角的平分线的性质一. 根底知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如下列图，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如下列图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质〞和“判定〞恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上〞的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如以下列图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现方案修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，那么∠AOC的度数为.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，那么BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，那么CF______FG，CE________CF.7．如图，AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，那么直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，那么∠BOC的度数为_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32且BD∶CD=9∶7，那么D到AB的距离为.二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是〔 〕A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，以下结论错误的选项是〔 〕A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔 〕A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，那么△DEB 的周长为〔 〕 A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，那么以下结论中不正确的选项是〔 〕A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，那么对于以下结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的选项是〔〕A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，那么点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为〔〕A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是〔〕A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.22．如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，假设BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .DCBAO 第18题23．如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .DF CBAE24．如图，AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)假设DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)假设没有第〔1〕中的条件，是否有这样的结论"试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．在△ABC 中，∠A 、∠B 的角平分线交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．〔1〕求BP、CQ、AR的长．〔2〕假设BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，假设∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．〔1〕求证：BC=2AD；〔2〕求证：AB=AE+CE；〔3〕求证：DE平分∠MDB3.如图，点M〔2，2〕，将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：〔1〕求证：OM平分∠AOB；〔2〕求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．〔1〕求证：△ACD≌△BCE；〔2〕求证：CH平分∠AHE；〔3〕求∠CHE的度数．〔用含α的式子表示〕家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，那么BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
