福建省福州市八县一中2017-2018学年高一数学下学期期末联考试题

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高一数学下学期期末联考试题完卷时间:120分钟 满 分:150分参考公式：球的表面积公式：24S r π=,∑∑∑∑====Λ--=---=ni ini ii ni ini iixn xyx n y x x x y yx x b 1221121)())((,x b y a ΛΛ-=一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.直线03=-+y x 的倾斜角是( )A.30B. 45C.135 D.1502.某校有高一学生450人,高二学生480人。

为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ) A 。

15 B 。

61 C 。

30 D.313.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球" B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球" D ．“至少有一个黑球”与“都是红球"4.设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m //α，n //α，则m n // ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是 ( ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 5。

已知直线012:1=-+y ax l ，直线028:2=-++a ay x l，若21//l l ，则直线1l 与2l 的距离为（ ） A ．55 B ．552 C ．554 D ．56。

将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认，在图中以x 表示：则5个剩余分数的方差为( )A 。

2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．终边落在第二象限的角组成的集合为（ ）A ．{α|k π＜α＜+k π，k ∈Z }B ．{α|+k π＜α＜π+k π，k ∈Z }C ．{α|2k π＜α＜+2k π，k ∈Z }D ．{α|+2k π＜α＜π+2k π，k ∈Z }2． +﹣=（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知α是第四象限的角，若cos α=，则tan α=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣4．sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（ ）A ．0B ．C ．D ．15．点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．， 6．点（tan3，cos3）落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos （α﹣）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣8．已知函数f （x ）=sin2（x +φ），则（ ）A ．当φ=﹣时，f （x ）为奇函数B ．当φ=0时，f （x ）为偶函数C ．当φ=时，f （x ）为奇函数D ．当φ=π时，f （x ）为偶函数9．若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣2D ．210．为得到y=cosx 的图象，只需将y=sin （x +）的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位11．如图，点P 是半径为1的半圆弧上一点，若AP 长度为x ，则直线AP 与半圆弧所围成的面积S 关于x 的函数图象为（ ）A．B．C．D．12．将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．已知钝角α满足sinα=，则α=．14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则tan ∠APD=．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=．16．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．18．已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．19．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．20．在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．21．如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}【考点】象限角、轴线角．【分析】直接由象限角的概念结合轴线角得答案．【解答】解：∵终边落在y轴正半轴的角的集合为{α|α=，k∈Z}，终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α=π+2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}．故选：D．2． +﹣=（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．【解答】解：故选D．3．已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．4．sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（ ）A ．0B ．C ．D ．1【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式、两角和的正弦公式化简三角函数式，可的结果．【解答】解：sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=sin63°cos33°﹣cos63°sin33°=sin （63°﹣33°）=sin30°=， 故选：B ．5．点O 为正六边形ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．， 【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】向量作为向量基底，则两向量不能共线．根据图形是否共线进行判断．【解答】解：由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量， 故选：B ．6．点（tan3，cos3）落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】三角函数值的符号．【分析】根据角度3弧度的位置判定点的各坐标符号．【解答】解：因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限； 故选：C ．7．角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos （α﹣）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】化简所求为sin α，利用三角函数的坐标法定义得到sin α．【解答】解：由已知sin α=，又cos （α﹣）=sin α=；故选：B ．8．已知函数f （x ）=sin2（x +φ），则（ ）A．当φ=﹣时，f（x）为奇函数B．当φ=0时，f（x）为偶函数C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据诱导公式、正弦函数和余弦函数的奇偶性逐项化简、判断即可．【解答】解：A、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，则f（x）是偶函数，A不符合条件；B、f（x）=sin2（x﹣0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D、f（x）=sin2（x﹣π）=sin（2x﹣2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9．若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），∴=4×（﹣1）+3×（﹣2）=﹣10，||==5∴在方向上的投影为==﹣2，故选：A．10．为得到y=cosx的图象，只需将y=sin（x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（x+）的图象向左平移个单位可得y=sin（x++）=cosx的图象，故选：C．11．如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】求出直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，确定S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，结合函数的图象，即可得出结论．【解答】解：∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，∴S′=﹣cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12．将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5【考点】余弦函数的图象．【分析】根据题意画出函数f（x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，再计算++与它的模长即可．【解答】解：函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1（﹣2，﹣3）、A2（1，0）和A3（4，3），如图所示；则++=（3，0），所以|++|=3．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．已知钝角α满足sinα=，则α=．【考点】反三角函数的运用．【分析】直接利用特殊角的三角函数，即可得出结论．【解答】解：∵钝角α满足sinα=，∴α=．故答案为：．14．如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE交于点P，则tan ∠APD=﹣3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意可得△APE∽△CPD，求解直角三角形可得AP、DP的长，由余弦定理求得cos∠APD，进一步得到sin∠APD，再由商的关系得答案．【解答】解：设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，DE=，AC=，则DP==，AP=，由余弦定理得：cos∠APD=，sin=．∴tan∠APD=．故答案为：﹣3．15．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=sin（4x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象的解析式为：g（x）=sin（4x﹣）．故答案为：sin（4x﹣）．16．在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=1：1．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=x，由题意可知=（+），代入已知条件，整理得（3x﹣λ）=（3﹣2λ），根据向量的基本定理可知只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时等式成立，即可求得x的值，求得的值．【解答】解：设=x，∵D为BC中点∴=（+），3=2λ+（3﹣3λ），可以化为3x=2λ（+）+（3﹣3λ），化简为（3x﹣λ）=（3﹣2λ），∵只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时，（3x﹣λ）=（3﹣2λ）才成立∴λ=，x=，∴=，即M为AB中点=1：1，故答案为：1：1．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】分别根据向量的坐标运算和向量的平行和垂直的条件即可解答．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0），∴=（2，﹣3），=（3，2），∴•=2×3﹣3×2=0，∴⊥；（Ⅱ）∵A（﹣3，1）、D（3m2，m+4），∴=（3m2+3，m+3），∵∥，∴2（3m2+3）=3（m+3），解得m=﹣或m=1．18．已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【分析】（1）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．（2）根据函数的对称性以及函数的单调性即可得到结论．（3）根据函数最值的性质解方程即可．1（2）解：令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=kπ﹣，k∈Z，则函数y=sin（2x+）的图象的对称中心的坐标是（kπ﹣，0）k∈Z．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，从而可求得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）由2x+=2kπ+即x=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．19．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f（x）的周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简f（）=，利用平方关系和诱导公式求出f（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（）==，∴，则，∴=±，则f（α+）====．20．在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由题意和余弦定理求出BC、cos∠ACB，由诱导公式求出cos∠ACD，在△ACD中，由条件求出CD，由余弦定理求出AD；（Ⅱ）在△ABD中求出BD，由余弦定理求出cos∠DAB，由内角的范围好特殊角的三角函数值求出∠DAB．【解答】解：（Ⅰ）由题意画出图象：在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，则由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠BAC=4+﹣=，所以BC=，由余弦定理得，cos∠ACB===，由∠ACB+∠ACD=π得，cos∠ACD=﹣cos∠ACB=，在△ACD中，由=2得CD=BC=，由余弦定理得，AD2=CD2+AC2﹣2•CD•AC•cos∠ACD==1，则AD=1；（Ⅱ）由（I）得，BD=BC+CD=+=，在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD===，∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=．21．如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用正弦定理求出PQ，再利用三角形的面积公式，即可求S（θ）关于θ的函数；（2）利用辅助角公式化简函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得，∴PQ=sin（45°﹣θ），∴S（θ）=•sin（45°﹣θ）•1•sinθ=sin（45°﹣θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），（2）S （θ）=sin （45°﹣θ）•sin θ=（cos θ﹣sin θ）•sin θ=sin2θ﹣•=sin （2θ+45°）﹣，∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，S （θ）的最大值为﹣．22．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P 为f （x ）与x轴的交点，点A ，B 分别为f （x ）图象的最低点与最高点， •=||2． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x ∈[﹣1，1]，求f （x ）的取值范围．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（1）设函数f （x ）的周期是T 、P （a ，0），由图象和周期性表示出A 、B 的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T 后由周期公式求出ω； （2）由（1）和x 的范围求出f （x ）、ωx +φ范围，利用正弦函数的性质求出f （x ）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）的周期是T ，P （a ，0），则A （a +，﹣1），B （a +，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f （x ）=sin （x +φ），∵x ∈[﹣1，1]，∴，又0＜φ＜π，则，∴sin （x +φ）∈（﹣1，1），即f （x ）的取值范围是（﹣1，1）．2018年8月24日。

福建2017-2018学年下学期期末考试卷高一数学·必修4一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 104. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.5.（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 6. 若为平面内一点，且满足，则形状为 （ ）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（ ）A.B.C.D.8. 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米9. 已知，,则（）A. B. C. D.10. 若方程在区间上有两个实根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①③④12. 已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为( )A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（每小题5分，共25分）14. 函数的定义域为____________．15. 已知单位向量的夹角为，那么=_______16. 已知，，那么________．17. 在中，，，则_________18. 如图，在中，时，点在边上，，，为垂足若，则__________三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 知为两个不共线向量，，(Ⅰ)若∥，求实数；(Ⅱ)若且⊥，求与的夹角.20. 已知向量,，记（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，求的值域.21. 如图所示，等腰梯形的点，为半圆上的动点，∥，底边为圆的直径，，. 设等腰梯形的周长为.（Ⅰ）请写出与之间的函数关系；（Ⅱ）当取何值时，等腰梯形的周长最大?22. 如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且,，求的面积.23. 已知函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像.（Ⅰ）求函数的解析式（Ⅱ）若对任何实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由单位圆的性质可得：，则： .本题选择D 选项.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由所给条件：，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为2个；，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为1个；本题选择D 选项.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】A【解析】由题意可得：，则向量在向量方向上的投影为 .本题选择A 选项.4. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择D选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5. （）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题意：，则： .本题选择A选项.6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由题意可得：,即：，据此有：，即形状为等腰三角形.本题选择B选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，∴ .取k=0,得 .∴ .本题选择A选项.8. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC中由正弦定理可得，，，故选B。

2017—2018学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中一年语文科试卷命题学校：闽侯一中命题教师：高一集备组审核教师：高一集备组考试日期：7月2日完卷时间：150分钟满分：150分一、语言基础（24分，每小题3分）1．下列词语中加点字的注音，全都正确的一组是（）（3分）A．纺缴．（huó）半晌．（iǎng）罗绮．（qǐ) 繁文缛．节（rú）B．蹩．进（biē）忏．悔（qiàn）苇．草（wěi）苌．弘化碧（cháng）C．挑剔．（tī）恓．惶（ī）煞．尾（shā）揾．英雄泪（wèn）D．埋．怨（mái）自诩．（ǔ) 凝噎．（yè）冠冕．堂皇（miǎn)2．下列各组词语中没有错别字的一项是（）（3分）A．瞌头暮霭敷衍礼上往B．篡夺销魂惊愕咄咄逼人C．谛听国萃弹劾残羹冷灸D．萧鼓帷幄撕杀肉袒负荆3．下列各句中加点成语的使用，全都正确的一项是（）（3分），读犹如一曲古老的①他的作品充满诗情画意，形神兼备，洋溢着游子浓浓的莼鲈之思．．．．民歌，那高亢的秦腔至今仍让人牵肠挂肚。

②欧洲杯决赛场上，随着葡萄牙前锋埃德尔在加时赛第109分钟的一脚劲射破门，整个球场顿时沸腾起，葡萄牙球迷热情的欢呼声、叫喊声不绝如缕。

．．．．，以抗议③有人多次为芦山灾区慷慨解囊，倾尽全部积蓄；也有人声明自己将细大不捐．．．．某些慈善机构运作缺乏透明度。

，④在参拜靖国神社的问题上，安倍政府不仅不进行深刻反思，还一意孤行，以邻为壑．．．．不断指责周边国家，为自己的行为涂脂抹粉。

⑤宁波的驴友在驱车穿越林地时迷失了方向，当时天色渐晚，路况不清，又难以求田问．．．舍．，所以被困在山上了。

⑥我们的领导干部要勤政爱民，廉洁自律，提高自身修养，增强抵御腐败的能力，否则，，落得个身败名裂的下场。

难免到时像陈希同一样对簿公堂．．．．A. ①③⑤B.①④⑥C. ②③⑥D.②④⑤4．下列句子中，没有语病的一项是（）（3分）A．中央电视台的新节目《国家宝藏》，联合九大国家级重点博物馆（院）讲述“大国重器”的前世今生，解读中华文化的基因密码。

绝密★启用前福州市外国语学校第二学期期末质量评估高一数学试卷一．选择题，每题5分，共12题。

1. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则=A C B U A. {}2 B. {}4,6 C. {}1,3,5 D. {}4,6,7,82.函数()()ln f x x =-的定义域为A. {}0x x <B. {}{}10x x ≤-⋃C. {}1x x ≤-D. {}1x x ≥- 3.角α的终边经过点（3，4），则=-+ααααcos sin cos sinA. 53B. 54 C. 7 D. 714. 已知向量a =(1，k)，b =(2，2)，且a -b 与b 垂直，那么k 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A.若//,,//m n m n ββ⊂则B. 若//,,//m n n ααβ⋂=则mC.若,,//m m αβαβ⊥⊥则D. 若,,//m βαβα⊥⊥则m 6. 设0.30.40.3log 2,2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 7. 阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为A.2B.0D.8. 的位置关系是（）与圆直线022)1(22=--+-=y y x x k y A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上皆有可能9.某次实验中测得(),x y 的四组数值如右图所示，若根据该表的回归方程5126.5y x =-+$， 则m 的值为A. 39B. 40C.41D.4210. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3B.D.111. 已知函数()()s i n f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为 A.()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,B.()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,D. ()2sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=1,421,)(2x m mx x x x x f ,若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是A. RB. ）0，-（∞C. ），1（∞+D. ）0，-（∞U ），1（∞+ 二．填空题，每题5分，共4题。

2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是（）A．（cosθ，sinθ）B．（﹣cosθ，sinθ）C．（sinθ，cosθ）D．（﹣sinθ，cosθ）2．（5分）已知向量＝（1，m），＝（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．03．（5分）cos20°cos10°﹣sin10°sin20°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）设向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，4），＝（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（）A．（2，6）B．（﹣2，6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，﹣6）5．（5分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）（）的部分图象如图所示，则有（）A．ω＝1，B．ω＝1，C．，D．，7．（5分）已知，点C（﹣1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．8．（5分）要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移9．（5分）设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且++2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为（）A．3B．4C．5D．610．（5分）+＝（）A．2sin3B．﹣2sin3C．2cos3D．﹣2cos3 11．（5分）设偶函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则的值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知平面内的向量，满足：，，且与的夹角为120°，又，0≤λ1≤1，1≤λ2≤3，则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（）A．2B．C．1D．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，，m＞0，n＞0，且，，则向量与的夹角是．14．（5分）＝．15．（5分）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则＝．16．（5分）设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+3（其中a、b、α、β为非零实数），若f（2001）＝5，则f（2018）的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知tanα＝2．（1）求的值；（2）求．18．（12分）已知向量与的夹角为120°，且，．（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）当k为何值时，．19．（12分）已知O，A，B三点不共线，且＝m+n，（m，n∈R）．（1）若m+n＝1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n＝1．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f（x）≥3的解集．21．（12分）函数的部分图象如图所示．（1）写出φ及图中x0的值；（2）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．22．（12分）已知向量＝，＝，且（1）求及||（2）若f（x）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．2017-2018学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是（）A．（cosθ，sinθ）B．（﹣cosθ，sinθ）C．（sinθ，cosθ）D．（﹣sinθ，cosθ）【解答】解：由题意可知，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ，故点P的坐标为（cosθ，sinθ），故选：A．2．（5分）已知向量＝（1，m），＝（m，2），若∥，则实数m等于（）A．﹣B．C．﹣或D．0【解答】解：∵＝（1，m），＝（m，2），且，所以1•2＝m•m，解得m＝或m＝．故选：C．3．（5分）cos20°cos10°﹣sin10°sin20°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：cos20°cos10°﹣sin10°sin20°＝cos（20°+10°）＝cos30°＝故选：C．4．（5分）设向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，4），＝（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（）A．（2，6）B．（﹣2，6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，﹣6）【解答】解：设＝（x，y），∵4＝（4，﹣12），4﹣2＝（﹣6，20）2（﹣）＝（4，﹣2），∴有4+（4﹣2）+2（﹣）+＝0，∴x＝﹣2，y＝﹣6，故选：D．5．（5分）若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sinαtanα＜0，可知α是第二或第三象限角，又＜0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选：C．6．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）（）的部分图象如图所示，则有（）A．ω＝1，B．ω＝1，C．，D．，【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图，所以T＝＝4π，所以ω＝＝．函数经过（），即0＝sin[+ϕ]因为，所以ϕ＝，故选：C．7．（5分）已知，点C（﹣1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：，点C（﹣1，0），D（4，5），可得＝（5，5），•＝2×5+1×5＝15，||＝5，可得向量在方向上的投影为：＝＝．故选：A．8．（5分）要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：因为函数y＝sin（4x﹣）＝sin[4（x﹣）]，要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移单位．故选：B．9．（5分）设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且++2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵D为AB的中点，∴，∵++2＝，∴，∴O是CD的中点，∴S△AOC＝S△AOD＝S△AOB＝S△ABC，故选：B．10．（5分）+＝（）A．2sin3B．﹣2sin3C．2cos3D．﹣2cos3【解答】解：+＝＝＝＝＝＝﹣2cos3．故选：D．11．（5分）设偶函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，所以A＝，T＝2，因为T＝，所以ω＝π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ＝，∴函数的解析式为：f（x）＝sin（πx+），所以＝sin（+）＝．故选：D．12．（5分）已知平面内的向量，满足：，，且与的夹角为120°，又，0≤λ1≤1，1≤λ2≤3，则由满足条件的点P 所组成的图形面积是（）A．2B．C．1D．【解答】解：平面内的向量，满足：，，∴＝1．又与的夹角为120°，∴以，为邻边所作的平行四边形是边长为1的菱形OACB．延长OB到M点，以BC，BM为邻边作平行四边形BCNM．又，0≤λ1≤1，1≤λ2≤3，则由满足条件的点P所组成的图形是平行四边形BCNM．其面积是2S平行四边形OACB＝2×12sin120°＝．故选：B．二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，，m＞0，n＞0，且，，则向量与的夹角是30°．【解答】解：设向量与的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵已知，，m＞0，n＞0，且，，∴m2+4＝16，1+n2＝4，∴m＝2，n＝．•＝m+2n＝4＝4×2×cosθ，∴cosθ＝，则向量与的夹角θ＝30°，故答案为：30°．14．（5分）＝．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．15．（5分）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则＝4．【解答】解：||≥||＝|﹣|，两边平方可得，﹣2t•+t2≥﹣2•+，设•＝m，则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则判别式△＝4m2+4×4（4﹣2m）≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，由于（m﹣4）2≥0，则m＝4，即•＝4．故答案为：4．16．（5分）设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+3（其中a、b、α、β为非零实数），若f（2001）＝5，则f（2018）的值是1．【解答】解：∵函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+3，f（2001）＝5，∴a sin（2001π+α）+b cos（2001π+β）+3＝5，解得a sinα+b cosβ＝﹣2，∴f（2018）＝a sin（2018π+α）+b cos（2018π+β）+3＝a sinα+b cosβ+3＝1，故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知tanα＝2．（1）求的值；（2）求．【解答】解：（1）∵tanα＝2，∴＝＝；（2）＝＝＝＝1．18．（12分）已知向量与的夹角为120°，且，．（Ⅰ）计算：；（Ⅱ）当k为何值时，．【解答】解：（Ⅰ）∵向量与的夹角为120°，且，．∴由已知得，．∵＝4+2×（﹣4）+16＝12，∴．∵＝16×4﹣16×（﹣4）+4×16＝192，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，即16k﹣16（2k﹣1）﹣2×64＝0，∴k＝﹣7．即k＝﹣7时，与垂直．19．（12分）已知O，A，B三点不共线，且＝m+n，（m，n∈R）．（1）若m+n＝1，求证：A，P，B三点共线；（2）若A，P，B三点共线，求证：m+n＝1．【解答】证明：（1）∵m+n＝1，∴m＝1﹣n，又＝m+n，∴＝，化为，∴A，P，B三点共线；（2）∵A，P，B三点共线，∴存在实数n使得，∴，化为＝，又＝m+n，∴m＝1﹣n，即m+n＝1．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求使函数f（x）≥3的解集．【解答】解：（Ⅰ），＝，＝，＝，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ），故只有当f（x）取最大值时，f（x）≥3，∴，有，即，∴所求x的集合为．21．（12分）函数的部分图象如图所示．（1）写出φ及图中x0的值；（2）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数从图象可知：当x＝0时，可得f（0）的值为，即cosΦ＝∵0＜Φ＜∴Φ＝∴f （x ）＝cos （πx ）将点（x 0，）带入，得cos （πx 0）＝∴x 0＝2k 或x 0＝∵T ＝，0＜x 0＜2，∴x 0＝； （2）由＝cos （πx）+cos[π（x ）]＝cos （πx ）﹣sin πx ＝cos πx cos ﹣sin πx sin﹣sin πx＝cos πx ﹣sin πx ＝cos （πx +） ∵x ∈上， ∴πx +∈[，]当πx +＝时，g （x ）取得最小值为＝．当πx +＝时，g （x ）取得最大值为1×＝．22．（12分）已知向量＝，＝，且（1）求及||（2）若f （x ）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．【解答】解：（1）由题意可得＝coscos ﹣sinsin ＝cos2x ，∵＝（cos+cos ，sin﹣sin ），∴||＝＝＝＝2|cos x |，由且，可得||＝2cos x ．（2）若f （x ）＝﹣2λ||＝cos2x ﹣4λcos x ＝2cos 2x ﹣4λcos x ﹣1＝2（cos x ﹣λ）2﹣1﹣2λ2的最小值为，∵，∴cos x∈[0，1]，①当0≤λ≤1时，则当cos x＝λ时，函数f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2＝﹣，求得λ＝．②当λ＞1 时，当cos x＝1时，函数f（x）取得最小值为1﹣4λ＝﹣，解得λ＝（舍去），综上可得λ＝．。

2017-2018学年度第二学期八县（市）一中期末联考高中一年数学试卷完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）(1)已知角α的终边上一点P 的坐标为)1-，则角α的最小正值为( )（A ）5π6 （B ）2π3 （C ）5π3（D ）11π6(2)半径为10 cm ，面积为100 cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为( )（A ）10 （B ）2π （C ）2 （D ）2°(3)把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )（A ）y ＝cos 2x （B ）y ＝－sin 2x（C ）y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 （D ）y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 (4)在平面直角坐标系xOy 中，向量OA ＝(1, 2)，OB ＝(2, m ) ， 若O , A , B 三点能构成三角形，则（ ） （A ）4m = （B ）4m ≠ （C ）1m ≠- （D ）m ∈R(5)22sin 70sin 20cos 155sin 155︒︒︒-︒的值为( )（A ）－12（B ）12 （C ）32（D ）－32(6) 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( ) （A ）2OA →－OB → （B ）－OA →＋2OB →（C ）23OA →－13OB → （D ）－13OA →＋23OB →(7)下列不等式中成立的是 ( )（A ）2sin 3sin > （B ）cos3cos 2> （C ）21cos()cos()54-π<-π （D ）1217sin sin 54<ππ(8)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )（A ） －322 （B ）－3152 （C ） 322 （D ） 3152(9)已知平面向量,a b ，13a b ==⋅，且27a b +=，则向量a 与a b +的夹角为( )（A ）π2（B ）π3 （C ）π6（D ）π(10)已知sin()cos 65++=παα，则cos()6πα-的值为( )（A ）45 （B ）35 （C ）32（D ）35(11)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )（A ）最小值1 （B ）最大值1 （C ）最小值2 （D ）最大值2 (12)在锐角∆ABC 中已知B=3π，AB AC -=2,则AB AC ⋅的取值范围是( ) （A ）()16,- （B ）()04, （C ）()06, （D ）()012,第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） (13) sin 600tan 240︒+︒的值为______.(14)已知α,β是锐角, αβtan ,tan 是方程2560-+=x x 的两根，则α+β的值为 .(15)在ABC ∆中，10,6AB AC BA BC ⋅=⋅=，则AB = .(16)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数()66π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦y a Acos x (x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） (17)（本题10分）已知4,8,43a b a b ==+=（Ⅰ ）计算：①a b ⋅，②42a b -；（Ⅱ ）若(2)()a b ka b +⊥-，求实数k 的值．(18)（本题12分）已知140,cos(),sin()2435ππ<α<<β<πβ-=α+β=（Ⅰ ）求sin 2β的值； （Ⅱ ）求cos()4πα+的值．(19)（本题12分）设函数()cos()0,02π⎛⎫=ω+φω>-<φ< ⎪⎝⎭f x x 的最小正周期为π，且()4π=f （Ⅰ ）求ω和φ的值；（Ⅱ ）在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π 上的图像（要求列表作图）。

福建省福州市八县（市）一中高一数学下学期期末联考试题高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若扇形的半径为6 cm ，所对的弧长为2cm ，则这个扇形的面积是（ ）。

A 、12cm 2 B 、6 cm 2 C 、6cm 2 D 、4 cm 22、在△ABC 中，若(1,)(3,2)AB m BC，，090=∠B 则m =（ ）。

A 、－32 B 、32 C 、23- D 、233、若324tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αtan 的值是（ ）。

A 、33B 、3-C 、1D 、以上答案都不对 4、在ABC △中,角C B A ,,所对的边分别是,,a b c ,若C A sin sin =，ac a b =-22,则=∠A （ ）。

A 、2π B 、4π C 、3π D 、6π 5、0000167cos 43sin 77cos 43cos +的值是（ ）。

A 、3、12 C 3、12-6、以下关于向量说法的四个选项中正确．．的选项是（ ）。

A 、若任意向量a b 与共线且a 为非零向量，则有唯一一个实数λ，使得a b λ=； B 、对于任意非零向量a b 与，若)()0a b a b （，则a b ;C 、任意非零向量a b 与满足a b a b ，则a b 与同向；D 、若A,B,C 三点满足2133OAOB OC ，则点A 是线段BC 的三等分点且离C 点较近。

7、在△ABC 中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（ ）。

A 、030,6,3===A b a ； B 、0150,5,6===A b a ；C 、060,34,3===A b a ；D 、030,5,29===A b a ； 8、已知23)23(sin -=-απ，则=+)3(cos απ（ ）。

A 、23 B 、23- C 、21 D 、-219、已知△ABC 满足32,2,4π=∠==BAC AC AB ，点E D 、分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则 AF DC 的值为（ ）。

福建省福州市八县（市）一中2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题参考公式：球的表面积公式：()()()21122211ˆˆ4,,n niii ii i nniii i x x y y x y nxyS r bay bx x x xnx π====---====---∑∑∑∑$ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.直线 y ＝﹣x +1的倾斜角是（ ） A. 30o B. 45oC. 135oD. 150o【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角． 【详解】直线y ＝﹣x +1的斜率为﹣1， 设倾斜角为α，则tan α＝﹣1， ∴α＝135° 故选：C ．【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．2.某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A. 15 B. 16C. 30D. 31【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可． 【详解】根据分层抽样原理，列方程如下，15450480450n =+，解得n ＝31． 故选：D ．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．3.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】C 【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误； 在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误． 故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥则m γ⊥；③若,//m n αα⊥，则m n ⊥； ④若,αγβγ⊥⊥,则//αβ，其中正确命题的序号是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④【答案】B【分析】①利用线面平行的性质可得：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若,//m n αα⊥，则m n ⊥；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．【详解】①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 、相交或为异面直线，不正确； ②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m ⊥α，则m ⊥γ；正确； ③若,//m n αα⊥，则m n ⊥；正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确． 综上可知：②和③正确． 故选：B ．【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．5.已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则直线1l 与2l 的距离为（ ）【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行的性质解得a ，再由两平行线间的距离求解即可 【详解】∵直线l 1：ax +2y ﹣1＝0，直线l 2：8x +ay +2﹣a ＝0，l 1∥l 2， ∴82a a -=-，且122a a-≠ 解得a ＝﹣4．所以直线l 1：4x -2y +1＝0，直线l 2：4x -2y +3＝0，故1l 与2l=【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．6.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )A.1167B.365C. 36D.75【答案】B 【解析】 【分析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差． 【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215x+++++=得x ＝4，∴5个分数的方差为：S 2=()()()()()222221361721242120212021242155⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选：B【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.已知直线(32)60k x y ---=不经过第一象限，则k 的取值范围为（ ）A. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0，解不等式即可得到所求范围． 【详解】直线y ＝（3﹣2k ）x ﹣6不经过第一象限， 可得3﹣2k ＝0或3﹣2k ＜0， 解得k 32≥， 则k 的取值范围是[32，+∞）． 故选：D ．【点睛】本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．8.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A. 20，22.5B. 22.5，25C. 22.5，22.75D. 22.75，22.75 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为5（12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03）＝22.75， ∵0.02×5+0.04×5＝0.3＜0.5， 0.3+0.08×5＝0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x ，则0.3+（x ﹣20）×0.08＝0.5， 解得x ＝22.5；∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C ．【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．9.三棱锥,10,8,6P ABC PA PB PC AB BC CA -======则二面角P AC B --的大小为( ) A. 90︒ B. 60︒C. 45︒D. 30︒【答案】B 【解析】 【分析】P 在底面的射影是斜边的中点，设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，则∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角，在直角三角形PED 中求出此角即可． 【详解】因为AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6 所以底面为直角三角形又因为PA ＝PB ＝PC = 所以P 在底面的射影为直角三角形ABC 的外心，为AB 中点． 设AB 中点为D 过D 作DE 垂直AC ，垂足为E ，所以DE 平行BC ，且DE 12=BC ＝4，所以∠PED 即为二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角．因为PD 为三角形PAB 的中线，所以可算出PD ＝ 所以tan ∠PED PDDE==所以∠PED ＝60°即二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为60° 故答案为：60°．点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．10.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.127B.29C.49D.827【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P 1227==49故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.已知点(1,1)A 和点(4,4)B ， P 是直线10x y -+=上的一点，则||||PA PB +的最小值是（ ）A. D. 【答案】D 【解析】【分析】求出A 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，则BC 即为所求 【详解】如下图所示：点(1,1)A ，关于直线l ：10x y -+=的对称点为C （0,2），连接BC,此时||||PA PB +的最小值为16425BC =+= 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．12.在三棱锥S ABC -中，2,1SA SB AC BC SC =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A.43πB. 4πC. 12πD.523π【答案】D 【解析】 【分析】取AB 中点F,SC 中点E ，设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，由()222312r r r =+-⇒=，在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R ，则1232cos cos 52cos 3απαα=⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭则R可求，表面积可求 【详解】取AB 中点F,SC 中点E,连接SF,CF, 因为2,SA SB AC BC ====则,,SF AB CF AB SFC ⊥⊥∴∠为二面角S AB C --的平面角，即60SFC ∠=o又1,23SC AB =∴=设ABC △的外心为1O ，外接圆半径为,r 三棱锥S ABC -的外接球球心为O 则1OO ⊥面,ABC OE SC ⊥，由()()222312r r r =+-⇒=在四边形1OO CE 中，设OCE α∠=，外接球半径为,R ，则11231322cos cos 5233cos 352R απαα=⇒=∴==⎛⎫- ⎪⎝⎭则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为25243R ππ= 故选：D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线则m 的值为________. 【答案】3-【解析】 【分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出． 【详解】k AB ()2332--==---1，k AC 33246m m --==---．∵(2,3),(3,2),(4,)A B C m --三点共线， ∴﹣136m-=-，解得m ＝3-． 故答案为3-．【点睛】本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知圆C 的圆心在直线30x y -=，与y 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为则圆C 的标准方程为________.【答案】22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++= 【解析】 【分析】由圆心在直线x ﹣3y ＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，得到圆心到y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r ，距离d ，由圆的半径r 及表示出的d 利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解得到t 的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．详解】设圆心为（3t ，t ），半径为r ＝|3t |，则圆心到直线y ＝x 的距离d ==t |，而 ）2＝r 2﹣d 2，9t 2﹣2t 2＝7，t ＝±1， ∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15.P 是棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的棱1CC 的中点，沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是_______.【答案】【解析】 【分析】从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC ，CD 为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB 1，DD 1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC 为轴展开与BB 1为轴展开两种方式验证即可【详解】由题意，若以BC 为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，故两点之间的距离是若以BB 1为轴展开，则AP 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，故两点之间的距离是故沿正方体表面从点A 到点P 的最短路程是故答案为【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求16.利用直线与圆的有关知识求函数()312f x x =-的最小值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】令y =得()()22290x y y -+=≥，()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令y =()()22290x y y -+=≥故()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，表示上半个圆上的点到直线34120x y -+=的距离的最小值的5倍，即185335⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭故答案为3【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知直线1:2310l x y +-=与直线2:3280l x y --=交点为P ，点Q 是圆222430x y x y +--+=上的动点.（1）求点P 的坐标；（2）求直线PQ 的斜率的取值范围.【答案】（1）(2,1)-；（2）(,1][7,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）联立方程23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩求解即可；（2）设直线PQ 的斜率为k ，得直线PQ 的方程为210kx y k ---=，由题意，直线PQ≤【详解】（1）由23103280x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩ ∴P 的坐标为(2,1)-P ∴的坐标为(2,1)- .（2）由222430x y x y +--+=得22(1)(2)2x y -+-= ∴圆心的坐标为(1,2)设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为210kx y k ---=由题意可知，直线PQ 与圆有公共点 即221k ≤+ 1k ∴≤-或7k ≥∴直线PQ 的斜率的取值范围为(,1][7,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题18.如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ； （2）求1AB 与BD 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2613. 【解析】 【分析】（1）连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .证明 OD 为1AB C ∆的中位线，得1//OD AB ，即可证明；（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角，在OBD∆中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . ∵四边形11BCC B 是平行四边形． ∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点，∴OD 为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴OD ⊂Q 平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角 在Rt ABC ∆中，D 为AC 的中点，则132AC BD ==同理可得，13OB =在OBD ∆中，22226cos 213OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅ 1AB ∴与BD 所成角的余弦值为2613. 【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题19.某中学从高三男生中随机抽取n 名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示： 组号 分组频数 频率 第1组[160,165) 50.05第2组 [165,170)a 0.35第3组[170,175)30 b第4组[175,180)20 0.20 第5组 [180,185)10 0.10合计 n1.00（1）求出频率分布表中,,n a b 的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率. 【答案】（1）直方图见解析；（2）67. 【解析】 【分析】（1）由题意知，0.0505n，从而n ＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样， 35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为1A ，第4组的4位同学为1234,,,B B B B ,第5组的2位同学为12,C C ，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率． 【详解】（1）由频率分布表可得50.050.3530nanbn⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，100,35,0.3n a b===；（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组75135⨯=；第4组720435⨯=；第5组710235⨯=.设第1组的1位学生为1A，第4组的4位同学为1234,,,B B B B,第5组的2位同学为12,C C. 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：{}{}{}{}{}1112131411,,,,,,,,A B A B A B A B A C，{}{}{}{}{}{}{}{}{}{} 12121314111223232422 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A CB B B B B B BC B C B B B B B S B C{}{}{}{}{}{}343132414212,,,,,,,,,,,B B BC B C B C B C C C一共21种.记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件A，即A包含的基本事件分别为：{}{}{}1112122,,,,A C A C C C一共3种，于是31()217P A==所以，6()1()7P A P A=-= .【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．【答案】（1）·6.517.5y x =+；（2）310 .【解析】 【分析】（1）首先求出x ，y 的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a 的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可 【详解】(1)2456830406050705,5055x y ++++++++====51522113805550ˆ 6.5145555i ii i i x y nxybx nx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑a50 6.5517.5y bx =-=-⨯=$$， 因此，所求回归直线方程为：·6.517.5y x =+. (2)基本事件：()()()()()()()()()30,4030,6030,5030,7040,6040,5040,7060,5060,7050,(7)0，，，，，，，，，共10个，两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：()()()30,4030,7040,70，，共3个 所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为310. 【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AD BC AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若2PA AB BC AD ===，且二面角P BC A --等于45︒，求直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（210【解析】 【分析】（1）由//,AD BC AD AB ⊥得，BC AB ⊥，由侧面PAB ⊥底面ABCD 得BC ⊥侧面PAB ，由面面垂直的判定即可证明；（2）由BC ⊥侧面PAB ，可得,BC PB BC AB ⊥⊥， 得PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠=，推得PAB ∆为等腰直角三角形，取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AE ⊥平面PBC ，证明//AD 平面PBC ，得点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =，再利用210sin 5d AE BD BD θ====求解即可 【详解】（1）证明：由//,AD BC AD AB ⊥可得，BC AB ⊥因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，交线为,AB BC ⊂底面ABCD 且BC AB ⊥则BC ⊥侧面PAB ，BC ⊂平面PBC 所以，平面PAB ⊥平面PBC ；（2）由BC ⊥侧面PAB 可得，,BC PB BC AB ⊥⊥， 则PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，45PBA ︒∠= 由PA AB =可得，PAB ∆为等腰直角三角形 取PB 的中点E ，连接AE 可得AE PB ⊥因为平面PAB ⊥平面PBC ，交线为,PB AE ⊂平面PAB 且AE PB ⊥ 所以AE ⊥平面PBC ，点A 到平面PBC 的距离为AE . 因为//,AD BC AD ⊄平面PBC 则//AD 平面PBC所以点D 到平面PBC 的距离d 等于点A 到平面PBC 的距离，d AE =. 设1AD =，则2PA AB BC === 在PAB ∆中，2AE =；在ABD ∆中，5BD =设直线BD 与平面PBC 所成角为θ 即210sin 5d AE BD BD θ====所以，直线BD 与平面PBC 所成角的正弦值为10.【点睛】本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D 到面的距离,是中档题22.已知两个定点(0,4),(0,1)A B ，动点P 满足||2||PA PB =.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的,C D 两点，且120COD ︒∠=（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若1k =， Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线,QM QN ，切点为,M N ，探究：直线MN 是否过定点.【答案】（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-. 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y由||2||PA PB == 整理可得224x y +=所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---= ，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上 由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--= 即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。