两边对应成比例且夹角相等两三角形相似课件

AC
B
又∵∠EAD=∠CAB,
A
D C
∴△ADE∽△ABC
∴
∴DE= 3 BC 9 .
4
4
例3 如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：∠ACB=90°．
证明： ∵ CD是边AB上的高,
C
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
探究归纳 如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的 夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
C
D
F
A
B
E 不相似（类比三角形全等的判定）
归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两 条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
∠C′=∠C吗？为什么？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关
系？与你周围的同学交流.
我们来证明一下前面得出的结论： △A′B′C′∽△ABC.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC . A'B' A'C'
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D,
使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′,
注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.
当堂练习
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵ B
45
1 E 36 F
∴
A
54
2
30
∵∠1＝∠2，
C
∴△AEB∽△FEC.
2. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使 △ABC

个三角形相似
•角角边定理 •边边边公理 •斜边、直角 边公理
•两 边 对 应 成 比 例 且 夹角相等，两三角 形相似.
•三边对应成比例， 两三角形相似.
例1:根据下列条件，判定△ABC和△A´B´C´
是否相似，并说明理由.
•∠A=120°，AB=7厘米，AC=14厘米，
∠A´=120°，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米；
图
的判定方法 的判定方法
形
•定义 •边角边公理 •角边角公理
•定义 •定理 •两角对应相等，两
个三角形相似
•角角边定理 •边边边公理 •斜边、直角
•两 边 对 应 成 比 例 且 夹角相等，两三角 形相似.
边公理
全等三角形 相似三角形
图
的判定方法 的判定方法
形
•定义 •边角边公理 •角边角公理
•定义 •定理 •两角对应相等，两
挑战自我
三个边长为a的正方形ABEG、GEFH 和HFCD，矩形对角线AC的长是 ；
已知：如图,四边形ABEG 、GEFH 、 HFCD都是边长为a的正方形. 求证：△AEF∽△CEA.
证法1：∵正方形ABEG的边长为a，
证法1：∵正方形ABEG的边长为a， ∴AE= a .
证法1：∵正方形ABEG的边长为a， ∴AE= a . 在△AEF和△CEA中， AE∶EF= a∶a= . EC∶EA=2a∶ a= .
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a . 在△AEF和△CEA中， AE∶EF= a∶a= , EC∶EA=2a∶ a= , CA∶AF = a∶ a= , ∴AE∶EF= EC∶EA= CA∶AF.
证法2:根据题意，可得 AE= a ，AF= a , AC= a . 在△AEF和△CEA中， AE∶EF= a∶a= , EC∶EA=2a∶ a= ,

3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。

１. 请你描述实验一、二、三。
2. 本实验的结论是什么？
植物吸收二氧化碳，产生氧气； 植物利用二氧化碳制造氧气； 植物的光合作用吸收二氧化碳，产生氧气； 二氧化碳和阳光是影响植物生长的因素。
实 验 一
植物光合作用产生氧气，吸收二氧化碳。
实 验 二
蜡烛燃烧产生的二氧化碳是光合作用 的条件。植物利用二氧化碳制造氧气。
真实的，那就是用心去看这个世界。”
下面请同学们自渎“阅读链接”中的内 容。
海伦·凯勒
世上除了用 眼睛看世界，还 有一种内在的视 觉,那可能是更真 实的，那就是 用 心去看这个世界。
课下延伸 1. 从文中找出自己喜欢的语句或段落，抄写下 来。 2.课下阅读《假如给我三天光明》，写读后感 想。
苏教版六年级上册科学
∴BG •CG=GH •GF
F
B
G
C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A
D
O
1
2
E
B
C
人教新课标小学语文 四年级下册第五组
学习提示
• 1、安静靠什么捉住蝴蝶？你从哪些词句看 出来的？
• 2、作者对安静捉住蝴蝶的感觉是什么？从 哪句话看出来的？
• 品评人物,深化认识 说说通过仔细阅读,你对盲女孩安静有
了怎样的认识,或者说一说你觉得她是个怎 样的孩子?
安静有生活的权利,安静可以创 造一个属于自己的缤纷世界。
我有生活的权利，我可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
你有生活的权利，你可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
理解句子含义的方法： 1、联系上下文。 2、抓重点词语。 3、结合课文插图。

①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④
AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ A ）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
强化训练
4.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是
通过这节课的学习，你有什么收获
？
总结 反思
同学们，我们今天的探索很成功，
但探索远还没有结束，让我们在今后
的学习生涯中一起慢慢去发现新大陆
吧！
都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B1（或∠C 与∠C1）的
大小. △ABC与△A1B1C1相似吗？
∠B=∠B1，∠C=∠C1，△ABC∽△A1B1C1
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
知识讲解
例2.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AE=1.5，AC=2，
BC=3，且AD：AB=3:4，求DE的长.

解：∵AE=1.5，AC=2，∴


3


∵ = .∴ = ，

4


=
3
，
4
B
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似）
∴


=
∴DE=

=

3
BC=
4
3
，∵BC=3，43源自9×3=4
4
C
知识讲解
如果△ABC与△A1B1C1两边成比例，且其中一边所对
的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？

应用举例
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。

与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28

1.根据你的猜想和证明，你发现相似三角形的对应 中线、对应角平分线、对应高各有什么性质？请你用文 字、图形和符号语言分别描述出来.
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、'
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
所以 AD = AB . A' D' A' B'
同理
BE AB B' E' = A' B' .
所以
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
AD BE A' D' = B' E' .
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
即证明
AD A' D '
AB A' B '

在建筑设计中，利用相似三角形原理，根据已知 条件设计出符合要求的建筑物形状和大小。
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。

2
知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( B )
A.AA′BB′＝AA′CC′
B.AA′BB′＝AA′CC′且∠A＝∠A′
C.BACB＝AA′′CB′′且∠B＝∠C′
D.AA′BB′＝AA′CC′且∠B＝∠B′
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )C
(2)由(1)知∠3＝∠DAE，∴∠2＋∠3＝∠2＋∠DAE＝∠1，又 AB＝BD，AB⊥BD，∴∠1＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°
9
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
10
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点， AE＝ED，DF＝ DC1，连接EF并延长交BC的延长线于点G.

9．如图，点D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
△ABC∽△DBA的条件是( D )
A．AC∶BC＝AD∶BD
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将
这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝
，
∴
当
BP BC
＝
BQ BA
时
，
△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t，∴t＝2.综上，它们同时出发了 2
秒或 5 秒时，△PBQ 与△ABC 相似
12
8
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB ＝BD＝DE＝EC. 求证：(1)△ADE∽△CDA； (2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.