1.061--连续函数1--连续性间断点

函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。

（增量可正可负）。

例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。

定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。

注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。

3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。

（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。

函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。

本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。

什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。

换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。

函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。

常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。

可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。

跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。

连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。

如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。

反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。

应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。

首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。

由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。

再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。

因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。

总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。

第九节 函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性★ 例1★ 例2 ★ 左右连续★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7 ★ 函数的间断点 ★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 例15★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 9 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2（讲义例2）设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例5）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.例4 讨论函数 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+=<+=1,410,10,00,2/12x x x x x x x x f 在0=x 和1=x 处的连续性. 左右连续例5（讲义例3）已知函数⎩⎨⎧≥-<+=0,20,1)(2x b x x x x f 在点0=x 处连续，求b 的值.例6 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠≠+-++=,1,2,2,1,)2)(1()(4x x x x x b ax x x f 为使)(x f 在1=x 处连线，a 与b应如何取值？连续函数与连续区间例7（讲义例4）证明函数x y sin =在区间),(∞+-∞内连续. 例8 讨论函数⎩⎨⎧>+≤-=,0,1,0,)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.函数间断点及其分类例9（讲义例6）讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在1=x 处的连续性. 例10 (1)（讲义例7）讨论函数⎩⎨⎧≤>=0,0,/1)(x x x x x f在0=x 处的连续性.例10 (2)（讲义例8）讨论函数xx f 1sin )(=在0=x 处的连续性.例11 a 取何值时，⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,cos )(x x a x x x f 在0=x 处连续.例12（讲义例9）设 .2,11|1|0,110/1)(2⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-≤--<=x x x x x x x x f 求)(x f 的间断点，并判别出它们的类型.例13 求下列函数的间断点, 并判断其类型. 若为可去间断点, 试补交或修改定义后使其为连续点..1,001,)1(||)(22⎪⎩⎪⎨⎧±=±≠-+=x x x x x x x f 及例14（讲义例10）讨论⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(x e x x x x f x βα在0=x 的连续性.例15 讨论 nxnxn e e x x x f --∞→++=1lim )(2的连续性.课堂练习1. 若)(x f 在连续, 则)(|)(|2x f x f 、在0x 是否连续 ?又若)(|)(|2x f x f 、在0x 连续, )(x f 在0x 是否连续?2. 试确定a , b 的值, 使,)1)(()(---=x a x be xf x (1) 有无穷间断点0=x ; (2) 有可去间断点1=x .。

数学高一高二知识点连续性高一和高二的数学学习中，连续性是一个非常重要的概念。

在微积分和数学分析等领域，连续性是许多定理和推理的基础。

一、函数的连续性在数学中，一个函数在某个点上连续，意味着函数在该点的左右两侧都存在极限，并且这两个极限值相等。

函数的连续性有以下几种情况：1. 间断点函数的间断点是指函数在某些点上不满足连续性的情况。

间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。

- 可去间断点：在可去间断点上，函数在该点的左右极限存在，但是两个极限值不相等。

这种情况下，可以通过修改函数在该点的定义，将间断点变为连续点。

- 跳跃间断点：在跳跃间断点上，函数在该点的左右极限存在，但是两个极限值有一个或两个是无穷大。

这种情况下，函数在该点的函数值存在一个突变的跳跃。

- 无穷间断点：在无穷间断点上，函数在该点的左右至少有一个极限不存在。

这种情况下，通常是因为函数在该点的函数值趋向于无穷大或负无穷大。

2. 连续函数连续函数是指定义在某个区间上的函数，函数在该区间的每个点上都满足连续性。

连续函数具有以下性质：- 连续函数的四则运算：连续函数的加减乘除运算结果仍然是连续函数。

- 连续函数的复合运算：连续函数的复合运算结果仍然是连续函数。

- 连续函数的反函数：若函数f(x)是在区间上的连续函数，并且f(x)在区间上是单调的，则其反函数f^(-1)(x)也是连续函数。

二、闭区间和开区间在讨论连续性时，我们通常会用到闭区间和开区间的概念。

1. 闭区间闭区间是指一个区间，该区间的两个端点都属于该区间。

记为[a, b]。

闭区间上的函数在两个端点处都满足连续性，即f(a)和f(b)都存在极限。

2. 开区间开区间是指一个区间，该区间的两个端点不属于该区间。

记为(a, b)。

开区间上的函数只需要在(a, b)内满足连续性，不需要在端点处满足连续性。

三、连续函数的性质连续函数具有以下性质：1. 介值定理若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，则在[a, b]上至少存在一个解c，使得f(c)=0。

函数的连续性与间断点内容小结与参考课件节选1、函数连续的定义函数f(x)在x0处连续的三个要素：(1)在x0的邻域内有定义；(2)x→x0函数极限存在；(3)极限值等于函数值.2、函数连续定义的几种等价描述与证明方法【注1】后面四种增量形式适用于抽象函数连续性的证明和区间上函数连续性的证明。

证明区间内任意一点函数连续，则只要将增量形式中的x0换成x则可以换成任意一点连续性的定义。

【注2】对于分段函数的分界点，区间端点连续性的证明，分别用左连续与右连续的定义，即【注3】闭区间上的连续函数对于端点处仅仅是左端点右连续，右端点左连续，而不是连续！【注4】初等函数在定义区间内任意一点都连续，从而有函数的极限等于极限的函数。

即【注5】函数可以仅仅在定义域内一点连续，比如函数仅仅在x=0处连续。

也可以在定义域内任意一点都不连续！3、间断点及其类型函数f(x)间断点的判定与连续性的三要素对应，满足如下三个之一即为间断点：(1)函数在x0处无定义；(2)函数在x0处有定义，但x→x0函数极限不存在；(3) 函数在x0处有定义，x→x0函数极限存在，但极限值不等于函数值.依据函数x→x0左右极限的存在性，可将间断点分为两个大类，四个小类：●第一类间断点：左右极限存在当左右极限相等，则称为可去间断点；左右极限不等，则称为跳跃间断点。

●第二类间断点：左右极限至少有一个不存在如果有一个极限趋于无穷大，则称为无穷间断点；否则称为振荡间断点。

【注】间断点存在的位置为分段函数的分界点，或者函数定义区间的分割点。

没有定义的点构成区间则不为函数的间断点，为函数没有定义的区间！4、函数间断点的判定(1)求函数的定义域，找出分割定义域为定义区间的分割点与分段函数的分界点x k；(2)对x k求函数的左右极限，由左右极限的存在性及相关的极限值与变化趋势，确定间断点类型。

5、幂指函数极限的对数函数法基于函数e x在全体实数范围内的连续性，有其中要求f(x)在x*的某个去心邻域内大于0，如果f(x)的极限大于0即满足要求，并且可以推得如下结论：参考课件节选：。

函数的连续性与间断点一、基本内容1. 函数的连续性设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，（1）若0)]()Δ([lim Δlim 000Δ0Δ=-+=→→x f x x f y x x ，则称函数)(x f y =在点0x 处连续 （2）若 )()(lim 00x f x f x x =→， 则称函数)(x f y =在点0x 处连续。

（3）若函数)(x f y =在点0x 处既左连续又右连续，则称函数)(x f y =在点0x 处连续。

2. 函数的间断点（1）定义：不连续点。

（2）分类：第一类间断点，包括可去间断点和跳跃间断点；第二类间断点，主要有无穷间断点和振荡间断点。

二、学习要求1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会判断间断点的类型。

三、基本题型及解题方法题型1 利用定义讨论函数在某一点的连续性解题方法：首先根据具体情况选择函数连续的三种定义，哪种方法最适合.如分段函数的分段点处连续性的判断，往往需要第三种方法，即利用左右连续。

【例1】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,210,cos 12x x x x x f ，判断)(x f 在0=x 处的连续性。

解：因为 2121lim cos 1lim )(lim 220200==-=→→→xx x x x f x x x =)0(f ， 所以 )(x f 在0=x 处连续。

【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+=0),ln(0,10,)(22x x x b x x x a x f 在0=x 处连续，求a 、b 的值。

解：因为 a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200， b x x b x f x x ln )ln(lim )(lim 200=++=++→→， 1)0(=f ，且)(x f 在0=x 处连续所以 )0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ 即 1ln ==b a则 e b a ==,1题型2 判断间断点的类型解题方法：根据定义分别讨论函数在某一点的左右极限及极限的存在情况：（1）左右极限均存在且相等，即极限存在的间断点，为可去间断点；（2）左右极限均存在但不相等的间断点，为跳跃间断点；（3）左右极限至少有一个不存在的间断点，为第二类间断点。

函数连续与间断点的关系，⾸先要看区间最近在学习⾼数内容，之前的学习都是应付式，现在准备深⼀点研究。

从我们⼈的直接来说，如果⼀条线段是连续的，那它必然是光滑且没有断裂。

下⾯介绍⼀下函数连续和间断点的定义。

（1）函数连续的定义但是⾼数中，函数的连续定义如下：可以看出，⾼等数学中，对连续是针对点⽽⾔的，也就是说，如果你要说明某个范围内，函数连续，那么它必须在这个范围内每⼀个点都得符合上述定义。

也就是说，左极限=右极限=该点函数值，则该点连续。

（2）函数间断的定义分成下⾯三种情况情况1：函数在圆圈处没有定义，该点为间断点。

情况2：因为左极限不等于右极限，所以该点极限不存在，该点为间断点。

情况3：左右极限存在，所以该点有极限，但是该点极限与函数该点值不等，所以该点为间断点。

上述说明的间断点都存在左右极限，所以数学上把左右极限存在的这种间断点统⼀称为第⼀类间断点除了第⼀类间断点，其它的都是第⼆类间断点。

下⾯贴⼏张第⼆类间断点的图像：左右极限不存在，第⼆类间断点该函数来回波动，没有极限，第⼆类间断点最后贴⼀下百度百科上⾯关于间断点的定义：注意：⾮连续函数是重点，圈起来要考试哦！（所以我们知道，间断点是针对⾮连续函数⽽⾔的，连续函数肯定没有！）------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------看了连续的基本概念和间断的基本定义，那么来思考这道题：看⼀下它的图像：猛然⼀看是不是觉得它间断了？那它是不是连续函数呢？初学这个概念的⼈很容易搞混，包括我！课本上说研究⼀个函数是要在它有定义的范围内进⾏研究！那么什么叫有定义的范围呢？（1）⾸先这个有定义的范围是所有有定义的点组成的。