2020届高中数学：分段函数模型

2020年全国高考数学 第07讲 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

专题05分段函数（解析版）分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集。

由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用。

分段函数情形复杂、综合性强,即能有效考查复杂函数的图象和性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法。

因此,分段函数倍受高考命题人的青睐,是历年高考中的热点题型之一. 分段函数易错点易错点1：定义域与相应的解析式分不清,用错解析式来解决问题； 易错点2：忽略分段点的特殊性,要明确分段点的性质；易错点3：混淆分段函数单调性与其他函数单调性判断的不同点； 易错点4：不能正确做出分段函数的图像；在分段函数性质的考查中,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显. 题组一1．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥,则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=,22log 121log 62(log 12)226f -===,所以2(2)(log 12)f f -+=9．2.设2,0.()log ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________. 【解析】1211()log 1,(1),22g g e -==--=所以11(())2g g e= 题组二3.若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.【解析】∵1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,∴1|()|3f x ≥等价于001111333x x x x ≥⎧<⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫≥≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩或解得3001x x -≤<≤≤或,综上[]-31x 的取值范围为，4．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是______．【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <；当1x ≥时,由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤．5.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤,不等式12112xx +-+>恒成立； 当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤； 综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞． 题组三★6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【解析】由题意知()f x 在R 上为增函数,2(2)(),f a f a ->所以22,a a ->21a -<<解得,故选C7．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,∴由|()f x |≥ax 得,22x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩,由202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-,则a ≥-2,排除A,B,当a =1时,易证ln(1)x x +<对0x >恒成立,故a =1不适合,排除C,故选D ． 题组四8．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a =()f b =()f c ,则abc 的取值范围是A ．（1,10）B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设a b c <<,因为()()()f a f b f c ==,所以1ab =,c 的取值范围是(10,12),所以abc 的取值范围是(10,12)．()()()2,,-3+2=0f x f x f x π⎧-≤≤⎪⎨⎪=-⎩2xcos 1x 12x 1x 19.已知函数的实根的个数是___.，则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2fx f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨-⎪-⎩=∈>2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时＞数,，()2=1cos111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===±xyO11012()2=212,f x x x 时，所以-==()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

点击“分段函数”一般地，在自变量的不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数常常称为分段函数. 分段函数是函数的一种表达形式，不要误认为分段函数是几个函数. 分段函数在现实生活中大量存在，也是高考重点考查的内容. 下面介绍五种类型, 供复习参考.类型1：判断奇偶性例1已知函数()22230230x x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨-+->⎪⎩ ，试判断()f x 的奇偶性． 解析：()f x 为奇函数．事实上．当0x <时，0x ->，()()()223f x x x -=--+--()223x x f x =---=-；当0x >时，0x -<， ()()()222323f x x x x x -=-+-+=-+()()223x x f x =--+-=-. 无论0x >还是0x <,都有),()(x f x f -=-因此()f x 为奇函数．点评：本题考查分段函数奇偶性的判定方法.从函数奇偶性的定义出发, 考察在定义域上是否有或)()(x f x f -=-)()(x f x f =-成立，要注意分段函数的对应法则.类型2：求分段解析式例2已知函数f(x)=2x-1，g(x)=⎩⎨⎧<-≥)0(1)0(2x x x ,求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式.解析：当x ≥0时，g(x)=x 2，f[g(x)]=2x 2-1;当x ＜0时，g(x)=-1，f[g(x)]=-2-1=-3.∴f[g(x)]= ⎩⎨⎧〈-≥-)0(3)0(122x x x . 当2x-1≥0时，即x ≥12 时，g[f(x)]=（2x-1）2;当2x-1＜0时，即x ＜12时，g[f(x)]=-1. ∴g[f(x)]=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥-)21(1)21()12(2x x x .点评：本题考查分段复合型函数解析式的求法.在求f[g(x)]与g[f(x)]时要注意分段函数中的自变量的取值，以及复合函数中“内函数”的值域可以充当“外函数”的定义域.类型3：单调性问题y例3已知⎩⎨⎧≥+-<=1,1)23(1,)(x x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围.解析：因为)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数，所以)(x f 在()[)+∞∞-,11,和上是减函数，于是.32010023<<⇒<<<-a a a 且另一方面，还应该保证指数函数在(]1,∞-上的最小值不小于一次函数在[)+∞,1上的最大值，即取a a ≤+-123与320<<a 的交集，所以210≤<a . 即为实数a 的取值范围. 点评: 本题考查分段函数的单调性.对此，不仅要注意函数在每段上的单调性，还要注意函数在每段分界处的两侧函数值的大小情况，以保证分段函数在整个定义域上单增或单减.类型4：求值域或最值例4 求函数21++-=x x y 的值域和最值.解析：因⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=++-=)1(,12)12(,3)2(,1221x x x x x x x y ,当2-≤x 时,3≥y ;当1≥x 时,3≥y , 所以函数的值域为[)+∞,3,函数的最小值为3,无最大值.点评: 本题考查绝对值函数的值域和最值的求法.在求分段函数的值域时，应先求出每段上函数值的范围，然后取并集，即为分段函数的值域. 各段函数值中的最大（小）者，就是整个函数的最大（小）值. 对于含有绝对值的问题我们常常转化为分段函数求解.类型5：抽象函数问题例5已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =. 证明:(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩,其中k 和h 均为常数.解析：赋x a ,为具体的值或另外的字母, 引进常数.,h k .因为对任意a >0,R x ∈，均有()()x af ax f = ①.当x >0时，在①中,令1,==x x a ,则()()11xf x f =⋅,即()()1xf x f =.()1f 为常数，令()1f =k ，则有()kx x f =. 当x =0时，在①中令a =2, x =0，即得()()020f f =, ()00=∴f , 适合()kx x f =. 因此当x ≥0时, ()kx x f =成立 ②.当0<x 时，在①中,令1,-=-=x x a ,()()[]()()11--=--f x x f ,即()[]1)(--=f x x f . ()1--f 为常数，令()1--f =h ，则有()hx x f = ③综合②③得，(),0,0kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩ ,其中k 和h 均为常数.点评：本题主要考查分类讨论的思想方法和赋值法.按问题的条件把握如何分类则形成分段函数是解题的关键. 分类讨论的一般步骤是：确定分类对象（这里是x ）；选择分类标准（这里是以x 的取值为标准); 明确分类层次(这里是根据要证明的结论分00<≥x x 和两个层次).由上可见, 求解分段函数问题，要处理好整体与局部的关系, 最关键的还是分类讨论思想方法的应用.。

函数与函数的分段与模型函数是数学中的重要概念，它描述了一组由输入到输出的对应关系。

在数学建模和实际问题中，函数的分段与模型扮演着重要角色。

本文将探讨函数的分段以及它们在构建模型中的应用。

函数的分段可以理解为不同定义域上的函数规则。

例如，对于定义在区间[−1,1]上的函数f(x) = x²，它在[−1,1]上是连续的。

但当我们考虑定义在[1,2]上的函数时，它的定义域改变了。

我们可以将这两个定义域相互融合，构建一个分段函数。

一个简单的例子是温度转换函数。

在摄氏度与华氏度之间的转换中，函数的定义域也需要进行分段。

当输入值小于某个临界点时，使用一个函数规则；大于该临界点时，使用另一个函数规则。

这样，我们就可以通过这个分段函数来准确地对温度进行转换。

这种函数的分段定义使得模型更加精确。

除了温度转换，分段函数在金融领域也有广泛的应用。

例如，银行贷款利率的计算通常是根据不同的贷款额度和期限来确定的。

这就涉及到了定义在不同范围内的分段函数。

银行会设定不同的利率规则来合理计算贷款利息，以满足不同用户的需求。

这种分段函数的应用在金融建模中提供了更加准确和可行的解决方案。

除了分段函数的应用，函数的模型构建同样重要。

数学模型是对实际问题的抽象和描述。

函数的模型构建需要考虑问题的特性和要求。

例如，在人口增长模型中，我们可以使用指数函数来描述人口的增长趋势。

这个模型可以根据过去的数据，预测未来的人口变化。

然而，在考虑资源限制时，我们可以引入分段函数来限制人口增长率。

这样的模型更贴近实际，并提供了更有说服力的结果。

在物理学中，分段函数也有着广泛的应用。

例如，处理粒子碰撞时，我们可以使用分段函数来描述不同阶段的力的变化。

这样的模型可以更加准确地描述粒子碰撞的过程，并为实验结果提供解释。

总结起来，函数的分段与模型在数学建模和实际问题中具有重要性。

通过分段函数的定义，我们能够更准确地描述问题，并提供相应的解决方案。

同时，函数的模型构建需要考虑问题的特性和要求，通过合理的函数模型，我们可以预测未来的趋势和解释实验结果。