专题学习--不等式与方程的综合应用

专题2.1等式与不等式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 不等式的性质及应用1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 4.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．【典例1】（2018·上海高考真题）已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【典例2】（2018·上海曹杨二中高一期末）如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ）A.a c b d ->-B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B 【解析】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立； 因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立；当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立；故选：B 【典例3】若,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，∴又，∴∴ 故选：D 【特别提醒】考查的命题角度，主要有三个，比较数（式）值的大小、不等式的性质、不等式的性质与其它知识点的交汇．热门考点02 一元二次不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． *2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)()()0f x g x ＞()()()0)00(·f x g x ⇔＜＞＜；(2)()()0f x g x ≥ ()0≤⇔()()()0(0)0f x g x g x ≥≤⎧≠⋅⎪⎨⎪⎩3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【典例4】（（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．详解：由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【典例5】（2018·上海曹杨二中高一期末）若集合{}31,2,3,4,0,1x A B xx R x ⎧⎫-==<∈⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂=__________；【答案】{}1,2 【解析】 由301x x -<+⇒ (3)(1)0x x -+< ⇒ 13x ，所以}{13,B x x x R =-<<∈， 又因为{}1,2,3,4A =，所以}{1,2A B ⋂=. 故答案为：{}1,2【典例6】（2015·广东高考真题（文））不等式的解集为 ．（用区间表示）【答案】【解析】 由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．【特别提醒】随着学习的深入，对一元二次不等式的解法解法的独立考查，越来越少，往往作为一种工具、技能，与其它知识点交汇考查．热门考点03 一元二次不等式恒成立问题1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a .*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．【典例7】若关于x 的不等式222321x x a a -+>--对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】{}13a a -<< 【解析】分析：根据题意可知，只需223x x -+的最小值大于221a a --即可，解不等式即可求出． 详解：因为()2223122y x x x =-+=-+，所以2212a a --<，解得13a -<<.故答案为：{}13a a -<<．【典例8】（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤， 整理可得：21122a x x ≥-+， 由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【典例9】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{ 10g g ->->，整理得22560{ 320x x x x -+>-+>，解得13x x 或，即实数 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.【总结提升】三道例题，分别代表如下类型：（1）一元二次不等式在R 上的恒成立问题 （2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题． （3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用热门考点04 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)， |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【典例10】（2019·天津高考真题（理））设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B.【典例11】（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为______. 【答案】2a ≤ 【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ， 即11x x a -++≥恒成立； 所以只需2a ≤. 故答案为： 2a ≤【典例12】解下列不等式：（1）343x ->；（2）523x -≤；（3）115x x ++-≤．【答案】(1)17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）[]1,4（3）55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据公式()0x a a x a >>⇔>或x a <-，()0x a a a x a ≤>⇔-≤≤可以解出（1）（2）；利用零点分段法可以解出（3）.详解：（1）343343x x ->⇔->或343x -<-，解得73x >或13x <，所以不等式的解集为17,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5233253x x -≤⇔-≤-≤，解得14x ≤≤，所以不等式的解集为[]1,4； （3）原不等式等价为1115x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 或11115x x x -<<⎧⎨++-≤⎩ 或()1115x x x ≤-⎧⎨-++-≤⎩解得512x ≤≤或11x -<<或512x -≤≤-，即5522x -≤≤，所以不等式的解集为55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【总结提升】1.绝对值不等式的常用解法有：定义法，公式法，零点分段法，数形结合法，以及平方法.2. 形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点12x a x b ＝和＝的距离之和大于c 的全体，|||||()||.|x a x b x a x b a b ≥－＋－－－－＝－(3)图象法：作出函数12||||y x a x b y c ＝－＋－和＝的图象，结合图象求解．热门考点05 基本（均值）不等式及其应用1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．条件最值的求解通常有三种方法一是“配凑法”.常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数等，以便于应用基本不等式. 二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 三是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. *3. 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【典例13】（2019·浙江高考真题）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【典例14】（2019·上海交大附中高一期末）已知x ,R y *∈，且满足–20xy x y -=，则x y +的最小值为___________．【答案】3+【解析】分析：由题知2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，再借助基本不等式得最小值． 详解：由题知x ，y ，满足20xy x y --=，则2xy x y =+，同除xy ，得211x y+=，212()()3322x yx y x yx y y x +=++=+++，当且仅当2x =1y =时取到等号．故答案为：3+．【典例15】（2019·江苏高一月考）周长为12的矩形，其面积的最大值为（ ） A.6 B.7C.8D.9【答案】D 【解析】设矩形的长宽分别为 x ，y ， 则2(x +y )=12，化为x +y =6.292x y S xy +⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，当且仅当 x =y =3 时取等号.因此面积的最大值是 9.故选：D.【典例16】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝，∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【总结提升】1.基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围． 2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．热门考点06．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称【典例17】（2019·北京临川学校高二期末（文））若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]【答案】C 【解析】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k ≤或58k≥， 解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋． 故选C ．【典例18】（浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届联考）】设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为______．【答案】 【解析】 去绝对值，利用二次函数的性质可得，在的最大值为，，，中之一，所以可得，， ，，上面四个式子相加可得即有，可得的最小值为．故答案为．【总结提升】1.研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 2.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．热门考点07. 三个“二次”之间的关系（1）关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． （2）三个“二次”之间的关系：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f (x )>0求方程f (x )＝0的解有两个不等的实数解x 1，x 2有两个相等的实数解x 1＝x 2没有实数解或f (x )< 0的步骤画函数y ＝f (x )的示意图得不等式 的解集f (x )>0__{x |x <x 1 或x >x 2}__ {x |x ≠－b2a} Rf (x )<0__{x |x 1<x <x 2}____∅____∅__【典例19】（2020·宜宾市叙州区第一中学校高一月考（理））已知函数2()1(0)f x x ax a =++>.（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的方程()4f x =的解；（2）当2a =时，函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-在[2,1]-上有三个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）3x =-或1x =.（2）(1,2] 【解析】（1）因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以()22min 1110242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭. 因为0a >，所以2a =，则()221f x x x =++.因为()4f x =，所以2214x x ++=，即2230x x +-=， 解得3x =-或1x =.（2）()()()2221g x f x mf x m ⎡⎤=-+-⎣⎦在[]2,1-上有三个零点等价于方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根. 因为()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以()1f x m =+或()1f x m =-. 因为2a =，所以()221f x x x =++.结合()f x 在[]2,1-上的图象可知，要使方程()()22210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦在[]2,1-上有三个不同的根，则()1f x m =+在[]2,1-上有一个实数根，()1f x m =-在[]2,1-上有两个不等实数根， 即114011m m <+≤⎧⎨<-≤⎩，解得12m <≤.故m 的取值范围为(]1,2.【典例20】（2015·浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-.当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--. 【规律总结】一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标．巩固提升1.（2017·浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2．（2019·上海市吴淞中学高一月考）设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2|230B x Z x x =∈--<，则()A B =U（ ）A.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,3,4,5【答案】D 【解析】{}{}{}2|230|130,1,2B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=，所以{}1,2A B =，所以(){}0,3,4,5UA B =，故选：D.3.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项.4．（2019·上海曹杨二中高一月考）如果a ，b ，c ，满足c b a <<，且0ac <，那么下列不等式不成立的是（ ） A.ab ac > B.()0c b a ->C.2ab ab <D.()0ac a c -<【答案】C 【解析】因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，因此ab ac >；A 正确； 又0b a -<，所以()0c b a ->；B 正确； 当13b =时，219=b ，此时2ab ab >，C 错误； 因为0a c ->，所以()0ac a c -<；D 正确. 故选：C5．（2018·上海市川沙中学高一期末）若2x =是方程222160x ax b ++-=的解，则ab 的最大值是（ ） A.16 B.12C.8D.4【答案】D 【解析】因为2x =是方程222160x ax b ++-=的解， 所以822160++-=a b ，即4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时，取等号. 故选：D6．（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知{}|0A x x =≥，{}2|10B x x bx =++=，若AB =∅，则实数b 的取值范围是（ ） A.{}|2b b ≥ B.{}|2b b ≥ C.{}|22b b -<< D.{}|2b b >-【答案】D 【解析】 ∵AB =∅，∴方程210x bx ++= 有两负根或无根，则240b b ⎧-⎨-<⎩ 或240b -<， 解得：2b ≥ 或22b -<<， ∴实数b 的取值范围是{}|2b b >- 故选：D7．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】记()21f x x x a =-+-，则原问题等价于二次函数()21f x x x a =-+-的最小值大于或等于0．而()21524f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当12x =时，()min 54f x a =-，所以504a -≥，即54a ≥． 故选：D ．8．（2014·全国高考真题（文））不等式组(2)0{1x x x +><的解集为( )A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >【答案】C 【解析】(2)020{{01111x x x x x x x +>-∴∴<<<-<<或，所以不等式的解集为{|01}x x <<9．若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0a >，0b >恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{}20x x -<< B.{|2x x <-或}0x > C.{}42x x -<< D.{|4x x <-或}2x >【答案】C 【解析】因为0a >，0b >，所以161628a b a bb a b a+⋅=（当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<，故选：C10.（2019·上海市莘庄中学高一期中）已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2 【解析】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值. 故答案为：211.（2018·上海高一期末）设{}2=320A x x x -+≤，(]=,B n -∞，如果AB =∅，则实数n 的取值范围是_________. 【答案】1n < 【解析】 由题知,{}12A x x =≤≤{}B x x n =≤,A B =∅,∴ 作图如下：由图得,n<1. 故答案为：n<112．（2019·上海闵行中学高一期中）若关于x 的不等式0x bx a-<-的解集是(2,3)，则a b +=________ 【答案】5 【解析】 因为不等式0x bx a-<-的解集是(2,3) 即2,3x x ==是方程()()0x b x a --=的解 所以2,3b a ==或2,3a b == 则5a b += 故答案为:513.（2019·海南高一期中）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为_______. 【答案】81 【解析】0x ，0y >，2x yxy +∴≥ 即2812x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当9x y ==时等号成立，()max 81xy ∴=. 故答案为：8114．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数2()2(1)4f x x k x =+-+.（1）若函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，求实数k 的取值范围; （2）若()0f x >对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(,3][1,)-∞-⋃-+∞（2）()1,3-【解析】（1）由函数2()2(1)4f x x k x =+-+知，函数()f x 图象的对称轴为1x k =-.因为函数()f x 在区间[]2,4上具有单调性，所以12k -≤或14k -≥，解得3k ≤-或1k ≥-，所以实数k 的取值范围为(,3][1,)-∞-⋃-+∞.（2）解法一：若()0f x >对—切实数x 都成立，则∆<0，所以24(1)160k --<，化简得2230k k --<，解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.解法二：若()0f x >对一切实数x 都成立，则min ()0f x >， 所以2min 164(1)()04k f x --=>， 化简得2230k k --<， 解得13k -<<，所以实数k 的取值范围为()1,3-.15.（2019·上海市吴淞中学高一月考）已知全集U =R ，集合{}2|340A x x x =+-≤，{}|11B x m x m =-≤≤+.（1）若1m =，求()U A B ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）(){}|40U B A x x =-≤<；（2）[]3,0- 【解析】（1）若1m =，则{}|02B x x =≤≤，所以{|0U B x x =<或}2x >，又因为{}|41A x x =-≤≤，所以(){}|40U B A x x =-≤< .（2）由（1）得，{}|41A x x =-≤≤，又因为B A ⊆，所以1411m m -≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得[]3,0m ∈-. 16．（2019·上海曹杨二中高一月考）若关于x 的不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ，求k 的取值范围.【答案】[)1,9【解析】当10k -=，即1k =时，原不等式可化为20>，显然恒成立，满足题意；当10k -≠，即1k ≠时，由不等式()()21120k x k x -+-+>的解集为R ， 可得：()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，即1(1)(9)0k k k >⎧⎨--<⎩，解得：19k <<. 综上，k 的取值范围是[)1,9.。

知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。

26．如图1，数轴上，O点与C点对应的数分别是0，单位：单位长度，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上在B的左边，若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．请直接写出直尺的长为______个单位长度；如图2，直尺AB在数轴上移动，有，求此时A点所对应的数；如图3，以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子，将直尺放入篷内的数轴上的某处看不到直尺的任何部分，A在B的左边，将直尺AB沿数轴以4个单位长度秒的速度分别向左、右移动，直到完全看到直尺，所经历的时间分别为、，若秒，求直尺放入篷内时，A点所对应的数为多少？【答案】（1）20；（2）或10；（3）A点在蓬内所对应的数为38.当直尺AB在数轴上移动时，符合的情况如下所示：设BO为x：，所对应的数为设OA为x：，所对应的数为10综上所述，A在数轴上所对应的数分别为或10．设，如下图，根据题意，解得所以A点在蓬内所对应的数为38【关键点拨】本题通过直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间长度关系的变化来确定移动点的位置，根据已知条件来分析移动点的可能性是解题的关键．月使用费主叫限定时间(分钟) 主叫超时费(元/分钟) 被叫方式一65 160 0.20 免费方式二100 380 0.25 免费被叫免费)(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟,则他按方式一计费需____元,按方式二计费需____ 元；李华某月按方式二计费需107元,则李华该月主叫通话时间为_____分钟；(2)是否存在某主叫通话时间(分钟),按方式一和方式二的计费相等?若存在,请求出的值；若不存在,请说明理由。

(3)直接写出当月主叫通话时间(分钟)满足什么条件时,选择方式一省钱。

【答案】（1）73，100，408；（2）存在某主叫通话时间t=300或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）当每月通话时间大于560分钟时，选择方式一省钱．（2）①当t≤160时，不存在；②当160＜t≤380时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，65+0.20×（t-160）=100，解得t=335，符合题意；③当t＞380时，设每月通话时间为t分钟时，两种计费方式收费一样多，65+0.20×（t-160）=100+0.25（t-380），解得t=560，符合题意．故存在某主叫通话时间t=300或560分钟，按方式一和方式二的计费相等；（3）由（2）可得，当每月通话时间大于560分钟时，选择方式一省钱．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．28．同学们,今天我们来学习一个新知识,形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为:利用此法则解决以下问题:(1)仿照上面的解释,计算出的结果；(2)依此法则化简的结果；(3)如果那么的值为多少?【答案】（1）11；（2）5a−b−ab；（3）.（3）∴5x-3（x+1）=4∴5x−3x−3=4∴2x=7∴x=【关键点拨】[来源:]此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键. 29．阅读探索知识累计解方程组解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为解方程组得：即所以此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_____________．【答案】（1）（2）解得：，故答案为：【关键点拨】二元一次方程组解法的拓展是本题的考点，熟练掌握基础知识进行换元是解题的关键. 30．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，B两点对应的数分别为______，______；若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则原点O与数______表示的点重合；若点A、B分别以4个单位秒和3个单位秒的速度相向而行，则几秒后A、B两点相距1个单位长度？若点A、B以中的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）-10;5; （2）-5；（3）2或秒；（4）存在，当m=3时，4AP+3OB-mOP为定值55．（2）∵|AB|=5-（-10）=15，=7.5，∴点A、点B距离折叠点都是7.5个单位所以折叠点上的数为-2.5．所以与点O重合的点表示的数为：-2.5×2=-5．即原点O与数-5表示的点重合．故答案为：-5．（3）设x秒后A、B相距1个单位长度，当点A在点B的左侧时，4x+3x=15-1，解得，x=2，当点A在点B的右侧时，4x+3x=15+1，解得，x=答：2或秒后A、B相距1个单位长度；【关键点拨】本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离．题目综合性较强，难度较大．解决（1）需利用非负数的性质，解决（3）注意分类思想的运用，解决（4）利用数轴上两点间的距离公式．31．（背景知识）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律:例如，若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．（问题情境）在数轴上，点表示的数为-20，点表示的数为10，动点从点出发沿数轴正方向运动，同时，动点也从点出发沿数轴负方向运动，已知运动到4秒钟时，、两点相遇，且动点、运动的速度之比是（速度单位:单位长度/秒）．备用图（综合运用）（1）点的运动速度为______单位长度/秒，点的运动速度为______单位长度/秒；（2）当时，求运动时间；（3）若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现:随着动点、的运动，线段的中点也随着运动．问点能否与原点重合？若能，求出从、相遇起经过的运动时间，并直接写出点的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．【答案】（1）动点P运动的速度为4.5单位长度/秒，动点Q运动的速度为3单位长度/秒；（2）运动时间为或秒；（3）点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为，理由见解析（2）设运动时间为t秒．由题意知：点P表示的数为－20＋4.5t，点Q表示的数为10－3t，根据题意得：|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|整理得：|7.5t－30|=107．5t－30=10或7.5t－30=－10解得：t=或t=．答：运动时间为或秒．（3）P、Q相遇点表示的数为－20＋4×4.5=－2（注：当P、Q两点重合时，线段PQ的中点M也与P、Q两点重合）设从P、Q相遇起经过的运动时间为t秒时，点M与原点重合．①点P、Q均沿数轴正方向运动，则：解得：t=．此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷（单位长度/秒）；②点P沿数轴正方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：解得：t=．此时点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为2÷=（单位长度/秒）；③点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，则：解得：t=－（舍去）．此时点M不能与原点重合；④点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴负方向运动，则：解得：t=－（舍去）．此时点M不能与原点重合．综上所述：点M能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为或沿数轴正方向运动，运动速度为．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．32．小明每隔一小时记录某服装专营店8：00～18：00的客流量（每一时段以200人为标时段8：00～9：00 10：00～11：00 12：00～13：0014：00～15：0016：00～17：00客流量（人）-21 +33 -12 +21 +54（1）若服装店每天的营业时间为8：00～18；00，请你估算一周（不休假）的客流量；（单位：人）（精确到百位）（2）若服装店在某天内男女装共卖出135套，据统计，每15名女顾客购买一套女装，每20名男顾客购买一套男装，则这一天卖出男、女服装各多少套？（3）若每套女装的售价为80元，每套男装的售价为120元，则此店一周的营业额约为多少元？【答案】（1）1.51×104人；（2）这一天卖出男装25套，女装110套．(3) 此店一周的营业额约为82600元．（2）设这一天卖出女装x套，男装（135-x）套,根据题意得，15x+20(135-x)=2150,解得，x=110，135-x=135-110=25.故这一天卖出男装25套，女装110套．（3）因为第二问中某一天出售男装25套，女装110套，每套女装的售价为80元，每套男装的售价为120元所以此店一周的营业额约为：[（25×120）+（110×80）]×7=[3000+8800]×7=11800×7=82600（元）故此店一周的营业额约为82600元．【关键点拨】本题考查正数和负数的加法、解方程组、数据的估算，注意第一问中精确到百位．33．某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？(2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？(3)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．【答案】（1）甲超市实付款352元，乙超市实付款360元；（2）购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同；（3）该顾客选择不划算.（3）设购物总额是x元，购物总额刚好500元时，在乙超市应付款为：500×0.9=450(元)，482＞450，故购物总额超过500元．根据题意得：500×0.9+0.8(x-500)=482∴x=540∴0.88x=475.2<482∴该顾客选择不划算．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据两超市的促销方案，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）求出购物总额．34．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元．(1)符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；(2)如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？【答案】(1) 有三种购买方案,理由见解析；（2）为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车(2)方案一的日租金为3×200＋7×110＝1370(元)<1500元；方案二的日租金为4×200＋6×110＝1460(元)<1500元；方案三的日租金为5×200＋5×110＝1550(元)>1500元．所以为保证日租金不低于1500元，应选择方案三，即购买5辆轿车，5辆面包车．【关键点拨】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，要注意找好题中的不等关系．解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次不等式；（2）求出三种购买方案的日租金35．如图是某景区的环形游览路线ABCDA，已知从景点C到出口A的两条道路CBA和CDA 均为1600米，现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形道路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分，每一个游客的步行速度均为50米/分．（1）探究（填空）：①当两车行驶分钟时，1、2号车第一次相遇，此相遇点到出口A的路程为米；②当1号车第二次恰好经过点C，此时两车行驶了分钟，这一段时间内1号车与2号车相遇了次．（2）发现：若游客甲在BC上K处（不与点C、B重合）候车，准备乘车到出口A，在下面两种情况下，请问哪种情况用时较少（含候车时间）？请说明理由．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．（3）决策：①若游客乙在DA上从D向出口A走去，游客乙从D出发时恰好2号车在C处，当步行到DA上一点P（不与A，D重合）时，刚好与2号车相遇，经计算他发现：此时原地（P点）等候乘1号车到出口与直接从P步行到达出口A这两种方式，所花时间相等，请求出D点到出口A的路程．②当游客丙逛完景点C后准备到出口A，此时2号车刚好在B点，已知BC路程为600米，请你帮助游客丙做一下决策，怎样到出口A所花时间最少，并说明理由．【答案】（1）①4,800；②24，3；（2）情况一所用时间比较少，理由详见解析；（3）①D到A的路程为800 米；②丙应该选择乘坐1 号车所需时间最少．412分钟，第三次相遇时间为1220分钟，第四次相遇时间为2028分钟，∴这一段时间内1号车与2号车相遇了3次．故答案为：24，3；（2）情况一所用时间比较少，设CK＝x米，由题意知，情况一需要时间为：16，情况二需要的时间为：16，∴情况一所用时间比较少；（3）①设P到A的路程为a米，则2号车从C→B→A→P的时间为分钟，∴D到P的路程为50，由题意知，，解得：a＝320，∴D到P的路程为50＝480米，∴D到A的路程为320+480＝800米；②若丙选择乘坐1号车，所需时间为13分钟，若丙选择乘坐2号车，所需时间为21分钟，若丙选择步行到出口A，所需时间为32分钟，所以丙应该选择乘坐1号车所需时间最少．【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意仔细剖析每种情形下路程的变化是解题的关键．36．已知一个四位自然数M的千、百、十、个位上的数字分别是、、、，若，且，则称自然数M是“关联数”，且规定.例如5326，因为，所以5326是“关联数”，且现已知式子（、、都是整数，，，）的值表示四位自然数，且是“关联数”，的各位数字之和是8的倍数.（1）当时，求；（2）当时，求的和.【答案】（1）3544，（2）-72.∴，，.∴.（2）当时，的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”，∴，∴.∴的各位数字之和为.由题意，知是8的倍数，且，，，∴，，，或，，.∴，或3562.[来源]∴，.当时，的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”，∴，∴.∴的各位数字之和为.由题意，知是8的倍数，且，，，∴，，，或，，.∴，或3984.∴，.∴.∴的和是-72.【关键点拨】此题主要考察不等式的应用，正确理解题意，再列出相应的式子，但是要注意分开来求解. 37．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元．（1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．【答案】(1) 甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元;(2) 有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低;(3) 共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．（2）解：设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，则解得5≤a≤6，根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低[来源:（3）解：设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，则10c+15d=100．整理，得2c+3d=20．∵c、d都是正整数，∴当c=10时，d=0；当c=7时，d=2；当c=4时，d=4；当c=1时，d=6．综上所述，共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．【关键点拨】此题考查二元一次方程组及一元一次不等式方程组的应用，解题关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的大小关系．38．三亚市某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生（2）如果该工厂生产一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，那么该工厂应该怎样安排生产可获得最大利润？【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）方案（一）A，30件，B，20件时，20×120+30×80＝4800（元）．方案（二）A，31件，B，19件时，19×120+31×80＝4760（元）．方案（三）A，32件，B，18件时，18×120+32×80＝4720（元）．故方案（一）A，30件，B，20件利润最大【关键点拨】本题主要考查一元一次不等式组的应用.39．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．解这个方程组得：，答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x[来源]=-0.04x+1680，又≥60，得x≥900，由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），此时甲有=60（件），乙有：=555（件），答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【关键点拨】本题考查了用一元二次方程组的实际应用,一次函数的实际应用问题,建立函数模型是解题关键.40．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．（1）求点K的坐标；（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，则OF⊥AE，F（0，8﹣t），∴OF＝8﹣t，∴S△OAE＝OF•AE＝（8﹣t）×2＝8﹣t；（3）存在，有两种情况：，①如图2，当点B在OD上方时，②如图3，当点B在OD上方时，过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG，＝OH•DH﹣（BG+DH）•GH﹣OG•BG，【关键点拨】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

专题09 方程与不等式（组）的应用题型1：列方程（组）与不等式（组）解销售问题题型2：列方程（组）与不等式（组）解工程问题题型3：列方程（组）与不等式（组）解方案问题题型1：列方程（组）与不等式（组）解销售问题1．2020年12月28日，习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买A型和B型两种农机具，已知1件A型农机具比1件B型农机具多0.5万元，用18万元购买A型农机具和15万元购买B 型农机具的数量相同．(1)求购买1件A型农机具和1件B型农机具各需多少钱？(2)若该粮食生产基地计划购买A型和B型两种农机具共24件，且购买的总费用不超过66万元，购买A型农机具最多能购买多少件？一．解答题（共4小题）2．某体育用品商场的采购员到厂家批发购进篮球和排球共100个，要求付款总额不超过11815元．两种球的厂家批发价和商场零售价如表所示：厂家批发价/（元/个）商场零售价/（元/个）篮球130160排球100120(1)该采购员最多可购进篮球多少个？(2)若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则该采购员最少购进篮球多少个？3．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一．A：计时制：0.05元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费0.02元/分(1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用．(2)用户选哪一种收费方式更合算？4．在运动会前夕，实验学校购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．(1)求购买一个篮球，一个足球各需多少元？(2)学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折．①若此次购买两种的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？②若此次购买篮球的数量不少于足球数量的4倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．5．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：销售数量销售收入销售时段A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．题型2：列方程（组）与不等式（组）解工程问题6．中国·哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，是由黑龙江省哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力．2024年在准备冰雪大世界的建造时，需要取冰，现安排甲、乙两个采冰队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天．(1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米？(2)如需40天采冰3970立方米．甲乙队共同工作若干天后，甲另有任务，剩下的由乙队独立完成为了能在规定的时间内完成任务，至少安排甲队工作多少天？一．解答题（共4小题）7．在高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，大型渣土运输车至少派出多少辆．8．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的78甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成．(1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？(2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？9．长沙第一条地铁线路于2014年4月开通，随后十年相继开通了多条地铁线路及磁悬浮快线．某地铁建设公司租赁大、小挖掘机共20台进行地铁建设．(1)已知每台大挖掘机1小时可挖土80立方米，每台小挖掘机1小时可挖土60立方米，若所租大、小挖掘机同时施工2小时恰好可以挖土3000立方米，求租赁的大、小挖掘机各多少台？(2)已知大挖掘机租赁费为每小时600元，小挖掘机租赁费为每小时400元，若公司预算每小时的租赁费不超过10000元，求最多可以租赁多少台大挖掘机？题型3：列方程（组）与不等式（组）解方案问题10．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．一．解答题（共6小题）11．我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元．(1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元；(2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？(3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？12．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．(1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？(2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；13．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件．(1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？(2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？14．某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮），请解答下列问题：(1)该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过2400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？15．根据下列信息，探索完成任务：信息一2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会（The33rd Summer Olympic Games），是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事，2024年7月26日本届奥运会在巴黎塞纳河上举行开幕式．某校七年级举行了关于“奥林匹克运动会”的线上知识竞赛，竞赛试卷共30道题目，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或者选错扣2分，得分不低于78分者获奖．信息二为奖励获奖同学，学校准备购买A、B两种文具作为奖品，已知购买1个A型文具和4个B型文具共需44元，购买2个A型文具和购买3个B型文具所花的钱一样多．信息三学校计划完成本次活动的总费用（包含支付线上平台使用费和购买奖品两部分）不超过850元，其中支付线上平台使用费刚好用了180元，剩余的钱用于购买两种型号的文具共60个作为奖品，其中A型文具数量大于45个．解决问题任务一小明同学是获奖者，他至少应选对多少道题．任务二求A型文具和B型文具的单价．任务三通过计算说明该校共有哪几种购买方案．16．某中学计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．(1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．1．(1)购买一件A 型农机具需要3万元，购买一件B 型农机具需要2.5万元(2)最多可以购买12件A 型农机具【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．（1）设购买一件A 型农机具需要x 万元，购买一件B 型农机具需要()0.5x -万元，根据用18万元购买A 型农机具和15万元购买B 型农机具的数量相同．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买A 型农机具m 件，则乙种农机具能购买(24)a -件，根据购买的总费用不超过66万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）设购买一件A 型农机具需要x 万元，购买一件B 型农机具需要()0.5x -万元，根据题意，得1815.0.5x x =-解这个方程，得3x =，经检验，3x =是原方程的解，0.5 2.5x -=（万元），所以，购买一件A 型农机具需要3万元，购买一件B 型农机具需要2.5万元；（2）设购买A 型农机具m 件，根据题意，得()3 2.52466,m m +-£解这个不等式，得12.m £所以，最多可以购买12件A 型农机具．2．(1)该采购员最多可购进篮球60个(2)该采购员最少购进篮球58个【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用：（1）设该采购员购进篮球x 个，则购进排球()100x -个，再根据总费用不超过11815元列出不等式求解即可；（2）设该采购员购进篮球m 个，则购进排球()100m -个，再根据总利润不低于2580元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设该采购员购进篮球x 个，则购进排球()100x -个，由题意得，()13010010011815x x +-£，解得60.5x ≤，∵x 为整数，∴x 的最大值为60，∴该采购员最多可购进篮球60个；（2）解：设该采购员购进篮球m 个，则购进排球()100m -个，由题意得，()()()1601301201001002580m m -+--³，解得58m ³，∴m 的最小值为58，∴该采购员最少购进篮球58个．3．(1)A 种收费方式的费用为4.2x 元；B 种收费方式的费用为()1.250x +()0.0250x +元；(2)当上网时间低于53小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于53小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于53小时时，选择乙种收费方式合算【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用：（1）A 种收费等于上网费用加上通信费，B 种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可；（2）根据（1）所求分别求出4.2 1.250x x <+时，4.2 1.250x x =+时，4.2 1.250x x >+时的x 的值或取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，A 种收费方式的费用为()600.050.02 4.2x x ´+=元；B 种收费方式的费用为()600.0250 1.250x x ´+=+元；（2）解：当4.2 1.250x x <+时，解得53x <；当4.2 1.250x x =+时，解得53x =；当4.2 1.250x x >+时，解得53x >；∴当上网时间低于53小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于53小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于53小时时，选择乙种收费方式合算．4．(1)购买一个篮球，一个足球各需150元，100元(2)①最多可购买4个篮球；②买8个篮球，2个足球的费用最少，见解析【分析】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程和不等式求解．（1）设购买一个篮球需x 元，购买一个足球需y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）①设购买a 个篮球，根据题意列出不等式解答即可；②设购买b 个篮球，根据题意列出不等式解答即可．【详解】（1）解：设购买一个篮球需x 元，购买一个足球需y 元，根据题意可得：5010153000x y x y -ìí+î＝＝，解得：150100x y ìíî＝＝，答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元；（2）①设购买a 个篮球，根据题意可得：()0.91500.85100101050a a ´+´-£，解得：4a £，∴最多可购买4个篮球．②设购买b 个篮球，根据题意可得：()410b b ³-，∴8b ³，且10b <，b 为整数，∴8b =或9，当8b =时，总费用()0.915080.851001081250=´´+´-=元，当9b =时，总费用()0.915090.851001091300=´´+´-=元，答：买8个篮球，2个足球的费用最少．5．(1)A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元(2)超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元(3)有两种：当36a =时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当37a =时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【分析】对于（1），设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，根据3台A 型号4台B 型号的电扇收入1200元，5台A 型号6台B 型号的电扇收入1900元，列方程组求解；对于（2），设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(50)a -台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；对于（3），根据A 种型号电风扇的进价和售价、B 种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a 的取值范围，再根据a 为整数，即可得出答案．【详解】（1）解：设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，依题意得：341200561900x y x y +=ìí+=î，解得：200150x y =ìí=î，答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．（2）解：设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(50)a -台．依题意得：160120(50)7500a a +-£，解得：1372a £，∵a 是整数，∴a 最大是37，答：超市最多采购A 种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．（3）解：根据题意得：(200160)(150120)(50)1850a a -+-->，解得：35a >，∵1372a £，且a 应为整数，∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当36a =时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台；当37a =时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键．6．(1)甲采冰队每天能采冰的体积是60立方米，乙采冰队每天能采冰的体积是40立方米(2)39.5天【分析】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．（1）设乙采冰队每天能采冰的体积是x 立方米．根据甲队取240立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用2天可得：24024021.5x x=+，解方程并检验可得答案；（2）设安排甲队工作m 天，可得：6040403970m +´³，即可解得答案．【详解】（1）解：设乙采冰队每天能采冰的体积是x 立方米．则甲采冰队每天能采冰的体积是1.5x 立方米；根据题意得：24024021.5x x=+，解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，也符合题意，1.5 1.54060x \=´=；\甲采冰队每天能采冰的体积是60立方米，乙采冰队每天能采冰的体积是40立方米；（2）解：设安排甲队工作m 天，根据题意得：6040403970m +´³，解得39.5m ³，\至少安排甲队工作39.5天．7．(1)大型渣土运输车一次运输土方8吨，小型渣土运输车一次运输土方5吨(2)大型渣土运输车至少派出16辆【分析】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨，根据题意列出关于x 、y 的二元一次方程组，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；（2）设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a 辆、()20a -辆， 根据题意可以列出不等式，求出a 的取值范围，即可得出答案．【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨，由题意得：2331,5670x y x y +=ìí+=î解得：8,5x y =ìí=î∴一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；（2）解：设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a 辆、()20a -辆，由题意可得：()8520148,a a +-³解得：16,a ³∴大型渣土运输车至少派出16辆．8．(1)甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月(2)甲工程队应施工3个月，乙工程队应施工12个月【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用：（1）先求出两个工程队合作的效率，设甲工程队单独完成此工程需x 个月，根据甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成，列出分式方程进行求解即可；（2）设甲工程队施工y 个月，则乙工程队施工1411612163y y æöæö-¸=-ç÷ç÷èøèø个月，根据题意，列出不等式求出y 的范围，再根据施工总费用最低进行判断即可．【详解】（1）解：由题意，得：甲乙两队合作的效率为：776848¸=，设甲单独完成此工程需要x 个月，则乙的工效为7148x æö-ç÷èø，由题意，得：17168148x x æö×+-=ç÷èø，解得：12x =，经检验，12x =是原方程的的解，∴711164812æö¸-=ç÷èø， 答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月；（2）解：设甲工程队施工y 个月，则乙工程队施工1411612163y y æöæö-¸=-ç÷ç÷èøèø个月，由题意，得：416153y y æö+-£ç÷èø，解得：3y ³；∵甲队每月费用20万元，乙队每月费用10万元，10万元20<万元，∴在要求完成时间内，甲工程队施工时间越短，施工总费用越低，∴当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低，乙工程队施工的月为：4163123-´=（个）月，答：施工总费用最低时，甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月．9．(1)租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台(2)最多可以租赁10台大挖掘机【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．（1）设租赁大、小挖掘机分别为x 台、y 台，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设租赁大挖掘机m 台，根据题意列出不等式，求解即可．【详解】（1）解：设租赁大、小挖掘机分别为x 台、y 台，根据题意得：202(8060)3000x y x y +=ìí+=î，解得：155x y =ìí=î，故租赁的大、小挖掘机分别为15台、5台．（2）解：设租赁大挖掘机m 台，根据题意得：600400(20)10000m m +-£，解得：10m £，答：最多可以租赁10台大挖掘机．10．(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元(2)最多可购进乙型头盔120个(3)能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．（1）设购进1个甲型头盔需要x 元，购进1个乙型头盔需要y 元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）设乙型头盔m 个，根据所需费用=数量´单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m 的最大值；（3）根据利润=单件利润´数量，列不等式，求出乙型头盔m 的取值范围，结合（2）中答案确定m 的取值范围，即可得出可选方案．【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要x 元，购进1个乙型头盔需要y 元，根据题意得8663068700x y x y +=ìí+=î，解得3065x y =ìí=î，答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；（2）解：设购进乙型头盔m 个，则购进甲型头盔(200)m -个，根据题意得6530(200)10200m m +-£，解得120m £，m \的最大值为120，答：最多可购进乙型头盔120个；（3）解：能，理由如下：根据题意得(5830)(200)(9865)6190m m --+-³，解得118m ³，118120m \££，m Q 为整数，m \可取118，119或120，对应的200m -的值分别为82，81或80，因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．11．(1)每辆A 型大巴车需500元，每辆B 型大巴车需300元(2)该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆A 型大巴车，20辆B 型大巴车；方案2：租用11辆A 型大巴车，19辆B 型大巴车；方案3：租用12辆A 型大巴车，8辆B 型大巴车；(3)采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元【分析】（1）设每辆A 型大巴车需x 元，每辆B 型大巴车需y 元，根据“租用3辆A 型大巴车和2辆台B 型大巴车，共需费用2100元；4辆台A 型大巴车比5辆B 型大巴车的费用多500元”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m 辆A 型大巴车，则租用(30)m -辆B 型大巴车，根据“A 型大巴车的辆数不少于B 型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各租车方案；（3）利用总租金=每辆A 型大巴车的租金´租用A 型大巴车的数量+每辆B 型大巴车的租金´租用B 型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用．【详解】（1）解：设每辆A 型大巴车需x 元，每辆B 型大巴车需y 元，根据题意得：32210045500x y x y +=ìí-=î，解得：500300x y =ìí=î．答：每辆A 型大巴车需500元，每辆B 型大巴车需300元；（2）解：设租用m 辆A 型大巴车，则租用(30)m -辆B 型大巴车，根据题意得：1(30)2500300(30)11500m m m m ì³-ïíï+-£î，解得：25102m ££，又m Q 为正整数，m \可以为10，11，12，\该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆A 型大巴车，20辆B 型大巴车；方案2：租用11辆A 型大巴车，19辆B 型大巴车；方案3：租用12辆A 型大巴车，8辆B 型大巴车；（3）解：采用租车方案1所需费用为500103002011000´+´=（元）；采用租车方案2所需费用为500113001911200´+´=（元）；采用租车方案3所需费用为500123001811400´+´=（元）．110001120011400<<Q ，\采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元．12．(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；(2)共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台．【分析】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，（1）设甲种型号微波炉每台进价为x 元，乙种型号微波炉每台进价为y 元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；（2）设购进甲种型号微波炉a 台，则购进乙种型号微波炉()20a -台，根据“用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论．【详解】（1）解：设甲种型号微波炉每台进价为x 元，乙种型号微波炉每台进价为y 元，根据题意得22600234400x y x y +=ìí+=î，解得：1000800x y =ìí=î，答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元；（2）解：设购进甲种型号微波炉a 台，则购进乙种型号微波炉()20a -台，根据题意得：()£+-£1740010008002018000a a ，解得：710a ££，∵a 为整数，∴共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台．13．(1)A 、B 两种纪念品的进价分别为20元、30元(2)一共有3种方案，当购进A 种30件，B 种10件时，获得最大利润220元【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意；（1）设A 、B 两种纪念品的进价分别为x 元、y 元，然后根据题意可得方程组为78380134380x y x y +=ìí+=î，进而求解即可；（2）设商店准备购进A 种纪念品a 件，则购进B 种纪念品()40a -件，由（1）即题意可得()()2030409005740216a a a a ì+-£ïí+-³ïî，然后分别求出利润即可．【详解】（1）解：设A 、B 两种纪念品的进价分别为x 元、y 元．由题意，得78380134380x y x y +=ìí+=î，。

备考2022年中考数学一轮复习-方程与不等式_分式方程_分式方程的实际应用-综合题专训及答案分式方程的实际应用综合题专训1、(2016鸡西.中考模拟) 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同．（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？2、(2019海州.中考模拟) 深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台.（1）求甲、乙两种书柜的进价；（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少.3、(2019澄海.中考模拟) 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？4、(2017连云港.中考模拟) 大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．（1）求面料和里料的单价；（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP 客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．5、(2016兴化.中考模拟) 宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵（1） A，B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？6、(2017青岛.中考模拟) 改革开放以来，国家经济实力和国民生活水平不断提高，但经济发展的同时对环境产生了较大的污染，环境治理已刻不容缓．某市为加快环境治理，引进新的垃圾处理设备，计划对该市2017年第一季度沿河收集的6000吨垃圾进行集中处理．（1）写出处理完这批垃圾所用时间y（天）关于日均垃圾处理量x（吨）的函数关系式．（2）该市垃圾实际处理过程中由于提高效能，日均垃圾处理量比原计划多20%，结果比原计划少用5天处理完全部垃圾，求原计划日均垃圾处理量为多少吨．7、(2017东莞.中考模拟) 某商店第一次用300元购进笔记本若干，第二次又用300元购进该款笔记本，但这次每本的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了25本．（1）求第一次每本笔记本的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的笔记本按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，问每本笔记本的售价至少是多少元？8、(2020香坊.中考模拟) 某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？9、(2021怀化.中考模拟) 甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．10、(2016茂名.中考真卷) 某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活陈经理查看计划数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？11、(2017玉林.中考模拟) 我市新建火车站广场将投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共4000棵，若A花木数量是B花木数量的2倍还多400棵．（1）求A，B两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排24人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木70棵或B花木60棵，应怎样分别安排种植A花木和种植B花木的人数，才能确保同时完成各自的任务？12、(2016达州.中考真卷) 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？13、(2019毕节.中考模拟) 五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？14、(2020湖州.中考模拟) 王老师从学校出发，到距学校的某商场去给学生买奖品，他先步行了后，换骑上了共享单车，到达商场时，全程总共刚好花了.已知王老师骑共享单车的平均速度是步行速度的3倍（转换出行方式时，所需时间忽略不计）.（1）求王老师步行和骑共享单车的平均速度分别为多少？（2）买完奖品后，王老师原路返回，为按时上班，路上所花时间最多只剩10分钟，若王老师仍采取先步行，后换骑共享单车的方式返回，问：他最多可步行多少米？15、(2019重庆.中考模拟) 时代天街某商场经营的某品牌书包，6月份的销售额为20000元，7月份因为厂家提高了出厂价，商场把该品牌书包售价上涨20%，结果销量减少50个，使得销售额减少了2000元.（1）求6月份该品牌书包的销售单价；（2）若6月份销售该品牌书包获利8000元，8月份商场为迎接中小学开学做促销活动，该书包在6月售价的基础上一律打八折销售，若成本上涨5%，则销量至少为多少个，才能保证8月份的利润比6月份的利润至少增长6.25%？分式方程的实际应用综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题 类型一、一次函数与方程综合例．如图，一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标为()2,0-，则下列说法正确的有( )．A ．y 随x 的增大而减小B ．0k >，0b <C ．当2x >-时，0y <D ．关于x 的方程0kx b +=的解为2x =-【变式训练1】直线y ＝ax +b (a ≠0)过点A (0，2)，B (1，0)，则关于x 的方程ax +b ＝0的解为( ) A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝3【变式训练2】如图，直线y ＝kx +b (k ≠0)与x 轴交于点(﹣5，0)，下列说法正确的是( )A ．k ＞0，b ＜0B ．直线y ＝bx +k 经过第四象限C ．关于x 的方程kx +b ＝0的解为x ＝﹣5D ．若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线y ＝kx +b 上的两点，若x 1＜x 2，则y 1＞y 2【变式训练3】如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,4，则下列结论正确的是( )A ．图像经过一、二、三象限B ．关于x 方程0kx b +=的解是4x =C ．0b <D ．y 随x 的增大而减小【变式训练4】一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图所示，则关于x 的不等式20kx b +>的解集是( )A ．2x >-B ．2x <-C ．2x <D ．2x >类型二、一次函数与不等式综合例．如图，已知函数y ＝3x +b 和y ＝ax ﹣3的图象交于点P (﹣2，﹣5)，则根据图象可得不等式3x +b ＞ax ﹣3的解集是( )A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．﹣2＜x ＜0D ．x ＞0【变式训练1】如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ＞0)的图像过点()1,0-，则不等式()20k x b -+>的解集是( )A ．x ＞－3B ．x ＞－2C ．x ＞1D ．x ＞2【变式训练2】如图，一次函数y =kx +b 的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x 的不等式0<kx +b <4的解集是______．【变式训练3】如图，一次函数y =kx +b 与y =x +2的图象交于点P (m ，5)，则关于x 的不等式kx +b >x +2的解集是______．【变式训练4】如图，直线y 1＝x ＋b 与y 2＝kx ﹣1相交于点P ，点P 的横坐标为﹣1，则关于x 的不等式kx ﹣1＜x ＋b 的解集为______．课后训练1．已知不等式0ax b +<的解是2x >-，下列有可能是函数y ax b =+的图像的是( )A ．B ．C ．D ．2．如图所示为两个一次函数的图象，则关于x ，y 的方程1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为________．3．函数y ax =和y kx b =+的图象相交于点()2,1A -，则方程ax kx b =+的解为______．4．已知一次函数y kx b =-(k 、b 为常数，且0k ≠，0b ≠)与13y x =的图象相交于点1(,)2M a ，则关于x 的方程1()3k x b -=的解为x =____________． 5．如图，直线1:1l y x =+与直线2:l y mx n =+相交于点()1,2P ，则关于x 的不等式1x mx n +≥+的解集为______．6．如图，直线1y kx =+与直线2y x b =-+交于点()1,2A ，由图象可知，不等式12kx x b +≥-+的解为______．7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线()0y kx b k =+≠相交于点()2,3P ．根据图象可知，关于x 的不等式21x kx b ->+的解集是______8．如图，直线l 1：y 1＝ax +b 经过(﹣3，0)，(0，1)两点，直线l 2：y 2＝kx ﹣2；①若l 1∥l 2，则k 的值为 _____；②当x ＜1时，总有y 1＞y 2，则k 的取值范围是 ________．9．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点A (3，0)，与y 轴交于点B (0，4)，与正比例函数y ax =的图象交于点C ，且点C 的横坐标为2，则不等式ax kx b <+的解集为______．10．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3(x﹣6)相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．。

2014年中考数学试题分项版解析汇编(30套30专题)专题11：方程、不等式和函数的应用综合一、选择题目1.（遵义）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是【】二、填空题目三、解答题1.（玉林、防城港）（12分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．2.（毕节）（12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．3.（黔东南）（12分）黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．4.（遵义）（10分）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：（1）自行车队行驶的速度是▲ km/h；（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？5.（河北）（本小题满分13分）某景区的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图，现有1号，2号两游览车分别从出口A和经典C同时出发，1号车顺时针，2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时乘车（上，下车的时间忽略不计），两车的速度均为200米/分.探究：设行驶时间为t分（1）当0≤t≤s时，分别写出1号车，2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过点C？，并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.发现：如图，游客甲在BC上一点K（不与点B,C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米.情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车；比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分，当行进到DA上一点P（不与D,A重合）时，刚好与2号车相遇.（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；（2）设PA=s（0<s<800）米，若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？6.（河南）(10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍。

目录数学中常用不等式及其应用 (2)1.前言 (2)2.研究背景及研究意义 (3)2.1 不等式研究背景 (3)2.2 研究意义 (4)3.高等数学常用不等式举例介绍 (5)3.1柯西不等式 (5)3.2拉格朗日中值定理 (5)3.3均值不等式 (8)4.数学中不等式的中的应用 (9)4.1 构造条件不等式对命题进行证明 (9)4.2 利用微分中值定理进行不等式命题的证明 (12)5.总结 (15)参考文献 (17)数学中常用不等式及其应用1.前言正所谓“问渠那得清如许。

为有源头活水来”。

回顾我国建国近70年的发展历程，我国坚持把国民教育在经济和社会发展中优先发展的战略地位，并制定了优先发展教育和“科教兴国”的重大战略决策，促进教育的改革和发展。

我国教育改革始终坚持党对教育的领导和政府对教育的统筹，切实保证“科教兴国”战略和教育优先发展地位的落实。

在教育改革中义务教育是提高国民素质和发展教育事业的基础，是社会主义现代化建设的奠基工程，涉及广大人民群众的根本利益。

没有一个好的底子，就不能决定以后的参天大树枝叶是否会繁密。

中央确定把基础教育作为整个教育工作的重点，把“两基”作为当代教育发展的“重中之重”，这是我国教育发展的一个重要指导思想，是贯彻科教兴国战略的重大措施。

自2008年秋季起国家在全国范围实施了义务教育，使许多贫困家庭的孩子都能够享受接受教育的权利。

回顾历史我们可以看到，从提出“两基”，到逐步明确“两基”目标和具体规划，是党和国家根据社会主义经济、政治和社会发展的客观需要，多年酝酿，逐步成熟，并适时做出的慎重决策。

作为大学生的我们有责任也有义务为国家教育事业的发展做出自己的贡献，将我们学习到的知识应用到教育中去，而中学教育就是一个很好的切入点。

随着知识经济时代的到来，教育迎来了新的挑战，国家开始注重创新教育，指出教育要把传授基础知识和逐步培养学生的创新意识和创造性思维结合起来，创造良好的教学环境，有意识的培养学生的创新意识，激发学生的创造动机，发展学生的创新能力，为国家培养出适应新世纪发展的一代新人。

专题20 应用题综合（函数、不等式、方程）一．解答题（共45道）1．（2021·浙江台州市·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．2．（2021·江苏扬州市·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽a>给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的车捐出a元()0汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．3．（2021·吉林长春市·中考真题）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．（结论应用）应用上述发现的规律估算：(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）4．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知A 、B 两地相距240km ，一辆货车从A 地前往B 地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B 地前往A 地，到达A 地后（在A 地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B 地的距离()km y 与货车行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m 的值是__________；轿车的速度是________km/h ；（2）求货车从A 地前往B 地的过程中，货车距B 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数关系式； （3）直接写出轿车从B 地到A 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km ？5．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？6．（2021·河北中考真题）下图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有A ，O ，N 三个点，且2AO =，在ON 上方有五个台阶15~T T （各拐角均为90︒），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶1T 到x 轴距离10OK =．从点A 处向右上方沿抛物线L ：2412y x x =-++发出一个带光的点P ．（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴，并直接．．指出点P 会落在哪个台阶上； （2）当点P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L 形状相同的抛物线C ，且最大高度为11，求C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶5T 有交点；（3）在x 轴上从左到右有两点D ，E ，且1DE =，从点E 向上作EB x ⊥轴，且2BE =．在BDE 沿x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C 下落的点P 能落在边BD （包括端点）上，则点B 横坐标的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必写x 的取值范围）7．（2021·广西来宾市·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．8．（2021·贵州安顺市·中考真题）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．9．（2021·湖北中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ （3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）10．（2021·辽宁大连市·中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？11．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x （元）和游客居住房间数y （间）符合一次函数关系，如图是y 关于x 的函数图象． （1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？12．（2021·贵州铜仁市·中考真题）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用1y （万元）与月销售量x （辆）（4x ≥）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出1y 与x 的关系式1y =________；(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y =(每辆原售价-1y -进价)x ，请你根据上述条件，求出月销售量()4x x ≥为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？13．（2021·湖北鄂州市·中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y （元）与种植面积x （亩）之间满足一次函数关系，且当160x =时，840y =；当190x =时，960y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）14．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？15．（2021·湖北随州市·中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？图216．（2021·四川雅安市·中考真题）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间存在一次函数关系（其中1021x ≤≤，且x 为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．17．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．18．（2021·辽宁中考真题）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？19．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．（1）m=_______，n=______；（2）求CD和EF 所在直线的解析式；（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．20．（2021·江苏泰州市·中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．（1）求直线AB的函数关系式；（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？21．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：（1）直接写出y与x的关系式_________________；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．22．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.11t<≤），且每小时可获得利润56031tt⎛⎫-++⎪⎝⎭元．（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现1t=时，180y=，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．23．（2020·湖北随州市·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．24．（2020·湖北中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量(kg)y 与销售单价x （元/kg ）满足关系式：1005000y x =-+．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W （元）． （1）请求出日获利W 与销售单价x 之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当40000W ≥元时，网络平台将向板栗公可收取a 元/kg(4)a <的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a 的值．25．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在取1.4）26．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．①求OD的长．②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．27．（2020·浙江衢州市·中考真题）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？28．（2020·浙江中考真题）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h （单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．29．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）30．（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？31．（2020·黑龙江中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．32．（2020·甘肃天水市·中考真题）天水市某商店准备购进A 、B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用2000元购进A 种商品和用1200元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元． （1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠()1020m m <<元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．33．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经。

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.10方程(组)与不等式相结合的解集问题(重难点培优)姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________1．(2020秋•拱墅区月考)(1)已知关于x 的不等式①x +a ＞7的解都能使不等式②x−2a 5＞1﹣a 成立，求a 的取值范围．(2)若关于x 、y 的二元一次方程组{2x +y =−3m +2x +2y =4的解满足x +y ＞−32，求出满足条件的m 的所有正整数值．【分析】(1)分别取出求出不等式①②的解集，再根据题意得到7﹣a ≥5﹣3a ，最后解不等式即可求出a 的取值范围．(2)两个方程相加，即可得出关于m 的不等式，求出m 的范围，即可得出答案． 【解析】(1)解不等式①x +a ＞7得：x ＞7﹣a ， 解不等式②x−2a 5＞1﹣a 得：x ＞5﹣3a ，根据题意得，7﹣a ≥5﹣3a ， 解得：a ≥﹣1．(2){2x +y =−3m +2①x +2y =4②，①+②得：3x +3y ＝﹣3m +6， ∴x +y ＝﹣m +2，∵关于x 、y 的二元一次方程组{2x +y =−3m +2x +2y =4的解满足x +y ＞−32，∴﹣m +2＞−32， ∴m ＜72，∴满足条件的m 的所有正整数值是1，2，3，．2．(2020春•南关区月考)感知：解方程组{2x +3y =7，①4(2x +3y)−y =27②，下列给出的两种方法中，方法简单的是B ．(A )由①，得x =7−3y2，代入②，先消去x ，求出y ，再代入求解． (B )将①代入②，得4×7﹣y ＝27，解得y ＝1，再代入求解．探究：解方程组{x +y =2018x+y2−5y =1094．应用：若关于x ，y 的二元一次方程组{3x −2y =1+2a3x−2y 3−2x =3的解中的x 是正数，则a 的取值范围为 a ＞4 ．【分析】感知：根据题目中的解答过程可知(B )种方法简答； 探究：根据感知中的解答方法可以解答此方程组；应用：根据感知中的方法，可以用含a 的代数式表示出x ，再根据方程组的解中x 是正数，从而可以求得a 的取值范围．【解析】感知：由题目中的解答过程可知，最佳的方法是(B )， 故答案为：(B )； 探究：{x +y =2018①x+y2−5y =1094②，将①代入②，得 1009﹣5y ＝1094， 解得，y ＝﹣17， 将y ＝﹣17代入①，得 x ＝2035，故原方程组的解是{x =2035y =−17；应用：{3x −2y =1+2a ①3x−2y 3−2x =3②，将①代入②，得1+2a 3−2x =3，解得，x =a−43，∵关于x ，y 的二元一次方程组{3x −2y =1+2a3x−2y3−2x =3的解中的x 是正数，∴a−43＞0，解得，a ＞4， 故答案为：a ＞4．3．(2020秋•沙坪坝区校级月考)若关于x 、y 的方程组{2x +y =5kx −y =4k +3的解满足x +y ≤6，求k 的取值范围．【分析】先把k 当作已知表示出x 、y 的值，再根据x +y ≤6列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解析】解方程组{2x +y =5k x −y =4k +3得，{x =3k +1y =−k −2，∵x +y ≤6， ∴3k +1﹣k ﹣2≤6， 解得k ≤72．∴k 的取值范围为k ≤72．4．(2020春•南岗区校级月考)关于x 、y 的二元一次方程组{x +2y =2m −5x −2y =3−4m 的解x 、y 满足x +y ≥0，求此时m 的取值范围．【分析】将m 看做已知数求出方程组的解，然后根据已知不等式求出m 的范围即可． 【解析】{x +2y =2m −5①x −2y =3−4m②，①+②得2x ＝﹣2﹣2m ， 解得x ＝﹣1﹣m ． ①﹣②得4y ＝6m ﹣8， 解得y =32m ﹣2． ∵x +y ≥0，∴﹣1﹣m +32m ﹣2≥0， 解得m ≥6．故m 的取值范围是m ≥6．5．(2020春•荔城区校级月考)已知关于x 、y 的方程组{x +2y =3mx −y =9m ．(1)若此方程组的解是二元一次方程2x +3y ＝16的一组解，求m 的值； (2)若此方程组的解满足不等式12x +3y ＞6，求m 的取值范围．【分析】(1)根据方程组的解法解答即可； (2)根据不等式的解法解答即可． 【解析】(1){x +2y =3m ①x −y =9m②，①﹣②得：3y ＝﹣6m ， 解得：y ＝﹣2m ，①+②×2得：3x ＝21m ， 解得：x ＝7m ，将x ＝7m ，y ＝﹣2m 代入2x +3y ＝16得：14m ﹣6m ＝16， 解得m ＝2；(2)由(1)知：x ＝7m ，y ＝﹣2m ， 代入12x +3y ＞6，得7m 2+(﹣6m )＞6，∴m ＜−125． 6．(2020春•高邮市期末)已知关于x 、y 的二元一次方程组{3x −5y =4m5x −3y =8(1)若方程组的解满足x ﹣y ＝6，求m 的值； (2)若方程组的解满足x ＜﹣y ，求m 的取值范围．【分析】(1)用加减消元法解出x 和y 的值，把x 和y 用含有m 的式子表示，代入x ﹣y ＝6，求出m 的值即可，(2)把x 和y 用含有m 的式子表示，代入x +y ＜0，得到关于m 的一元一次不等式，解之即可． 【解析】(1){3x −5y =4m ①5x −3y =8②，①+②得：8x ﹣8y ＝4m +8，即x ﹣y ＝1+12m ， 代入x ﹣y ＝6得：1+12m ＝6， 解得：m ＝10， 故m 的值为10，(2)②﹣①得：2x +2y ＝8﹣4m ，即x +y ＝4﹣2m ， ∵x ＜﹣y ， ∴x +y ＜0， ∴4﹣2m ＜0， 解得：m ＞2，故m 的取值范围为：m ＞2．7．(2020秋•路北区月考)(1)解方程组：{3x −y =3①x 2+y 3=2②；(2)已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =−3m +2x +2y =4的解满足x +y ＞−32，求出满足条件的m 的所有正整数值．【分析】(1)先整理方程②，再用加减消元法解方程组即可；(2)方程组两方程相加表示出x +y ，代入已知不等式求出m 的范围，确定出正整数值即可． 【解析】(1){3x −y =3①x 2+y 3=2②，由②得3x +2y ＝12 ③ 由③﹣①得，3y ＝9， 解得：y ＝3，把y ＝3代入①得，x ＝2． 所以这个方程组的解是{x =2y =3；(2){2x +y =−3m +2①x +2y =4②，①+②得：3(x +y )＝﹣3m +6，即x +y ＝﹣m +2， 代入不等式得：﹣m +2＞−32， 解得：m ＜72，则满足条件m 的正整数值为1，2，3．8．(2020•历下区校级模拟)已知关于x ，y 的二元一次方程组{x −3y =5x −2y =k 的解满足x ＞y ，求k 的取值范围．【分析】加减法求得x ，y 的值(用含k 的式子表示)，然后再列不等式求解即可． 【解析】{x −3y =5①x −2y =k②，①﹣②得：﹣y ＝5﹣k ， ∴y ＝k ﹣5，将y ＝k ﹣5代入②得，x ＝3k ﹣10， ∵x ＞y ， ∴3k ﹣10＞k ﹣5． ∴k ＞52．即k 的取值范围为k ＞52．9．(2020春•宝应县期末)已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x −3y =5x −2y =k．(1)若{x =3y =−2满足方程x ﹣2y ＝k ，请求出此时这个方程组的解；(2)若该方程组的解满足x ＞y ，求k 的取值范围．【分析】(1)把x 与y 的值代入已知方程求出k 的值，进而求出方程组的解即可； (2)表示出方程组的解，根据x ＞y ，求出k 的范围即可． 【解析】(1)把{x =3y =−2代入x ﹣2y ＝k 得：k ＝3+4＝7，方程组为{2x −3y =5①x −2y =7②，①﹣②×2得：y ＝﹣9， 把y ＝﹣9代入①得：x ＝﹣11， 则方程组的解为{x =−11y =−9；(2){2x −3y =5①x −2y =k②，①﹣②得：x ﹣y ＝5﹣k ， ∵x ＞y ，即x ﹣y ＞0， ∴5﹣k ＞0， 解得：k ＜5．10．(2020春•沭阳县期末)关于x 、y 的方程组{x +2y =3k 2x +y =−2k +1的解满足x +y ＞35．(1)求k 的取值范围； (2)化简：|5k ﹣1|﹣|4﹣5k |．【分析】(1)两方程相加、化简得出x +y =k+13，结合x +y ＞35知k+13＞35，解之可得答案； (2)根据绝对值的性质去绝对值符号，再去括号、合并即可得． 【解析】(1)将两个方程相加可得3x +3y ＝k +1， 则x +y =k+13， ∵x +y ＞35， ∴k+13＞35，解得k ＞45；(2)原式＝5k ﹣1﹣(5k ﹣4) ＝5k ﹣1﹣5k +4 ＝3．11．(2020春•东城区校级期末)若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =5k ，x −y =k的解满足x ﹣2y ＜1，求k 的取值范围．【分析】首先解关于x 的方程组，求得x ，y 的值，然后代入方程x ﹣2y ＜1，即可得到一个关于k 的不等式，再解不等式即可解答．【解析】由方程组{x +y =5k ，x −y =k 得：{x =3k y =2k ，∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =5k ，x −y =k的解满足x ﹣2y ＜1，∴3k ﹣4k ＜1， 解得：k ＞﹣1．∴k 的取值范围是k ＞﹣1． 12．(2020春•万州区期末)已知方程组{x −y =4m ①2x +y =2m +3②的解满足x ﹣2y ＜8．(1)求m 的取值范围；(2)当m 为正整数时，求代数式2(m 2﹣m +1)﹣3(m 2+2m ﹣5)的值．【分析】(1)解方程组得出x ＝2m +1，y ＝1﹣2m ，代入不等式x ﹣2y ＜8，可求出m 的取值范围； (2)根据题意求出m ＝1，化简原式即可得出答案．【解析】(1)解方程组{x −y =4m ①2x +y =2m +3②得，{x =2m +1y =1−2m ，∵x ﹣2y ＜8，∴2m +1﹣2(1﹣2m )＜8， 解得，m ＜32．(2)∵m ＜32，m 为正整数， ∴m ＝1，∴原式＝2m 2﹣2m +2﹣3m 2﹣6m +15＝﹣m 2﹣8m +17． 当m ＝1时，原式＝﹣1﹣8+17＝8．13．(2020春•叙州区期末)若关于x 、y 的二元一次方程组{2x +3y =−7k2y +x =k +5．(1)若方程组的解满足x ﹣y ＝1，求k 的值； (2)若x +y ≤﹣1，求k 的取值范围．【分析】(1)先利用加减消元法解方程组得到{x =−17k −15y =9k +10，则利用x ﹣y ＝1得到﹣17k ﹣15﹣(9k +10)＝1，然后解关于k 的方程即可；(2)利用x +y ≤﹣1得到﹣17k ﹣15+9k +10≤﹣1，然后解关于k 的不等式即可． 【解析】(1)解方程组{2x +3y =−7k 2y +x =k +5得{x =−17k −15y =9k +10，∵x ﹣y ＝1，∴﹣17k ﹣15﹣(9k +10)＝1， ∴k ＝﹣1； (2)∵x +y ≤﹣1，∴﹣17k ﹣15+9k +10≤﹣1， ∴k ≥−12．14．(2020春•南安市期中)已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x −y =3mx −2y =6的解满足x +y ＞3，求满足条件的m的取值范围．【分析】先将m 看做常数解方程组求出x ＝2m ﹣2、y ＝m ﹣4，再代入x +y ＞3可得关于m 的不等式，解之可得答案．【解析】{2x −y =3m ①x −2y =6②，①×2得：4x ﹣2y ＝6m ③， ③﹣②得：3x ＝6m ﹣6， ∴x ＝2m ﹣2，把x ＝2m ﹣2代入①得：2(2m ﹣2)﹣y ＝3m ， ∴y ＝m ﹣4， ∵x +y ＞3，∴(2m ﹣2)+(m ﹣4)＞3， ∴m ＞3．15．(2020春•北流市期末)已知不等式组{2x −5＜5x +43(x +1)≤2x +5的最小整数解是关于x 的方程12x ﹣mx ＝5的解，求m 的值．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集中的公共部分，确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解，确定出x 的值，将x 的值代入已知方程计算，即可求出m 的值． 【解析】{2x −5＜5x +4①3(x +1)≤2x +5②，由 ①，得：x ＞﹣3； 由 ②，得：x ≤2；∴原不等式组的解集为：﹣3＜x ≤2， ∵x 为最小整数 ∴x ＝﹣2，把x ＝﹣2代入方程12x ﹣mx ＝5，得：12×(−2)−m ×(−2)=5，解得m ＝3．16．(2014春•福清市校级期末)已知不等式组{x ＞−1x ＜1x ＜1−k(1)当k ＝﹣2时，不等式组的解集是： ﹣1＜x ＜1 ；当k ＝3时，不等式组的解集是： 无解 (2)由(1)可知，不等式组的解集随k 的值变化而变化，若不等式组有解，求k 的取值范围并求出解集． 【分析】(1)把k ＝﹣2和k ＝3分别代入已知不等式组，分别求得三个不等式的解集，取其交集即为该不等式组的解集；(2)当k 为任意有理数时，要分1﹣k ＜﹣1，1﹣k ＞1，﹣1＜1﹣k ＜1三种情况分别求出不等式组的解集． 【解析】(1)把k ＝﹣2代入，得 {x ＞−1x ＜1x ＜3，解得﹣1＜x ＜1； 把k ＝3代入，得 {x ＞−1x ＜1x ＜−2，无解．故答案是：﹣1＜x ＜1；无解；(2)若k 为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况： 当1﹣k ≤﹣1即k ≥2时，原不等式组可化为{x ＞−1x ＜−1，故原不等式组的解集为无解；当1﹣k ≥1即k ≤0时，原不等式组可化为{x ＞−1x ＜1，故原不等式组的解集为﹣1＜x ＜1；当﹣1＜1﹣k ＜1即0＜k ＜2时，原不等式组可化为{x ＞−1x ＜1−k ，故原不等式组的解集为﹣1＜x ＜1﹣k ．17．(2014春•无锡期末)已知方程组{x +y =4a +5x −y =6a −5的解满足不等式4x ﹣5y ＜9．求a 的取值范围．【分析】先解得不等式的解集，再根据题意，求出a 的取值范围． 【解析】两个方程相加得，x ＝5a ， 两个方程相减得，y ＝﹣a +5， ∵4x ﹣5y ＜9，∴20a ﹣5(﹣a +5)＜9 ∴a ＜342518．(2020春•惠东县期中)若关于x ，y 的方程组{2x +y =ax +2y =5a 的解满足x ﹣y ＞12，求a 的取值范围．【分析】将两个方程相减得出x ﹣y ＝﹣4a ，结合x ﹣y ＞12得出关于a 的不等式，解之可得． 【解析】两方程相减可得x ﹣y ＝﹣4a ， ∵x ﹣y ＞12， ∴﹣4a ＞12， 解得a ＜﹣3．19．(2020•黄石模拟)若关于x 、y 的二元一次方程组{3x +y =1+ax +3y =3的解满足x +y ＜2，求a 的正整数解．【分析】将两个方程相加可得4(x +y )＝4+a ，根据x +y ＜2知4(x +y )＜8，从而列出关于a 的不等式，解之可得．【解析】将两个方程相加可得4x +4y ＝4+a ，即4(x +y )＝4+a ， ∵x +y ＜2， ∴4(x +y )＜8， ∴4+a ＜8， 解得a ＜4，∴a 的正整数解为1、2、3．20．(2020春•海淀区校级期中)已知关于x ，y 的方程组{3x +2y =p +14x +3y =p −1的解满足x ＜y ，求p 的取值范围？ 【分析】解不等式组求出{x =p +5y =−p −7，再根据x ＜y 得出关于p 的不等式，解之可得答案． 【解析】解方程组{3x +2y =p +14x +3y =p −1，得：{x =p +5y =−p −7， ∵x ＜y ，∴p +5＜﹣p ﹣7，解得p ＜﹣6．。

三亚市中考数学专题题型复习01：方程、不等式、函数的实际应用姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共2题；共20分)1. （10分）某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元．如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时？2. （10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离为y1千米，轿车离甲地的距离为y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图．（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；（2）当两车相遇时，求此时客车行驶的时间；（3）两车相距200千米时，求客车行驶的时间．二、综合题 (共14题；共155分)3. （10分） (2016七下·邻水期末) 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100．（1）根据题意，填写下表（单位：元）：实际花费130290 (x)累计购物在甲商场127…在乙商场126…（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？4. （10分） (2019七下·确山期末) 甲、乙两家工厂生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案:甲厂家，买张桌子送三把椅子:乙厂家，桌子和椅子全部按原价的8折优惠现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把（） .（1）分别用含x的式子表示购买甲、乙两个厂家桌椅所需的金额:购买甲厂家的桌椅所需金额为________；购买乙厂家的桌椅所需金额为________ 。

专训9.3.2 一元一次不等式组与方程组的综合+不等式组应用一、单选题1．（2021·四川凉山·七年级期末）在方程组2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围应为（ ）A ．2m <B ．3m >C ．3m <D ．2m >【答案】C【解析】【分析】把方程组中的两个方程相加即可得到x y +，再利用0x y +>得到不等式即可求解．【详解】 解：2122x y m x y +=-⎧⎨+=⎩①②， ①+②，得333x y m +=-，∴13m x y +=-， 又∵0x y +>，∴103m -＞，解得3m ＜，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，解题的关键是根据方程组的特点得到x y +的值．2．（2022·重庆一中八年级期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a 的范围，最后得出答案即可．【详解】解：解方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩得：213322x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， ∵关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥， ∴213a +≥322a --， 解得：a ≥-1813， ∵关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴7323a --≤<-， 解得-2≤a ＜1，∴1813-≤a ＜1， ∴符合条件的整数a 的值有：-1，0，共2个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2022·浙江杭州·八年级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH 的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH 的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH 应该为多少才能合格？设第3次的pH 值为x ，由题意可得（ ）A ．7.237.47.97.83x ⨯≤++≤⨯B ．7.237.47.97.83x ⨯<++≤⨯C ．7.237.47.97.83x ⨯>++>⨯D ．7.237.47.97.83x ⨯<++<⨯ 【答案】A【解析】【分析】 根据平均数的定义，并结合三次检验的pH 的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤7.47.93x ++≤7.8，从而得出答案．【详解】解：根据题意知7.2≤7.47.93x ++≤7.8， ∴7.2×3≤7.4+7.9+x ≤7.8×3，故选：A ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义．4．（2022·全国·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．24x <≤B ．24x ≤<C ．24x <<D ．24x ≤≤【答案】A【解析】【分析】 根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组：()()33222833322228x x ⎧--≤⎪⎨⎡⎤--->⎪⎣⎦⎩，解之即可得出x 的取值范围．【详解】解：依题意，得：()()33222833322228x x ⎧--≤⎪⎨⎡⎤--->⎪⎣⎦⎩①②， 由①得：936x ≤4x ∴≤，由②得：()398x -＞30，98x ∴-＞10，x ＞2，所以不等式组的解集为：24x <≤．【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．5．（2020·福建省惠安第三中学七年级阶段练习）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x ”到“结果是否11>”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次就停止，那么x 的取值范围可能是（ ）A ．2x ≥B ．25x ≤<C ．25x <≤D ．25x ≤≤【答案】C【解析】【分析】 根据运行程序，第一次运算结果小于等于11，第二次运算结果大于11列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：由题意得，21112(21)111x x +≤⎧⎨++>⎩①②， 解不等式①得，x≤5，解不等式②得，x ＞2，∴2＜x≤5，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 6．（2021·全国·九年级专题练习）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x 人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）A ．7x+9﹣9（x ﹣1）＞0B ．7x+9﹣9（x ﹣1）＜8C ．799(1)0799(1)8x x x x +--⎧⎨+--<⎩D ．799(1)0799(1)8x x x x +-->⎧⎨+--⎩【解析】【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．【详解】解：设同学人数为x 人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：799(1)0799(1)8x x x x +--⎧⎨+--<⎩， 故选：C ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可．二、填空题7．（2022·河南·柘城县实验中学一模）若方程组2321x y x y m -=⎧⎨-+=-⎩的解,x y 满足5x y +>，则m 的取值范围为_________．【答案】3m >【解析】【分析】先将两个方程相加，得到x+y 的值，然后求解即可．【详解】解：解方程组2321x y x y m -=⎧⎨-+=-⎩①②： ①＋②得，x+y=m +2，∵5x y +>，∴m +2>5，解得：3m >．故答案为：3m >．【点睛】题目主要考查解方程组及不等式，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．8．（2021·山西·七年级期末）若方程组313x y x y a +=⎧⎨-=⎩的解x ，y 的值都不大于1，则a 的取值范围是______． 【答案】51a -≤≤【解析】【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组313x y x y a +=⎧⎨-=⎩得1216a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据x ，y 的值都不大于1，得到关于a 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：解关于x 、y 的二元一次方程组313x y x y a +=⎧⎨-=⎩得 1216a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x ，y 的值都不大于1，∴112116a a +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 解不等式组得51a -．故答案为： 51a -【点睛】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x 、y 的方程组，根据题意得到关于a 的不等式组是解题关键．9．（2022·河南·模拟预测）整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______． 【答案】5【解析】【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x 的不等式，进而根据是正整数的条件求得m 的范围，解一元一次不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩，根据有且仅有2个整数解，确定m 的范围，最后根据x ，y 为整数，舍去不符合题意的m 的值即可求解．【详解】解：214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩①② ①＋②得，2213x m =-2132m x -∴=将2132m x -=代入①，得5212m y -= x ，y 是正整数，21305210m m ->⎧∴⎨->⎩， 解得2175m <<， 54028x m x ->⎧⎨+≤⎩③④解不等式③得：45m x > 解不等式④得：6x ≤465m x ∴<≤ 有且仅有2个整数解，4455m ∴≤< 解得2554m ≤< 2175m << 212554m ∴≤< m 是整数5m ∴=或6当6m =时，21321183222m x --===，不合题意，故舍去5m ∴=故答案为：5【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．10．（2020·四川·成都外国语学校八年级期中）先阅读短文，回答后面所给出的问题：对于三个数a 、b 、c 中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定{}min ,,a b c 表示这三个数中最小的数，{}max ,,a b c 表示这三个数中最大的数．例如：{}min 1,2,31-=-，{}max 1,2,33-=；{}(1)min 1,2,1(1)a a a a ≤-⎧-=⎨->-⎩，若{}{}min 4,4,4max 2,1,2x x x x +-=+，则x 的值为_______．【答案】43或2- 【解析】【分析】根据新定义法则，分x 或x +4或x ﹣4最小、2或x +1或2x 最大几种情况，分别列出一元一次不等式组和一元一次方程进行解答即可．【详解】（1）当4最小时，则4444x x +>⎧⎨->⎩，即00x x >⎧⎨<⎩， x 无解，此情况不成立．（2）当4x +最小时，则4444x x x ≥+⎧⎨-≥+⎩，即00x x ≤⎧⎨≤⎩， ∴解得0x ≤，此时：12x +<，22x <，{}max 2,1,22x x ∴+=，42x ∴+=，即2x =-．（3）当4x -最小时，则4444x x x >-⎧⎨+>-⎩，即00x x >⎧⎨>⎩，∴解得0x >，此时无法判断，{}max 2,1,2x x +的值，则分情况讨论如下：①当2最大时：2122x x ≥+⎧⎨≥⎩，即11x x ≤⎧⎨≤⎩， 01x ∴<≤，此时：42x -=，2x =（舍去）．②当2x 最大时：2221x x x >⎧⎨>+⎩，即11x x >⎧⎨>⎩， 1x ∴>，此时有：42x x -=，43x =． ③当1x +最大时，1212x x x+>⎧⎨+>⎩，即11x x >⎧⎨<⎩，无解，此情况不成立． 综上所述：43x =或2x =-． 【点睛】本题考查新定义下解一元一次不等式组和一元一次方程的能力，由已知等式找到x 的分界点以及准确分类讨论是解答的关键．三、解答题 11．（2022·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）已知关于 x ，y 的方程组2315x y k x y k -=⎧⎨+=-⎩的解满足不等式﹣4≤x +y ＜1，求实数 k 的取值范围．【答案】﹣13＜k ≤3； 【解析】【分析】由代入消元法求出方程组的解，得到x ＋y 的表达式列出不等式，再根据不等式求k 的范围；【详解】解：由方程组可得：x =y ＋2k ，∴y ＋2k ＋3y =1－5k ，4y =1－7k ，y =14－74k ， ∴x =14＋14k ， ∴x ＋y =12－32k ， 由﹣4≤12－32k ，得k ≤3， 由12－32k ＜1，得k ＞﹣13， ∴﹣13＜k ≤3； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，一元一次不等式的解；解决本题的关键是求出方程组的解，列出不等式．12．（2022·安徽合肥·七年级阶段练习）已知方程组31313x y m x y m+=-+⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数，求m 的取值范围．【答案】23m -<≤【解析】【分析】先解方程组，然后根据题意列出关于m 的不等式组，继而分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．【详解】解：解方程组31313x y m x y m +=-+⎧⎨-=+⎩，得324x m y m =-⎧⎨=--⎩， ∵x 为非正数，y 为负数，∴30240m m -≤⎧⎨--<⎩， 解得-2<m≤3，【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知关于x 、y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，求a 的取值范围． 【答案】a >2 【解析】 【分析】解方程组求得x 与y 的值，根据x >y >0，即可求得a 的取值范围． 【详解】解方程组得212x a y a =+⎧⎨=-⎩∵0x y >> ∴2120a a +>->即20212a a a ->⎧⎨+>-⎩ 解不等式组得：a >2． 【点睛】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合，考查了二元一次不等式组的解法，解一元一次不等式组等知识，解含有参数a 的二元一次方程组是解题的关键与难点．14．（2021·吉林省第二实验学校七年级期中）关于x 、y 的方程组731x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解满足0x <，0y >．求a的取值范围． 【答案】2a <- 【解析】 【分析】解关于x 、y 的方程组，根据0x <，0y >得到关于a 的不等式组，求解可得． 【详解】731x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩①②①＋②得248x a =+ 解得24x a =+ ①－②得226y a =-+ 解得3ya0x <，0y > 24030a a +<⎧∴⎨-+>⎩解不等式240a +<，解得2a <- 解不等式30a -+>，解得3a < ∴2a <-∴a 的取值范围为2a <-【点睛】本题主要考查解方程组和不等式组，根据题意得出关于a 的不等式组是解题的关键． 15．（2021·甘肃定西·七年级期末）已知关于x ，y 的方程组2313x y m x y m+=--⎧⎨-=+⎩的解均为负数．(1)求m 的取值范围；(2)在第（1）小题的取值范围内，当m 为何整数时，不等式()2121m x m -<-的解集为1x >？【答案】(1)425m -<<(2)0 【解析】 【分析】（1）先求出方程组的解，得出关于m 的不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）由不等式（2m −1）x ＜2m −1的解集为x ＞1，即可求得12m < ，再结合425m -<<，即可 得出m ＝0． (1)解：解方程组得112522x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∵方程组的解均为负数，∴11025202m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得425m -<<；(2)解：∵不等式()2121m x m -<-的解集为1x >， ∴210m -<， 解得12m <， 又425m -<< ，∴4152m -<<． 又∵m 为整数， ∴m =0． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），根据题意得出关于m 的不等式组是解题的关键． 16．（2021·黑龙江牡丹江·七年级期末）已知关于x ，y 的方程组7,12.x y m x y m +=--⎧⎨-=-⎩的解满足x 为非正数，y 不大于0．（1）求m 的取值范围；（2）求当m 为何整数时，不等式221mx x m +<+的解集为1x >． 【答案】（1）28-≤≤m ；（2）2m =-，1- 【解析】 【分析】（1）解方程组得，263x m =--，28y m =-+；根据x 为非正数，y 为负数得20≤x ，20y ≤，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m 12-＜，再从28-≤≤m 中找到符合此条件的整数m 的值即可．【详解】（1）解方程组得，263x m =--，28y m =-+；0x ≤， 20x ∴≤．630m ∴--≤．2m ∴≥-．0y ≤， 20y ∴≤．80m ∴-+≤． 8m ∴≤． 28m ∴-≤≤．（2）221mx x m +<+的解集为1x >∴210m +<，12m ∴<-．122m ∴-≤<-．m 为整数，2m ∴=-，1-．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（2021·浙江·杭州江南实验学校八年级期中）阅读下列材料：解答“已知x ﹣y ＝2，且x ＞1，y ＜0，试确定x ＋y 的取值范围“有如下解法， 解：∵x ﹣y ＝2，又∵x ＞1，∴y ＋2＞1，即y ＞﹣1． 又y ＜0，∴﹣1＜y ＜0…① 同理，得：1＜x ＜2…②由①＋②，得﹣1＋1＜y ＋x ＜0＋2，∴x ＋y 的取值范围是0＜x ＋y ＜2． 请按照上述方法，完成下列问题：已知关于x 、y 的方程组2153x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解都为非负数．（1）求a 的取值范围．（2）已知2a﹣b＝﹣1，求a＋b的取值范围．（3）已知a﹣b＝m，若112m<<，且b≤1，求a＋b的取值范围（用含m的代数式表示）．【答案】（1）322a；（2）112≤a＋b≤7；（3）3﹣m≤a＋b≤4﹣m【解析】【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a＋b的取值范围；（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围，结合限制性条件得出结论即可．【详解】解：（1）解方程组2153x yx y a+=⎧⎨-=-⎩得223x ay a=-⎧⎨=-⎩，∵方程组的解都为非负数，∴20 230aa-≥⎧⎨-≥⎩，解得322a；（2）∵2a﹣b＝﹣1，∴a＝12b-，∴312 22b-≤≤，解得4≤b≤5，∴112≤a＋b≤7；（3）∵a﹣b＝m，32≤a≤2，∴32≤m＋b≤2，即32﹣m≤b≤2﹣m，∴3﹣m≤a＋b≤4﹣m．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式的性质应用，准确分析计算是解题的关键．18．（2020·四川·德阳五中八年级阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组235 210x y mx y m+=-⎧⎨-=-⎩．（1）用含m的式子表示x、y；（2）若x＜0，y＞0且m为整数，求m的值．【答案】（1）5x my m=-⎧⎨=⎩；（2）1、2、3、4【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）根据x＜0、y＞0得出关于m的不等式组，解之求出m的取值范围，由m为整数可得答案．【详解】（1）235 210x y mx y m+=-⎧⎨-=-⎩①②，①+②×2，得：5x＝5m﹣25，∴x＝m﹣5，①×2﹣②，得：5y＝5m，解得y＝m，∴5x my m=-⎧⎨=⎩；（2）∵x＜0，y＞0，∴50mm-<⎧⎨>⎩，解得0＜m＜5，又m为整数，∴m的值为1、2、3、4．【点睛】本题是方程组与不等式组的综合，考查了解二元一次方程组与一元一次不等式组，关键是把方程组中的参数m当作已知数看待并正确地求出解．19．（2021·四川·乐山外国语学校七年级期中）已知关于x、y的方程组32312343x y ax y a+=-⎧⎨+=-⎩，其中13a≤≤，若1x≤，求y的取值范围．【答案】2155y -- 【解析】 【分析】①+②得：5()3x y +=，解得35x y =-，解方程求得1135x a =-，1435y a =-，11315x a =-，解得16335a ，即1416355y -，即可求出y 的取值范围． 【详解】 解：32312343x y a x y a +=-⎧⎨+=-⎩①②，①+②得：5()3x y +=，即35x y +=35x y ∴=- 解方程求得1135x a =-，1435y a =- 11315x a =-， 解得16335a 即1416355y -， 解得y 的取值范围是2155y --． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次不等式组，解题的关键是掌握方程组的解，即为能使方程组中两方程成立的未知数的值及需要结合a 的取值范围．20．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知关于x 、y 的二元一次方程组354538x y mx y -=⎧⎨-=⎩， （1）若方程组的解满足6-=x y ，求m 的值；（2）若方程组的解满足x y <-，求满足条件的整数m 的最小值． 【答案】（1）10；（2）3 【解析】 【分析】（1）利用第一个方程加上第二个方程得出112x y m -=+，从而根据题意建立一个关于m 的方程，解方程即可；（2）利用第二个方程减去第一个方程得出42x y m +=-，从而根据题意建立不等式，解不等式即可． 【详解】解：354538x y m x y -=⎧⎨-=⎩①② （1）①+②可得：8884x y m -=+，即可得到112x y m -=+6x y -=， 1162m ∴+=，10m ∴=．（2）②-①可得：42x y m +=-，x y <-，∴0x y +<420m ∴-<，2m ∴>，∵m 是整数， ∴m 的最小值为3. 【点睛】本题主要考查方程组及不等式，掌握解方程组和不等式的方法是解题的关键．21．（2021·陕西西安·八年级期中）已知方程组282246x y mx y m +=-⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非负数，y 为正数．（1）求m 的取值范围．（2）若不等式（m +1）x ＜m +1的解集为x ＞1，求满足条件的整数m 的值． 【答案】（1）﹣3≤m ＜12；（2）整数m 的值为﹣3、﹣2． 【解析】 【分析】（1）先求出方程组的解，根据x 为非负数，y 为正数，可得到关于m 的不等式，然后求出不等式组的解集，即可求解；（2）根据“不等式（m +1）x ＜m +1的解集为x ＞1，”可得m ＜﹣1，再由（1）可得到m 的取值范围，即可求解．【详解】解：（1）解方程组得324x my m ⎧=+⎨=-⎩， 根据题意，得：30240m m ⎧+≥⎨->⎩，解得﹣3≤m ＜12 ；（2）∵不等式（m +1）x ＜m +1的解集为x ＞1， ∴m +1＜0， 解得m ＜﹣1， 又∵﹣3≤m ＜12 ， ∴﹣3≤m ＜﹣1，则整数m 的值为﹣3、﹣2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，以及不等式的解集，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式组是解题的关键．22．（2021·江苏·苏州草桥中学七年级期末）已知关于x 、y 的二元一次方程23,3 3.x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩①②（1）若方程组的解x 、y 满足0,1x y ≤<，求a 的取值范围； （2）求代数式638x y +-的值． 【答案】（1）02a <≤；（2）-17 【解析】 【分析】（1）解方程组求出x 、y 的值，根据0,1x y ≤<列不等式组求出答案； （2）将两个方程相加，求得6x +3y =-9，即可得到答案． 【详解】解：（1）解方程组得212x a y a =-⎧⎨=-⎩，∵0,1x y ≤<，∴20121a a -≤⎧⎨-<⎩,解得02a <≤；（2）由①+②得2x+y =-3， ∴3（2x +y ）=-9，即6x +3y =-9， ∴638x y +-=-9-8=-17． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．23．（2021·广东梅州·八年级期中）已知方程515x y mx y m +=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围； （2）化简：32m m --+；（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式221mx x m -<-的解集为1x >． 【答案】（1）11m -<≤；（2）12m -；（3）0 【解析】 【分析】（1）把m 看成常数，求出二元一次方程组的解，结合解满足x 为非正数，y 为负数求解一元一次不等式即可得出答案；（2）根据（1）中的m 的取值范围化简绝对值即可得出答案；（3）对21m -进行分类讨论，求出x 的取值范围结合不等式221mx x m -<-的解集为1x >即可得出答案. 【详解】解：（1）由方程组515x y m x y m +=--⎧⎨-=+⎩，得2233x m y m =-+⎧⎨=--⎩，∵方程组515x y mx y m +=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数，∴220330m m -+≤⎧⎨--<⎩，解得，11m -<≤，即m 的取值范围是11m -<≤； （2）∵11m -<≤， ∴32m m --+()32m m =--+32m m =---12m =-；（3）由不等式221mx x m -<-得，当210m ->时，1x <，当210m -<时，1x >，当210m -=时，该不等式无解，∵不等式221mx x m -<-的解集为1x >，∴210m -<，得m <0.5，∵11m -<≤，∴10.5m -<<，∴当m 为整数时，0m =，即在m 的取值范围内，当0m =时，不等式221mx x m -<-的解集为1x >．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解二元一次方程组，解答本题的关键是把m 看成常数进行求解.24．（2021·山西临汾·七年级期末）已知方程组713x y m x y m+=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数． （1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，不等式221mx x m +<+的解集为1x >．【答案】（1）23m -<≤；（2）1m =-．【解析】【分析】（1）解方程组得出x 、y ，由x 为非正数，y 为负数列出不等式组，解之可得；（2）由不等式的性质求出m 的范围，结合（1）中所求范围可得答案．【详解】解:（1）解方程组713x y m x y m +=--⎧⎨-=+⎩得324x m y m =-⎧⎨=--⎩， ∵0,0x y ≤<，∴30240m m -≤⎧⎨--<⎩解得23m -<≤；（2）解不等式221mx x m +<+得()2121m x m +<+，∵1,x>，210m∴+<∴12m<-，由（1）知122m-<<-，∵m为整数，∴1m=-．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，熟练掌握加减消元法和解不等式组的能力是解题的关键．25．（2021·河北唐山·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组24?52?x y mx y m-=+⎧⎨+=+⎩．（1）若m＝1，求方程组的解；（2）若方程组的解中，x的值为正数，y的值为负数，求m的范围．【答案】（1）43xy=⎧⎨=⎩；（2）﹣3＜m＜﹣2【解析】【分析】（1）把m＝1代入方程组求出解即可；（2）把m看做已知数表示出方程组的解，由x为正数，y为负数，确定出m的范围即可．【详解】解：（1）当m＝1，方程组为257x yx y-=⎧⎨+=⎩①②①+②得：3x＝12，解得：x＝4，把x＝4代入②得：y＝3，∴方程组的解为43xy=⎧⎨=⎩；（2）2452x y mx y m-=+⎧⎨+=+⎩①②解得：x ＝m +3，把x ＝m +3代入②得：m +3+y ＝5+2m ，解得：y ＝m +2，由题意得3020m m +>⎧⎨+<⎩解得：﹣3＜m ＜﹣2．∴m 的取值范围为：﹣3＜m ＜﹣2．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.26．（2021·四川·乐山外国语学校七年级期中）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．问题：实数x ，y 满足2x y -=，x y a +=，且1x >，0y <，求a 的取值范围．解：列关于x ，y 的方程组2x y x y a -=⎧⎨+=⎩，解得2222a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为1x >，0y <，所以212202a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，解得______； （2）已知4x y -=，且3x >，1y <，求x y +的取值范围； （3）若a ，b 满足2357a b +=，223S a b =-，求S 的取值范围．【答案】（1）02a <<；（2）26x y <+<；（3）211453S -【解析】【分析】 （1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解；（3）先根据235||7a b +=求出||b 的值，再代入223||S a b =-中即可得到关于a 的二次函数，根据2a 的取值范围，求出S 的取值范围．【详解】解：（1）212222a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩①②， 解不等式①得：0a >，∴不等式组的解集为02a <<，故答案为：02a <<；（2）①设x y a +=，则4x y x y a-=⎧⎨+=⎩， 解得：4242a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 3x >，1y <，∴432412a a +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， 解得：26a <<，即26x y <+<；（3）由235||7a b +=得273||5a b -=， 则27305a -，解得273a ， 2703a ∴， 将273||5a b -=，代入223||S a b =-中， 得2192155S a =-， 2703a ， ∴当20a =时，S 取最小值为215S =-； 当273a =时，S 取最大值为19721145353S =⨯-=， S ∴的取值范围为：211453S -． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．27．（2021·全国·八年级专题练习）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．【答案】8482(8)34x x >⎧⎨+<⎩【解析】【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于48平方米，周长小于34米列出不等式组求解即可．【详解】∵矩形的面积大于48平方米，周长小于34米，矩形的一边长为8，临边长为x∴()8482834x x >⎧⎨+<⎩【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关键．28．（2021·全国·七年级课时练习）某长方体形状的容器长5cm ．宽3cm ，高10cm ．容器内原有水的高度为3cm ，现准备向它继续注水．用V （单位：3cm ）表示新注入水的体积，写出V 的取值范围．【答案】0105V ≤≤．【解析】【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解．【详解】解：根据题意列出不等式组：05335310V V ≥⎧⎨⨯⨯+≤⨯⨯⎩解得：0105V ≤≤．【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决本题的关键．29．（2021·福建·漳州市普通教育教学研究室七年级期末）阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ．例如，[2.3]2=，[3]3=， 1.22[]-=-．请你解决下列问题：（1）[3.7]=______，[ 5.6]-=______；（2）若[]4x =，则x 的取值范围是______；（3）若[34]21x x -=+，求x 的值．【答案】（1）3，6-；（2）45x ≤<；（3）11 2x =或5x = 【解析】【分析】（1）根据如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ，即可解答；（2）根据如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ，即可解答；（3）根据[34]21x x -=+，可得213422x x x +≤-<+，解出不等式即可．【详解】解：（1）根据如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ，得：[3.7]3=，[ 5.6]6-=-；（2）根据如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[]x ，若[]4x =，则45x ≤<．（3）[34]21x x -=+，∴213422x x x +≤-<+， 解得56x ≤<．21x +是整数，∴11 2x =或5x =． 【点睛】本题主要考了新定义下的不等式的应用，解题的关键是理解题中的[]x 的意义，列出不等式进行求解． 30．（2020·河南洛阳·七年级期末）某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A、B两类：A类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？【答案】（1）应该购买B类年票，理由见解析；（2）应该购买B类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【解析】【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A类年票，继而分别讨论直接购票与购买B类年票，这两种方式何者次数更多即可．（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A类年票、购买B类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．（3）小明选择购买A类年票，说明A类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．【详解】（1）由于预算限制，小丽不可能买A类年票；若直接购票，可以进中心8010=8÷次；若购买B类年票，可进中心(8060)210-÷=次，所以应该购买B 类年票．（2）若直接购买门票，需花费2010=200⨯元；若购买A类年票，需花费120元；若购买B类年票，需花费60+202=100⨯元；所以应该购买B类年票．（3）设小明每年进拓展中心约x次，根据题意列出不等式组：10120602120xx≥⎧⎨+≥⎩，解得1230xx≥⎧⎨≥⎩，故30x≥．所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．31．（2022·上海·七年级期中）如图，是一个运算流程．（1）分别计算：当x=150时，输出值为 ，当x=17时，输出值为 ；（2）若需要经过两次运算流程，才能运算输出y ，求x 的取值范围；（3）请给出一个x 的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由．【答案】（1）449，446；（2）41122x ≤<；（3）0x =（取12x ≤的任意值），见解析 【解析】【分析】（1）分别把150x =与17x =代入进行计算即可；（2）根据题意得出关于x 的不等式组，求出x 的取值范围即可；（3）根据题意列举出x 的值即可．【详解】解：（1）当150x =时，31501449365⨯-=>，∴输出值为449；当17x =时，317150365⨯-=<，5031149365∴⨯-=<，14931446365⨯-=>，∴输出值为446．故答案为：449，446；（2）需要经过两次运算，才能运算出y ，∴313653(31)1365x x -<⎧⎨--⎩，解得41122x <． （3）取12x 的任意值，如0x =，理由：3(31)131x x ---，解得12x∴当12x 时，1312x -，∴无论运算多少次都不能输出．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于x 的不等式（组）是解答此题的关键．32．（2020·全国·七年级课时练习）定义一种新运算“a b *”；当a b ≥时，2a b a b *=+；当a b <时，2a b a b *=-．例如：34)32((4)5--*=+⨯=-，6)126(21230*=--⨯=--．（1）填空：(–4)3*=____________；（2）若()34)6()34()26(x x x x -*+=-++，则x 的取值范围为____________；（3）已知37)(32)6(x x -*-<-，求x 的取值范围．【答案】（1）-10；（2）5x ≥；（3）5x >或1x <．【解析】【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x -4≥x +6，解之可得；（3）由题意可得分类讨论：当3732x x -≥-和3732x x -<-时两种，分别求解可得；【详解】解：（1）4*3420)3(1-=--⨯=-．故答案为：–10．（2）∵()()()()34*63426x x x x -+=-++，∴346x x -≥+，解得5x ≥．故答案为：5x ≥．（3）由题意知：当()3732372326x x x x -≥-⎧⎨-+-<-⎩时， 解得：5x >.当()3732372326x x x x -<-⎧⎨---<-⎩时， 解得1x <．∴x 的取值范围: 5x >或1x <．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．33．（2019·湖南长沙·七年级期末）阅读理解：我们把abcd称为二阶行列式，规定它的运算法则为abcd＝ad﹣bc，例如：2345＝2×5﹣3×4＝﹣2．（1）填空：若1210.5xx--＝0，则x＝，213x x-＞0，则x的取值范围；（2）若对于正整数m，n满足，114nm<＜3，求m+n的值；（3）若对于两个非负数x，y，123x y-＝21x y--＝k﹣1，求实数k的取值范围．【答案】（1）14，x＞1；（2）m+n＝4；（3）k≥14.【解析】【分析】（1）根据二阶行列式分别列出关于x的方程与不等式求解即可；（2）根据二阶行列式列出关于mn的不等式，再根据m，n为正整数得到m，n的值；（3）根据二阶行列式列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法求得x，y关于k的值，再根据x，y为非负数得到关于k的不等式组求解即可.【详解】解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，解得x＝14；由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，解得x＞1，故答案为14，x＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，∴1＜mn＜3，∵m、n是正整数，∴m＝1，n＝3，或m＝3，n＝1，∴m+n＝4；（3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k﹣1，。

不等式与方程的综合应用题一、不等式与方程的综合应用题示例（一）题目11. 题目内容小明去商店买文具，一支铅笔的价格是x元，一本笔记本的价格是y元。

已知3支铅笔和2本笔记本的总价格不超过15元，且2支铅笔和1本笔记本的总价格不少于8元。

若小明想买4支铅笔和3本笔记本，求他可能花费的金额范围。

2. 解题思路首先根据题目中的条件列出不等式组。

3x + 2y ≤ 15 （表示3支铅笔和2本笔记本总价格不超过15元）2x + y ≥ 8 （表示2支铅笔和1本笔记本总价格不少于8元）我们设4支铅笔和3本笔记本的花费为z元，z = 4x+3y。

通过对前面不等式组的变形和运算来求解z的范围。

由2x + y ≥ 8可得y ≥ 8 - 2x。

将y ≥ 8 - 2x代入3x + 2y ≤ 15中，得到3x+2(8 - 2x)≤15，3x + 16 - 4x ≤ 15，x ≤ - 1，x ≥ 1。

再将x ≥ 1代入y ≥ 8 - 2x，得y ≥ 6。

现在求z = 4x+3y的范围，因为x ≥ 1，y ≥ 6，所以z = 4x+3y ≥ 4×1+3×6 = 4 + 18 = 22。

再由3x + 2y ≤ 15得y ≤ (15 - 3x)/2。

将y ≤ (15 - 3x)/2代入2x + y ≥ 8中，得到2x+(15 - 3x)/2≥8，4x + 15 - 3x ≥ 16，x ≥ 1。

将x = 1代入y ≤ (15 - 3x)/2得y ≤ 6。

当x = 1，y = 6时，z = 4×1+3×6 = 22。

当x = 3，y = 3时（通过联立方程试值得到满足不等式组的值），z =4×3+3×3 = 21。

所以21 ≤ z ≤ 22。

3. 答案小明买4支铅笔和3本笔记本可能花费的金额范围是21元到22元。

4. 解析在解决这个问题时，关键是要根据题目中的文字描述准确地列出不等式组。

中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。

(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。

(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。

对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。

(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。

注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。