最新2019高中数学 第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型课时分层作业24 新人教A版必修1

3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标①结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性;②能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数等),了解函数模型的广泛应用;③体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.培养学生学数学、用数学、完善数学的正确的数学意识.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:猪八戒开招聘会,引出招聘的试题:猪氏集团旗下的“天鹏大酒店”已于2013年元旦开张,生意蒸蒸日上.第一个月营业额达到100万,第二个月达到了150万,第三个月为200万元.试问:照此增长,第四个月的营业额为多少?二、自主探索,尝试解决由前面的问题情境,设置如下问题,学生小组讨论解决,各个小组之间互相交流.问题2:进入高中以来,我们所学的函数中,哪些符合在x∈N*上单调递增?问题3:上述猪八戒的营业额函数模型是否满足过点(1,1),(1,1.5)?问题4:结合Excel表格以及函数的图象,你能分析出以下几个模型增长的差异吗?月份y=ax+b y=ma x+b y=axα+b y=m log a x+b1 1 1 1.000 1.0002 1.5 1.5 1.500 1.5003 2 2.5 2.857 1.7924 2.5 4.5 5.500 2.0005 3 8.5 9.857 2.1616 3.5 16.5 16.357 2.2927 4 32.5 25.429 2.4048 4.5 64.5 37.500 2.5009 5 128.5 53.000 2.58510 5.5 256.5 72.357 2.66111 6 512.5 96.000 2.73012 6.5 1024.5 124.357 2.79213 7 2048.5 157.857 2.850三、信息交流,揭示规律问题5:假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案?针对上例可以思考下面问题:①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累计回报数?②课本把两种回报数都列表给出的意义何在?③由此得出怎样的结论?四、运用规律,解决问题某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随着利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?五、课后作业1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到的细胞个数y为( )A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数3.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x (x≤10)B.y=20-2x (x<10)C.y=20-2x (5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)4.某新品电视投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台.则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成.5.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现有10台计算机在第1轮病毒发作时被感染,问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染. (用式子表示)参考答案问题1:250万问题2:一次函数,指数函数,对数函数.问题3:满足.问题4:略三、信息交流,揭示规律问题5:解:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中,第一个是常数函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况:x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1 40 10 0.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.88 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.210 40 0 100 10 204.8 102.4…………………30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4再作出三个函数的图象.由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数.通过计算器或计算机列表如下.天数回报//元方案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此,投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资8~10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.答案:①选择哪种方案依据的是累计回报数.②让我们体会每天回报数的增长变化.③上述例子只是一种假想情况,但从中我们可以体会到,不同的函数增长模型其增长变化存在很大差异.四、运用规律,解决问题解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(如图).观察函数的图象,在区间[10,1000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求;对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002??0=5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此当x>x0时,y>5,所以该模型也不符合要求;对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有????=log7x+1??≤0.25成立.令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈[10,1000].利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(如图),由函数图象可知它是递减的,因此f(x)≤f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x.<0.25.所以,当x∈[10,1000]时,log7x+1??说明按模型y=log7x+1奖励,奖金不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1确实能符合公司的要求.五、课后作业1.A2.D3.D4.y=100×2n-15.10×204。

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第三章 3.2 3。

2。

1 几类不同增长的函数模型1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝100x增长速度最快．答案：D2．今有一组数据如下：t 1.993。

0 4.0 5.1 6.12v1。

54。

407.51218。

01A．v＝log2t B．v＝log错误!tC．v＝错误!D．v＝2t－2解析:将t的5个数值代入这四个函数,大体估算一下,很容易发现v＝错误!的函数比较接近表中v的5个数值．答案：C3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元B．300元C．290元D．280元解析：由图象知，该一次函数过(1，800），（2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300（x≥0)，当x＝0时，y＝300。

答案：B4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表:x0510********y5130505 1 130 2 005 3 130 4 5051关于解析：由于指数函数呈爆炸式增长，结合表中数据可知，y2是指数型函数．答案：y25．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米；方案二:每年树林面积比上年增加9％.你觉得方案________较好．解析:方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10（1＋9％）5≈15.386（万平方米）．∵15。

x 3.2.1几类不同增长的函数模型(1) 1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是xy 2 ，在这个关系中x 的取值范围是 （ ）A ．一切实数B ．一切整数C ．正整数D ．自然数2、商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利率由原来的R%增加到（R+1）%，那么R 的值等于 （ ）A ．12B ．15C ．25D ．50 4、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m 3，按每立方米x 元收取水费；每月用水超过10 m 3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16元，则该职工这个月实际用水为 （ ）A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 35、将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个销售价涨价一元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个 （ ）元A ．4B ．2C ．14D ．126、一个长方体容器的底面为边长是a cm 的正方形，高度为h cm ，现以每秒d 3cm 的的速度注入某种溶液，则容器内溶液的高度y （cm ）与注入时间)(s t 的函数关系是 ，定义域是 ．7、有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间有同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），则围成的矩形最大面积为 2m （围墙厚度不计）．8、容器中有浓度为m %的的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后再用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为 ．9、今年年初小王到银行存入现金m 万元，计划存储5年后取出留给儿子上大学用，如果银行年利率为a ，且以复利方式计息，则到期后得到的利息为 ．10、已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%．设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ．求x 与y 之间的函数关系式．。

2019-2020年高中数学 3.2.1几种函数增长快慢的比较教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握几种常用函数增长快慢的比较方法（2）熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律2．过程与方程利用函数图象，借助计算机列出自变量和函数值的对照表，比较几种常用函数增长的快慢，从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论.3．情感、态度与价值观通过几种常见函数增长快慢的比较，感受“绝对与相对”的内涵和处延，培养思维的发散性.（二）教学重点与难点重点：函数增长快慢比较的常用途径；难点：了解影响函数增长快慢的因素.（三）教学方法合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.log2x＜x2，且log进一步探究y = x2与y = 20 1 2 3(0，2)时2x＞x2，x∈时2x＞三个函数图象如下：由图象可以看到，函数（1）以“爆炸”式的速度增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（以稳定的速率增加.例1 某人现在一笔资金x 万元用于投资，经过市场调查研究，有三种方案： 第一种方案：存入银行，年利润Q 1 = 0.018x ；第二种方案：借给朋友投资，年利润Q 2 = 0.02x + 0.2；第三种方案：办工厂，年利润Q 3 = 0.2x 2+ 2x – 35； 问：(1)投资4万元，选择哪种投资方案. (2)投资10万元，选择哪种投资方案. 【解析】 (1)投资4万元，则有：Q 1 = 0.072；Q 2 = 0.28；Q 3 = – 23.8， ∴Q 2＞Q 1＞Q 3∴选择第二种方案(2)投资10万元，则有：Q 1 = 0.18；Q 2 = 0.4；Q 3 = 5， ∴Q 3＞Q 2＞Q 1，∴选择第三种方案.例2 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月（30天）的通话时间x （分），与通话费y (元)的关系如图所示.（1）分别求出通话费y 1， y 2与通话时间x 之间的函数关系式； （2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜. 【分析】（1）由图象可设y 1 = k 1x +29，y 2 = k 2x ，把点B (30, 35)，C (30, 15)分别代入y 1，y 2得.∴.（2）令y 1 = y 2，即，则.当x = 96时，y 1 = y 2，两种卡收费一致； 当x ＜96时，y 1＞y 2，即如意卡便宜； 当x ＞96时，y 1＜y 2，即便民卡便宜.【评析】本题中的图形为直线，这就说明变量x ，y 之间满足一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息，运用合理的方法解决问题2019-2020年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(1)导学案 新人教A版必修1学习目标1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；如意卡便民卡2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.95~ P98，找出疑惑之处）阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、新课导学※典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：；；.问：其中哪个模型能符合公司的要求？反思：①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？※动手试试练1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a>0且a≠1)．有以下叙述①第4个月时，剩留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为所经过的时间分别是，则.其中所有正确的叙述是 .t(月)练2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系()()()()113521,2,3,,12150f n n n n n =+-=．写出明年第个月这种商品需求量 (万件)与月份的函数关系式.三、总结提升 ※ 学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；※ 知识拓展解决应用题的一般程序：① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）. A ． B. y =2 C. y =2 D. y =2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（ ）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）. A. y =20-2x （x ≤10） B. y =20-2x （x <10） C. y =20-2x （5≤x ≤10） D. y =20-2x （5<x <10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. （用式子表示）课后作业某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.。

高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修13.2.1几类不同增长的函数模型课时过关·能力提升基础巩固1.下列函数中,增长速度最慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x答案:B2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案:D3.若x∈(0,1),则下列结论正确的是()A.2x>>lg xB.2x>lg x>C.>2x>lg xD.lg x>>2x解析:当0<x<1时,2x>20=1,0<=1,lg x<lg 1=0,故2x>>lg x.答案:A4.下表是函数y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最符合的函数模型是( )x 3 4 5 6 7 8 9y 3.38 5.06 7.59 15.39 47.09 125.63 1 038.44A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案:C5.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,则该工厂这一年中的月平均增长率是()A.-1B.C.-1D.解析:设月平均增长率为x,1月份产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=,故x=-1.答案:A6.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50 minB.3.75 minC.4.00 minD.4.25 min解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t==3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选B.答案:B7.函数y=x2与y=ln x2在(0,+∞)内增长较快的一个是.解析:由y=ln x2=2ln x,则在同一坐标系中画出y=x2,y=2ln x的图象比较得y=x2在(0,+∞)上增长较快.答案:y=x28.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过小时.解析:设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x,令2x=4096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时.答案:39.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产的该产品分别为1万件、1.5万件,则3月份该产品的产量为万件.解析:由已知得故y=-2×0.5x+2,当x=3时,y=1.75.答案:1.7510.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解:方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.能力提升1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()A.y=100xB.y=log100xC.y=100xD.y=x100解析:由于指数函数的增长是爆炸式增长,故当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.答案:C2.某地为了加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长10%,若从今年起,x年后绿地面积是今年的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是()解析:设今年绿地面积为m,则有my=(1+10%)x m,即y=1.1x.故仅有D项符合题意.答案:D3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x解析:当x=1时,排除B;当x=2时,排除D;当x=3时,排除A,故选C.答案:C4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况如图所示.现给出下列说法:①前5 min温度升高的速度越来越快;②前5 min温度升高的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速升高;④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是.解析:因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量Δt,则y相应的增量Δy越来越小,而5min后y关于t的增量保持为0,则②④正确.答案:②④5.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:①f(x)=p·q x(q>0,且q≠1);②f(x)=log p x+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为(填序号).若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=.解析:∵f(x)=p·q x,f(x)=log p x+q都是单调函数,函数f(x)=x2+px+q的图象先下降后上升.∴选择函数f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,∴∴p=-8,q=17,∴f(x)=x2-8x+17.答案:③x2-8x+17★6.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1e x-100,x∈[1,10];(2)y=20ln x+100,x∈[1,10];(3)y=20x,x∈[1,10].解:图象如图所示,由图象可以看到:函数y=0.1e x-100,x∈[1,10]以爆炸式速度增长;函数y=20ln x+100,x∈[1,10]增长速度缓慢,并逐渐趋于稳定;函数y=20x,x∈[1,10]以稳定的速度增长.★7.下面给出f(x)与f(x+1)-f(x)随x取值而得到的函数值列表:x 1 2 3 4 52x 2 4 8 16 32x2 1 4 9 16 252x+7 9 11 13 15 171 1.4142 1.732 1 2 2.236 1log2x0 1 1.585 0 2 2.321 92x+1-2x 2 4 8 16 32(x+1)2-x2 3 5 7 9 11[2(x+1)+7]-(2x+7) 2 2 2 2 20.414 0.317 8 0.267 9 0.236 1 0.213 4log2(x+1)-log2x 1 0.585 0 0.415 0 0.321 9 0.263 0x 6 7 8 9 102x64 128 256 512 1 024x236 49 64 81 1002x+7 19 21 23 25 272.449 5 2.645 8 2.828 4 33.162 3log2x2.585 0 2.807 4 3 3.169 9 3.321 92x+1-2x64 128 256 512 1 024(x+1)2-x213 15 17 19 21[2(x+1)+7]-(2x+7) 2 2 2 2 20.196 3 0.182 7 0.171 6 0.162 3 0.154 3log2(x+1)-log2x0.222 4 0.192 6 0.169 9 0.152 0 0.137 5试问:(1)函数f(x)随x增大,函数值有什么共同的变化趋势?(2)函数f(x)增长的快慢有什么不同?(3)根据以上结论,体会以下实例的现实意义.①一个城市的电话号码的位数,大致设置为城市人口以10为底的对数;②银行的客户存款的年利率,一般不会高于10%.解:(1)随x的增大,函数f(x)的函数值都在增大.(2)通过f(x+1)-f(x)的函数值可以看出:函数f(x)增长的快慢不同,其中f(x)=2x增长最快,而且越来越快;增长最慢的,刚开始是f(x)=,到后来是log2x,而且增长的幅度越来越小.(3)①电话号码升位,会涉及千家万户,无疑是一件大事.将电话号码的位数设为城市人口以10为底的对数将保证即使人口有较大增长,电话号码也不必马上升位,保证了电话号码的稳定性.②按复利计算,存款以指数函数增长,如果利率设置太高,存款增长将越来越快,银行将难以承担利息付出.。

§3.2函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．1函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性________________________图象的变化随x的增大逐渐变“________”随x的增大逐渐趋于______随n值而不同2.(1)对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于________的增长快于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有__________．(2)对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x 的一定范围内，log a x可能会大于x n，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______________．一、选择题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12v 1.5 4.407.51218.01A．v＝log2t B．v＝12log tC．v＝t2－12D．v＝2t－22．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000) B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)5．已知f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (0)＝3，f (1＋x )＝f (1－x )，则有( )A ．f (b x )≥f (c x )B ．f (b x )≤f (c x)C ．f (b x )<f (c x )D ．f (b x )，f (c x)大小不定6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l 1＝5.06x －0.15x 2和l 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是________元．( )A ．45.606B ．45.6C ．二、填空题7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB ＝210KB)．8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是____________． 三、解答题 9．用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值．10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－13t＋433(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．能力提升11．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润y n(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．12．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y 1＝a e－nt，那么桶2中的水就是y 2＝a －a e－nt，假定5 min 后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有a4L?1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型． 2．常见的函数模型及增长特点(1)直线y ＝kx ＋b (k >0)模型，其增长特点是直线上升； (2)对数y ＝log a x (a >1)模型，其增长缓慢；(3)指数y ＝a x(a >1)模型，其增长迅速．§3.2 函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型知识梳理1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y ＝a x y ＝x n a x >x n(2)y ＝log a x y ＝x n log a x <x n 作业设计1．C [将t 的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v ＝t 2－12的函数比较接近表中v 的5个数值．]2．C [由题意知s 与t 的函数关系为s ＝20－4t ，t ∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]4．C [由题意得：y ＝0.2x ＋0.3(4 000－x ) ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)．]5．B [由f (1＋x )＝f (1－x )，知对称轴b2＝1，b ＝2.由f (0)＝3，知c ＝3.此时f (x )＝x 2－2x ＋3.当x <0时，3x <2x<1，函数y ＝f (x )在x ∈(－∞，1)上是减函数， f (b x )<f (c x )；当x ＝0时，f (b x )＝f (c x)；当x >0时，3x >2x>1，函数y ＝f (x )在x ∈(1，＋∞)上是增函数， f (b x )<f (c x )．综上，f (b x )≤f (c x)．]6．B [设该公司在甲地销售x 辆， 则在乙地销售(15－x )辆．由题意可知所获利润l ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15(x －10.2)2＋45.606. 当x ＝10时，l max ≈45.6(万元)．] 7．45解析 设过n 个3分钟后，该病毒占据64MB 内存，则2×2n ＝64×210＝216⇒n ＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．8．80(1＋x )10解析 一年后的价格为80＋80·x ＝80(1＋x )． 二年后的价格为80(1＋x )＋80(1＋x )·x＝80(1＋x )(1＋x )＝80(1＋x )2，由此可推得10年后的价格为80(1＋x )10.9．解 (1)b ＝23时，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14(a －12)2＋16，∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.10．解 据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间0≤t <20与20≤t ≤40上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F (t )． ①当0≤t <20，t ∈N 时，F (t )＝(12t ＋11)(－13t ＋433)＝－16(t －212)2＋16(4414＋946)，故当t ＝10或11时，F (t )max ＝176. ②当20≤t ≤40时，t ∈N 时，F (t )＝(－t ＋41)(－13t ＋433)＝13(t －42)2－13，故当t ＝20时，F (t )max ＝161.综合①、②知当t ＝10或11时，日销售额最大，最大值为176. 11．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n.利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n＝(20－n )m ×1.1n (0<n <20，n ∈N *)． (2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n≥0. 解得n ≤9，所以y 1<y 2<y 3<…<y 9＝y 10， 令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n )m ×1.1n ＋1－(18－n )m ×1.1n ＋2≥0， 解得n ≥8.所以y 9＝y 10>y 11>…>y 19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．12．解 由题意得a e －5n ＝a －a ·e －5n，即e －5n＝12.①设再过t min 后桶1中的水有a4L ，则a e －n (t ＋5)＝a 4，e －n (t ＋5)＝14.②将①式平方得e －10n＝14.③比较②、③得－n (t ＋5)＝－10n ，∴t ＝5. 即再过5 min 后桶1中的水只有a4L.。