专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用

第21讲不等式选讲1.[2021·全国卷Ⅰ]函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)假设不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.[试做]命题角度含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2.[2021·全国卷Ⅱ]a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做]命题角度不等式的证明不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是根本不等式和柯西不等式.3.[2021·全国卷Ⅲ]函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[试做]命题角度关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;④f(x)<a有解⇔f(x)min<a;⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;⑥f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.解答1含绝对值的不等式的解法1 设函数f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0.(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;(2)假设不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.[听课笔记]【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进展讨论.(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的局部构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.【自我检测】函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)假设f(x)≤|2x+1|的解集包含3,2,求实数m的取值范围.4解答2不等式的证明2 函数f(x)=|x+1|-|x-4|.(1)假设f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0时,证明:a2+b2+c2≥12.[听课笔记]【考场点拨】高考中不等式证明的关注点:不等式证明的方法有比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比拟法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是根本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.【自我检测】函数f(x)=|x-1|+|x-5|.(1)解关于x的不等式f(x)>6;(2)记f(x)的最小值为m,实数a,b,c都是正实数,且1a +12a+13a=a4,求证:a+2b+3c≥9.解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 函数f(x)=|x-2|-|2x-2|.(1)求不等式f(x)+1>0的解集;(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.[听课笔记]【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用别离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,那么转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,那么转化为f(x)max<g(a).【自我检测】设函数f(x)=|x+a|+|x-3a|,a∈R.(1)假设f(x)的最小值是4,求a的值;(2)假设对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3],使得m2-4|m|-f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.第21讲不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172.所以f(x)≥g(x)的解集为{a|-1≤a≤-1+√172}.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2,且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+a)24(a+b)=2+3(a+a)34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.因此,f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a|+a ≥3.① 当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞). 考点考法探究解答1例1 解:(1)当a=3时,不等式f (x )≥5x+1即|2x-3|+5x ≥5x+1,即|2x-3|≥1,解得x ≥2或x ≤1,∴不等式f (x )≥5x+1的解集为{x|x ≤1或x ≥2}.(2)由f (x )≤0得|2x-a|+5x ≤0,即{a ≥a 2,7a -a ≤0或{a <a2,3a +a ≤0,又a>0,∴不等式f (x )≤0的解集为x x ≤-a3, 由题意得-a3=-1,解得a=3. 【自我检测】解:(1)当m=-1时,f (x )=|x-1|+|2x-1|.①当x ≥1时,f (x )=3x-2≤2,此时1≤x ≤43; ②当12<x<1时,f (x )=x ≤2,此时12<x<1; ③当x ≤12时,f (x )=2-3x ≤2,此时0≤x ≤12.综合①②③可知,原不等式的解集为{a |0≤a ≤43}.(2)由题意可知f (x )≤|2x+1|在34,2上恒成立,当x ∈34,2时,由f (x )=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1≤|2x+1|=2x+1,可得|x+m|≤2, 即-2≤x+m ≤2,所以-2-x ≤m ≤2-x ,又(-2-x )max =-114,(2-x )min =0,所以m ∈-114,0.解答2例2 解:(1)不等式f (x )≤-m 2+6m 恒成立等价于f (x )max ≤-m 2+6m , 而f (x )=|x+1|-|x-4|≤|x+1-(x-4)|=5,∴-m 2+6m ≥5,∴1≤m ≤5,即实数m 的取值范围为[1,5].(2)证明:在(1)的条件下,m 的最大值m 0=5,即3a+4b+5c=5, 由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c )2, 即50(a 2+b 2+c 2)≥25,∴a 2+b 2+c 2≥12.【自我检测】解:(1)f (x )=|x-1|+|x-5|,所以由f (x )>6得{a <1,1−a +5−a >6或{1≤a ≤5,a -1+5-a >6或{a >5,a -1+a -5>6,解得x<0或x>6,所以不等式f (x )>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).(2)证明:由f (x )=|x-1|+|x-5|≥|x-1-(x-5)|=4(当且仅当1≤x ≤5时取等号), 得f (x )min =4,即m=4,从而1a +12a +13a =1,所以a+2b+3c=1a +12a +13a(a+2b+3c )=3+a 2a +2aa+a 3a +3aa+2a 3a +3a 2a≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).解答3例3 解:(1)当x ≤1时,f (x )=x ,∴f (x )+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-1<x ≤1;当1<x ≤2时,f (x )=-3x+4,∴f (x )+1>0即为-3x+5>0,解得x<53,此时1<x<53;当x>2时,f (x )=-x ,∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.综上可知,f(x)+1>0的解集为x-1<x<53.(2)由(1)知f(x)={a,a≤1,-3a+4,1<a≤2, -a,a>2.作出y=f(x)的图像,如下图:结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,∴实数a的取值范围为(2,+∞).【自我检测】解:(1)∵f(x)=|x+a|+|x-3a|≥|(x+a)-(x-3a)|=4|a|,且f(x)min=4,∴4|a|=4,解得a=±1.(2)由题知|m|2-4|m|≤4|a|,又a是存在的且a∈[-2,3].∴|m|2-4|m|≤4|a|max=12,即|m|2-4|m|-12≤0,即(|m|-6)(|m|+2)≤0,∴|m|≤6,∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6].[备选理由] 在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.例1[配例2使用]函数f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,a∈R.(1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;(2)假设b ∈R,求证:fa 2,f -a 2,f12中至少有一个不小于12.解:(1)当a=1时,f (x )+f (-x )≤g (x )即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,所以{a ≤−12,-4a ≤a +2,无解;{-12<a <12,2≤a +2,解得0≤x<12;{a ≥12,4a ≤a +2,解得12≤x ≤23.综上,原不等式的解集为x 0≤x ≤23.(2)证明:(反证法)假设fa 2,f -a 2,f12都小于12,那么{ -12<a -a <12,-12<a +a <12,-12<a -1<12,前两式相加可得-12<a<12,与第三式12<a<32矛盾,故假设不成立. 所以f (a2),f (-a2),f (12)中至少有一个不小于12.。

专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 2．（天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[-3．（北京）设{}n a 是等差数列．下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->4．（陕西）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a b q f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>5．（重庆）若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ．326+B ．327+C ．346+D ．347+6．（福建）若122=+y x ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞ 7．（山东）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy z取得最大值时， 212x y z+-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．94D ．38．（山东）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为A ．0B ．98C ．2D ．949．（浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C ．5D ．6 10．（浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C ．5D ．6 11．（陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v ab <<B ．v abC ab v <2a b + D ．v =2a b +12．（湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a的最小值为 A ．2 B ．2 C ．34 D ．34413．（2011陕西）设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<<B ．2a b a ab b +<<< C ．2a b a ab b +<<< D 2a b ab a b +<<< 14．（2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b a a b +≥ 二、填空题15．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 ． 16．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．17．(北京)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．18．（天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________． 19．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是 ．20．（浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 21．（浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值是__；22．（辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足22420a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，124a b c ++的最小值为 ．23．（辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为 ．24．（湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v F v v l=++． （Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时．25．（天津）设a + b = 2， b >0， 则当a = 时，1||2||a a b +取得最小值. 26．（四川）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__． 27．（2011浙江）若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是____．28．（2011湖南）设,x y R ∈，则222211()(4)x y y x++的最小值为 ． 29．（2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤； ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥。

专题七 不等式第二十一讲 不等式的综合应用答案部分2019年1.解析 0x >，0y >，25x y +=，===由基本不等式，22xy==时，即3xy =，且25x y +=时，即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2010-2018年1．D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-， 当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立． 当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．3．C 【解析】若{}n a 是递减的等差数列，则选项,A B 都不一定正确．若{}n a 为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得1322a a a ，由基本不等式得13132a a aa ，所以C正确． 4．B 【解析】∵0a b ，∴2a bab ，又()ln f x x 在(0,)上单调递增，故()2a bf f ，即q p ，∵11(()())(ln ln )ln ()22rf a f b a b ab f ab p ，∴p r q ．5．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b +=(0,0a b >>)，4343()()77b aa b a b a b a b+=++=+++≥ 当且仅当43b aa b=时取等号．6．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为yx y x 222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 7．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ， 故选B.8．C 【解析】由22340x xy yz -+-=得2243x y xy z +-=，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=， 当且仅当224x y =即2x y =时，zxy有最小值1， 将2x y =代入原式得22z y =，所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+， 当1y =时有最大值2．故选C ．9．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.10．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥113236555⨯⨯+=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则222112S ab v ab S Sa b aba ba b===<=+++． ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v ab <<．选A ． 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==． 依题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==．8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()82b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a bab +<，比较a ab因为22()()0a ab a a b -=-<，所以a ab <22()()0b ab b b a -=->ab b <；作差法：022a b b ab +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<．14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >， ∴0b a >，0b a>∴2b a a b +=≥，D 正确． 15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 16．(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．17．1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．18．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=， 解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．21．30a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得33a -≤≤，故a的最大值为3． 22．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．23．－2 【解析】 设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 24．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v =时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．25．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-． 26．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x=+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =． 27．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤， ∴24()3x y +≤，3x y +≤．28．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．29．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥， 命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。

高考培优数学“不等式的综合应用”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1.不等式在函数最值以及函数值域方面的应用不等式实际上跟函数有着天然的联系。

利用不等式来求函数的极值也是一种常用的技巧。

在高考中，这方面的内容虽然考得不多，但是掌握这部分内容更有助于对不等式有着深刻的理解，并且也能触类旁通。

2.不等式、函数与数列的综合不等式、函数与数列的综合是高考考查的重点所在。

事实上，上海高考中的难题，不等式、函数、数列的综合占了很大一部分。

这其中，不等式往往起着串联的作用，是一个基本的工具。

1.（★★★☆）求函数2234()34x xf xx x-+=++的最大、最小值。

2.（★★★☆）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求证：；答案：1.223434x xyx x-+=++，函数解析式化为：2(1)(33)440y x y x y-+++-=注意到函数的定义域为R，所以，当1y=时，上述方程显然有解。

当1y ≠时，要使得方程有解：2(33)4(1)(4y 4)0y y ∆=+---≥ 得到177y ≤≤2.⑴ 证明：，当时，或，又.由，得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；⑵ 证明：由⑴知，，.知识梳理知识点一：不等式在函数最值以及函数值域方面的应用✧ 子知识点一：配方法。

所谓配方法就是将所考虑的函数配方，再利用20x ≥ 这个天然的不等式进行求解。

✧ 子知识点二：判别式法。

所谓判别式法就是将函数化归为二次函数的方法进行讨论。

利用这种方法可以求出某些特殊函数的值域。

✧ 子知识点三：均值不等式法。

均值不等式是高中所学的一个非常常用的不等式，它在函数极值方面也有着非常重要的应用。

知识点二：不等式、函数与数列的综合不等式、函数与数列的综合相对来说内容比较杂。

一般来说，我们会运用到不等式的证明技巧、不等式恒成立问题的处理方法等各种不等式的知识。

1. 不等式在函数最值以及函数值域方面的应用例1 （★★☆☆）求函数642()1f x x x x =--+的最小值。

高中数学复习专题讲座不等式的综合应用 高考要求不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决咨询题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范畴或解决一些实际应用咨询题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值咨询题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的咨询题 重难点归纳 1 应用不等式知识能够解决函数、方程等方面的咨询题，在解决这些咨询题时，关键是把非不等式咨询题转化为不等式咨询题，在化归与转化中，要注意等价性 2 关于应用题要通过阅读，明白得所给定的材料，查找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的要紧特点与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的咨询题 典型题例示范讲解例1用一块钢锭烧铸一个厚度平均，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，那么当h 为何值时，V最大？求出V 的最大值(求解此题时，不计容器厚度) 命题意图 此题要紧考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的运算及用均值定论求函数的最值 知识依靠 此题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值 错解分析 在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0 技巧与方法 此题在求最值时应用均值定理 解 ①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h h h a V (h ＞0)得 2121)1(31=⋅=++=hh h h hh V 而 因此V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号 故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米 例2a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1(1)证明 |c |≤1；(2)证明 当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x ) 命题意图 此题要紧考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析咨询题和解决咨询题的能力 知识依靠 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是此题的灵魂 错解分析 此题综合性较强，其解答的关键是对函数f (x )的单调性的深刻明白得，以及对条件〝－1≤x ≤1时|f (x )|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空泛，缺乏严密，从而使题目陷于僵局 技巧与方法 此题(2)咨询有三种证法，证法一利用g (x )的单调性；证法二利用绝对值不等式 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |；而证法三那么是整体处理g (x )与f (x )的关系(1)证明 由条件当=1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，取x =0得 |c |=|f (0)|≤1，即|c |≤1(2)证法一 依题设|f (0)|≤1而f (0)=c ，因此|c |≤1 当a ＞0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是增函数，因此g (－1)≤g (x )≤g (1)，(－1≤x ≤1)∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，|c |≤1，∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤|f (1)|+|c |=2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(|f (－2)|+|c |)≥－2，因此得|g (x )|≤2 (－1≤x ≤1)；当a ＜0时，g (x )=ax +b 在［－1，1］上是减函数，因此g (－1)≥g (x )≥g (1)，(－1≤x ≤1)，∵|f (x )|≤1 (－1≤x ≤1)，|c |≤1∴|g (x )|=|f (1)－c |≤|f (1)|+|c |≤2综合以上结果，当－1≤x ≤1时，都有|g (x )|≤2 证法二 ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)∴|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，|f (0)|≤1，∵f (x )=ax 2+bx +c ，∴|a －b +c |≤1，|a +b +c |≤1，|c |≤1， 因此，依照绝对值不等式性质得|a －b |=|(a －b +c )－c |≤|a －b +c |+|c |≤2，|a +b |=|(a +b +c )－c |≤|a +b +c |+|c |≤2，∵g (x )=ax +b ，∴|g (±1)|=|±a +b |=|a ±b |≤2，函数g (x )=ax +b 的图象是一条直线，因此|g (x )|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x =－1或x =1处取得，因此由|g (±1)|≤2得|g (x )|≤2，(－1＜x ＜1))21()21(])21()21([])21()21([)2121(])21()21[()(,)21()21(4)1()1(:22222222--+=+-+--++++=--++--+=+=∴--+=--+=x f x f c x b x a c x b x a x x b x x a b ax x g x x x x x 证法三 当－1≤x ≤1时，有0≤21+x ≤1，－1≤21-x ≤0， ∵|f (x )|≤1，(－1≤x ≤1)，∴|f )21(+x |≤1，|f (21-x )|≤1； 因此当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤|f )21(+x |+|f (21-x )|≤2 (3)解 因为a ＞0，g (x )在［－1，1］上是增函数，当x =1时取得最大值2，即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2 ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1，∴c =f (0)=－1因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，依照二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图象的对称轴， 由此得－ab 2＜0 ，即b =0 由①得a =2，因此f (x )=2x 2－1例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2a1 (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1； (2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明 x 021x 解 (1)令F (x )=f (x )－x ，因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，因此F (x )=a (x －x 1)(x －x 2) 当x ∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，得(x －x 1)(x －x 2)＞0，又a ＞0，得F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x )x 1－f (x )=x 1－［x +F (x )］=x 1－x +a (x 1－x )(x －x 2)=(x 1－x )［1+a (x －x 2)］∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，∴x 1－x ＞0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0 ∴x 1－f (x )＞0，由此得f (x )＜x 1(2)依题意 x 0=－ab 2，因为x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两根，即x 1，x 2是方程ax 2+(b －1)x +c =0的根∴x 1+x 2=－ab 1- ∴x 0=－aax ax a x x a a b 2121)(22121-+=-+=，因为ax 2＜1， ∴x 0＜2211x a ax = 学生巩固练习 1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出以下不等式，其中正确不等式的序号是( )①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A ①③ B ②④ C ①④ D ②③ 2 以下四个命题中 ①a +b ≥2ab ②sin 2x +x2sin 4≥4 ③设x ，y 差不多上正数，假设yx 91+=1，那么x +y 的最小值是12 ④假设|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，那么|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________ 3 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存物资的运费y 2与到车站的距离成正比，假如在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分不为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 4 二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2(1)假如x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1；(2)假如|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范畴 5 某种商品原先定价每件p 元，每月将卖出n 件，假假设定价上涨x成(那个地点x 成即10x ，0＜x ≤10) 每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原先的 z 倍(1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)假设y =32x ，求使售货金额比原先有所增加的x 的取值范畴 6 设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1(1)求证 f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；(2)求证 f (x )在R 上单调递减；(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，假设A ∩B =∅，求a 的取值范畴 7 函数f (x )=1222+++x c bx x (b ＜0)的值域是［1，3］， (1)求b 、c 的值；(2)判定函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；(3)假设t ∈R ，求证 lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤513 参考答案1 解析 由题意f (a )=g (a )＞0，f (b )=g (b )＞0，且f (a )＞f (b )，g (a )＞g (b ) ∴f (b )－f (－a )=f (b )+f (a )=g (a )+g (b )而g (a )－g (－b )=g (a )－g (b )∴g (a )+g (b )－［g (a )－g (b )］=2g (b )＞0，∴f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )同理可证 f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )答案 A2 解析 ①②③不满足均值不等式的使用条件〝正、定、等〞④式 |x －y |=|(x －2)－(y －2)|≤|(x －2)－(y －2)|≤|x －2|+|y －2|＜ε+ε=2ε 答案 ④ 3 解析 由y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离) 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8 当且仅当0 8x =x20即x =5时〝=〞成立 答案 5公里处4 证明 (1)设g (x )=f (x )－x =ax 2+(b －1)x +1，且x ＞0∵x 1＜2＜x 2＜4，∴(x 1－2)(x 2－2)＜0，即x 1x 2＜2(x 1+x 2)－4，12)42(212)(212)()(2121)(21)11(21221212121210-=++->++-=++-+>-+=---⋅=-=x x x x x x x x x x a a b a b x 于是得(2)解 由方程g (x )=ax 2+(b －1)x +1=0可知x 1·x 2=a1＞0，因此x 1，x 2同号 1°假设0＜x 1＜2，那么x 2－x 1=2，∴x 2=x 1+2＞2，∴g (2)＜0，即4a +2b －1＜0 ① 又(x 2－x 1)2=44)1(22=--a ab ∴2a +1=1)1(2+-b (∵a ＞0)代入①式得， 21)1(2+-b ＜3－2b② 解②得b ＜41 2°假设 －2＜x 1＜0，那么x 2=－2+x 1＜－2∴g (－2)＜0，即4a －2b +3＜0③ 又2a +1=1)1(2+-b ，代入③式得21)1(2+-b ＜2b －1④ 解④得b 47 综上，当0＜x 1＜2时，b ＜41，当－2＜x 1＜0时，b 47 5 解 (1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分不是 p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元， 因而)10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=， 在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －aa )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］ 由于31≤a ＜1，那么0＜aa )1(5-≤10要使售货金额最大，即使z 值最大，现在x =a a )1(5- (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5 6 (1)证明 令m ＞0，n =0得 f (m )=f (m )·f (0) ∵f (m )≠0，∴f (0)=1 取m =m ，n =－m ，(m ＜0)，得f (0)=f (m )f (－m )∴f (m )=)(1m f -，∵m ＜0，∴－m ＞0，∴0＜f (－m )＜1，∴f (m )＞1 (2)证明 任取x 1，x 2∈R ，那么f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)－f ［(x 2－x 1)+x 1］=f (x 1)－f (x 2－x 1)·f (x 1)=f (x 1)［1－f (x 2－x 1)］，∵f (x 1)＞0，1－f (x 2－x 1)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在R 上为单调减函数(3)由⎩⎨⎧=+-<+⎩⎨⎧θ==+->+021)(1)2()1()(2222y ax y x f y ax f f y x f 得， 由题意此不等式组无解，数形结合得 1|2|2+a ≥1，解得a 2≤3∴a ∈［－3，3］ 7 (1)解 设y =1222+++x c bx x ，那么(y －2)x 2－bx +y －c =0 ①∵x ∈R ，∴①的判不式Δ≥0，即 b 2－4(y －2)(y －c )≥0，即4y 2－4(2+c )y +8c +b 2≤0 ②由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y 2－4(2+c )y +8c +b 2=0的两根⎪⎩⎪⎨⎧+=⨯+=+48312312b c c ∴c =2，b =－2，b =2(舍〕(2)任取x 1，x 2∈［－1，1］，且x 2＞x 1，那么x 2－x 1＞0，且(x 2－x 1)(1－x 1x 2)＞0，∴f (x 2)－f (x 1)=－)1)(1()1)((2)12(122221*********x x x x x x x x x x ++--=+--+＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，lg f (x 2)＞lg f (x 1)，即F (x 2)＞F (x 1)∴F (x )为增函数,31|)61()61(||||,61||61|)3(=+--≤+--=t t u t t u 记 即－31≤u ≤31，依照F (x )的单调性知 F (－31)≤F (u )≤F (31)， ∴lg 57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 513对任意实数t 成立 课前后备注数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在«自然辩证法»一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中包蕴着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动表达，它们是对立统一的，又是相互联系、相互阻碍的；等与不等关系是中学数学中最差不多的关系等的关系表达了数学的对称美和统一美，不等关系那么如同仙苑奇葩出现出了数学的奇特美 不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的差不多性质，假如把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式进展为一个人丁兴盛的大伙儿族，由简到繁，形式各异 假如给予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等 不等式是永恒的吗？明显不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的咨询题 解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范畴或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明那么是推理性咨询题或探干脆咨询题 推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，差不多方法有比较法、综合法、分析法；探干脆咨询题大多是与自然数n 有关的证明咨询题，常采纳观看—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明 另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系 不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他咨询题，诸如集合咨询题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值咨询题无一不与不等式有着紧密的联系 许多咨询题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还能够解决现实世界中反映出来的数学咨询题 不等式中常见的差不多思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程 总之，不等式的应用表达了一定的综合性，灵活多样性等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最普遍的关系 数学的差不多特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的表达不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺立，峰之隽秀，海之宽敞，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？。

专题七不等式第二十一讲不等式的综合应用2019 年1. （2019 天津理13 ）设x 0, y 0, x 2y 5 ，则(x1)(2y 1)xy的最小值为.2010-2018 年一、选择题1．(2018 北京)设集合A {(x, y) | x y≥1,ax y 4, x ay≤2}, 则A．对任意实数a，(2,1)A B．对任意实数a，(2,1)AC．当且仅当a0 时，(2,1)A D．当且仅当 3a≤时，(2,1)A22．（2017 天津）已知函数x x| | 2, 1,xf(x ) 2 设a R，若关于x的不等式f(x)≥| a| x , x≥1.2 x在R上恒成立，则a的取值范围是A．[2, 2] B．[2 3, 2] C．[2, 2 3] D．[2 3,2 3] 3．（2015 北京）设a是等差数列．下列结论中正确的是nA．若a a，则1 2 0 a a B．若2 3 0 a aa a，则 1 2 01 3 0C．若0a a，则a a a D．若a ，则a a a a1 2 2 1 31 02 1 23 0a b 4．（2015 陕西）设f(x ) ln x，0 a b，若p f( ab) ，( )q f，2 1r( f(a) f(b)) ，则下列关系式中正确的是2A．q r p B．q r p C．p r q D．p r q5．（2014 重庆）若log（3a4b）log ab,则a b4 的最小值是21A．6 2 3 B．7 2 3 C．6 4 3 D．7 4 3 6．（2013 福建）若2x2y1，则x y的取值范围是A．[0,2] B．[2,0] C．[2,) D．(,2] 7．（2013 山东）设正实数x, y, z满足x2 3xy4y2 z0 ．则当xyz取得最大值时，2 1 2的最大值为x y zA．0 B．1 C．94D．38．（2013 山东）设正实数x, y, z满足x2 3xy4y2 z0 ，则当zxy取得最大值时，x2y z的最大值为A．0 B．98C．2 D．949．（2012 浙江）若正数x, y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是A．245B．285C．5 D．610．（2012 浙江）若正数x, y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是A．245B．285C．5 D．611．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a b），其全程的平均时速为v，则a b a bA．a v ab B．v= ab C．ab< v< D．v=2 2 12．（2012 湖南）已知两条直线l: y m和( m0)，l与函数y log x的l: y82m11 2 1 2图像从左至右相交于点A, B，l与函数2 y log x的图像从左至右相交于C, D．记线2段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b，当m变化时，ba的最小值为A．16 2 B．8 2 C．83 4 D．43 4 13．（2011 陕西）设0 a b，则下列不等式中正确的是2a b a bA．a ab b2 2a b ab B．a b a bC．a ab b D．ab a b2 2 14．（2011 上海）若a,b R，且ab 0 ，则下列不等式中，恒成立的是A．a b ab B．a b 2 ab C．1 1 2 D．b a 22 2 2a b ab a b二、填空题15．(2018 天津)已知a, b R，且a 3b 6 0 ，则2 1a 的最小值为．8b16．(2018 浙江)已知R，函数f(x)x x4, ≥xxx4x3, x2，当 2 时，不等式f(x ) 0的解集是___________．若函数f(x) 恰有2 个零点，则的取值范围是___________．17．(2017 北京)已知x 0 ，y 0，且x y 1，则x 2 y2 的取值范围是_______．18．（2017 天津）若a,b R，ab 0 ，则a 4 4b 4 1的最小值为___________．ab19．（2017 江苏）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x吨，运费为6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是．20．（2017 浙江）已知a R，函数f(x) | x 4 a| a在区间[1，4]上的最大值是5，则xa的取值范围是．21．（2014 浙江）已知实数a,b,c满足a b c 0 ，a 2 b 2 c 2 1，则a的最大值是__；22．（2014 辽宁）对于c 0 ，当非零实数a，b满足4a 2 2ab b 2 c 0 ，且使| 2a b|最大时，1 2 4的最小值为．a b c23．（2014 辽宁）对于c 0 ，当非零实数a，b满足4a 2 2ab 4b 2 c 0 ，且使| 2a b|最大时，3 4 5的最小值为．a b c24．（2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单3位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F76000vv 18v 20l2．（Ⅰ）如果不限定车型，l 6.05 ，则最大车流量为辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，l 5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加辆/小时．25．（2013 天津）设a+ b= 2，b>0，则当a= 时，1 | a |取得最小值.2 | a| ba26．（2013 四川）已知函数( ) 4 ( 0, 0)在x 3时取得最小值，则a __．f x x x ax27．（2011 浙江）若实数x, y满足x 2 y 2 xy 1，则x y的最大值是____．1 128．（2011 湖南）设x, y R，则(x 2 )( 4y2 ) 的最小值为．y x2 229．（2010 安徽）若a 0,b 0,a b 2 ，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①ab 1；②a b 2 ；③a 2 b 2 2 ；④a 3 b 3 3；⑤1 12a b4。

不等式的综合应用一、引言不等式是数学中一种重要的关系式，对于它的应用，我们可以说是无处不在。

在本节课中，我们将学习不等式的综合运用，探讨其在求解问题中的实际应用。

二、不等式的综合应用1. 不等式的定义回顾首先，我们回顾一下不等式的定义。

不等式是数学中用于表示大小顺序关系的一种关系式。

我们常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

通过不等式的符号及其运算规则，我们可以对数值的大小关系进行准确描述和比较。

2. 不等式的应用举例接下来，我们通过一些具体的例子，来看一看不等式在实际问题中的应用。

例1：求解实际问题假设某商场正在举行打折促销活动，标价为P元的商品打折后售价为（P-20）元。

现有一位顾客需要购买某商品，他的购买预算为80元以下，问该商品的标价不能超过多少元？解：设商品的标价为x元，则根据题意，我们可以列出不等式：x - 20 ≤ 80。

通过化简不等式，我们有x ≤ 100。

因此，该商品的标价不能超过100元。

例2：解决几何问题现在我们来考虑如下的几何问题：已知等边三角形的周长为60cm，求其面积s的范围。

解：设等边三角形的边长为a，则根据等边三角形的性质，我们得到不等式：3a ≤ 60。

通过化简不等式，我们有a ≤ 20。

解三角形的面积s为 s = （√3/4）a^2，代入a ≤ 20得到：s ≤ 2(√3/4) * 400 = 200√3。

因此，等边三角形的面积s的范围为0 ≤ s ≤ 200√3。

3. 不等式的实际运用不等式在实际问题中的应用非常广泛，可以用于解决生活中的各种问题。

以下举例说明。

例3：优化生产成本某工厂生产某种产品的生产成本为C元，每件产品的售价为S元，且单位生产成本与生产量n的关系为C = 5000 + 10n，售价与生产量n的关系为S = 100n。

问该工厂在保证盈利的前提下，至少需要生产多少件产品？解：设需要生产的产品数量为x件，则根据题意，我们可以列出不等式Sx > Cx，即100x > 5000 + 10x。

专题七 不等式第二十一讲 不等式综合应用答案部分1．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．A 【解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二 由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立． 当a=0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ； 当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．4．C 【解析】解法一 ∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=， 所以111a b =+=≥(当且仅当2a b ==时去等号)2．又a b +≥当且仅当2a b ==时去等号)，所以4a b +≥(当且仅当2a b ==时去等号)． 解法二∵1x y a b +=(0,0)a b >>过点(1,1)，所以111a b+=，所以11()()224a b a b a b abb a +=++=+++=≥(当且仅当2a b ==时去等号)．5．C 【解析】解法一由已知122b a a b ab++==0,0a b >>，∴2b a =+≥ab ≥解法二 由题意知0,0a b >>12a b =+≥ab ≥ 6．D 【解析】由已知得34a b ab +=，且0ab >，可知0,0a b >>，所以431a b+= (0,0a b >>)，43()()a b a b a b +=++=4377b aa b+++≥． 当且仅当43b aa b=时取等号． 7．D 【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x 222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号． 8．B 【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+．所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2yy x y -=-=1)221121(42=-+≤y y ，故选B. 9．C 【解析】由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2＋4y 2－3xy ＝z ，22443331z x y xyxy xy xy+=-≥=-=，当且仅当x 2＝4y 2即x ＝2y 时，zxy有最小值1， 将x ＝2y 代入原式得z ＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ， 当y ＝1时有最大值2.故选C. 10．C 【解析】35x y xy +=，135y x+=，113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=. 11．A 【解析】设从甲地到乙地所走路程为S ，则22211S ab v S Sa b a ba b===<=+++ ∵ a b <,∴ 2222ab a v a a b a=>=+,∴a v <<选A. 12．B 【解析】在同一坐标系中作出y m =，y =821m +(0m >)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==. 依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=13．B 【解】（方法一）已知a b <2a b+<，比较a22()0a a a b -=-<，所以a <22()0b b b a -=->b ；作差法：022a b b a b +--=>，所以2a bb +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ．（方法二）取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<． 14．D 【解析】对于A 取1a b ==，此时2222a b ab +==，因此A 不正确；对于B 取1a b ==-，此时22a b +=-<=，因此B 不正确；对于C 取1a b ==-，此时1122a b +=-<=，因此C 不正确；对于D ，∵0ab >，∴0b a >，0ba>，∴2b a a b +=≥，D 正确．15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥， 当且仅当363122b b-=，即1b =时等号成立． 16．1[,2]8【解析】当30x -≤≤时，()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x ++--≤恒成立，即232a x x --+≤恒成立，所以2min (32)2a x x --+=≤；当0x >时()||f x x ≤恒成立等价于222x x a x -+-≤恒成立，即22x x a -+≥恒成立，所以2max 1()28x x a -+=≥．综上，a 的取值范围是1[,2]8．17．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =，24b =时取等号.18．8【解析】由题意有121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=+++=≥．当且仅当4b aa b=，即4b =，2a =时等号成立． 19．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．20．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题， 由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <， 因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．()123,1233->->--+-=->-相矛盾，所以验证是假命题．21．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈ ①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤， 所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <， 综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．22．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在MN 上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P点横坐标的取值范围为[-．23．24a b =+++92+≤ 9418a b =+++=．当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时等号成立． 24【解析】 由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy --⊗==，因为00x y >>，，所以，22222242(2)222x y y x x y x y y x xy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥x =时，(2)x y y x ⊗+⊗．250a b c ++=得，a b c =--，则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤，又2221a b c ++=，所以232a ≤，解得a ，故a26．－1【解析】设|2|a b +最大，则必须,a b 同号，因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤， 故有2(2)4a b c +≤，22()2a b c +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2c b =， 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥．27．－2【解析】设2a b t +=，则2a t b =-，因为224240a ab b c -+-=， 所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①， 由0∆≥解得t ≤2a b +取得最大值时，t =代入①式得b =2a t b =-得a = 所以345a b c -+=55c c +=222=--≥． 当且仅当52c =时等号成立． 28．1900 100【解析】（Ⅰ）76000190020 6.0518F v v==⨯++，当且仅当11v = 时等号成立．（Ⅱ）76000200020518F v v==⨯++，当且仅当10v =时等号成立．20001900100-=．29．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-． 30．36【解析】因为0,0x a >>，()44a f x x x a x x=+≥=，当且仅当4ax x=，即3x ==，解得36a =． 31．3【解析】∵221x y xy ++=， ∴2()1x y xy +-=，即22()()12x y x y ++-≤， ∴24()3x y +≤，3x y +≤．32．9【解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=．33．①③⑤【解析】令1a b ==，排除②④；由21a b ab =+≥≤，命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；1122a b a b ab ab++==≥，命题⑤正确．。