备战2022年高考数学(理)一轮复习考点10 函数模型及其应用

函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是____________．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[练一练]如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN 取最小值时，CN ＝________.考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．考点三指数函数模型[典例] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有 1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_____________________．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠P AB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？。

第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气二、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系三、知识讲解考点1 几种常见的函数模型考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m2500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m2)．解析：选B由题意3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在H2附近时，体积变化较快；h小于H2时，增加越来越快；h大于H2时，增加越来越慢．答案：②5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，得x＝1003时，y min＝50 0003，即核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．课程小结常见函数模型的理解(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”．注意：指数函数y＝a x(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x n中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．(5)“对勾”函数模型，形如f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．31 / 31。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。

考向10指数与指数函数1．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2．（2015·山东高考真题（理））已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.【答案】32- 【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 考点：指数函数的性质.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。

10.4二项分布与超几何分布、正态分布必备知识预案自诊知识梳理1.伯努利试验(1)定义:只包含两个可能结果的试验.(2)n 重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验. 显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:①同一个伯努利试验重复做n 次,“重复”意味着各次试验成功的概率相同;②各次试验的结果相互独立.注:独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题.温馨提示两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验.由此可见,独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.2.二项分布定义:一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p<1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X 的分布列具有上式形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作X~B (n ,p ).温馨提示(1)二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中,第k+1项为T k+1=k (1-p )n-k p k ,可见P (X=k )就是二项式[(1-p )+p ]n 的展开式中的第k+1项,故称随机变量X 服从二项分布.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:①在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变; ②试验可以独立重复进行n 次.(3)P (X=k )=∑k=0nk(1-p )n-k p k =[p+(1-p )]n =1.(4)两点分布是特殊的二项分布. 3.超几何分布 (1)定义一般地,假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取任取n 件(不放回),用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则X 的分布列为P (X=k )=C Mk -M n -kn,k=m ,m+1,m+2,…,r ,其中n ,M ,N ∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m=max{0,n-N+M },r=min{n ,M }.如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X 服从超几何分布. (2)超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件,用X 表示抽取的n 件产品中的次品数,二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)其中p=MN;若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似温馨提示超几何分布广泛地存在于现实生活中,如产品中的合格品与不合格品,盒子中的红球与黑球,学生中的男生和女生等.但超几何分布还必须满足以下三个特点:(1)总体中含有两类不同的个体;(2)不放回的抽取,且无先后顺序;(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.4.正态密度函数与正态曲线(1)定义函数f(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)几何意义:随机变量X落在区间[a,b]的概率为P(a≤X≤b),即由正态曲线、过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的平面图形的面积,如图中阴影部分的面积,就是X落在区间[a,b]的概率.(3)特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.④曲线在x=μ处达到峰值(最大值)σ√2π.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布比较分散.5.正态分布(1)概念:①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为正态密度函数f(x),则称随机变量X服从正态分布.②表示方法:记为X~N(μ,σ2).③标准正态分布:当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.(2)正态分布的3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈0.682 7, P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈0.954 5, P (μ-3σ≤X ≤μ+3σ)≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到,尽管正态变量的取值X 围是(-∞,+∞),但在一次试验中,X 的取值几乎总是落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7,通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N (μ,σ2)的随机变量X 只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b )n 二项展开式的通项,其中a=p ,b=1-p.() (2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.()(5)二项分布是一个用公式P (X=k )=k p k (1-p )n-k ,k=0,1,2,…,n 表示的概率分布列,它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布.()2.某贫困县的15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇,其中有X 个小镇交通不太方便,下列概率中等于C 64C 96C 1510的是()A.P (X=4)B.P (X ≤4)C.P (X=6)D.P (X ≤6)3.若随机变量X 服从二项分布B 4,23,则()A.P (X=1)=P (X=3)B.P (X=2)=2P (X=1)C.P (X=2)=P (X=3)D.P (X=3)=4P (X=1)4.在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X 表示取到的次品数,则P (X=2)=.5.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)=.关键能力学案突破考二项分布点及其应用【例1】九节虾的真身是虎斑虾,虾身上有一深一浅的横向纹路,煮熟后有明显的九节白色花纹,肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾,并随机抽取了40只统计质量,得到的结果如下表所示:(1)若购进这批九节虾35 000 g,且同一组数据用该组区间的中点值代表,试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数);(2)以频率估计概率,若在本次购买的九节虾中随机挑选4只,记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X,求X的分布列.解题心得利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型,解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布.对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列.考点超几何分布【例2】(2020人大附中高三月考)为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(1)从这个班的学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生完成套卷数之和为4的概率; (2)若从完成套卷数不少于4的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列.解题心得求超几何分布的分布列的步骤第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N ,M ,n 的值;第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; 第三步,用表格的形式列出分布列.对点训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.考点正态分布及其应用(多考向探究)考向1正态分布的概率计算【例3】(1)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X≥4)=0.158 7,则P(2<X<4)=()A.0.682 6B.0.341 3C.0.460 3D.0.920 7(2)某校在一次月考中有900人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N(90,a2)(a>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人.解题心得正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或X围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)(2020某某开滦高三检测)已知随机变量X~N(7,4),且P(5<X<9)=a,P(3<X<11)=b,则P(3<X<9)=()A.b-a2B.b+a2C.2b-a2D.2a-b2(2)(2020某某扶余一中月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξ<c-2),则实数c的值是()A.4B.3C.2D.1考向2正态分布的实际应用【例4】为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.经计算得。

考点10 反比例函数及其应用反比例函数这个考点在中考数学中，单独出题几率比较的大，常考考点为：反比例函数图象的性质、K的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等。

其中前三个考点多以选择填空题的形式出题，后三个考点则是基础简答题以及压轴题。

在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。

另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题。

综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备掌握其各性质规律，并且多注意其与几何图形结合题的思考探究。

一、反比例函数图象的性质二、反比例函数与不等式间的关系三、反比例函数点的坐标特征四、反比例函数比例系数k 的几何意义五、反比例函数的应用考向一：反比例函数图象的性质【易错警示】解析式图象所在象限第一、三象限（x 、y 同号）第二、四象限（x 、y 异号）增减性在其每个象限内，y 随x 的增大而减小在其每个象限内，y 随x 的增大而增大对称性关于直线y=x ，y=-x 成轴对称；关于原点成中心对称1．反比例函数y＝图象的对称轴的条数是 条．2．如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是 ．3．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位第二、四象限，则k的取值范围是 ．4．已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（ ）A．图象必经过点（﹣3，2）B．图象位于第二、四象限C．图象关于原点对称D．在每一个象限内．y随x的增大而减小5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）A．B．C．D．6．边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）A．2B．4C．8D．67．函数y＝的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），针对y1与y2的大小关系，三人的说法如下，甲：若x1＜0＜x2，则y1＞y2；乙：若x1+x2＝0，则y1＝y2；丙：若0＜x1＜x2，则y1＞y2．下列判断正确的是（ ）A．只有甲错B．只有丙对C．甲、丙都对D．甲、乙、丙都错考向二：反比例函数与不等式间的关系当反比例函数与一次函数的图象相交时，会产生如下两种图形，对应结论如下：1.如图①，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的两支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：n＜x＜0或x＞m若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＜n或0＜x＜m①2.如图②，若反比例函数与一次函数相交于反比例函数的同一支于点A,B，则有若y1＞y2，则自变量x的取值范围是：m＜x＜n或x＜0若y1＜y2，则自变量x的取值范围是：x＞n或0＜x＜m②1．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x 的不等式ax+b＞的解集是（ ）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣1或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．﹣1＜x＜0或x＞22．如图，直线y＝ax+b与x轴相交于点A（1，0），与函数y＝的图象交于点B、C，点B的横坐标是4，点C的横坐标是﹣3，则不等式组0＜ax+b＜的解是（ ）A．﹣3＜x＜1B．﹣3＜x＜4C．﹣3＜x＜0D．0＜x＜13．如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．（3）请直接写出mx+n﹣＞0时，x的取值范围．4．已知：正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，（1）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；（2）当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是 ；（3）当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 ．5．如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式为 ；（3）当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y的取值范围为 ；（4）观察图象，请直接写出不等式的解集： ．考向三：反比例函数点的坐标特征1. 所有反比例函数上的点的横纵坐标相乘=比例系数k2. 如果一个点在反比例函数的图象上，则该点的坐标符合其解析式，可以根据其解析式设出对应的点的坐标3.当反比例函数与其他图形结合考察时，多注意与反比例函数结合的图形的性质应用1．若反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣1），则这个函数的图象一定经过点（ ）A．（﹣，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣，）D．（，2）2．在函数（m为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y33．如图，直角三角形AOB的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，点A在反比例函数图象上，若反比例函数经过点B，那么k的值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．﹣64．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，m），C（3，m+6），反比例函数y＝（x ＞0）的图象同时经过点B与点D，则k的值为 ．5．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，双曲线上在第一象限经过C，D两点，则k的值是 ．6．如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝2OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为 ．考向四：反比例函数k的几何意义反比例函数k与几何图形结合常见模型：1．在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于6的是（ ）A．B．C．D．2．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（ ）A．2B．﹣2C．4D．﹣43．如图，点A是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为11，则求k的值（ ）A．﹣4B．﹣11C．11D．4．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为 ．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AC在y轴上，且OA＝OC，∠ACB＝30°，AC＝4，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）若BA的延长线与反比例函数y2＝﹣（x＜0）的图象在第二象限交于点D，求△BCD的面积．考向五：反比例函数的应用一．反比例函数的应用通常是先根据题意列出函数表达式，画出函数图象，再根据函数图象的性质解决相关问题，同时注意自变量的取值范围二．反比例函数与一次函数的结合问题应对策略：①确定解析式，由一次函数解析式确定反比例函数解析式，由反比例函数解析式确定一次函数解析式②求交点坐标，通常联立反比例函数解析式与一次函数解析式③利用函数图象求解对应的不等式，需要过交点坐标作x轴的垂线1．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体）的密度也会随之改变，密度ρ（kg/m3）是体积V（m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m2时，气体的密度是（ ）kg/m3．A．1B．2C．4D．82．甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁3．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）C．当R＞1000时，I＞0.22D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.254．随着私家车数量的增加，城市的交通也越来越拥堵．通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车的行驶速度低于40千米/时时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米车的数量x（x＞0）的取值范围是（ ）A．0≤x≤20B．10＜x＜20C．0＜x＜20D．0＜x≤205．为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x（min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？1．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）A．B．C．D．2．（2022•海南）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（ ）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（1，﹣6）D．（6，1）3．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）4．（2022•云南）反比例函数y＝的图象分别位于（ ）A．第一、第三象限B．第一、第四象限C．第二、第三象限D．第二、第四象限5．（2022•益阳）反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 （写出一个符合条件的k值即可）．6．（2022•济宁）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．7．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k ≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（ ）A．B．C．D．8．（2022•天津）若点A（x1，2），B（x2，﹣1），C（x3，4）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x39．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．10．（2022•宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）I /A5…a ………b …1R /Ω2030405060708090100A ．a ＞bB ．a ≥bC ．a ＜bD ．a ≤b 11．（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为 ．12．（2022•衢州）如图，在△ABC 中，边AB 在x 轴上，边AC 交y 轴于点E ．反比例函数y ＝（x ＞0）的图象恰好经过点C ，与边BC 交于点D ．若AE ＝CE ，CD ＝2BD ，S △ABC ＝6，则k ＝ ．13．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝的图象交于A （1，m ）、B 两点，当k 1x≤时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤x ＜0或x ≥1B ．x ≤﹣1或0＜x ≤1C ．x ≤﹣1或x ≥1D ．﹣1≤x ＜0或0＜x ≤114．（2022•十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y ＝（k 1＞0）和y ＝（k 2＞0）的图象上．若BD ∥y 轴，点D 的横坐标为3，则k 1+k 2＝（ ）A．36B．18C．12D．915．（2022•铜仁市）如图，点A、B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC．若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为 ．16．（2022•辽宁）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A在x轴的正半轴上，AB＝3BC，点D在x轴的负半轴上，AD＝AB，连接BD，过点A作AE∥BD交y轴于点E，点F在AE上，连接FD，FB．若△BDF的面积为9，则k的值是 ．17．（2022•广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 ．18．（2022•玉林）如图，点A在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①A（b，b）②当b＝2时，k＝4③m＝④S四边形AOCB＝2b2则所有正确结论的序号是 ．19．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC 的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 ．20．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．21．如图，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点B，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象分别交AO，AB 于点C，D．已知点C的坐标为（2，2），BD＝1．（1）求k的值及点D的坐标．（2）已知点P在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．22．（2022•资阳）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，m）和点B （n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．23．（2022•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，4）和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）（3）线段OA与（2）中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD．求证：CD∥AB．24．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．1．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）2．（2022•襄阳）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定3．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y ＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（ ）A．4B．﹣4C．﹣3D．36．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．7．（2022•郴州）如图，在函数y＝（x＞0）的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数y＝﹣（x＜0）的图象于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）A．3B．5C．6D．108．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S （m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为 Pa．9．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，若点A（2，y1），B（5，y2）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．10．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ）A．1B．C．2D．411．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜212．（2022•朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（﹣2，m）和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2D．x＜﹣2或0＜x＜2 13．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝ ．14．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣215．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．16．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．17．（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．18．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．19．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．（1）求b，k的值；（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．20．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．21．（2022•西宁）如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）．（1）求反比例函数解析式；（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．22．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．23．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．1．（2022•大理州二模）若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点A （4，﹣），则k 的值为（ ）A ．2B ．﹣C ．D ．﹣22．（2022•济南一模）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx ﹣k 与y ＝的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022•元宝区校级一模）如图，点A 、C 为反比例函数图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B 、D ，连接OA 、AC 、OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为3时，k 的值为（ ）A ．﹣16B ．8C ．﹣8D ．﹣124．（2022•开福区校级二模）在压力一定的情况下，压强P （pa ）与接触面积S （m 2）成反比例，某木块竖直放置与地面的接触面积S ＝0.3m 2时，P ＝20000pa ，若把木块横放，其与地面的接触面积为2m 2，则它能承受的压强为（ ）A ．1000paB ．2000paC ．3000paD ．4000pa5．（2021•茶陵县模拟）如图，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 ．6．（2022•丛台区校级模拟）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y17．（2022•河南模拟）若双曲线在第二、四象限，那么关于x的方程x2﹣2x+m＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．条件不足，无法判断8．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（ ）A．5B．6C．7D．89．（2022•惠民县二模）如图，函数y＝2x与函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）A．B．C．D．10．（2022•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点，连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，随着点A 的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（ ）A．y＝﹣x B．y＝﹣C．y＝﹣x D．y＝﹣11．（2023•黔江区一模）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P 在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ．12．（2022•灯塔市模拟）如图，△ABC是等边三角形，边AB在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，若AB＝4，A（0，3），则k的值为 ．13．（2022•易县三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．（1）反比例函数的解析式是 ；（2）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是 ．14．（2022•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值．（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．15．（2022•婺城区校级模拟）如图，点A是反比例函数y＝（k＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C．M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为t．（1）求点B的坐标（用含有k、t的代数式表示）．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若△ABM的面积为8，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．。

数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。

(1）幂函数增长比一次函数增长更快。

（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。

()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。

（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。

(）2。

(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。