江西省奉新县一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
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奉新县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如由算得2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯附表:参照附表,则下列结论正确的是( )3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”; 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”;99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好;④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好;A .①③B .①④C .②③D .②④2. 已知向量=(1,),=(,x )共线,则实数x 的值为()A .1B .C .tan35°D .tan35°3. 已知全集,集合,集合,则集合为R U ={|||1,}A x x x R =≤∈{|21,}xB x x R =≤∈U AC B ( )A.B.C.D.]1,1[-]1,0[]1,0()0,1[-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识,意在考查运算求解能力.4. 已知函数f (x )=2x ﹣+cosx ,设x 1,x 2∈(0,π)(x 1≠x 2),且f (x 1)=f (x 2),若x 1,x 0,x 2成等差数列,f ′(x )是f (x )的导函数,则( )A .f ′(x 0)<0B .f ′(x 0)=0C .f ′(x 0)>0D .f ′(x 0)的符号无法确定5. 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是( )A .(0,e ﹣2)B .(e ﹣2,+∞)C .(﹣∞,e ﹣2)D .(e ﹣2,+∞)6. 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形,则该四棱锥的体积为()A .B .C .D .2480642407. 定义某种运算S=a ⊗b ,运算原理如图所示,则式子+的值为()A .4B .8C .10D .138. 若为等差数列,为其前项和,若,,,则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为()A .11B .12C .13D .149. 下列命题中正确的是()A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为真命题B .命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x ≠0”C .“”是“”的充分不必要条件D .命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“”10.已知函数f (2x+1)=3x+2,且f (a )=2,则a 的值等于( )A .8B .1C .5D .﹣111.已知均为正实数,且,,,则( ),,x y z 22log xx =-22log yy -=-22log z z -=A . B . C . D .x y z <<z x y <<z y z <<y x z<<12.(﹣6≤a ≤3)的最大值为()A .9B .C .3D .二、填空题13.长方体中,对角线与棱、、所成角分别为、、,1111ABCD A B C D -1A C CB CD 1CC αβ则 . 222sin sin sin αβγ++=14.已知命题p :∃x ∈R ,x 2+2x+a ≤0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是 .(用区间表示) 15.已知i 是虚数单位,复数的模为 .16.【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数(为常数)的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ,对任意,不等式恒成立,则的最大值为__________.()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+17.的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)81(x x-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项,基础题.18.在中,,,为的中点,,则的长为_________.ABC ∆90C ∠=2BC =M BC 1sin 3BAM ∠=AC 三、解答题19.设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.(1)过点P (0,﹣4)作抛物线G 的切线,求切线方程;(2)设A ,B 为抛物线上异于原点的两点,且满足FA ⊥FB ,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.20.(本题满分15分)正项数列满足,.}{n a 121223+++=+n n n n a a a a 11=a (1)证明:对任意的,;*N n ∈12+≤n n a a(2)记数列的前项和为,证明:对任意的,.}{n a n n S *N n ∈32121<≤--n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性,不等式性质等基础知识,意在考查推理论证能力,分析和解决问题的能力.21.等差数列{a n }的前n 项和为S n .a 3=2,S 8=22.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .22.已知函数f (x )=x 2﹣ax+(a ﹣1)lnx (a >1).(Ⅰ) 讨论函数f (x )的单调性;(Ⅱ) 若a=2,数列{a n }满足a n+1=f (a n ).(1)若首项a 1=10,证明数列{a n }为递增数列;(2)若首项为正整数,且数列{a n }为递增数列,求首项a 1的最小值. 23.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E分别是AC、AB上的点,且DE∥BC,将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如图2.(Ⅰ)求证:平面A1BC⊥平面A1DC;(Ⅱ)若CD=2,求BD与平面A1BC所成角的正弦值;(Ⅲ)当D点在何处时,A1B的长度最小,并求出最小值.24.在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数;(Ⅱ)若等级A,B,C,D,E分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A.在至少一科成绩为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A的概率.奉新县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】解析:本题考查独立性检验与统计抽样调查方法.由于,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,②正确;该地区老年9.967 6.635>人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好,④正确,选D .2. 【答案】B【解析】解:∵向量=(1,),=(,x )共线,∴x====,故选:B .【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简,属于基础题. 3. 【答案】C.【解析】由题意得,,,∴,故选C.[11]A =-,(,0]B =-∞(0,1]U AC B = 4. 【答案】 A【解析】解:∵函数f (x )=2x ﹣+cosx ,设x 1,x 2∈(0,π)(x 1≠x 2),且f (x 1)=f (x 2),∴,∴存在x 1<a <x 2,f '(a )=0,∴,∴,解得a=,假设x 1,x 2在a 的邻域内,即x 2﹣x 1≈0.∵,∴,∴f (x )的图象在a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正,∴x 0>a ,又∵x >x 0,又∵x >x 0时,f ''(x )递减,∴.故选:A .【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用. 5. 【答案】B【解析】解:函数的定义域为(0,+∞)求导函数可得f ′(x )=lnx+2,令f ′(x )>0,可得x >e ﹣2,∴函数f (x )的单调增区间是(e ﹣2,+∞)故选B . 6. 【答案】B 【解析】试题分析:,故选B.8058631=⨯⨯⨯=V 考点:1.三视图;2.几何体的体积.7. 【答案】 C【解析】解:模拟执行程序,可得,当a ≥b 时,则输出a (b+1),反之,则输出b (a+1),∵2tan =2,lg =﹣1,∴(2tan )⊗lg =(2tan)×(lg+1)=2×(﹣1+1)=0,∵lne=1,()﹣1=5,∴lne ⊗()﹣1=()﹣1×(lne+1)=5×(1+1)=10,∴+=0+10=10.故选:C . 8. 【答案】A 【解析】考点:得出数列的性质及前项和.【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“,”判断前项和的符号问题是解答的关键.10a >0d <9. 【答案】 D【解析】解:若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为假命题,故A 不正确;命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy ≠0,则x ≠0”,故B 不正确;“”⇒“+2k π,或,k ∈Z ”,“”⇒“”,故“”是“”的必要不充分条件,故C 不正确;命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“”,故D 正确.故选D .【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 10.【答案】B【解析】解:∵函数f (2x+1)=3x+2,且f (a )=2,令3x+2=2,解得x=0,∴a=2×0+1=1.故选:B . 11.【答案】A 【解析】考点:对数函数,指数函数性质.12.【答案】B【解析】解:令f (a )=(3﹣a )(a+6)=﹣+,而且﹣6≤a ≤3,由此可得函数f(a )的最大值为,故(﹣6≤a ≤3)的最大值为=,故选B .【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二、填空题13.【答案】【解析】试题分析:以为斜边构成直角三角形:,由长方体的对角线定理可得:1AC 1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆.2222221111222111sin sin sin BC DC A C AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++==考点:直线与直线所成的角.【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题,其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查,着重考查学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题,本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键.14.【答案】 (1,+∞) 【解析】解:∵命题p :∃x ∈R ,x 2+2x+a ≤0,当命题p 是假命题时,命题¬p :∀x ∈R ,x 2+2x+a >0是真命题;即△=4﹣4a <0,∴a >1;∴实数a 的取值范围是(1,+∞).故答案为:(1,+∞).【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题,也考查了二次不等式恒成立的问题,是基础题目.15.【答案】 .【解析】解:∵复数==i ﹣1的模为=.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.16.【答案】2-【解析】试题分析:根据题意易得:,由得:在R ()'2f x ax b =+()()'f x f x ≥()220ax b a x c b +-+-≥上恒成立,等价于:,可解得:,则:{ 0a >≤A ()22444b ac a a c a ≤-=-,令,,222222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,(0)c t t a =->24422222t y t t t t ==≤=++++故的最大值为.222b a c+2考点:1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用17.【答案】70【解析】的展开式通项为,所以当时,常数项为81(x x -8821881((1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-4r =.448(1)70C -=18.【解析】考点:1、正弦定理及勾股定理;2诱导公式及直角三角形的性质.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质,属于难题,高考三角函数的考查主要以三角恒等变形,三角函数的图象和性质,利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,难度中等,因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可,对于三角函数与解三角形相结合的题目,要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化,求出相关的边和角的大小,有时也要考虑特殊三角形的特殊性质(如正三角形,直角三角形等).三、解答题19.【答案】【解析】解:(1)设切点.由,知抛物线在Q点处的切线斜率为,故所求切线方程为.即y=x0x﹣x02.因为点P(0,﹣4)在切线上.所以,,解得x0=±4.所求切线方程为y=±2x﹣4.(2)设A(x1,y1),C(x2,y2).由题意知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.因直线AC过焦点F(0,1),所以直线AC的方程为y=kx+1.点A,C的坐标满足方程组,得x2﹣4kx﹣4=0,由根与系数的关系知,|AC|==4(1+k2),因为AC⊥BD,所以BD的斜率为﹣,从而BD的方程为y=﹣x+1.同理可求得|BD|=4(1+),S ABCD=|AC||BD|==8(2+k2+)≥32.当k=1时,等号成立.所以,四边形ABCD面积的最小值为32.【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查直线和抛物线相切的条件,以及直线方程和抛物线的方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查基本不等式的运用,属于中档题.20.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.21.【答案】【解析】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a3=2,S8=22.∴,解得,∴{a n}的通项公式为a n=1+(n﹣1)=.(2)∵b n===﹣,∴T n=2+…+=2=.22.【答案】【解析】解:(Ⅰ)∵,∴(x>0),当a=2时,则在(0,+∞)上恒成立,当1<a<2时,若x∈(a﹣1,1),则f′(x)<0,若x∈(0,a﹣1)或x∈(1,+∞),则f′(x)>0,当a>2时,若x∈(1,a﹣1),则f′(x)<0,若x∈(0,1)或x∈(a﹣1,+∞),则f′(x)>0,综上所述:当1<a<2时,函数f(x)在区间(a﹣1,1)上单调递减,在区间(0,a﹣1)和(1,+∞)上单调递增;当a=2时,函数(0,+∞)在(0,+∞)上单调递增;当a>2时,函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(0,1)和(a﹣1,+∞)上单调递增.(Ⅱ)若a=2,则,由(Ⅰ)知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,(1)因为a1=10,所以a2=f(a1)=f(10)=30+ln10,可知a2>a1>0,假设0<a k<a k+1(k≥1),因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴f(a k+1)>f(a k),即得a k+2>a k+1>0,由数学归纳法原理知,a n+1>a n对于一切正整数n都成立,∴数列{a n}为递增数列.(2)由(1)知:当且仅当0<a1<a2,数列{a n}为递增数列,∴f(a1)>a1,即(a1为正整数),设(x≥1),则,∴函数g(x)在区间上递增,由于,g(6)=ln6>0,又a1为正整数,∴首项a1的最小值为6.【点评】本题考查导数的运用:求单调区间,同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用,考查运算能力,属于中档题.选做题:本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分7分.如果多做,则按所做的前两题计分.【选修4-2:矩阵与变换】23.【答案】【解析】【分析】(Ⅰ)在图1中,△ABC中,由已知可得:AC⊥DE.在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,即可证明DE ⊥平面A1DC,再利用面面垂直的判定定理即可证明.(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设平面A1BC的法向量为,利用,BE与平面所成角的正弦值为.(Ⅲ)设CD=x(0<x<6),则A1D=6﹣x,利用=(0<x<6),即可得出.【解答】(Ⅰ)证明:在图1中,△ABC中,DE∥BC,AC⊥BC,则AC⊥DE,∴在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,又∵A1D∩DC=D,∴DE⊥平面A1DC,∵DE∥BC,∴BC⊥平面A1DC,∵BC⊂平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面A1DC.(Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系:A1(0,0,4)B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(2,0,0).则,,设平面A1BC的法向量为则,解得,即则BE与平面所成角的正弦值为(Ⅲ)解:设CD=x(0<x<6),则A1D=6﹣x,在(2)的坐标系下有:A1(0,0,6﹣x),B(3,x,0),∴==(0<x<6),即当x=3时,A1B长度达到最小值,最小值为.24.【答案】【解析】解:(Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人,所以该考场有10÷0.25=40人,所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为:40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3人;(Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为:×=2.9;(Ⅲ)因为两科考试中,共有6人得分等级为A,又恰有两人的两科成绩等级均为A,所以还有2人只有一个科目得分为A,设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A的同学,则在至少一科成绩等级为A的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为:Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有6个基本事件.设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A”为事件B,所以事件B中包含的基本事件有1个,则P(B)=.【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容. 。
2020届高二年级下学期第一次月考数学(理科)试题★祝考试顺利★ 注意事项:1、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若5i2iz =+,则z z -=( ) A. 2 B. 2- C. 4i - D. 4i2.直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A .24B . 2C . 22D . 4 3.函数232x x y -=的极大值是( )A. -9B. 0C. 1627 D.314.函数f (x )=2x x ln 2-的单调递增区间是( )A. ),21(+∞B.)0,21(-和),21(+∞ C. )21,0( D.)21,(--∞和)21,0( 5.已知双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a>0,b >0)的离心率为25,则C 的渐近线方程为( )A .y =±12xB .y =±13xC .y =±14x D .y =±x6.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,…,则按照以上规律,若99n=99n具有“穿墙术”,则n =( )A . 48B . 25C . 80D .637. 若a>2,则函数f(x)=13x 3-ax 2+1在区间(0,2)上恰好有( )A .0个零点B .1个零点C .2个零点D .3个零点8. 过原点O 作直线l 交椭圆x 2a +y2b =1(a>b>0)于点A 、B ,椭圆的右焦点为F 2,离心率为e.若以AB 为直径的圆过点F 2,且sin ∠ABF 2=e ,则e =( ) A.12 B. 32 C.22 D.239. 已知P 是椭圆x 225+y 2b2=1,(0<b<5)上除顶点外的一点,F 1是椭圆的左焦点,若|OP →+OF 1→|=8则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A .2B .4C .6 D. 5210. 设函数f (x )=13x 3-a 2x 2+2x +1,若f (x )在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是( )A .(22,+∞)B .[22,+∞)C . (-∞,-22]D .(-∞,-22)11.f(x)是定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf ′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式f(x)>0的解集为( )A .(-4,0)∪(4,+∞)B .(-4,0)∪(0,4)C .(-∞,-4)∪(4,+∞)D .(-∞,-4)∪(0,4)12. 若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ln x -x 2-2x >0x +1x+a x <0的最大值为f (-1),则实数a 的取值范围为( )A .[0,2e 2] B. (0,2e 2] C .[0,2e 3] D.(0,2e 3] 二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)13. ()π2cos sin d x x x -⎰=________.14. 用数学归纳法证明(n +1)(n +2)……(n +n )=2n·1×3……(2n +1)(n ∈N),从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为15.已知椭圆x 29+y2m=1(0<m<9)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|AF 2|+|BF 2|的最大值为10,则m 的值为________. 16. 已知函数f (x )=m e x2与函数g (x )=-2x 2-x +1的图象有两个不同的交点,则实数m 的取值范围为三、解答题:(本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分10分)m 为何实数时,复数()()()223121z i m i m i =+-+--满足下列要求:(1)z 是纯虚数;(2)z 在复平面内对应的点在第二象限;(3)z 在复平面内对应的点在直线50x y --=上.18. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x 2-8lnx ,g(x)=-x 2+14x. (1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a ,a +1)上均为增函数,求a 的取值范围;19. (本小题满分12分)设直线l 的方程为5)2(++=y m x ,该直线交抛物线x y C 4:2=于Q P ,两个不同的点. (1)若点)2,5(-A 为线段PQ 的中点,求直线l 的方程; (2)证明:以线段PQ 为直径的圆M 恒过点)2,1(B .20. (本小题满分12分)已知函数f (x )=(x 2-x -5)e x ,g (x )=tx 2+e x -4e 2(t ∈R )(其中e 为自然对数的底数). (1)求函数f (x )的单调区间与极小值;(2)是否存在t <0,对任意的x 1∈R ,任意的x 2∈(0,+∞),都有f (x 1)> g (x 2)?若存在,求出t 的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知动圆过定点()10,,且与直线1-=y 相切. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(2)过轨迹C 上一点),2(n M 作倾斜角互补的两条直线,分别与C 交于异于M 的,A B 两点. ①求证:直线AB 的斜率为定值;②如果,A B 两点的横坐标均不大于0,求MAB ∆面积的最大值.22. (本小题满分12分)设函数()2cos (1)ln(1)f x x x x x =--+++,22()()g x k x x=+.其中0k ≠.(1)讨论函数()g x 的单调区间;(2)若存在1(1,1]x ∈-,对任意21(,2]2x ∈,使得12()()6f x g x k -<-成立,求k 的取值范围.2020届高二年级下学期第一次月考数学(理科)参考答案D D B A A C B C A D B C13.0 14.2(2k +1). 15. 3 16. [0,2e)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫-18e217.(1)12m =-;(2)1,12m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭;(3)3m =±.18. 解 (1)因为f ′(x)=2x -8x,所以切线的斜率k =f ′(1)=-6.又f(1)=1,故所求的切线方程为y -1=-6(x -1).即y =-6x +7.…………(5分) (2)因为f ′(x)=2(x +2)(x -2)x,又x>0,所以当x>2时,f ′(x)>0;当0<x<2时,f ′(x)<0. 即f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减.又g(x)=-(x -7)2+49,所以g(x)在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递减.…(9分)欲使函数f(x)与g(x)在区间(a ,a +1)上均为增函数,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2,a +1≤7,解得2≤a ≤6.……(12分)19. 【解析】(1)联立错误!未找到引用源。
奉新县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 已知向量=(1,2),=(x ,﹣4),若∥,则x=( ) A . 4 B . ﹣4 C . 2 D . ﹣2 2. 若复数2b ii++的实部与虚部相等,则实数b 等于( ) (A ) 3 ( B ) 1 (C ) 13 (D ) 12-3. 已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,且双曲线C 过点P (﹣2,0),则双曲线C 的渐近线方程是( )A .y=±x B .y=±C .xy=±2xD .y=±x4. 如图,在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )A . =B .∥C .D .5. 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A .π4 B .π6 C .π8 D .π106. 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E 为底面ABCD 上的动点.若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大,则E 点位于( )A .点A 处B .线段AD 的中点处C .线段AB 的中点处D .点D 处7. 与命题“若x ∈A ,则y ∉A ”等价的命题是( )A .若x ∉A ,则y ∉AB .若y ∉A ,则x ∈AC .若x ∉A ,则y ∈AD .若y ∈A ,则x ∉A8. 已知,则f{f[f (﹣2)]}的值为( ) A .0B .2C .4D .89.圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的12,则圆锥的体积()A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的倍C.不变D.缩小到原来的1 610.下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x+1 B.y=﹣x2C.D.y=﹣x|x|11.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上,属于醉酒驾车.据《法制晚报》报道,2011年3月15日至3月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为()A.2160 B.2880 C.4320 D.864012.lgx,lgy,lgz成等差数列是由y2=zx成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题13.下列命题:①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数;②若函数f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,函数f(x)在(a,b)上至少有一个零点;③数列{a n}为等差数列,设数列{a n}的前n项和为S n,S10>0,S11<0,S n最大值为S5;④在△ABC中,A>B的充要条件是cos2A<cos2B;⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强.其中正确命题的序号是(把所有正确命题的序号都写上).14.在(1+2x)10的展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).15.利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b,在a+b为偶数的条件下,|a﹣b|>2发生的概率是.16.设,则17.已知随机变量ξ﹣N (2,σ2),若(>),则(ξ>0)= .18. 设函数()x f x e =,()ln g x x m =+.有下列四个命题:①若对任意[1,2]x ∈,关于x 的不等式()()f x g x >恒成立,则m e <; ②若存在0[1,2]x ∈,使得不等式00()()f x g x >成立,则2ln 2m e <-; ③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈,不等式12()()f x g x >恒成立,则ln 22em <-; ④若对任意1[1,2]x ∈,存在2[1,2]x ∈,使得不等式12()()f x g x >成立,则m e <. 其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质,函数的单调性与导数的关系等基础知识,考查运算求解,推理论证能力,考查分类整合思想.三、解答题19.(本题满分13分)已知函数x x ax x f ln 221)(2-+=. (1)当0=a 时,求)(x f 的极值;(2)若)(x f 在区间]2,31[上是增函数,求实数a 的取值范围.【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题,本题渗透了分类讨论思想,化归思想的考查,对运算能力、函数的构建能力要求高,难度大.20.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果.(1)y=+;(2)y=.21.已知函数f (x )=|x ﹣10|+|x ﹣20|,且满足f (x )<10a+10(a ∈R )的解集不是空集. (Ⅰ)求实数a 的取值集合A(Ⅱ)若b ∈A ,a ≠b ,求证a a b b >a b b a.22.(本小题满分12分)已知12,F F 分别是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点,P 是椭圆上1122|,||PF F F PF 成等差数列.(1)求椭圆C 的标准方程;、(2)已知动直线l 过点F ,且与椭圆C 交于A B 、两点,试问x 轴上是否存在定点Q ,使得716QA QB ⋅=-恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.23.已知a >b >0,求证:.24.设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(Ⅰ)若点P的坐标为,求f(θ)的值;(Ⅱ)若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.奉新县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案)一、选择题1. 【答案】D【解析】: 解:∵∥, ∴﹣4﹣2x=0,解得x=﹣2. 故选:D . 2. 【答案】C【解析】b +i 2+i =(b +i)(2-i)(2+i)(2-i)=2b +15+2-b 5i ,因为实部与虚部相等,所以2b +1=2-b ,即b =13.故选C.3. 【答案】A【解析】解:抛物线y 2=8x 的焦点(2,0),双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,c=2,双曲线C 过点P (﹣2,0),可得a=2,所以b=2.双曲线C 的渐近线方程是y=±x .故选:A .【点评】本题考查双曲线方程的应用,抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.4. 【答案】D【解析】解:由图可知,,但不共线,故, 故选D .【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题.5. 【答案】B 【解析】考点:球与几何体 6. 【答案】A【解析】解:如图,E为底面ABCD上的动点,连接BE,CE,D1E,对三棱锥B﹣D1EC,无论E在底面ABCD上的何位置,面BCD1的面积为定值,要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大,则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大,而当E与A重合时,三侧面的面积均最大,∴E点位于点A处时,三棱锥B﹣D1EC的表面积最大.故选:A.【点评】本题考查了空间几何体的表面积,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题.7.【答案】D【解析】解:由命题和其逆否命题等价,所以根据原命题写出其逆否命题即可.与命题“若x∈A,则y∉A”等价的命题是若y∈A,则x∉A.故选D.8.【答案】C【解析】解:∵﹣2<0∴f(﹣2)=0∴f(f(﹣2))=f(0)∵0=0∴f(0)=2即f(f(﹣2))=f(0)=2∵2>0∴f(2)=22=4即f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4故选C.9. 【答案】A 【解析】试题分析:由题意得,设原圆锥的高为,底面半径为,则圆锥的体积为2113V r h π=,将圆锥的高扩大到原来的倍,底面半径缩短到原来的12,则体积为222111(2)326V r h r h ππ=⨯=,所以122V V =,故选A.考点:圆锥的体积公式.1 10.【答案】D【解析】解:y=x+1不是奇函数; y=﹣x 2不是奇函数;是奇函数,但不是减函数; y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数, 故选:D .【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性,难度不大,属于基础题.11.【答案】C【解析】解:由题意及频率分布直方图的定义可知:属于醉酒驾车的频率为:(0.01+0.005)×10=0.15, 又总人数为28800,故属于醉酒驾车的人数约为:28800×0.15=4320.故选C12.【答案】A【解析】解:lgx ,lgy ,lgz 成等差数列,∴2lgy=lgx •lgz ,即y 2=zx ,∴充分性成立,因为y 2=zx ,但是x ,z 可能同时为负数,所以必要性不成立,故选:A .【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质,以及充分必要行得证明,是高考的常考类型,同学们要加强练习,属于基础题.二、填空题13.【答案】 ②③④⑤【解析】解:①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数,不正确,取x=,,但是,,因此不是单调递增函数;②若函数f (x )在[a ,b]上满足f (a )f (b )<0,函数f (x )在(a ,b )上至少有一个零点,正确;③数列{a n}为等差数列,设数列{a n}的前n项和为S n,S10>0,S11<0,∴=5(a6+a5)>0,=11a6<0,∴a5+a6>0,a6<0,∴a5>0.因此S n最大值为S5,正确;④在△ABC中,cos2A﹣cos2B=﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2sin(A+B)sin(B﹣A)<0⇔A>B,因此正确;⑤在线性回归分析中,线性相关系数越大,说明两个量线性相关性就越强,正确.其中正确命题的序号是②③④⑤.【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析,考查了推理能力与计算能力,属于难题.14.【答案】180【解析】解:由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r(2x)r可知r=2,所以系数为C102×4=180,故答案为:180.【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数0.9.一般地通项公式主要应用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等.15.【答案】.【解析】解:由题意得,利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b,基本事件的总个数是6×6=36,即(a,b)的情况有36种,事件“a+b为偶数”包含基本事件:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6)(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,“在a+b为偶数的条件下,|a﹣b|>2”包含基本事件:(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)共4个,故在a+b为偶数的条件下,|a﹣b|>2发生的概率是P==故答案为:【点评】本题主要考查概率的计算,以条件概率为载体,考查条件概率的计算,解题的关键是判断概率的类型,从而利用相应公式,分别求出对应的测度是解决本题的关键.16.【答案】9【解析】由柯西不等式可知17.【答案】 0.6 .【解析】解:随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2), ∴曲线关于x=2对称,∴P (ξ>0)=P (ξ<4)=1﹣P (ξ>4)=0.6, 故答案为:0.6.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础题.18.【答案】①②④ 【解析】三、解答题19.【答案】【解析】(1)函数的定义域为),0(+∞,因为x x ax x f ln 221)(2-+=,当0=a 时,x x x f ln 2)(-=,则x x f 12)('-=.令012)('=-=x x f ,得21=x .…………2分 所以)(),(',x f x f x 的变化情况如下表:x )21,0( 21 ),21(+∞ )('x f- 0 + )(x f ↘ 极小值 ↗所以当2=x 时,)(x f 的极小值为2ln 1)21(+=f ,函数无极大值.………………5分20.【答案】【解析】解:(1)∵y=+,∴, 解得x ≥﹣2且x ≠﹣2且x ≠3,∴函数y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞);(2)∵y=,∴,解得x≤4且x≠1且x≠3,∴函数y的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4].21.【答案】【解析】解(1)要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|<10a+10的解集不是空集,则(|x﹣10|+|x﹣20|)min<10a+10,根据绝对值三角不等式得:|x﹣10|+|x﹣20|≥|(x﹣10)﹣(x﹣20)|=10,即(|x﹣10|+|x﹣20|)min=10,所以,10<10a+10,解得a>0,所以,实数a的取值集合为A=(0,+∞);(2)∵a,b∈(0,+∞)且a≠b,∴不妨设a>b>0,则a﹣b>0且>1,则>1恒成立,即>1,所以,a a﹣b>b a﹣b,将该不等式两边同时乘以a b b b得,a ab b>a b b a,即证.【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明,涉及指数函数的性质,属于中档题.22.【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.下面证明54m =时,716QA QB ⋅=-恒成立. 当直线l 的斜率为0时,结论成立;当直线l 的斜率不为0时,设直线l 的方程为1x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,由1x ty =+及2212x y +=,得22(2)210t y ty ++-=, 所以0∆>,∴12122221,22t y y y y t t +=-=-++. 111x ty =+,221x ty =+, ∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416y y t y y -++= 22222211212217(1)242162(2)1616t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++.综上所述,在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716QA QB ⋅=-恒成立.23.【答案】【解析】解:∵又==∵a >b >0,∴,所以上式大于1,故成立,同理可证24.【答案】【解析】解(Ⅰ)由点P 的坐标和三角函数的定义可得:于是f (θ)===2(Ⅱ)作出平面区域Ω(即△ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).因为P ∈Ω,所以0≤θ≤,∴f (θ)==,且,故当,即时,f (θ)取得最大值2;当,即θ=0时,f(θ)取得最小值1.【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.。
一、选择题 (本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为103,则h =( )( 2 )A.32B. 3 C .2 3D .5 32.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为 ( )A .-32 B.32C .3D .-33.若直线l 1:ax +(1-a )y -3=0与直线l 2:(a -1)x +(2a +3)y -2=0互相垂直,则a 的值是 ( ) A .-3 B .1 C .-1 D .1或-34.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )5.直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--,所经过的定点是 ( ) A .(5,2) B .(2,3) C .(-,3) D .(5,9)6.在正四棱锥V -ABCD 中,底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA 与BD 所角 ( )A.π6B.π4C.π3D.π27.给定下列四个命题:(1)若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;F (2)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (3)垂直于同一直线的两条直线相互平行;(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是( )A .(1)和(2)B .(2)和(3)C .(3)和(4)D .(2)和(4)8、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点,如果EF 和GH 能相交于点P ,那么 ( ) (A )点P 必在直线AC 上 (B )点P 必在直线BD 上 (C )点P 必在平面ABC 内 (D )点P 必在平面上ABC 外9、如图,在一根长11cm ,外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成10个螺旋,如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 ( )(A )61cm (B )cm(C )cm (D )10cm10.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为( )A .10 3 cmB .10 cmC .10 2 cmD .30 cm二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上) 11.已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为433, 则它的体积为________.12.三条直线013,012=-+=+-y x y x 和共有两个不同的交点,则a =_________13.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1正方形,且△ADE 、△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF=2,则该多面体的体积为__________14.如图,已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直,∠ABC=∠BCD=90°,AB=a,BC=b,CD=c,且a2+b2+c2=1,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________.15.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α∥β,m⊂β,n⊂α,则m∥n;②若α∥β,m⊥β,n∥α,则m⊥n;③若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥n;④若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n.上面命题中,所有真命题的序号为________.三、解答题 (本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.求经过7x+8y=38及3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.17.菱形ABCD中,A(-4,7)、C(6,-5)、BC边所在直线过点P(8,-1),求:(1)AD 边所在直线的方程;(2)对角线BD所在直线的方程.18.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC⊥CD,E是AA1上的一点.(1)求证:CD⊥平面ACE;(2)若平面CBE交DD1于点F,求证:EF∥AD.19.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=π3,E,F分别为AD,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PCD;(2)求证:AC⊥平面PAB.20.一个多面体的三视图和直观图分别如图(1)(2)所示,其中M、N分别为AB、AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在棱AB上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.21.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值.2016届高二下学期数学第一次月考试题(理)答案16.解:设所求直线为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0,即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0,令x=0,y=388-2λ,令y=0,x=387+3λ,由已知,388-2λ=387+3λ,∴λ=15,即所求直线方程为x+y-5=0.又直线方程不含直线3x-2y=0,而当直线过原点时,在两轴上的截距也相等,故3x-2y=0亦为所求.19.证明:(1)如图,因为在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,所以ED =FC ,ED ∥FC ,可得EFCD 为平行四边形,所以EF ∥C D .又因为EF ⊄平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD . (2)因为PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,故PA ⊥AC . 在△ABC 中,AB =1,BC =2,∠ABC =π3,由余弦定理得AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos ∠ABC =1+4-2×1×2cos π3= 3.故AB 2+AC 2=BC 2,所以AB ⊥AC .而PA ∩AB =A ,且AB ,PA ⊂平面PAB ,所以AC ⊥平面PAB . 20.证明:(1)如图,连接DB ,可知B ,N ,D 共线,且AC ⊥DN . 又∵FD ⊥AD ,FD ⊥CD ,AD ∩CD =D ,∴FD ⊥平面ABCD . 又∵AC ⊂平面ABCD ,∴FD ⊥AC . 又∵DN ∩FD =D ,∴AC ⊥平面FDN . 又GN ⊂平面FDN ,∴GN ⊥AC . (2)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC .证明:取FC中点H,连接GH,GA,MH.∵G是DF的中点,∴GH綊12CD.∵M是AB的中点,∴AM綊12CD.∴GH綊AM,∴四边形GHMA是平行四边形.∴GA∥MH.又∵MH⊂平面FMC,GA⊄平面FMC,∴GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.(2)解:取BC中点E,过点D作DF⊥B1C于点F,连接EF,ED.因为D是AB中点,所以DE∥AC,又AC⊥平面BB1C1C,所以DE⊥平面BB1C1C.又因为BC1⊂平面BB1C1C,所以B1C⊥DE.而DF⊥B1C且DE∩DF=D,所以B1C⊥平面DEF,EF⊂平面DEF,所以B1C ⊥EF,所以∠EFD是二面角D-CB1-B的平面角.因为AC=3,BC=4,AA1=4,所以在△DEF中,DE⊥EF,DE=32,EF=2,所以tan∠EFD=DEEF=322=324.所以二面角D-CB1-B的正切值为32 4.。
2018-2019学年上学期第一次月考(10月)高二数学试题(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线10x -=的倾斜角为( ) A 30︒ B 60︒ C 120︒ D 150︒ 2.若直线1x ya b-=过第一、三、四象限,则( ) A .a<0,b<0 B .a<0,b>0 C .a>0,b>0 D .a>0,b<0 3.下列说法正确的是( )A .若直线a 与平面α内无数条直线平行,则a ∥αB .经过两条异面直线中的一条,有一个平面与另一条直线平行C .平行于同一平面的两条直线平行D .直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面4.已知点(1,2)A 、(3,1)B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A 524=+y x B 524=-y x C 52=+y x D 52=-y x 5.直线:(2)(1)60l x y λλ-+++=,则直线l 恒过定点( )A. (2,2)-B. (2,2)-C. (2,1)-D. (1,2)- 6.经过点M (2,2)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A .x+y=4B .x+y=2或x=yC .x=2或y=2D .x+y=4或x=y7.如图,E 为正方体的棱AA 1的中点,则1C E 与平面11ABB A 所成角的正弦值是( )A .5B .3C .23D .258.已知坐标平面内三点P(3,-1),M(6,2),N (,直线l 过点P.若直线l 与线段MN 相交,则直线l 的倾斜角的取值范围( )A 045,150⎡⎤⎣⎦ B 045,135⎡⎤⎣⎦ C. 060,120⎡⎤⎣⎦ D 030,60⎡⎤⎣⎦ 9.在正三棱柱111ABC A B C -中,若12,1AB AA ==,则点A 到平面1A BC 的距离为( )A10.已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长都相等,E 是SB 的中点,则AE ,SD 所成角的正弦值为( ) A132311.如图,以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①;②∠BAC=60°;③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥; ④平面ADC 和平面ABC 的垂直. 其中正确的是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 12.如图,∠C=,AC=BC ,M 、N 分别是BC 、AB 的中点,将△BMN 沿直线MN 折起,使二面角B′﹣MN ﹣B的大小为,则B'N 与平面ABC 所成角的正切值是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷二、 填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13. 已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行,则实数m 的值为____________ 14..已知点(2,3),(3,2)A B ---,设点(,)x y 在线段AB 上(含端点),则11y x --的取值范围是___________ 15.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________. 16.如图,将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,使得C 点至C′,E 点在线段AC′上,若二面角A ﹣BD ﹣E 与二面角E ﹣BD ﹣C′的大小分别为15°和30°,则B ’= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)三角形的三个顶点为()()()3,0,5,6,0,4C B A (1)求BC 边上高所在直线的方程; (2)求BC 边上中线所在直线的方程.18.(本小题满分12分)光线通过点)3,2(A ,在直线01:=++y x l 上反射,反射光线经过点)1,1(B . (Ⅰ)求点)3,2(A 关于直线l 对称点的坐标; (Ⅱ)求反射光线所在直线的一般式方程.19.(满分12分)在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,SD ⊥底面ABCD,SD=2,其中N M 、分别是SC AB 、的中点,P 是SD 上的一个动点.(1)当点P 落在什么位置时,AP ∥平面SMC ,证明你的结论; (2)求三棱锥NMC B -的体积.20.(12分)已知直线:120()l kx y k k R -++=∈. (Ⅰ)若直线不经过第四象限,求k 的取值范围;(Ⅱ)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ,求AOB ∆的面积的最小值并求此时直线l 的方程; (III)已知点(1,5)P ,若点P 到直线l 的距离为d ,求d 的最大值并求此时直线l 的方程.21.在三棱锥P ABC -中,PC ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,D 是PB 的中点.(1)求证:AB PB ⊥;(2)若AB BC PC ==,求直线AD 与底面ABC 所成角的正弦值22.如图,四面体ABCD 中, ABC ∆是正三角形, ACD ∆是直角三角形, ABD CBD ∠=∠,AB BD =. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;(2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D ACE --的大小。
江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题理一、 选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1. 若(3)(1)i z m m =++-对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( )A.(31)-,B.(13)-,C.(1,)∞+D.(3)∞--,2. 若'0()3f x =-,则000()(3)limh f x h f x h h→+--=( )A .3-B .6-C .9-D .12- 3. 函数)(x f 的定义域为区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象 如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个4. 已知()y f x =的导函数为()y f x '=,且在1x =处的切线方程为3y x =-+,则 ()()11f f '-=( )A. 2B. 3C. 4D. 5 5. 函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程为( )A. )1(-=x e yB. )1(2-=x e yC. 1-=ex yD. e x y -= 6. 一物体沿直线以速度32)(-=t t v (单位:s m /)作变速直线运动,则该物体从时刻0=t 秒至时刻5=t 秒间运动的路程为( ).7. 若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( )A. )31,(-∞B. ),31(+∞ C. ⎥⎦⎤-∞31,( D. ),31+∞⎢⎣⎡8. 用总长为m 8.14的钢条制作一个长方体容器的框架,若容器底面的长比宽多m 5.0,要使它的 容积最大,则容器底面的长为( )A. m 2B. m 5.1C. m 2.1D. m 19. 将)(x f y =和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能...正确的是( )10. 已知函数)(x f y =))2,0((π∈x ,)(x f y '=是其导函数,恒有x x f x f tan )()('<,则( )A.)3(2)4(3ππf f <B. )3(2)4(3ππf f > C. 1sin )6(2)1(πf f < D. )4()6(2ππf f >11. 设函数53)(23+---=a ax x x x f ,若存在唯一的正整数0x ,使得0)(0<x f ,则实数a 的取值范围为( )A. )31,0( B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2331, C. ⎥⎦⎤45,31( D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2345,12. 已知函数1)()()(2+-=x kf x f x g 恰有四个不同的零点,当函数xe x xf 2)(=时,实数k 的取值范围为( )A. ),2()2,(+∞⋃--∞B. )2,82e ( C. )44222e e +,( D.),44(22+∞+e e二、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13. 已知ii z 4331+-=(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为 .14. 已知函数)(x f 的导函数为)(x f ',且满足)2(23)(2f x x x f '+=,则=')5(f . 15. 在平面直角坐标系中,记抛物线2x x y -=与x 轴所围成的平面区域为M ,该抛物线与直线)0(>=k kx y 所围成的平面区域为A ,向区域M 内随机抛掷一点P ,若点P 落在区域A 内的概率为278,则k 的值为 . 16. 函数x x x f ln )(=、x x f x g )()('=,给定下列命题:)1(不等式0)(>x g 的解集为),1(+∞e;)2(函数)(x g 在),0(e 上单调递增,在),(+∞e 上单调递减; )3(若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点,则)1,0(∈a ;)4(若021>>x x 时,总有)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立,则1≥m . 其中正确命题的序号为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤)17. 已知复数i a a a a a z )65(1124222--+---= (a ∈R ), 试求实数a 分别取什么值时,z 分别为:(1)实数; (2)纯虚数.18. 已知抛物线x y -=2与直线:l )1(+=x k y 相交于A 、B 两点,点O 为坐标原点 .(1)求⋅的值; (2)若OAB ∆的面积等于45,求直线l 的方程.19. 曲线43)(2++=bx ax x f 在0=x 处取得极值,且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线垂直 于直线0942=-+y x .(1)求曲线)(x f y =与直线0942=-+y x 所围成图形的面积;(2)求经过点)49,1(--P 的曲线)(x f y =的切线方程.20. 如图,在直棱柱1111D C B A ABCD -中,BC AD //,090=∠BAD ,BD AC ⊥,1=BC ,31==AA AD .(1)求异面直线BD 与1AD 所成的角的余弦值; (2)求直线11C B 与平面1ACD 所成角的正弦值.21. 已知函数xa x x f -=ln )(. (1)若0>a ,试判断函数)(x f 在定义域内的单调性; (2)若函数)(x f 在[]e ,1上的最小值为23,求实数a 的值.22. 已知函数211)1(1)(++=⎰+x dt tax f x ()1x >- . (1)若)(x f 在1x =处有极值,问是否存在实数m ,使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈- 及[]1,1t ∈-恒成立? 若存在,求出m 的取值范围;若不存在, 请说明理由.()Λ71828.2=e ;(2)若1=a ,设x x x f x F -+-=2)1()()(. ① 求证:当0>x 时,0)(<x F ;② 设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++,求证:ln 2n a >(所有答案写在答题卡上)2021届高二下学期第一次月考数学参考答案(理) 一、选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分)二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13. 258-14. 6 15.3116. )4)(1( 三、解答题:(本大题6小题,共70分,解答写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解:(1)当z 为实数时,0652=--a a 且012≠-a ∴6=a(2)当z 为纯虚数时,有⎪⎩⎪⎨⎧=---≠--01124065222a a a a a ∴2-=a18.解:(1) 设()121,y y A - ,()222,y y B - 由题意可知:0≠k ∴ 1+-=ky x 联立x y -=2得: 02=-+k y ky 显然:0>∆ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=+112121y y k y y∴ 011()()(2212221=)+-=⋅+-⋅-=•y y y y OB OA(2)Θ 41214)(2112122122121+=-+=-⋅⋅=∆ky y y y y y S OAB∴4541212=+k 解得:32±=k ∴ 直线l 的方程为:0232=++y x 或0232=+-y x19. 解:Θ b ax x f +=2)('∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==2)1(0)0(''f f ⇒⎩⎨⎧==01b a ∴ 43)(2+=x x f∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+==-+4309422x y y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=32311y x ⎪⎩⎪⎨⎧==47122y x (1)dx x x S ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=1232)43()4921(=48125231)234131(23=-+--x x x(2)设切点为)43,(200+x x Θ x x f 2)('= ∴ 02x k =∴ 所求切线方程为:)(2)43(0020x x x x y -=+-代入)49,1(--P 可得:10=x 或 30-=x∴ 所求切线方程为:0148=--y x 或033424=++y x20. 解:(1) 易知AB ,AD ,AA 1两两垂直.如图2建立空间直角坐标系.设AB =t ()0>t ,则各点的坐标为:A (0,0,0),B (t,0,0),B 1(t,0,3),C (t,1,0),C 1(t,1,3),D (0,3,0),D 1(0,3,3).从而AC u u u r =(t,1,0),BD u u u r=(-t,3,0).因为AC ⊥BD , 所以AC u u u r ·BD u u u r =-t 2+3+0=0.解得: 3=t 或 3-=t (舍去)∴BD u u u r=(,而1(0,3,3)AD =u u u u r111cos ,||||BD AD BD AD BD AD =u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u rg ==∴ 异面直线BD 与1AD 所成角的余弦值为46.(2) 由(1)可知,1AD u u u u r =(0,3,3),AC u u u r =(3,1,0),11B C u u u u r=(0,1,0).设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量,则:⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →=0,n ·AD 1→=0,即⎩⎨⎧3x +y =0,3y +3z =0.令x =1,则n =(1,-3,3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则:sin θ=|cos 〈n ,11B C u u u u r 〉|=|n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→||=37=217∴ 直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.21. 解: (1) 由题意知,)(x f 的定义域为()∞+,0,且0,1)(22'>+=+=a xax x a x x f显然0)('>x f ,故)(x f 在()∞+,0上是单调递增函数. (2) 由(1)可知,2')(xa x x f +=. ① 若1-≥a ,则当()e x ,1∈时,0>+a x ,即0)('>x f ,故)(x f 在[]e ,1上为增函数,∴ 23)1()(min =-==a f x f , ∴23-=a (舍去).② 若e a -≤,则当),1(e x ∈时,0<+a x ,即0)('<x f ,∴ )(x f 在[]e ,1上为减函数, ∴ 231)()(min =-==e a e f x f , ∴ 2ea -=(舍去). ③ 若1-<<-a e ,令0)('=x f ,得a x -=,当a x -<<1时,0)('<x f , ∴ )(x f 在)1a -,(上为减函数; 当e x a <<-时,0)('>x f ,∴ )(x f 在),(e a -上为增函数.∴ 231)ln()()(min =+-=-=a a f x f , ∴ e a -=. 综上所述,e a -=.22. 解:(1)Θ2()ln(1)(1)f x a x x =+++, ∴'()221af x x x =+++. 由'(1)0f =,可得2202a++=,8a =-. 经检验: 当8a =-时,函数()f x 在1x =处取得极值,所以8a =-.∵11e <-,'8()221f x x x -=+++2(1)(3)1x x x -+=+.()0,f x '∴>当[]e e x ,1-∈时,2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立, 即: 22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+,即: :2260m tm e ++-≤对[]1,1t ∈-恒成立,令2()6g t m mt =+-, (1)0,(1)0g g ⇒-≤≤ 解得:22m -≤≤为所求.(2)① ∵x x x x x f x F -+=-+-=)1ln()1()()(2∴01)(<+-='xx x F ∴)(x F 在),0(+∞上单调递减 0)0()(=<∴F x F② 由①可得: ln(1)(0),x x x +<>令:11+=k x ,得: 11ln(1)11k k +<++ 即: )12ln(11++>+k k k ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=2ln。
奉新一中2018届高二上学期第一次月考数学(理)试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.)1.某公司共有1000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,已告知广告部门被抽取了 4个员工,则广告部门的员工人数为( ) A .30 B .40 C .50 D .602.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为A.8B.10C. 12D. 16 3. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( )A .2-B .21 C .3 D .31- 4.从甲乙两个城市分别随机抽取15台自动售货机,对其销售额进行统计,用茎叶图表示(如图所示),设甲,乙两组数据的平均数分别为12,x x ,中位数分别为12,m m ,则( )A.1212,x x m m <<B.1212,x x m m <>C.1212,x x m m >>D.1212,x x m m >< 5.已知两定点A(-3,5),B(2,15),动点P 在直线3x-4y +4=0上,则PA +PB 的最小值为( ) A .513 B .362 C .155 D .5+1026.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22C ”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数): ①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;6 58 8 4 0 0 7 5 2 8 0 0 3 10 20 2 3 3 7 1 2 4 4 8 2 3 80 1 2 3 4甲 乙②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有( )A .①②③B .①③C .②③D .①7.设点A (-2,3),B (3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB 没有交点,则a 的范围是( ) A.(-∞,-52]∪[43,+∞) B.(-∞,-43]∪[52,+∞) C.[- 52,43] D.(- 43,52) 8.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件:①两球都不是白球;②两球恰有一白球;③两球至少有一个白球中的哪几个?( ) A .①② B .①③ C .②③ D .①②③9.将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级,每班至少1人,则甲、乙被分到同一个班的概率为( ) A.B.C.D.10. 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如图所示,则△ABO 的面积的最小值为( ).A.6B.12C.24D.1811.对任意实数λ,直线l 1:x +λy -m -λn =0与圆C :x 2+y 2=r 2总相交于两不同点,则直线l 2:mx +ny =r 2与圆C 的位置关系是( )A .相离B .相交C .相切D .不能确定12.在平面直角坐标系xoy 中,已知向量a ,b,a =b =1,0=⋅b a ,点Q 满足=()+2,曲线C={}πθθθ20,sin cos |<≤+=P ,区域Ω={P|0<r≤≤R,r<R},若C ⋂Ω为两段分离的曲线,则( )A.31<<<R rB.R r ≤<<31C.31<<≤R rD.R r <<<31 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13. 已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=,根据中间两组数据(4,3)和(5,4)求得的直线方程为a bx y +=,则b b ____ ,a a ____.(填“>”或“<”)附:回归直线方程y bx a =+中:()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑14. 已知直线260x a y ++=与直线()2320a x ay a -++=平行,则a 的值为_______15. 有下列四个命题:①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b ≤-1,则方程x 2-2bx +b 2+b =0有实根”的逆否命题; ④“若A ∪B =B ,则A ⊇B ”的逆否命题. 其中真命题是_____________16. a ,b ,c ,d 四封不同的信随机放入A ,B ,C ,D 四个不同的信封里,每个信封至少有一封信,其中a 没有放入A 中的概率是三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分10分)从某学校高二年级共800名男生中随机抽取50人测量身高.据测量,被测学生身高全部介于155cm 到195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160);第二组[160,165);…;第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.(1)求第六组、第七组的频率并估计这所学校高二年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数;(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人,记他们的身高分别为x 、y ,求满足“|x ﹣y|≤5”的事件的概率.18. (本题满分12分)△ABC 中,A(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0. (1) 求直线AB 的方程; (2) 求直线BC 的方程;19. (本小题满分12分)某地汽车站在10:6~00:6内任何时刻发出第1班车,在20:6~10:6任何时刻发出第2班车,某人在20:6~00:6的任何时刻到达车站是等可能的,求此人乘坐前2班车的概率20. (本小题满分12分)已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <.(1)若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点,且MN ,求m 的值;(2)在(1)条件下,是否存在直线02:=+-c y x l ,使得圆上有四点到直线l ,若存在,求出c 的范围,若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中,以O 为圆心的圆与直线x -3y =4相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点,圆内的动点P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求PA →·PB →的取值范围.22.(本小题满分12分)已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.奉新一中2018届高二上学期第一次月考数学(理)试卷答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) CBAAA BDABB AA二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13. ><, 14.01或- 15. ()()31 16. 43 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17. (本题满分10分)【解答】解:(1)由频率分布直方图得:前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82, 后三组频率为1﹣0.82=0.18,人数为0.18×50=9,∴高二年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为800×0.18=144.....2分 由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04,人数为0.04×50=2, 设第六组人数为m ,则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m , 又m+2=2(7﹣m ),解得m=4,所以第六组人数为4, 第七组人数为3,频率分别等于0.08,0.06........5分(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4,设为a 、b 、c 、d ,身高在[190,195]内的人数为2,设为A 、B ,若x ,y ∈[180,185)时,有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共6种情况;若x ,y ∈[190,195]时,有AB 共1种情况;若x ,y 分别在[180,185)和[190,195]内时,有aA 、bA 、cA 、dA 、aB 、bB 、cB 、dB ,共8种情况.所以基本事件总数为6+1+8=15, (8)事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7, ∴P(|x ﹣y|≤5)=. (10)18. (本题满分12分) (1)直线AB 的斜率为2,∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ,…………6分(2) 由⎩⎨⎧=-+=+-032012y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==221y x即直线AB 与AC 边中线BE 的交点为B(21,2) 设C(m ,n),则由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧=-++⋅=-+032122042n m n m 解得; ⎩⎨⎧==12n m , ∴C(2,1)∴所以BC 边所在的直线方程为0732=-+y x ;…………………12分 19. (本小题满分12分)图中阴影部分为该乘客没有赶上前2班车。
奉新县第一中学(zh ōngxu é)2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理一、选择题:(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分。
)1.在△ABC 中,B =45°,C =60°,c =1,那么最短边的边长等于( ) A.63 B.62 C.12D.322.以下不等式中正确的选项是( ) A .a +4a≥4B .a 2+b 2≥4ab C.ab ≥a +b2D .x 2+3x2≥2 33.以下各组向量中,可以作为基底的是( )A .e 1=(0,0),e 2=(1,-2)B .e 1=(-1,2),e 2=(5,7)C .e 1=(3,5),e 2=(6,10)D .e 1=(2,-3),e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-344.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A .一定平行B .一定异面C .相交或者异面D .一定相交5.假如a >b ,那么以下各式正确的选项是( )A .a ·lg x >b ·lg xB .ax 2>bx 2C .a 2>b 2D .a ·2x>b ·2x6.设数列{a n }是公差为-2的等差数列,假如a 1+a 4+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99等于( )A .-182B .-78C .-148D .-827.假设α是第四象限角,tan α=-512,那么sin α等于( )A .15B .-15C .513D .-5138.设实数(shìshù)x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,那么z =3x -2y 的最小值为( )A .-2B .1C .8D .139.△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,假设向量m =(a ,3b )与n =(cos A ,sin B )平行,那么A =( )A .π6B .π3C .π2D .2π310.如图是正方体的平面展开图,那么在这个正方体中,以下判断正确的选项是 ( )A.平面BME ∥平面ACN ∥CN ∥平面EFD 与AN 相交11.在各项均为正数的等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,假设S 4=11,S 8=187,那么公比q 的值是( )A .±2B .2C .-4D .412.如图,在△ABC 中,∠BAC =π3,AD →=2DB →,P 为CD 上一点,且满足AP →=mAC →+12AB →,假设△ABC 的面积为23,那么|AP →|的最小值为( )A . 2B .43C .3D . 3二、填空题(本大题一一共4小题(xi ǎo t í),每一小题5分,一共20分〕.13.向量AC →,AD →和AB →在正方形网格中的位置如下图,假设AC →=λAB →+μAD →,那么λμ=14.a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,假设a =3,C =120°,△ABC 的面积S =1534,那么c = .15.假设关于x 的不等式mx 2-mx +1<0的解集不是空集,那么m 的取值范围是 . 16.函数f (x )=(13)x -|sin2x |在[0,5π4]上零点的个数为三:解答题(本大题一一共6小题,一共70分.10+12+12+12+12+12=70解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17.如下图,A 是△BCD 所在平面外的一点,E ,F 分别是BC ,AD 的中点。
江西省奉新县第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.1.若直线l 与直线3x +y +8=0垂直,则直线l 的斜率为( )A .﹣3B .﹣31C .3D .31 2.若实数a 、b 满足条件a >b ,则下列不等式一定成立的是( )A .a 1<b 1B .a 2>b 2C .ab >b 2D .a 3>b 33.等差数列{}n a 中11233,21a a a a =++=,则345a a a ++=( )A .45B .42 C. 21 D .844.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,异面直线AC 与C 1D 所成的角为( )A .6πB .3πC .4πD .2π 5.若x ,y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x ,则z =x +2y 的最大值为( )A .0B .1C .23 D .2 6.《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示(网格纸上正方形的边长为1),则该“堑堵”的表面积为( )A .8B .16+82C .16+162D .24+1627.已知数列1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则212b a a -的值是( )A .21B .﹣21C .21或﹣21D .41 8.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且n n B A =335++n n ,则55b a 的值为( )A .2B .27C .4D .59. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan A =21,B =6π,b =1,则a 等于( )A . 552B .1C .5D .2510.设S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1=1,S n =2S n ﹣1+n ﹣2(n ≥2),则a 2017等于( ) A .22016﹣1 B .22016+1 C .22017﹣1 D .22017+111.设定点A (3,1),B 是x 轴上的动点,C 是直线y =x 上的动点,则△ABC 周长的最小值是( )A .5B .25C .35D .1012.在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,A=,且bcosC=3ccosB ,则的值为( )A .B .C .D . 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 13在ABC ∆中,若sin :sin :sin 3:4:6A B C =,则cos B = .14.已知a >0,b >0,a +2b =3,则a 2+b1的最小值为 . 15.过点P (3,1)作直线l 将圆C :x 2+y 2﹣4x ﹣5=0分成两部分,当这两部分面积之差最小时,直线l 的方程是 .16.如图是正四面体的平面展开图,G ,H ,M ,N 分别为DE ,BE ,EF ,EC 的中点,在这个正四面体中,①GH 与EF 平行;②BD 与MN 为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是________.三、解答题:本大题共6小题,17题10分,18~22题12分,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{a n}满足a3=3,前6项和为21.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=n a3,求数列{b n}的前n项和T n.18.已知圆C的圆心在直线4x+y=0上,且与直线x+y﹣1=0相切于点P(3,﹣2).(1)求圆C的方程;(2)过圆内一点P(2,﹣3)的直线l与圆交于A、B两点,求弦长AB的最小值.19.已知△ABC的顶点A(2,4),∠ABC的角平分线BM所在的直线方程为y=0,AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0.(1)求AC所在的直线方程;(2)求顶点C的坐标.20.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点.(1)证明EF∥平面PAC.(2)证明平面PCG ∥平面AEF .(3)在线段BD 上找一点H ,使得FH ∥平面PCG ,并说明理由.21.已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且c sin A =3a cos C . (1)求角C 的大小;(2)若c =2,求△ABC 的面积的最大值.22.已知等比数列{a n }满足a 1=2,a 2=4(a 3﹣a 4),数列{b n }满足b n =3﹣2log 2a n .(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)令c n =nn a b ,求数列{c n }的前n 项和S n ; (3)若λ>0,求对所有的正整数n 都有2λ2﹣kλ+2>a 2n b n 成立的k 的取值范围.N FE C B APGD参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.B5.D6.D7.A8.C9.A 10.A 11.B 12.B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.13.293614..15.04=-+yx16.234三、解答题:本大题共6小题,17题10分,18~22题12分,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.【解答】解:(1)∵等差数列{a n}满足a3=3,前6项和为21,∴,解得a1=1,d=1,∴a n=1+(n﹣1)×1=n.(2)b n=3=3n,∴数列{b n}的前n项和:T n=3+32+33+ (3)==.18.【解答】解:(1)过切点且与l:x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5,与y=﹣4x联立可求得圆心为C(1,﹣4),∴r==2∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y+4)2=8;(2)当CP⊥AB,即P为AB中点时,弦长AB最小CP=.弦长AB的最小值为2.19.【解答】解:(1)∵AC边上的高BH所在的直线方程为2x+3y+12=0,,则AC所在直线的斜率为,∵A(2,4),∴AC所在直线方程为y﹣4=,即3x﹣2y+2=0;(2)∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0.联立,解得B(﹣6,0).∴AB所在直线方程为,即x﹣2y+6=0.设C(m,n),则C关于y=0的对称点为(m,﹣n),则,解得m=﹣2,n=﹣2.∴顶点C的坐标为(﹣2,﹣2).20.(1)证明:∵E、F分别是BC,BP中点,∴12EF PC∥,∵PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,∴EF∥平面PAC.(2)证明:∵E、G分别是BC、AD中点,∴AE CG∥,∵AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,∴AE∥平面PCG,又∵EF PC∥,PC⊂平面PCG,EF⊄平面PCG,∴EF∥平面PCG,AE EF E=点,AE,EF⊂平面AEF,∴平面AEF∥平面PEG.(3)设AE,GC与BD分别交于M,N两点,易知F,N分别是BP,BM中点,∴12FN PM∥,∵PM⊂平面PGC,FN⊄平面PGC,∴FN∥平面PGC,即N点为所找的H点.21.解:(1)∵csinA=acosC,∴由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC结合sinA>0,可得sinC=cosC,得tanC=∵C是三角形的内角,∴C=60°;(2)∵c=2,C=60°,∴由余弦定理可得:4=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab,当且仅当a=b时等号成立,∴S△ABC=absinC≤=,当且仅当a=b时等号成立,即△ABC的面积的最大值为.22.【解答】解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,∵a1=2,a2=4(a3﹣a4),∴a2=4a2(q﹣q2),化为:4q2﹣4q+1=0,解得q=.∴a n==22﹣n.∴b n=3﹣2log2a n=3﹣2(2﹣n)=2n﹣1.(2)c n===.∴数列{c n}的前n项和S n=[2+3•22+5×23+…+(2n﹣1)•2n],∴2S n=[22+3•23+…+(2n﹣3)•2n+(2n﹣1)•2n+1],∴﹣S n==,可得:S n=.(3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2n b n,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n•(2n﹣1),令d n=22﹣2n•(2n﹣1),则d n+1﹣d n=﹣==<0,因此d n+1<d n,即数列{d n}单调递减,因此n=1时d n取得最大值d1=1.∵对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2>a2n b n成立,∴2λ2﹣kλ+2>1,∵λ>0.∴k<2,∵2≥2=2,当且仅当λ=时取等号.∴.即k的取值范围是.。
2020届高二上学期期末考试数学(理)试卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
)1.用反证法证明“自然数a,b,c 中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于( ) A.a,b,c 中没有偶数 B.a,b,c 中恰好有一个偶数 C.a,b,c 中至少有一个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数2.函数的导数为( )A .B .C .D .3.执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =( )A .2B .3C .4D .54.下列命题中正确的个数是 ( )①命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的逆否命题为“若1≠x , 则0232≠+-x x ; ②“0≠a ”是“02≠+a a ”的必要不充分条件; ③若q p ∧为假命题,则p ,q 为假命题;④若命题1,:0200++∈∃x x R x p <0 ,则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p . A. 1 B.3 C. 2 D.4 5.已知直线与直线垂直,则的值为 ( )A . 0B . 1C .D . 6. 若一组数据的方差为1,则的方差为( )A .1B .2C .4D .87.设n m l ,,表示三条不同的直线,γβα,,表示三个不同的平面,下列四个命题正确的是( )A.若βα⊥⊥⊥m l m l ,,,则βα//B.若β⊂m ,n 是l 在β内的射影,n m ⊥,则l m ⊥C.若m 是平面α的一条斜线,α∉A ,l 为过A 的一条动直线,则可能有α⊥⊥l m l 且D.若γαβα⊥⊥,,则βγ// 8.已知为实数,直线,,则“”是“”的( )A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件9.在区间[0,1]上任取两个数a ,b ,则函数f (x )=x 2+ax +b 2无零点的概率为( )A .12B .23C .34D .1410. 已知点及抛物线24x y =上的动点,则的最小值是( ) A .2 B .3 C .4 D .11.设双曲线C:的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( )A . 2B .C .D . 412.已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线为切点,则直线经过定点.( )A .B .C .D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数在点处的切线方程是__________.14.甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概率分别为,,,那么三人中恰有两人合格的概率是 .15.观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……,根据上述规律,第n 个等式为_______ .16.已知三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,,CD BC ⊥,4==CD BC,32==AD AB 则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为______.三:解答题(本大题共6小题,共70分.10+12+12+12+12+12=70解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 为增强学生的环保意识,让学生掌握更多的环保知识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分100分)作为样本(样本容量为)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据),如下图所示.(1)求样本容量和频率分布直方图中,的值;(2)在[60,70),[70,80),[80,90)内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩,求应抽取成绩在[70,80)内的学生的人数;(3)在(2)的条件下,从这8名学生中随机抽取2名学生到某广场参加环保知识宣传活动,记“抽取的两名学生中成绩在[60,70)内的至多有1人”为事件,求.18.设命题:p 实数x 满足:03422<+-a ax x ,其中0>a .命题:q 实数x 满足121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x ,其中()2,1∈m(1)若41=a ,且q p ∧为真,求实数x 的取值范围; (2)p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.在等比数列{a n }中,a 3=,S 3=. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2,且{b n }为递增数列,若c n =,求证:c 1+c 2+c 3+…+c n <.20.如图所示,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为菱形, PAD ∆为正三角形,且,E F分别为,AD AB 的中点, PE ⊥平面ABCD , BE ⊥平面PAD .(1)求证: BC ⊥平面PEB ;(2)求EF 与平面PDC 所成角的正弦值.21.已知圆C :.(1)若直线在y 轴上的截距为0且不与x 轴重合,与圆C 交于,试求直线:在x 轴上的截距;(2)若斜率为1的直线与圆C 交于D,E 两点,求使面积的最大值及此时直线的方程.22.设,分别是椭圆C :的左、右焦点,过且斜率不为零的动直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.1求的周长;2若存在直线l ,使得直线,AB ,与直线分别交于P ,Q ,R 三个不同的点,且满足P ,Q ,R 到x 轴的距离依次成等比数列,求该直线l 的方程.2020届高二上学期期末考试数学参考答案(理) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
江西省奉新县一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
) 1.下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )A .平行于同一平面的两个平面一定平行B .平行于同一直线的两条直线一定平行C .垂直于同一直线的两条直线一定平行D .垂直于同一平面的两条直线一定平行 2.若经过A (4,2y +1),B (2,−3) 两点的直线的倾斜角为135°,则y =( )A .−1B .−3C .0D .23.已知直线PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面,C 为圆上异于A ,B 的任一点,则下列关系中不正确的是( )A .PA ⊥BCB .BC ⊥平面PAC C .AC ⊥PBD .PC ⊥BC4.圆O 1:(x+2)2+y 2=4与圆O 2:(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离5.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为( )A.π28B.π24C.π4D.π86.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱7.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C. 45 D.358.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a =( ).D 1C 1B 1DBCAA 1A.43-B.34-9. 与直线平行且与圆相切的直线的方程是( ).A .250x y ++=或250x y +-= B.20x y +=或20x y += C .250x y -+=或250x y --= D.20x y -=或20x y -=10.已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形,则此四棱锥的体积为( )A .2 2B .6 2C .1 D. 211.若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点,则( ) A .221a b +≤ B .221a b +≥ C .2211a b +≥1 D .22111a b+≤12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SA ⊥平面ABC ,SA =23,AB =1,AC =2,∠BAC =60°,则球O 的体积为( )A .4π B.163π C.323π D .12π二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)14.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线l :x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为 .15.已知点P 在圆22=1x y +上,点A 的坐标为()2,0-,O 为原点,则AO AP ⋅的最大值为________.16.α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β; ②如果m⊥α,n ∥α,那么m⊥n; ③如果α∥β,m ⊂α,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号).225x y +=210x y ++=三:解答题(本大题共6小题,共70分.10+12+12+12+12+12=70解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.求经过两直线1:240l x y-+=和2:20l x y+-=的交点P,且与直线3:3450l x y-+=垂直的直线的方程.18.求与点P(4,3)的距离为5,且在两坐标轴的截距相等的直线方程.19.已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.20.已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),且圆心C 在直线x +3y -15=0上.(1)求圆C 的方程;(2)设点Q (-1,m )(m >0)在圆C 上,求△QAB 的面积.21.如图,在直角梯形ABCP 中,CP ∥AB ,CP ⊥CB ,AB =BC =12CP =2,D 是CP 中点,将△PAD 沿AD 折起,使得PD ⊥面ABCD .(1)求证:平面PAD ⊥平面PCD ;(2)若E 是PC 的中点,求三棱锥A PEB 的体积.22.已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ,B .(1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.江西省奉新县一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学(理)试题参考答案一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
)CBCBD CCAAA CC二:填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 14.(x -2)2+(y +2)2=1 15.6 16 . ②③④三:解答题(本大题共5小题, 12+12+12+12+12=60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17.解:由方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得02x y =⎧⎨=⎩即()0,2P .......5分∵3l l ⊥,∴43l k =-,. 。
8分 ∴直线的方程为423y x -=-,即4360x y +-=. 。
10分18.解:设所求直线方程为y =kx 或x a +ya=1(a ≠0) .。
3分 对于y =kx,5=|4k -3|k 2+-2,9k 2+24k +16=0,解之得k =-43. 。
6分对于x +y =a,5=|4+3-a |12+12, 解之得a =7+52或7-5 2.。
9分故所求直线方程为y =-43x 或x +y -7-52=0或x +y -7+52=0..。
12分19. 如图,在△ABC 中,过C 作CD ⊥AB ,垂足为D .由AC =3,BC =4,AB =5,知AC 2+BC 2=AB 2,则AC ⊥BC . ∵BC ·AC =AB ·CD ,∴CD =125, 记为r =125,那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥,且底半径r =125,母线长分别是AC =3,BC =4, ......4分(1,2,1)所以S 表面积=πr ·(AC +BC )=π×125×(3+4)=845π, 。
8分V =13πr 2(AD +BD )=13πr 2·AB =13π×2512⎪⎭⎫⎝⎛×5=485π. 。
12分 20.解:(1)依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y -15=0的交点, ∵AB 中点为(1,2),斜率为1,∴AB 垂直平分线方程为y -2=-(x -1), 即y =-x +3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +3,x +3y -15=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =6.即圆心C (-3,6), 。
2分 半径r =4+36=210, 。
4分所求圆C 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40.或为x 2+y 2+6x -12y +5=0. 。
6分 (2)点Q (-1,m )(m >0)在圆C 上,∴m =12或m =0(舍去), .。
9分|AQ |=12,点B 到直线AQ 的距离为4.所以△QAB 的面积为24. 。
12分 21.解:(1) 证明:∵PD ⊥底面ABCD ,∴PD ⊥AD . 又由于CP ∥AB ,CP ⊥CB ,AB =BC ,∴ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD , 。
2分 又PD ∩CD =D ,故AD ⊥平面PCD, 。
4分 ∵AD ⊂平面PAD ,∴平面PAD ⊥平面PCD .。
6分 (2)∵AD ∥BC ,又BC ⊂平面PBC ,AD ⊄平面PBC , ∴AD ∥平面PBC ,∴点A 到平面PBC 的距离即为点D 到平面PBC 的距离 . 。
8分 又∵PD =DC ,E 是PC 的中点,∴DE ⊥PC .由(1)知有AD ⊥平面PCD ,∴AD ⊥DE .由题意得AD ∥BC ,故BC ⊥DE . 于是,由BC ∩PC =C ,可得DE ⊥平面PBC . ∴DE =2,PC =22, 又∵AD ⊥平面PCD ,∴AD ⊥CP , ∵AD ∥BC ,∴CP ⊥BC ,∴S △PEB =12S △PBC =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×BC ×PC =2, 。
10分∴V A PEB =V D PEB =13×DE ×S △PEB =23. 。
12分22.解析 (1)由22650x y x +-+=得()2234x y -+=,所以圆1C 的圆心坐标为()3,0; 。
3分 (2)设(),M x y .因为点M 为弦AB 中点,即1C M AB ⊥, 所以11C M AB k k =-, 即13y yx x=--,所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为。
。
7分 (3)由(2)知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心, 32r =为半径的部分圆弧EF (不包括两端点),即53E ⎛ ⎝⎭,5,3F ⎛ ⎝⎭. 又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ,当直线l 与圆C32=得34k =±. 。
9分又05743DEDFkk ⎛- ⎝⎭=-=-=-,所以当3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时, 直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点. 。
12分)335(49)23(22≤<=+-x y x。