某 些内容作了进一步细化,如“了解简单的分段函数， 并能简单应用”、“会运用函数图像理解和研究函 数的性质”.对分段函数作出了明确的要求，强调 运用函数图象理解和研究函数的性质，对函数的单 调性从“掌握”改为“理解”；
综合近两年高考试题我们发现，函数、数列、 不等式是高考的必考内容，近年来高考命题中一 般有3～6个选择题和填空题(其中与函数不等式相 关的小题有2～4个，个别省份达到5个小题，与数 列不等式相关的小题有0～1个),试题难度都不大， 一般考查基础知识与基本方法,解答题1～2个，多 出现在最后三道大题的位置，具有一定的难度和 区分度,以考查数学思想方法、思维能力及创新意 识为主，试题对运算能力和逻辑推理能力有较高 要求. 其中函数部分以具体函数形式出现居多，考 查函数的图象、解析式、性质，个别省份函数的 性质题有向抽象函数拓展的趋势；
高考试题强调的是能力立意,通常在知识的 交汇点处命题强调学科知识的综合,函数、数列、 不等式为此提供了一个良好的载体,涉及这一部 分内容的综合题既有单元内知识的综合,也有跨 单元知识的综合.
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11
1．单元内知识综合题
（1）函数单元内知识综合题 从近几年高考试题分析，函数部分既有单元
内综合试题，也有跨章单元综合试题，其中单元 内综合试题基本上为选择题和填空题，考查的内 容主要是函数（几个基本初等函数、反函数、分 段函数）的解析式、图像和性质(如单调性、奇偶 性、图像的对称性等)，函数以具体函数形式居多， 抽象函数的图象与性质的研究在部分省份近年试 题中也常有出现，解答题现在几乎没有章内综合 题，常与导数综合为压轴题。

我们可通过平方法、作差法、作商法、倒 数法、取近似值法等方法来比较大小.
估计 的值在（ ） A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
什么是等式？
含有等号的式子.
今天我们就来学 习不等式
先看一下一些数学符号
表示出数量的不等关系
符号
实际意义
读法
<
小于、少于、低于、不足、不够、 小于
解：设小明的分数为x分 小明可能得到的最高分： 小明可能得到的最低分： 所以小明的分数范围是：
下列式子是不等式的有( )
A.①②③ C.①③④
B.①②④ D.①②③④
用不等式来表示下列不等关系 (1)a的4倍与b的3倍的差大于8. (2)m是一个非负数. (3)x的相反数与y的和不大于4. (4)x的一半小于y的三分之一.
我体重不高于3 千克
知识导入
不等式的பைடு நூலகம்念：
用不等号（ 的式子.
）连接而成
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大.
“ ”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小.
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于或等于（不小于）”，表示左边的量 不小于右边的量. “ ”读作“小于或等于（不大于）”，表示左边的量 不大于右边的量. “ ”读作“不等于”，表示左边的量不等于右边的量.
(3)x的2倍与1的和不小于4
不小于用“ ”表示；
(4)x的一半与4的差小于x
小于用“ ”表示；
用不等式来表示下列数量关系
(1)m是非负数 (2)a与1的差是负数 (3)x的2倍与1的和不小于4 (4)x的一半与4的差小于x
例：学校举行唱歌比赛，共有五个评委，每 个评委可以打10分，满分为50分.小明在参 加比赛时，每个评委给出的分数都在7分到9 分之间.求小明的分数范围.

柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。

2
a 当 a 0 时，函数 y f ( x) 在 ( , ) 上递增， 3 2 3 2 只要 f (1 a) 2a 4a 6a 5a 1 0
令 g (a) Байду номын сангаас 4a 6a 5a 1，
3 2
1 2 则 g (a) 12a 12a 5 12( a ) 2 0 2 所以 g (a ) 在 (, 0) 上递增，又 g (0) 1 0
6 综上所述：使 A B 成立的 a 的取值范围为 (, 2) ( , ) 7
例6. 已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a
＞b＞c且a＋b＋c＝0.
（1） 求证：此函数的图象与x轴交于相异
的两个点. （2） 设函数图象截x轴所得线段的长为l, 求证： 3 ＜l＜2 3
ab 的对边， ∠C=90°，则 c a b 1 2． 为____________ c
的取值范围
6. 设函数f(x)=x(x－a)2，若x∈[0, |a|+1]时, f(x)<2a2恒成立，且f(0)=0，求实数a的取值 范围．
a f ( x) 3( x a )( x ) 解： f ( x) x( x a) ， 3 a 当 a 0 时，函数 y f ( x) 在（ , ）上递增， 3 a 在 ( , a ) 上递减，在 (a, ) 上递增， 3 a 2 f ( ) 2 a 27 故有 3 1 a 2 f (a 1) 2a 2
证明: (1)由a＋b＋c＝0 得 b＝－(a＋c).
Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac ＝4(a2＋ac＋c2)
3 2 c 2 ＝4[(a＋ ) ＋ c ]＞0. 4 2

火山的害处和益处：
• 危害： • 1、 • 2、 • 3、 • 对人类的益处： • 1、 • 2、 • 3、 • 4、
地震的危害：
• 1、有关唐山大地震的灾害报道； • 2、其它有关地震灾害的记录；
思考：
• 地震既然能够造成极大的破坏，其释 放出来的能量一定相当巨大，这些能量 来源于哪里呢？
例2、已知某工厂现有M种布料70米，N种布料52米。现计划 用这两种布料生产A、B两种型号的时装共80套，已知做一套 A、B型号的时装所需的布料如下表所示，利用现有原料，工 厂能否完成任务？若能，有几种生产方案？请你设计出来。
M（70米）
A
0.6米
B
1.1米
N（52米） 0.9米 0.4米
分析：若设生产A型号时装为x套，则生产B型号时装为 （80－x)套
X套A型号时装所需要的M种布料 +（80－x）套 B型号时装所需要的M种布料≤ 70
0.6x
+
1.1(80-x )
≤70
X套A型号时装所需要的N种布料 +（80－x）套 B型号时装所需要的N种布料≤ 52
0.9x
+
0.4（80-x）
≤52
例3、把若干个橘子分给几个小朋友，若每个小朋友分三个则 多余8个；每个小朋友分5个则最后一名小朋友分到了橘子但 不满5个。问一共有多少名小朋友？多少个橘子？
问题：我属兔，请你根据我的实际 情况来猜测我的年龄？
提示： 属兔的年龄有可能是以下数据 5 17 29 41 53 ……
解：根据实际情况可知 20< 老师的年龄<40
又知老师属兔,所以老师的年龄是29岁。
一元一次不等式组的应用
设物体A的质量为x克，每个砝码的质量为1克