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非线性动力学中的混沌理论在现代科学中，非线性动力学是一门重要的学科，它涵盖了物理、数学、化学、生物等多个领域。
而其中引人注目的一个分支便是混沌理论。
混沌现象最早在天文学中被发现，即在天体运动中，因初值微小差异所引起的不可预测的后果。
后来，这种现象在其他领域内得到了发现和研究。
以混沌现象为研究对象的混沌理论，是最早由美国数学家斯蒂芬·斯蒂格尔（Stephen Smale）提出的。
混沌理论被广泛应用于天文学、物理学、生物学、经济学等领域，可以帮助我们更好地理解和探究自然现象的规律性。
在混沌理论中，最基本的概念是“混沌”。
什么是混沌？通俗地讲，所谓混沌现象，就是初始条件的微小变化，会引起结果的不可预测性。
比如说，在地球上，初始状态的微小差异就会带来完全不同的天气变化。
这种微小的差异在时间演化的过程中会被放大，从而导致结果的巨大变化。
在混沌现象中，一个核心的概念是“吸引子”。
所谓吸引子，是指系统在长时间内演化出现的一种结构，它是初始状态的某种演化态势。
吸引子有两种类型：固定吸引子和奇异吸引子。
固定吸引子是指系统在演化过程中逐渐趋于一个不变的结构；奇异吸引子则是指系统在演化中陷入的周期性动态。
吸引子是非线性动力学重要的演化结构，它可以揭示一些自然现象的演化特征，比如说叶的形态、病毒的结构以及人类心脏的节律等等。
在混沌理论中，还有一个重要的概念——分岔理论。
分岔理论指的是当控制参数发生微小变化时，系统的状态会出现突变，导致系统演化的方向发生变化。
换句话说，分岔理论描述了系统向稳定状态从不稳定状态转化的过程。
非线性动力学和混沌理论的研究对于科学技术的发展具有重要的意义。
它们可以帮助我们更好地理解和掌握自然界的规律性，加速科技创新和进步。
例如，在气象学中，混沌理论可以用来研究和预测天气变化；在物理学中，非线性动力学和混沌理论可以用来研究分子的运动和粒子的演化；在生物学中，它们可以用来研究代谢、神经系统和生态系统等等。
非线性动力学混沌理论方法及其意义吴 彤(清华大学 科学技术与社会研究所,北京 100084) 摘 要:本文考察了非线性混沌的各类描述定义,研究了混沌的细致分类,讨论和研究了混沌特性以及判别混沌、寻找混沌征兆的方法,区别了混沌与噪声;对混沌理论的认识论和方法论意义进行了四方面的研究:混沌研究对复杂性研究的非线性方法论的意义,混沌和决定论与可预测性的关系,混沌边缘研究意义,建设和避免混沌的关系。
关键词:非线性;混沌;方法;可预测性中图分类号:F22410 文献标识码:A 文章编号:1000-0062(2000)03—0072-08 如果仔细考察人类在自己的生命演化过程中的关注,似乎有两个问题最重要,第一,如何预测未来,第二,是否能够预测未来,因果关系等问题均在此列。
第一个问题是实用性的,而第二个问题则是理论性的,它关系到一种原则和生活的意义。
20世纪中叶以后,当气象学家洛伦兹提出“蝴蝶效应”时,人们了解到,就是完全确定性的动力学方程,也仍然会出现随机性演化。
那么,如何预测未来呢?预测还可能吗?人们现在更害怕混沌理论打破他们对未来可预测性的幻想。
但是这种幻想实在是一种幻象。
其实,从休谟起,科学哲学对归纳问题本质的揭示已经对单一的决定论因果观念给出了不可能的回答。
有哪一个人知道自己的生命和生命之途将如何走向呢?哪一个生命的道路不是在生命演化过程中逐渐完成的呢?其实,宿命论与线性决定论的联系比与随机论的联系更强。
另一方面,也出现了相反的误读和误解。
人们以为,混沌理论如果正确,那么世界将完全不可预测。
似乎混沌理论助长了悲观主义。
其实,混沌理论的出现,一方面揭示了自然界和社会客观存在混沌,谁都无法避免;另一方面,混沌理论对混沌动力学系统的研究,恰恰帮助人们了解混沌现象,对“混沌”不混沌,才能处事(处世)不惊、不乱。
混沌理论在一定意上更支持了决定论,因为它把原来属于随机性的、偶然性的领域,也纳入到决定论的管辖范围内。
非线性动力学中的混沌现象物理学中的混沌现象是指一个系统虽然是确定性的，但由于微小的初始条件差异会导致结果的巨大差异，表现出不可预测性。
混沌现象是由于系统的非线性行为引起的，在非线性动力学的研究中广泛存在。
在这篇文章中，我们将探讨混沌现象的原理和应用，以及如何在非线性系统中应对混沌现象的挑战。
非线性动力学中的混沌现象的起源非线性动力学是研究非线性系统演化行为的学科。
我们知道，在线性系统中，输出是输入的一种缩放，而非线性系统中则不然。
非线性系统不会按照线性关系的方式响应任意输入，而是具有更为复杂的特征。
这种特征在一定程度上会导致系统表现出混沌现象。
混沌现象最早是由美国的工程师爱德华·洛伦茨在1963年发现的。
他发现，在具有非线性行为的系统中，一个微小的初始条件差异会导致结果的巨大不同，这意味着无法预测这个系统的演化。
他发现的这个现象被称为燥动现象，后来被广泛认识到是混沌现象。
非线性系统中的混沌现象可以被看做是一个自组织的有序性，这种有序性不是像普通的周期性运动那样可预测的，而是具有随机性和复杂性。
这种复杂性涉及到许多要素，包括吸引子、分叉、倍增、条纹、密度波、涡旋等。
非线性动力学中的混沌现象的应用混沌现象的应用范围非常广泛。
在天文学、气象学、生物学以及金融学等领域都有广泛的应用发展。
例如，在天气预报中，混沌理论可以让我们更好地了解大气环境的变化规律，从而提高天气预报的准确性。
在气象学中，通过对大气环境中一些元素的混沌特性研究，可以预测气候变化的趋势。
在金融学中，混沌现象的应用于交易量的预测。
在分析金融市场时，我们常用技术分析来试图预测股票价格的变化。
但由于股票市场是高度非线性的，这样的预测并不可靠。
但是，如果我们能够了解系统的混沌特性，就可以更好地了解市场的基本运作方式，并采取相应的投资策略。
非线性动力学中的混沌现象的挑战混沌现象对于非线性系统的设计和控制，都是相当大的挑战。
在实际应用中，我们需要对非线性系统的微小变化进行精细的控制，以避免混沌现象对输出的影响。
非线性动力学及其在混沌理论中的应用非线性动力学是研究非线性系统中的动力学行为的学科，它对于揭示自然界复杂系统的行为规律具有重要意义。
混沌理论作为非线性动力学的一个分支，研究的是那些受微小扰动即可产生极其不可预测的结果的系统。
本文将介绍非线性动力学的基本概念和原理，并探讨其在混沌理论中的应用。
一、非线性动力学的基本概念非线性动力学研究的是系统中非线性元素的行为。
与线性动力学不同，非线性动力学中系统的响应不仅仅取决于外部激励，还会受到系统内部相互作用的影响。
非线性动力学系统的演化可以表现出多样的行为，如周期运动、混沌运动等。
二、非线性动力学的基本原理非线性动力学的基本原理包括相空间、吸引子、分岔等概念。
1. 相空间相空间是描述系统状态的一个概念，其中每个可能的状态由相应的坐标表示。
系统的演化可以在相空间中表示为点的轨迹，这些点随着时间的推移不断移动。
2. 吸引子吸引子是描述系统演化趋势的一个概念，它可以是一个固定点、一个周期轨道或者一个奇异吸引子。
吸引子描述的是系统的稳定性和有序性程度。
3. 分岔分岔是非线性动力学中常见的现象，它描述的是系统参数变化时系统行为的突变。
分岔可以导致周期轨道的出现或消失，是系统从有序到混乱的过渡。
三、混沌理论与非线性动力学的关系混沌理论是非线性动力学的一个重要分支，它研究的是那些对初条件极其敏感的系统。
混沌系统在理论上表现为无序的、不可预测的行为，但却具有确定性的动力学规律。
在混沌系统中，微小的扰动可以引发系统演化的巨大变化，这是由于系统的敏感依赖于初始条件的特性导致的。
混沌系统通常具有吸引子的特点，但吸引子的性质与传统的周期吸引子不同，它通常是奇异的、分形的结构。
非线性动力学在混沌理论中的应用是为了理解和描述混沌系统的行为规律。
通过建立适当的非线性动力学模型，可以研究混沌系统的演化过程，并揭示其中的规律性。
非线性动力学的方法和技术为分析和预测混沌系统的行为提供了有效的工具。
非线性动力学中的混沌现象分析随着科技的进步，越来越多的系统在现实中被建立和研究。
而系统的复杂性增加，非线性动力学中的混沌现象也就显示出了特殊的表现。
在本文中，我们将主要介绍非线性动力学中的混沌现象以及相关的分析方法。
一. 混沌现象及其表现方式混沌现象是指一种非周期而又具有明显连续性的运动状态，它的变化看似毫无规律，但又似乎有着一定的规律可循。
混沌现象常常出现在一些比较复杂的系统中，例如气象系统、流体动力学、化学反应系统以及经济市场等。
混沌现象具有以下的表现方式：1. 敏感依赖性：混沌现象中微小的初始条件变化，往往会带来显著的结果差异。
2. 周期模糊性：混沌现象中周期的边界变得模糊不清，因为在不同的时间尺度上，周期的长度是不同的。
3. 统计规律性：混沌现象中有一些统计特性，例如自相似性、分形性等。
二. 分析混沌现象的基本方法针对混沌现象，人们提出了很多不同的分析方法。
以下是一些常用的分析方法。
1. 动力学系统的非线性微分方程建模：混沌现象常常可以从非线性动力学微分方程模型进行分析，在此基础上可以进一步分析系统的稳定性、周期行为、混沌现象等。
2. Poincare截面方法：该方法定义了一个截面，并将系统的运动状态在这个截面上投影，从而观察系统的周期性、混沌性等特征。
3. Lyapunov指数方法：该方法可以量化混沌现象中的灵敏度依赖，用于对比不同的混沌现象。
4. 分岔图法：该方法用于分析系统中出现的状态转换和稳定性变化。
5. 局部方差方法：该方法用于检测时间序列中的小尺度混沌性，并可以对其进行定量分析。
三. 混沌现象在实际中的应用混沌现象在生活中的应用十分广泛，下面主要介绍一些例子。
1. 加密传输：混沌信号可以用于加密通信，这是因为混沌信号的本性可以使得被传输的信息难以被窃取。
2. 噪声控制：利用混沌现象控制系统中的噪声，可以提高系统信噪比和精度，从而增强该系统的可靠性。
3. 脑电信号分析：可以运用混沌现象对脑电信号进行分析，以提高对脑部疾病和认知状态的诊断和研究。
物理学中的非线性动力学和混沌理论物理学中的非线性动力学和混沌理论是近年来备受关注的研究领域，其中包括了混沌现象、复杂性和非线性动力学的研究，以及分形和复杂网络的研究等方向。
这些研究领域为我们认识自然界中的各种现象提供了新的视角和思路。
一、非线性动力学传统的物理学研究的是线性系统，即系统在受到外界作用时只会产生与外力大小成比例的反应，这种响应也被称为线性响应。
然而，在实际的自然界中，很多系统的响应并不是线性的，而是出现了非线性现象。
非线性动力学就是研究非线性系统行为的一门科学。
与线性系统不同，非线性系统的行为往往会因为多种因素的复杂作用而产生不稳定、不规律、激烈或混乱的现象。
非线性动力学的研究内容包括了相变现象、自激振荡、混沌现象等。
以相变现象为例：当一个系统受到一个连续性的变化时，它可能发生相变，出现新的状态。
而这个过程不是线性的，相反，它往往是突变的，不能用连续函数来描述。
非线性动力学提供了研究这些相变现象的工具和方法。
二、混沌理论混沌理论是研究非线性系统行为的一个分支，主要研究的是混沌现象。
混沌现象的最重要特征是灵敏依赖初值，也就是说，初始条件的微小变化可能会导致系统最终出现完全不同的行为状态。
这一性质被称为“蝴蝶效应”。
在混沌理论中，研究的核心是混沌现象的产生机制和控制方法。
混沌现象的产生通常是由于非线性系统中的复杂相互作用导致系统行为出现无序、不可预测的特点，而混沌控制则是通过外部控制手段，通过稳定系统的特定状态来达到对混沌现象的控制。
混沌控制的研究对于现代工程、物理和生物学方面的技术应用都非常重要，例如，通过对人工心脏的非线性动力学行为的深入认识和控制，可以有效提高人工心脏的工作效率和稳定性。
三、非线性动力学在物理学中的应用非线性动力学的研究成果在物理学中的应用非常广泛，例如，在统计物理学中，非线性动力学的方法被成功地应用于研究非平衡态的物理行为。
在材料科学中，非线性动力学的研究可以帮助我们更好地理解材料的形变和变形行为。
非线性动力学中的混沌效应分析简介：非线性动力学是研究复杂系统行为的学科，它的核心是分析系统中各个部分之间的相互作用关系，通过建立数学模型来解释和预测系统的行为。
而混沌效应则是非线性动力系统中最引人注目的现象之一，它展现了系统的极端敏感性和长期不可预测性。
本文将对非线性动力学中的混沌效应进行分析，探讨其原理和应用领域。
一、混沌的定义及起源混沌是指非线性动力系统中，微小的初值差异能够导致系统在演化过程中产生巨大的变化。
它起源于1970年代初期，当时人们通过计算机模拟发现，一些看似简单的动力学方程在特定条件下会出现混沌行为。
混沌行为是由系统非线性性质引起的，非线性的效应使得系统不再呈现周期性的运动，而是表现出无限接近于随机的运动。
二、混沌效应的数学描述混沌效应的数学描述通常采用迭代映射模型。
迭代映射模型是一种离散动力学系统，通过迭代运算可以描述系统从一个状态转移到下一个状态的过程。
最著名的混沌迭代映射就是著名的“Logistic映射”，它的形式为：xn+1 = rxn(1-xn)。
其中，xn表示系统在第n次迭代时的状态，r为控制参数。
三、混沌效应的特征混沌效应具有以下几个重要特征：1. 灵敏依赖于初值：小的初值差异会导致系统最终的状态差异越来越大，这种现象被称为初始条件敏感性。
2. 难以预测性：由于混沌现象的长期不可预测性，即使系统的方程和初值都已知，也无法准确预测其未来的演化。
3. 统计规律性：尽管混沌现象本身表现出随机性，但其统计规律性是可测量和可描述的，这为混沌效应的应用提供了可能性。
四、混沌效应的应用领域混沌效应的应用涵盖了众多领域，下面主要介绍其中几个典型的应用。
1. 通信领域：混沌序列的伪随机性质使得其在通信加密中得到了广泛应用。
例如，混沌扩频技术可以提高通信系统的安全性和抗干扰性。
2. 经济学领域：金融市场的波动和变化具有明显的非线性和混沌特征，混沌理论可以用来描述和预测股票价格和汇率等经济场景。
向量的非线性动力学和混沌理论在物理学、数学、计算机和工程等领域中，向量被广泛应用于描述物理量和计算等方面。
当物理系统呈现非线性时，向量就会出现非线性动力学和混沌现象。
这篇文章将介绍向量的非线性动力学和混沌理论。
一、向量向量是指空间中具有大小和方向的量。
在三维欧几里得空间中，向量可以表示为(x,y,z)，其中x,y,z分别为向量在x,y,z方向上的投影大小。
向量的大小称为模，用“||”表示，即||p||。
向量的单位向量是指其长度等于1的向量，通常用小写字母表示，如a，而原向量用大写字母表示，如P。
二、非线性动力学当物理问题中出现了非线性项时，问题就变得非常复杂。
我们考虑这样一个简单的例子：一个物体在空气中自由落体。
当考虑空气阻力时，牛顿第二定律可以被表示为：m*d2x/dt2=-cv^2，其中m是质量，x是位置，t是时间，c是空气阻力系数，v是速度。
这是一个二阶非线性微分方程，因为速度的平方项出现了。
这样一来，问题就变得非常困难，可以采用向量来解决。
在这个例子中，我们定义一个向量，它的x分量是物体的位置，y分量是物体的速度。
这个向量为(Px,Py)。
对于这个向量，它有一个动力学方程：dP/dt=F(P)，F(P)是一个向量值函数。
这个函数是一个向量，它的x分量给出了位置的变化率(即速度)，它的y分量给出了加速度的变化率(即-空气阻力/m)。
这个方程代表了向量的动力学，因为它是描述向量随时间变化的一个方程。
三、混沌理论混沌理论指的是非常复杂的动力学系统，它的行为看起来随机而且无规律。
经典的例子是洛伦兹吸引子，它是由Edward Lorenz所发现的。
它的动力学方程为：dP/dt=F(P)，其中F(P)是一个向量值函数：dPx/dt=sigma*(Py-Px)dPy/dt=Px*(rho-Pz)-PydPz/dt=Px*Py-beta*Pz其中sigma、rho、beta是参数。
这个函数描述了一个表示空气流体运动，也称为空气流动模型。
非线性动力学中的混沌现象及其应用混沌，是指在某种程度上具有确定性的系统，但其长期演化的结果却十分难以预测，极度敏感于初值条件的不规则、随机行为。
在非线性动力学中，混沌现象一直是研究的热点，它的性质和应用也备受关注。
本文将从混沌现象的定义、特性与图像展示、混沌对噪声抑制和混沌通信三个方面来介绍混沌。
一、混沌的定义与特性混沌现象源自于流体力学中的"洛伦兹方程"，经过40多年的发展，已经家喻户晓了。
混沌是一种无序的动力学行为，表现为明显的随机性，但又有可能呈现各种规则的形式。
混沌的行为具有以下特点：1. 非周期性混沌的行为不像周期性运动那样具有周期性。
混沌的状态不断发生变化，几乎无法重复，且不再出现规律性的模式。
2. 灵敏依赖初值混沌动力学系统对初始条件有极高的敏感性，即使两个系统在初值上仅有微小的偏差，也会随时间的流逝而出现大的不同。
3. 塞逊定理塞逊定理指的是混沌系统概率密度变化的特性，即系统中相邻的状态点的距离，在不断演化过程中往往成倍增长，混沌的标记是大规模的分岔。
二、图像展示混沌现象不仅以数学方程表示，还以图像、音乐甚至语言等多维度方式进行表现。
下面就是一组展示混沌的图像：通过这些图像，我们可以更直观的了解混沌现象的特征和行为。
三、混沌对噪声抑制的应用随着科学技术的发展，我们生活中出现了很多噪声，它们都会给人们的生活带来很多不便。
因此，在工程技术中，如何对这些噪声进行抑制是一个很重要的问题。
混沌抑制理论可以在一定程度上克服线性系统抑制效果不佳的问题，达到噪声抑制的目的。
混沌抑制的主要思路是控制非线性系统的混沌状态，通过改变混沌吸引子来获得不同的响应。
混沌抑制通过非线性反馈也能控制力学结构或电气电路的状态。
四、混沌通信的应用混沌通信是一种通过混沌技术实现信息传递的通信方式。
相比于传统通信方式，它的优势在于具有隐蔽性、抗干扰性、高速和多用户性等特点，尤其在无线通信、宽带通信以及高阶调制等领域得到了广泛的应用。
非线性动力学混沌理论方法及其意义吴 彤(清华大学 科学技术与社会研究所,北京 100084) 摘 要:本文考察了非线性混沌的各类描述定义,研究了混沌的细致分类,讨论和研究了混沌特性以及判别混沌、寻找混沌征兆的方法,区别了混沌与噪声;对混沌理论的认识论和方法论意义进行了四方面的研究:混沌研究对复杂性研究的非线性方法论的意义,混沌和决定论与可预测性的关系,混沌边缘研究意义,建设和避免混沌的关系。
关键词:非线性;混沌;方法;可预测性中图分类号:F224.0 文献标识码:A 文章编号:1000-0062(2000)03—0072-08 如果仔细考察人类在自己的生命演化过程中的关注,似乎有两个问题最重要,第一,如何预测未来,第二,是否能够预测未来,因果关系等问题均在此列。
第一个问题是实用性的,而第二个问题则是理论性的,它关系到一种原则和生活的意义。
20世纪中叶以后,当气象学家洛伦兹提出“蝴蝶效应”时,人们了解到,就是完全确定性的动力学方程,也仍然会出现随机性演化。
那么,如何预测未来呢?预测还可能吗?人们现在更害怕混沌理论打破他们对未来可预测性的幻想。
但是这种幻想实在是一种幻象。
其实,从休谟起,科学哲学对归纳问题本质的揭示已经对单一的决定论因果观念给出了不可能的回答。
有哪一个人知道自己的生命和生命之途将如何走向呢?哪一个生命的道路不是在生命演化过程中逐渐完成的呢?其实,宿命论与线性决定论的联系比与随机论的联系更强。
另一方面,也出现了相反的误读和误解。
人们以为,混沌理论如果正确,那么世界将完全不可预测。
似乎混沌理论助长了悲观主义。
其实,混沌理论的出现,一方面揭示了自然界和社会客观存在混沌,谁都无法避免;另一方面,混沌理论对混沌动力学系统的研究,恰恰帮助人们了解混沌现象,对“混沌”不混沌,才能处事(处世)不惊、不乱。
混沌理论在一定意上更支持了决定论,因为它把原来属于随机性的、偶然性的领域,也纳入到决定论的管辖范围内。
所以,在一定意义上,混沌理论是预测混沌的,是认识和控制混沌的工具和方法。
而且后面我们将看到,混沌强弱不同时,系统演化行为的预测完全是不同的。
一、关于非线性动力学混沌的各种定义 普通意义上,混沌只是意味着混乱、无秩序,而在非线性动力学系统中,混沌一词则有更精细的十分不同的意义。
为了区别,把前一种混沌称为线性平衡态热力学混沌,后一种混沌称为非线性动力学混沌。
关于混沌在古代、经典科学的不同含义,以往许多文献讨论的比较充分,这里不再赘述。
本文只研究非线性动力学混沌的定义、方法和意义。
收稿日期:2000-02-23作者简介:吴 彤(1954- ),男,清华大学科学技术与社会研究所教授,硕士.2000年第3期第15卷清华大学学报(哲学社会科学版)JOU RNA L O F T SING HUA UN IV ERSIT Y(Philosophy and Social Sciences )N o .3 2000Vol .15DOI :10.13613/j .cn ki .qh dz .000757 1.国外关于非线性动力学混沌的定义最早创立混沌理论的著名气象学家洛伦兹说:“我用混沌这个术语来泛指这样的过程———它们看起来是随机发生的而实际上其行为却由精确的法则决定”。
[1]在另外的地方,他称更准确的被重新定义的混沌系统是指敏感地依赖于初始条件的内在变化的系统。
对于外来变化的敏感性本身并不意味着混沌。
[2]另一个在圣费研究所工作过对元胞自动机的研究方面有重要贡献的混沌理论创始人诺曼·帕卡德在接受采访时对混沌现象的描述是,这种现象有三个名称:蝴蝶效应、对初始条件的敏感性依赖和信息增殖。
他指出,在决定论中也会存在随机行为,这就是混沌的一种特定属性。
初始状态失之毫厘,最终状态就会谬以千里。
初始状态微小的差别随系统的演化越变越大。
[3]混沌是这样一个例子:它的行为所表现出来的方程式很简单,但却是不可推导的。
……按以前的观点,我们会认为是可解的,可预测的,但事实上混沌却表现出一种随机的、不可预测的运动方式。
[4]2.国内对混沌的定义中国科学院院士郝柏林教授对混沌的定义与国外学者类似。
他说:某些完全确定论的系统,不加任何随机因素就可能出现与布朗运动不能区分的行为:“失之毫厘,差之千里”的对初值细微变化的敏感依赖性,使得确定论系统的长时间行为必须借助概率论方法描述,这就是混沌。
[5]程极泰给非线性动力学混沌定义为:(1)混沌是一种确定性现象;(2)混沌是一种强非线性动态;(3)混沌是相对于一些“不动点”、“周期点”的特定形式的一种未定形的交融于特定形式间的无序状态。
[6]陈宁等人认为,如果一个系统:(1)有对初始条件的敏感依赖性;(2)是拓扑传递的;(3)在出现混沌的区域内有稠密周期点,那么这个系统就是混沌。
[7]综上所述,建基于混沌理论的两个非常重要的观点很清晰:(1)混沌是貌似随机性的非周期行为,它可以由确定性产生;(2)非线性问题将被视为非线性问题而不是作为简单线性问题加以处理。
[8]这几个重要思想给我们关于混沌理论的认识论方法论研究提供重要依据。
二、非线性动力学混沌的细致分类 现在不仅可以对平衡态热力学混沌(无序)与非线性动力学混沌之间做出区分,而且能够对非平衡态的非线性动力学混沌再做更细致的区分。
1.时间混沌和空间混沌A.A.Tsonis对混沌的时间和空间行为做了划分,它把混沌对初始条件的敏感依赖性细致划分为两种依赖性———时间和空间条件的依赖性,并且在研究上给出了低维动力系统的时间混沌和空间混沌的定义:时间混沌即系统状态具有初始条件敏感性;空间混沌即系统状态具有边界条件敏感性。
[9]2.完全混沌和有限混沌E.N.洛伦兹把混沌分成了完全混沌和有限混沌两种。
认为混沌是表征一个动力系统的特性,如果在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性,即所谓完全混沌;如果在该系统中只有某些轨道是非周期的,但大多数轨道是周期的或冷周期的,即有限混沌。
[10]3.强(或完全)混沌和弱混沌程极泰把混沌称为强非线性混沌,实际上是指洛伦兹意义的完全混沌。
而所谓强混沌和弱混沌是按照有无一个时间尺度从而是否可以对系统的演化行为做出预测来划分的。
Per Bak等人认为强混沌即存在一个时间尺度,一旦超越这个尺度,系统演化就不可预测;而弱混沌则不存在这样一个尺度,它可以进行长期预报。
[11]这样一个区分就使得我们在本文开始时关于未来预测的话题变得稍稍轻松些了。
因为像湍流都不是强混沌,而科学家已经发现,目前所找到的自组织的临界现象都是弱混沌的,所以看来起来自然界存在着大量的弱混沌现象。
而弱混沌是可以长期预测的。
上面的区分,严格地说,是指在混沌区内,强混沌区域不可预测,而弱混沌区的大部分可以预测。
三、混沌所具有的特性及判别混沌的方法 混沌有哪些特性,如何根据混沌的特性寻找和判别混沌呢?有的学者认为,混沌所必须具备的两个主要特征73非线性动力学混沌理论方法及其意义是:(1)对于某些参量值,在几乎所有的初始条件下,都将产生非周期动力学过程;(2)随着时间的推移,任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化,即存在对初始条件的敏感依赖性。
[12]这两个特性可能是非线性混沌最具特点的性质。
对这两个特性的描述或判别证据,有的学者给出描述混沌的4个基本判断尺度:1.混沌(在存在数学方程可数学分析的情况下)存在的必要条件是存在正李亚普诺夫特征指数(Liapunov characteristic exponents,用来刻画运动轨迹收敛或发散的速率)。
以洛伦兹吸引子为例,它的三维相空间的吸引子的李亚普诺夫特征指数谱为(2.16;0.00;-32.4),在信息论意义上,它意味着如果一个初始条件在每个坐标方向用16位来描述,那么每秒2.16位这个正的李亚普诺夫特征指数指,系统状态的所有信息大约在8秒(即大约16个平均轨迹周期)以后将全部丢失,除非该轨迹仍然留在吸引子内部。
如果在临近于信息完全丢失时出现某一扰动,那么每秒-32.4位的负的李亚普诺夫特征指数意味着轨迹大约在1/16秒(即轨迹平均周期的1/8)以内返回吸引子(对16位的分辩率而言)。
[13]2.刻画系统在相空间中运动或结构复杂性的维数一般为分数维,表明混沌存在分形结构。
分形存在意味着混沌内部存在自相似的结构,这同时表明,混沌内部具有精细的周期结构。
关于此点具有方法的可操作性。
不管我们是否可以得到一个混沌系统或混沌运动的维数刻画,在直观上,分形与整形是可以区分而且容易区分的。
3.用来反映动力学系统非线性状况、复杂性程度和运动不稳定性的拓扑熵(topological entro-py)非负。
4.混沌运动的功率谱连续,类似白噪声。
于是在判定力学模型、物理过程等具体系统是否存在混沌性态时,人们往往根据以上判据采取以下方法研究混沌。
[14](1)通过数值计算,观察系统的相图结构;(2)计算李亚普诺夫指数,若存在正的李亚普诺夫指数,则认为系统是混沌的;(3)计算拓扑熵或测度熵,若拓扑熵或测度熵大于零,则认为系统是混沌的;(4)计算容量维或豪斯道夫维数,若维数为分数,则认为系统是混沌的;(5)分析功率谱,若功率谱是连续的,则认为系统是混沌的。
以上在系统可以描述或表达为一个(或一组)微分方程时,是极其有效的方法。
但是系统不能用微分方程表达时,如何判断系统有混沌运动或系统就是某种混沌系统呢?郝柏林先生提出在尚未找到混沌的统一而严格的定义的情况下,可以从如下情况对混沌系统进行判别。
[15]一个确定性系统在没有外部随机因素影响的情况下出现下列现象:(1)系统的运动状态无规律而复杂,看上去与随机运动类似;(2)系统的输出单个地看敏感地依赖于初始条件;(3)系统的某些整体特征(如,正的李亚普诺夫指数,或正的[拓扑]熵),或分数维的吸引子,等)与初始条件的选择关系不大,则称此系统是混沌的。
以上三条中,可以概括为(1)貌似随机性或非周期性;(2)单轨敏感依赖性;(3)整体不敏感性。
可以成为判断混沌征兆的“现象学”方法。
另外,在对混沌无法以定量方式进行研究时,也可以通过区别随机噪声和确定混沌,研究混沌所具有的一般特性来判断系统是否是混沌的。
确定性混沌的一般特性有以下4点:[16]1.确定性。
产生非线性混沌的系统是确定性系统,如果可用方程描述,那么动力学方程是确定性方程。
吕埃尔认为,混沌也可以称为确定性的噪声,即其非规则振荡运动被观察显现出嘈杂的噪声行为,而产生它们的是确定性的机制。
[17]2.非线性。
有非线性不一定产生混沌,但是没有非线性则根本不可能产生混沌。
因此我们才把混沌称为非线性混沌。
3.对初始条件的极端敏感依赖性。
混沌的一个主要特征是,动力学特性对初始条件有敏感依赖性。
这意味着虽然理论上应当有可能预测作为时间函数的动力学特性,可实际上却做不到,因为给定初始条件时出现的任何偏差(不管多小),都会产生在将来某个时刻错误的预测。
