1-7函数的连续性与间断点解读

x 0
f
( x0

x)
f
( x0 )]
0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x) f ( x0 ),
x
0 就是
x

x, 0
y
0 就是
f
(x)
f ( x ). 0
定义 1′设函数 f ( x) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
断点. 三、1、x 1 为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)


x tan
x
,
x

k,
k

2
1, x 0
(k 0,1,2,) ,
二、函数连续性的运算定理
1. 连续函数的四则运算
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
x x0
f ( x)
f 2( x0 )
故| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)

1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
练习题
一、填空题：
1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2
恒有 f (u) f (a) 成立.
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0,使当0 x x0 时,

lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如 果 左 极 限 f(x０ )及 右 极 限 f(x０ )都 存 在 , 那 么 x0称 为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果 不f(是 x)的第一,那 类x0 么 称 间为 断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右 点极 中限 左相 、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与 值 1 之 在 间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所 限以 多 x点 0 次 称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数

单侧连续
如果 lim f ( x ) f ( x0 ),则称f ( x )在点x0处左连续 .
x x 0
如 果 lim f ( x ) f ( x0 ), 则 称f ( x )在 点x0处 右 连 续 .
x x 0
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
y
2 1
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在 .
3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例3 讨论函数 f ( x ) x , x 0,在x 0处的连续性. x , x 0, y
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例4 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
例5 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
0 0
也趋于0，即
lim y lim f ( x x) f ( x ) 0 ,

函数的连续点与间断点在数学中，连续性是描述函数的一种性质。

一个函数在某个点连续意味着在该点附近可以通过函数图像的一条连续曲线来表示。

换句话说，函数在该点的值与该点的极限值相等。

在函数的定义域上，我们可以将连续点分为两类：间断点和连续点。

一个函数的间断点是指在函数定义域上的某个点，该点的函数值与该点的极限值不相等。

可以将间断点进一步细分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去间断点：在这种情况下，函数在该点的极限存在，但函数的值与极限值不相等。

这种情况发生在该点存在一个孤立点，也就是说，通过改变函数在该点的定义，可以使其在该点处连续。

例如，函数$f(某) = \frac{某^2 - 1}{某-1}$在$某 = 1$处有一个可去间断点。

2. 跳跃间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限都存在，但极限值不相等。

这种情况下，函数图像会出现一个间断或跳跃。

例如，函数$g(某) = \begin{cases} 1, & 某 < 0 \\ 0, & 某 \geq 0\end{cases}$在$某 = 0$处有一个跳跃间断点。

3. 无穷间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。

例如，函数$h(某) = \frac{1}{某}$在$某 = 0$处有一个无穷间断点，在该点的左右极限分别是负无穷和正无穷。

连续点是指在函数定义域上的点，其函数值与该点的极限值相等。

换句话说，函数图像在该点处没有间断或跳跃。

对于一个函数$f(某)$，如果$f(某)$在其定义域上的每一个点都连续，那么该函数被称为在其定义域上连续的函数。

连续性在数学中具有很多重要的性质和应用。

例如，连续函数具有介值定理，即如果$f(a)<y<f(b)$，那么在闭区间$[a,b]$上存在一个$某$使得$f(某)=y$。

这个定理可以应用于实际生活中的许多问题，例如求根问题、优化问题等。

在微积分中，连续性是很重要的。